江苏省2012届高三高考信息题 数学(三)(解析版)

2012 高考数学信息卷三

《数学之友》

一、填空题 1.

已知sin(45)90)αα?-=

?<

提示：依题意得45α?-(45,45)∈-??

，又cos(45)10

α?-=，

则4

cos cos[45(45)]5

αα=?-?-=

=. 2. 已知函数?????<+≥+=2

,122

,2)(2x x ax x x f x ，若2

((1)3f f a

>，则a 的取值范围是（-1,3）.

提示：由题知，2(1)213,((1))(3)36f f f f a =+===+，若2((1))3f f a >，

则9+263a a >，即2230a a --<，解得13a -<<.

3. 如图所示，点P 是函数2sin()(,0)y x x R ω?ω=+∈>图象的最高点，M 、N 是

图象与x 轴的交点，若0PM PN ?= ，则ω=4

π

.

提示：依题意得,PM PN PM PN =⊥，所以PMN ?是等腰直

角三角形，又斜边MN 上的高为2，因此有MN =4, 即

该函数的最小正周期的一半为4，所以28πω=，4

πω=. 4. 已知{n a }是等比数列，251

2,4

a a ==，则12()n n S a a a n N *=+++∈ 的取值范

围是 [4,8) .

提示： 因为{n a }是等比数列，所以可设11n n a a q -=.因为251

2,4

a a ==，所以

141214a q a q =???=??，解得1412a q =???=??.所以1214[1]12881212

n

n

n n S a a a ??- ?????=+++==-? ???-

.

因为11

022n

??<≤ ???，所以48n S ≤<.

5.

在ABC ?中，D 为BC 中

点，

45,B

A D C A D ∠=?∠=?2

=AB ,则AD .

提示：在ABC ?和ACD ?中分别使用正弦定理即可.

6. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，若点P 是棱上一点，则满足12PA PC +=的点P 的个数为 6 .

提示：点P 在以1AC 为焦点的椭圆上，P 分别在AB 、AD 、

1AA 、11C B 、11C D 、1C C 上. 或者，

若P 在AB 上，设AP x =,

有11

2,2

PA PC x x +=+=∴=

. 故AB 上有一点P （AB 的中点）满足条件.

同理在AD 、1AA 、11C B 、11C D 、1C C 上各有一点满足条件.

又若点P 在1

BB 上上，则12PA PC +=>. 故1BB 上不存在满足条件的点P ，同理1DD 上不存在满足条件的点P .

7. 已知A 、

B 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>和双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的公共顶点。P 是双曲线上的动点,M 是椭圆上的动点（P 、M 都异于A 、B ），且满

足()AP BP AM BM λ+=+

，其中R λ∈，设直线AP 、BP 、AM 、BM 的斜率分别记为1k 、2k 、3k 、4k , 125k k +=,则34k k += -5 .

提示：设(,)P m n 、(,)M s t ，22221m n a b -=，2222

2a n m a b

-=，

2

2

2

21s t a b

+=，22

22

2a t s a b -=-，由()AP BP AM BM λ+=+ . 得OP OM λ= ，即n t m s =. 2

122222225n n mn mnb k k m a m a m a n a

+=

+===+--， M

A

B

2225n b m a ∴=，222234222222222225..52t t st stb b s b a k k s a s a s a a t a t a b

+=+==-=-=-=-+--. 二、解答题

1. 已知关于x 的不等式

0)1(2

2

>++-+a

x a x x . (1)当2=a 时，求此不等式的解集； (2)当2->a 时，求此不等式的解集. 解：(1) 当2=a 时，不等式可化为

0)

2)(1(2

>--+x x x ，所以不等式的解集为

{}212|><<-x x x 或.

(2) 当2->a 时,不等式可化为

0)

)(1(2

>--+a x x x ，

当12<<-a 时，解集为{}|21;x x a x -<<>或 当1=a 时，解集为{}|21;

x x x >-≠且 1>a 当时，解集为{}|21.

x x x a -<<>或

2. 已知菱形ABCD 中，4AB =，60BAD ∠=?，将菱形ABCD 沿对角线BD 翻折，使点C 翻折到点1C 的位置，点E 、F 、M 分别是AB 、1DC 、1BC 的中点. (1) 证明：BD //平面EMF . (2) 证明：1AC BD ⊥.

(3) 当EF AB ⊥时，求线段1AC 的长。

解：（1）证明：//FM BD ，BD //平面EMF .

(2) 证明：取BD 中点H ，连1,A H C H

，在菱形ABCD 中 1,A H B D C H B D ⊥⊥, 所以BD ⊥平面1AC H ，所以1AC BD ⊥.

(3) ,DE AB EF AB ⊥⊥,AB ⊥平面DEF ，1AB C E ⊥，114AC BC ==.

C 1

3. 在一个六角形体育馆的一角 MAN 内，用长为a 的围栏设置一个运动器材储存区域（如图所示），已知 120A =∠，B 是墙角线AM 上的一点，C 是墙角线AN 上的一点．

(1) 若BC =a =20, 求储存区域面积的最大值；

(2) 若AB =AC =10,在折线MBCN 内选一点D ，使20=+DC BD ，求四边形储存区域DBAC 的最大面积.

解：(1)设,,0,0.AB x AC y x y ==>>

由222202cos12022cos120x y xy xy xy =+-≥- ，

得22

2202022cos1204sin 60

xy ≤=-

. 2222112020cos60201003sin1202sin 60cos60.224sin 604sin 604tan 603

S xy ∴=≤??===

即y 3

四边形DBAC 面积的最大值为

x=时取到．

(2) 由20=+DC DB ，知点D 在以B ，C 为焦点的椭圆上，

∵3252

3

101021=???=?ABC S ，

∴要使四边形DBAC 面积最大，只需DBC ?的面积最大，此时点D 到BC 的距离最大, 即D 必为椭圆短轴顶点．由

BC =5,BCD

b S ?=面积的最大值为1

52?=

因此，四边形ACDB 面积的最大值为．

4. 已知{n a }是以a 为首项，q 为公比的等比数列，n S 为它的前n 项和. (1) 当134,,S S S 成等差数列时，求q 的值；

(2) 当,,m n l S S S 成等差数列时，求证：对任意自然数,,,m k n k l k k a a a +++也成等差数列.

解：(1) 若公比1q =，则134,3,4S a S a S a ===.

314265S a S S a =≠+≠ ,

∴不满足134,,S S S 成等差数列，∴1q ≠.(1)

1n n a q S q

-∴=

-. 134,,S S S 成等差数列,3142S S S ∴=+,即

342(1)(1)

11a q a q a q q --=+--， 即342(1)(1)(1)a q a q a q -=-+-.

0a ≠,222(1)(1)(1)(1)(1)(1)q q q q q q q ∴-++=-+-++. 又10q -≠ ，222(1)1(1)(1)q q q q ∴++=+++. 即210q q --=

，q ∴=

(2) 若公比1q =，则m k n k l k a a a a +++===，,,m k n k l k a a a +++∴成等差数列; 若公比1q ≠，由,,m n l S S S 成等差数列，得2n m l S S S =+，

即(1)(1)2(1)111m l n a q a q a q q q q ---+=

---，2n m l q q q ∴=+. 又122n k n k a a q +-+=?，

1111

1

()22m k l k m k l k k k l k n

n k a a a q a q a q q q a q

q

a q +-+-++--+-∴+=?+?=?+=??=?

2m k l k n k a a a +++∴+=，,,m k n k l k a a a +++∴也成等差数列.

5. 已知双曲线2

2

13

y x -=. (1) 若一椭圆与该双曲线共焦点，且有一交点(2,3)P ，求椭圆方程. (2) 设(1)中椭圆的左、右顶点分别为A B 、，右焦点为

F ，直线l 为椭圆的右准线，N 为l 上的一动点，且在x 轴上方，直线AN 与椭圆交于点M . 若AM MN =,求AMB ∠的余弦值；

(3) 设过A F N 、、三点的圆与y 轴交于P Q 、两点,

当

线段PQ 的中点为(0,9)时，求这个圆的方程.

解：(1) 双曲线焦点为(2,0)±，设椭圆方程为22

221x y a b

+=.

则22224,

49 1.a b a b

?-=?

?+=?? 2216,12a b ∴==. 故椭圆方程为22

11612

x y +

=. (2) 由已知，(4,0),(4,0),(2,0),A B F - 直线l 的方程为8x =.设(8,)(0).N t t >

AM MN = , (4,).2

t

M ∴

由点M 在椭圆上，得 6.t =

故所求的点M 的坐标为(4,3)M .

所以(6,3),(2,3),1293MA MB MA MB =--=-?=-+=-

.

cos MA MB AMB MA MB

?∠===?

(3) 设圆的方程为220,x y Dx Ey F ++++=将A F N 、、三点坐标代入，得

21640,420,

6480,D F D F t D Et F ?-+=?++=??++++=?得2,

72,8.D E t t F =???

=--??

=-?? 圆的方程为22722()80,x y x t y t ++-+

-=令0,x =得272

()80.y t y t

-+-= 设12(0,(0,)P y Q y ),

，则1,2y =

由线段PQ 的中点为(0,9)，得1272

18,18y y t t

+=+

=. 此时，所求圆的方程为2221880.x y x y ++--=

6．定义在D 上的函数)(x f ，如果满足：对任意 D x ∈，存在常数 0>M ，都

有M x f ≤)( 成立，则称)(x f 是D 上的有界函数，其中M 称为函数)(x f 的上界.已知函数21)(ax x x f ++=.

(1) 当1-=a 时，求函数)(x f 在()0-，∞上的值域，判断函数)(x f 在()0-，∞上是否为有界函数，并说明理由；

(2) 若函数)(x f 在[]4,1∈x 上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.

解：(1)1-=a 时，,4

5)21(1)(22+--=-+=x x x x f

)0,()(-∞∈∴x x f 在上单调递增，

,14

5

)210()(2=+--<∴x f

故函数)(x f 在()0-，

∞上的值域为).1,(-∞ 又),0[)(,1)(+∞∈∴

∴不存在常数0>M ，使M x f ≤)(都成立.

故函数)(x f 在()0-，

∞上不是有界函数. (2) 若函数)(x f 在[]4,1上是以3为上界的有界函数, 则3)(≤x f 在[]4,1上恒成立. 即,313,3)(32≤++≤-∴≤≤-ax x x f

.242

2x x

a x x -≤≤-- 即x x a x x 1

21422-≤≤--在[]4,1∈x 上恒成立.

.)1

2()14(min 2max 2x x

a x x -≤≤--∴

令

??

????∈=1,41,1t t x 则， ??

????∈-≤≤--∴1,41,)2()4(min 2max 2t t t a t t .

令t t t g --=24)(，则??

?

???--∈++-=21,5161)81(4)(2t t g .

令t t t h -=22)(，则???

???-∈--=1,8181)41(2)(2t t h .

∴实数a 的取值范围为.

81,21???

???--

三、理科附加题

1.如图，B A ,两点间有5条线，它们在单位时间内能通过的信息量依次为2,3,4,3,

2.现从中任取3条线且记在单位时间内通过的信息总量为ξ. (1)写出信息总量ξ的分布列. (2)求信息总量ξ的数学期望.

解：(1)由题意得,ξ的可能取值为7, 8, 9, 10.

,51)7(352212===P C C C ξ ,103

)8(3

511222212=+==P C C C C C ξ ,52)9(35111212===P C C C C ξ ,101

)10(3

5

1

122===P C C C ξ ξ∴的分布列为：

(2).5

42

101105291038517=?+?+?+?=E ξ

2.

已知抛物线L 的方程为22(0)x py p =>，直线y x =截抛物线L 所得弦

AB =. (1) 求p 的值；

(2) 抛物线L 上是否存在异于点A 、B 的点C ，使得经过A 、B 、C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有相同的切线.若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说

明理由.

解：(1) 由22y x

x py =??=?

解得(0,0),(2,2)A B p p ,

所以AB ===，所以2p =. (2) 由(1)得24x y =，(0,0),(4,4)A B ,

假设抛物线L 上存在异于点A 、B 的点2

(,)(0,4)4t C t t t ≠≠，使得经过A 、B 、

C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有相同的切线.

令圆的圆心为(,)N a b ，则由NA NB NA NC =??=?得2222

22222

(4)(4)()()

4a b a b t a b a t b ?+=-+-?

?+=-+-?? 得222

448

14243288t t

a b a a tb t t t t b ?++==-???????+=+++??=???， 因为抛物线L 在点C 处的切线斜率'|(0)2

x t t

k y t ===

≠， 又该切线与NC 垂直，所以

2314.122024

t b t a bt t t a t -

=-?+--=- 所以2233244321

2()20280884

t t t t t t t t t t +++-+--=?--= 因为0,4t t ≠≠，所以2t =-. 故存在点C 且坐标为(2,1)-.