几个常见函数的导数1

几个常见函数的导数制作人：徐凯精讲部分：

年级：高三科目：数学类型：同步难易程度：易建议用时：20-25min

一.知识点：

知识点一几个常用函数的导数

知识点二基本初等函数的导数公式

二.典例分析：

题型一利用导数公式求出函数的导数

例1求下列函数的导数：

(1)y＝sin π

3；(2)y＝5x；(3)y＝1

x3；(4)y＝

x3；(5)y＝log3x；(6)y＝1－2sin2

解 (1)y ′＝0；(2)y ′＝(5x )′＝5x ln 5；(3)y ′＝???

?1x 3′＝(x －3)′＝－3x －4； (4)y ′＝(4

x 3

)′＝(x 34)′＝1

434x -＝344

；(5)y ′＝(log 3x )′＝1

x ln 3；

(6)y ＝1－2sin 2x

＝cos x ，y ′＝(cos x )′＝－sin x .

反思与感悟若给出函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化指数幂的形式求导．题型二利用导数公式解决切线有关问题

例2 (1)已知P ，Q 为抛物线y ＝1

2x 2上两点，点P ，Q 横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别

作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的坐标为________．答案 (1，－4)

解析 y ′＝x ，k P A ＝y ′|x ＝4＝4，k QA ＝y ′|x ＝－2＝－2. ∵P (4,8)，Q (－2,2)，∴P A 的直线方程为y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8，

QA 的直线方程为y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2，联立方程组????? y ＝4x －8，y ＝－2x －2，得?????

x ＝1，y ＝－4.

∴A (1，－4)．

(2)已知两条曲线y ＝sin x ，y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．

解设存在一个公共点(x 0，y 0)使两曲线的切线垂直，

则在点(x 0，y 0)处的切线斜率分别为k 1＝y ′|0x x =＝cos x 0，k 2＝y ′|0x x =＝－sin x 0，要使两切线垂直，必须k 1k 2＝cos x 0(－sin x 0)＝－1，即sin 2x 0＝2，这是不可能的．

∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．反思与感悟 1.利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．

(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． 2．求过点P 与曲线相切的直线方程的三个步骤

题型三利用导数公式求最值问题

例3 求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．

解设切点坐标为(x 0，x 2

0)，依题意知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线的切点

到直线x －y －2＝0的距离最短．

∵y ′＝(x 2)′＝2x ，∴2x 0＝1，∴x 0＝12，∴切点坐标为(12，14)，

∴所求的最短距离d ＝|12－1

4－2|2

＝72

反思与感悟利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P (x 0，y 0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．三.课堂小结：

1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导．

如求y ＝1－2sin 2x 2的导数．因为y ＝1－2sin 2x

2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .

3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化．

精练部分：

年级：高三科目：数学类型:同步

难易程度：易建议用时：随堂练习10-15min 课后作业30min

四.随堂练习：一、选择题

1．下列各式中正确的个数是( ) ①(x 7)′＝7x 6；②(x －

1)′＝x －

2；③(

)′＝－12x －32；④(5

x 2)′＝25x －35；⑤(cos x )′＝－sin

x ；⑥(cos 2)′＝－sin 2. A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 B

2．已知过曲线y ＝1

x 上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( )

A.????12，2

B.????12，2或????－12，－2

C.????－12，－2

D.????1

2，－2 答案 B

解析 y ′＝????1x ′＝－1x 2＝－4，x ＝±1

2，故选B. 3．已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( ) A ．4 B ．－4C ．5 D ．－5 答案 A

解析 f ′(x )＝ax a －

1，f ′(－1)＝a (－1)a －

1＝－4，a ＝4.

4．已知曲线y ＝x 3在点(2,8)处的切线方程为y ＝kx ＋b ，则k －b 等于( ) A ．4 B ．－4 C ．28 D ．－28 答案 C

解析 ∵点(2,8)在切线上，∴2k ＋b ＝8，①又y ′|x ＝2＝3×22＝12＝k ，② 由①②可得：k ＝12，b ＝－16，∴k －b ＝28.

5．已知f (x )＝1x ，g (x )＝mx ，且g ′(2)＝1f ′(2)，则m ＝________.

答案－4

解析 f ′(x )＝－1x 2，g ′(x )＝m .∵g ′(2)＝1

f ′(2)

，∴m ＝－4.

6．设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1

x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为

________．答案 (1,1) 五. 课后作业：

1．若f (x )＝sin x ，f ′(α)＝1

2，则下列α的值中满足条件的是( )

A.π3

B.π6

C.2π3

D.5π6 答案 A

解析 ∵f ′(x )＝cos x ，∴f ′(α)＝cos α＝12，

∵α＝π3时，cos α＝1

，故选A.

2．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( ) A ．4x －y －3＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0 D ．x ＋4y ＋3＝0

答案 A

解析设切点(x 0，y 0)，

l 的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝4x 30＝4，x 0＝1， ∴切点(1,1)，∴l 的方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0.

3．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A.1e B ．－1

e C ．－e D ．e 答案 D

解析 y ′＝e x ，设切点为(x 0，y 0)，则

????

y 0＝kx 0， ①y 0＝e x 0， ②k ＝e x 0， ③

∴e x 0＝e x 0·x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e.

4．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线的方程为________________．答案 3x －y －11＝0

解析 ∵y ′＝3x 2＋6x ＋6＝3(x 2＋2x ＋2)＝3(x ＋1)2＋3≥3， ∴当x ＝－1时，斜率最小，切点为(－1，－14)， ∴切线方程为y ＋14＝3(x ＋1)，即3x －y －11＝0.

5．若曲线y ＝x －12在点(a ，a －1

2)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝

________. 答案 64

解析 ∵y ＝x －12，∴y ′＝－12x －3

，

∴曲线在点(a ，a －12)处的切线斜率k ＝－12a －3

2，

∴切线方程为y －a －12＝－12a －3

2(x －a )．

令x ＝0得y ＝32a －1

2；令y ＝0得x ＝3a .

∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12·3a ·32a －12＝94a 12

＝18，∴a ＝64. 6．已知A 、B 、C 三点在曲线y ＝x 上，其横坐标依次为1、m 、4(1

解析如图，在△ABC 中，边AC 是确定的，要使△ABC 的面积最大，则点B 到直线AC 的距离应最大，可以将直线AC 作平行移动，显然当直线与曲线相切时，距离达到最大，即当过B 点的切线平行于直线AC 时，△ABC 的面积最大．

f ′(m )＝1

2m ，A 点坐标为(1,1)，C 点坐标为(4,2)，

∴k AC ＝2－14－1＝13，∴12m ＝13

，∴m ＝9

7．已知曲线f (x )＝x 3－3x ，过点A (0,16)作曲线f (x )的切线，求曲线的切线方程．解设切点为(x 0，y 0)，

则由导数定义得切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 2

0－3，∴切线方程为y ＝(3x 20－3)x ＋16，

又切点(x 0，y 0)在切线上，∴y 0＝3(x 20－1)x 0＋16，

即x 30－3x 0＝3(x 20－1)x 0＋16，解得x 0＝－2，∴切线方程为9x －y ＋16＝0.

几个常用函数的导数(教案)

3.2.1几个常用函数导数教学目标：1、能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式； 2、能利用导数公式求简单函数的导数。教学重难点：能利用导数公式求简单函数的导数，基本初等函数的导数公式的应用教学过程：【合作探究】探究任务一：函数() ==的导数. y f x c 问题：如何求函数() y f x c ==的导数新知：0 y'=表示函数y c=图象上每一点处的切线斜率为 . 若y c=表示路程关于时间的函数，则y'=，可以解释为即一直处于静止状态. 试试：求函数() ==的导数 y f x x 反思：1 y'=表示函数y x=图象上每一点处的切线斜率为 . 若y x=表示路程关于时间的函数，则y'=，可以解释为探究任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数2,3,4 y x y x y x ===的图象，并根据导数定义，求它们的导数.

（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么（2）这三个函数中，哪一个增加得最快哪一个增加得最慢（3）函数(0)y kx k =≠增（减）的快慢与什么有关【典型例题】 1．函数()y f x c ==的导数根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x ?+?--===??? 所以0 0lim lim 00x x y y x ?→?→?'===? 函数导数 y c = 0y '= 0y '=表示函数y c =图像上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态． 2．函数()y f x x ==的导数因为()()1y f x x f x x x x x x x ?+?-+?-===??? 所以00 lim lim11x x y y x ?→?→?'===?

几个常见函数的导数1

几个常见函数的导数制作人：徐凯精讲部分：年级：高三科目：数学类型：同步难易程度：易建议用时：20-25min 一.知识点：知识点一几个常用函数的导数知识点二基本初等函数的导数公式

二.典例分析：题型一利用导数公式求出函数的导数例1 求下列函数的导数： (1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x ；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝log 3x ；(6)y ＝1－2sin 2x 2 . 解 (1)y ′＝0；(2)y ′＝(5x )′＝5x ln 5；(3)y ′＝? ?? ??1x 3′＝(x －3)′＝－3x －4 ； (4)y ′＝(4 x 3 )′＝(x 34)′＝1 434x -＝344 x ；(5)y ′＝(log 3x )′＝1 x ln 3； (6)y ＝1－2sin 2 x 2 ＝cos x ，y ′＝(cos x )′＝－sin x . 反思与感悟若给出函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化指数幂的形式求导．题型二利用导数公式解决切线有关问题例2 (1)已知P ，Q 为抛物线y ＝12x 2 上两点，点P ，Q 横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的坐标为________．答案 (1，－4) 解析 y ′＝x ，k PA ＝y ′|x ＝4＝4，k QA ＝y ′|x ＝－2＝－2. ∵P (4,8)，Q (－2,2)，∴PA 的直线方程为y －8＝4(x －4)，

即y ＝4x －8， QA 的直线方程为y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2，联立方程组??? ? ? y ＝4x －8，y ＝－2x －2，得 ????? x ＝1， y ＝－4. ∴A (1，－4)． (2)已知两条曲线y ＝sin x ，y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直并说明理由．解设存在一个公共点(x 0，y 0)使两曲线的切线垂直，则在点(x 0，y 0)处的切线斜率分别为k 1＝y ′|0x x =＝cos x 0，k 2＝y ′|0x x =＝－sin x 0，要使两切线垂直，必须k 1k 2＝cos x 0(－sin x 0)＝－1，即sin 2x 0＝2，这是不可能的． ∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．反思与感悟 1.利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数． (2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． 2．求过点P 与曲线相切的直线方程的三个步骤题型三利用导数公式求最值问题例3 求抛物线y ＝x 2 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．解设切点坐标为(x 0，x 2 0)，依题意知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2 的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短．

基本初等函数的导数公式表

导数基本知识汇总试题基本知识点：知识点一、基本初等函数的导数公式表（须掌握的知识点） 1、=c '0 2、 =n n x nx -1'（）（n 为正整数） 3、 ln =x x a a a '（） =x x e e '（） 4、ln =a long x x a 1'（） 5、ln =x x 1 '（） 6、sin cos =x x '（） 7、 cos sin =-x x '（） 8、=-x x 211'（）知识点二：导数的四则运算法则 1、v =u v u '''±±（） 2、 =u v uv v u '''+（） 3、(=Cu Cu '' ） 4、u -v =u v u v v 2'''（）知识点三：利用函数导数判断函数单调性的法则 1、如果在(,)a b ，()f x '>0，则()f x 在此区间是增区间，(,)a b 为()f x 的单调增区间。 2、如果在(,)a b ，()f x '<0，则()f x 在此区间是减区间，(,)a b 为()f x 的单调减区间。一、计算题 1、计算下列函数的导数；（1）y x 15= （2） )-y x x 3=≠0（（3）)y x x 54=0 （（4）)y x x 23=0 （（5）)-y x x 23 =0 （（6）y x 5=

（7）sin y x = （8）cos y x = （9）x y =2 （10）ln y x = （11）x y e = 2、求下列函数在给定点的导数；（1）y x 1 4= ，x =16 （2）sin y x = ，x π =2 （3）cos y x = ，x π=2 （4）sin y x x = ，x π =4 （5）3y x = ，11 28（，）（6）+x y x 2=1 ，x =1 （7）y x 2 = ，,24（）

3.2.1几个常用函数的导数教案

3.2.1几个常用函数的导数教案教学目标： 1. 能够用导数的定义求几个常用函数的导数； 2. 利用公式解决简单的问题。教学重点和难点 1．重点：推导几个常用函数的导数； 2．难点：推导几个常用函数的导数。教学方法：自己动手用导数的定义求几个常用函数的导数，感知、理解、记忆。教学过程：一复习 1、函数在一点处导数的定义； 2、导数的几何意义； 3、导函数的定义； 4、求函数的导数的步骤。二新课例1．推导下列函数的导数（1） ()f x c = 解：()()0y f x x f x c c x x x ?+?--===???， '00()lim lim 00x x y f x x ?→?→?===? 1. 求()f x x =的导数。解： ()()1y f x x f x x x x x x x ?+?-+?-===???， '00()lim lim 11x x y f x x ?→?→?===?。 '1y =表示函数y x =图象上每一点处的切线的斜率都为1.若y x =表示路程关于时间的函数，则' 1y =可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动。思考：(1).从求y x =，2y x =，3y x =，4y x =的导数如何来判断这几个函数递增的快慢？ (2).函数(0)y kx k =≠增的快慢与什么有关？可以看出，当k>0时，导数越大，递增越快；当k<0时，导数越小，递减越快. 2. 求函数2()y f x x ==的导数。

解： 22 ()()()2y f x x f x x x x x x x x x ?+?-+?-===+????， ''00 ()lim lim (2)2x x y y f x x x x x ?→?→?===+?=?。 '2y x =表示函数2y x =图象上每点（x,y ）处的切线的斜率为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化： (1) 当x<0时，随着 x 的增加，2y x =减少得越来越慢；（2）当x>0时，随着 x 的增加，2y x =增加得越来越快。 3. 求函数1()y f x x ==的导数。解： 211()()()1()y f x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x -?+?--+?+?====-???+??+??， ''220011()lim lim ()x x y y f x x x x x x ?→?→?===-=-?+?? 思考：(1)如何求该曲线在点（1，1）处的切线方程？ '(1)1k f ==-，所以其切线方程为2y x =-+。 (2)改为点（3，3），结果如何？ (3)把这个结论当做公式多好呀，，既方便，又减少了复杂的运算过程。三例题 1. 试求函数()y f x = 解： ()()y f x x f x x x ?+?-==??= ''0()lim lim x x y y f x x ?→?→?====? 2. 已知点P （-1，1），点Q （2，4）是曲线2y x =上的两点，求与直线PQ 平行的曲线的切线方程。解：'2y x =，设切点为00(,)M x y ，则0'02.x x y x ==

常见函数的导数

常见函数的导数学习目标：能根据定义求几个简单函数的导数，加深对导数概念的理解，同时体会算法的思想并熟悉具体的操作步骤。学习重难点：利用导数公式求一些函数的导数一、知识点梳理 1. 基本初等函数，有下列的求导公式 '1.()(,)kx b k k b +=为常数 '2.()1x = 2'3.()2x x = 4.()0C '= 3'2 5.()3x x = ' 2 116.()x x =- '= 1 8.()x x ααα-'=（α为常数） 9.()ln (01)x x a a a a a '=>≠， a a 1110.(log x)log e (01)x xlna a a '= =>≠， x x 11.(e )e '= 112.(lnx)x '= 13.(sinx)cosx '= 14.(cosx)sinx '=－从上面这一组公式来看，我们只要掌握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。二、典例讲解例1、求下列函数导数。练习：（1）5 -=x y （2）、x y 4= （3）、x x x y = （4）、x y 3 l o g = （5）、)100() 1(l o g 1 ≠>>-= x a a x a y x ，，，（6）、y=sin( 2π+x) (7)y=sin 3 π （8）、y=cos(2π－x) （9）、y=(1)f ' 例2、1.求过曲线y=cosx 上点P( 2π ，0 ) 的切线的直线方程. 2. 若直线y x b =-+为函数1 y x = 图象的切线,求b 的值和切点坐标. (1)(23)(2)(2)(3)3x x '-+='-='=4 (4)y x =3(6)y x -==0(5)sin 45y

3-2-1 几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式

基础巩固强化一、选择题 1．设y ＝e 3，则y ′等于( ) A ．3e 2 B ．e 2 C ．0 D ．以上都不是 [答案] C [解析] ∵y ＝e 3是一个常数，∴y ′＝0. 2．(2012～2013学年度陕西宝鸡中学高二期末测试)函数y ＝sin x 的导数是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝－cos x C ．y ＝cos x D ．y ＝－sin x [答案] C [解析] ∵(sin x )′＝cos x ， ∴选C. 3．已知函数f (x )＝x 3的切线的斜率等于3，则切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．不确定 [答案] B [解析] ∵f ′(x )＝3x 2＝3，解得x ＝±1.切点有两个，即可得切线有两条． 4．若y ＝cos 2π 3，则y ′＝( ) A ．－3 2 B ．－12

C ．0 D.12 [答案] C [解析] 常数函数的导数为0. 5．若y ＝ln x ，则其图象在x ＝2处的切线斜率是( ) A ．1 B ．0 C ．2 D.12 [答案] D [解析] ∵y ′＝1x ，∴y ′|x ＝2＝1 2，故图象在x ＝2处的切线斜率为12. 6．y ＝x α在x ＝1处切线方程为y ＝－4x ，则α的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．1 D ．－1 [答案] B [解析] y ′＝(x α)′＝αx α－1，由条件知，y ′|x ＝1＝α＝－4. 二、填空题 7．曲线y ＝ln x 与x 轴交点处的切线方程是__________． [答案] y ＝x －1 [解析] ∵曲线y ＝ln x 与x 轴的交点为(1,0) y ′|x ＝1＝1，∴切线的斜率为1， ∴所求切线方程为：y ＝x －1. 8．质点沿直线运动的路程与时间的关系是s ＝5 t ，则质点在t ＝32时的速度等于____________．

基本初等函数的导数公式的推导过程

基本初等函数的导数公式推导过程一、幂函数()f x x α=（α∈Q *）的导数公式推导过程命题若()f x x α=（α∈Q *），则()1f x x αα-'=．推导过程 ()f x ' ()()()()()()000112220 011222011222011220 lim lim C C C C lim C C C C lim C C C lim lim C C C x x x x x x f x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x αα αααααααααααααααααααααααα ααααααα?→?→--?→--?→--?→--?→+?-=?+?-=?+?+?++?-=?-+?+?++?=??+?++?=?=+?++L L L L ()11 11 C x x x ααααααα---?== 所以原命题得证．二、正弦函数()sin f x x =的导数公式推导过程命题

推导过程 ()f x ' ()() ()()()()0000020lim sin sin lim sin cos cos sin sin lim cos sin sin cos sin lim cos sin sin cos 1lim cos 2sin cos sin 12sin 1222lim x x x x x x f x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ?→?→?→?→?→?→+?-=?+?-=??+?-=??+?-=??+?-=???????????+?-- ? ????????=2 00002sin cos cos 2sin sin 222lim 2sin cos cos sin sin 222lim 2sin cos 22lim sin 2lim cos 22x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ?→?→?→?→????????- ???=???????- ???=?????+ ???=?????????=+??? ???????? 当0x ?→时，sin 22 x x ??=，所以此时sin 212x x ?=?．所以()0lim cos cos 2x x f x x x ?→???'=+= ??? ，所以原命题得证．三、余弦函数()cos f x x =的导数公式推导过程命题

3.2.1几个常用函数导数(学、教案)

3. 2.1几个常用函数导数课前预习学案（预习教材P 88~ P 89，找出疑惑之处）复习1：导数的几何意义是：曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为复习2：求函数)(x f y =的导数的一般方法：（1）求函数的改变量y ?= （2）求平均变化率y x ?=? （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=x y x ??→?0lim = 上课学案学习目标1记住四个公式，会公式的证明过程； 2.学会利用公式，求一些函数的导数； 3.知道变化率的概念，解决一些物理上的简单问题. 学习重难点：会利用公式求函数导数，公式的证明过程学习过程合作探究探究任务一：函数()y f x c ==的导数. 问题：如何求函数()y f x c ==的导数新知：0y '=表示函数y c =图象上每一点处的切线斜率为 . 若y c =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为即一直处于静止状态. 试试：求函数()y f x x ==的导数反思：1y '=表示函数y x =图象上每一点处的切线斜率为 . 若y x =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为探究任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数2,3,4y x y x y x ===的图象，并根据导数定义，求它们的导数. （1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？（3）函数(0)y kx k =≠增（减）的快慢与什么有关？典型例题例1 求函数1()y f x x ==的导数解析：因为11()()y f x x f x x x x x x x -?+?-+?==???

基本函数求导公式

基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则设)(x u u =， )(x v v =都可导，则（1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数）（3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则若函数 )(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应区间x I 内也可导，且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则

设)(u f y =，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数)]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx = 或()()y f u x ?'''= ２. 双曲函数与反双曲函数的导数. 双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出．可以推出下表列出的公式：在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念，并且指出了不经过显化直接由方程 ),(y x f =0 (1) 求它所确定的隐函数的方法。现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法来导出隐函数的导数公式. 隐函数存在定理 1 设函数),(y x F 在点 ),(00y x P 的某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00=y x F ，, 0),(00≠y x F y ，则方程),(y x F =0在点),(00y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)(00x f y =，并有 y x F F dx dy -= (2) 公式（2）就是隐函数的求导公式这个定理我们不证。现仅就公式(2)作如下推导。将方程(1)所确定的函数)(x f y =代入，得恒等式

1常见函数的导数公式

1．常见函数的导数公式：（1）0'=C (C 为常数)；（2）1)'(-=n n nx x (Q n ∈)；（3）x x cos )'(sin =；（4）x x sin )'(cos -=；（5）a a a x x ln )'(=；（6）x x e e =)'(；（7）e x x a a log 1)'(log = ；（8）x x 1)'(ln = ． 2．导数的运算法则：法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=．法则3 ' 2 ''(0)u u v uv v v v -?? =≠ ??? ． 3．复合函数的导数：设函数u =?(x )在点x 处有导数u ′x =?′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (? (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''?= 或f ′x (? (x ))=f ′(u ) ?′(x )．例题：一：1：求函数323y x x =-+的导数. 2： y = x x sin 2．函数y =x 2cos x 的导数为。函数y =tanx 的导数为。 2：求下列复合函数的导数： ⑴3 2 )2(x y -=； ⑵2 sin x y =； ⑶)4 cos(x y -=π ； ⑷)13sin(ln -=x y ．3 2 c bx ax y ++=

4．曲线y =x 3的切线中斜率等于1的直线（） A ．不存在 B ．存在，有且仅有一条 C ．存在，有且恰有两条 D ．存在，但条数不确定 5．曲线3()2f x x x =+-在0P 处的切线平行于直线41y x =-，则0P 点的坐标为（） A 、( 1 , 0 ) B 、( 2 , 8 ) C 、( 1 , 0 )和(－1, －4) D 、( 2 , 8 )和 (－1, －4) 6．f (x )=ax 3 +3x 2 +2,若f ′(－1)=4,则a 的值等于（） A. 3 19 B. 3 16 C. 3 13 D. 3 10 7．曲线22x y =在点（1，2）处的瞬时变化率为（） A 2 B 4 C 5 D 6 8．已知曲线122+=x y 在点M 处的瞬时变化率为-4，则点M 的坐标是（） A （1，3） B （-4，33） C （-1，3） D 不确定 9．物体按照s (t )=3t 2+t +4的规律作直线运动,则在4s 附近的平均变化率 . 10．曲线y ＝x 3－3x 2 ＋1在点(1,－1)处的切线方程为__________________. 11．已知l 是曲线y = 3 1x 3 +x 的切线中，倾斜角最小的切线，则l 的方程是 . 12.已知过曲线y =3 1x 3上点P 的切线l 的方程为12x -3y =16,那么P 点坐标只能为 ( ) A.?? ? ??38, 2 B.?? ? ??- 34,1 C.?? ? ??- -328,1 D.?? ? ??320, 3 13．已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在x =1处的切线方程是y=x －2. 求)(x f y =的解析式. 14．求过点（2，0）且与曲线y = x 1相切的直线的方程.

基本初等函数的导数公式

基本初等函数的导数公式学习目标：掌握初等函数的求导公式；学习重难点：用定义推导常见函数的导数公式．一、复习 1、导数的定义； 2、导数的几何意义； 3、导函数的定义； 4、求函数的导数的流程图。（1）求函数的改变量()(x f x x f y -?+=? （2）求平均变化率 x y = ?? （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=x y x ??→?0 lim 本节课我们将学习常见函数的导数。首先我们来求下面几个函数的导数。（1）、y=x （2）、y=x 2 （3）、y=x 3 问题：1-=x y ，2-=x y ，3-=x y 呢？问题：从对上面几个幂函数求导，我们能发现有什么规律吗？二、学习过程 1、基本初等函数的求导公式： ⑴ ()kx b k '+= (k,b 为常数) ⑵ 0)(='C (C 为常数) ⑶ ()1x '= ⑷ 2()2x x '= ⑸ 32()3x x '= ⑹ 2 1 1()x x '=- ⑺ '= 由⑶~⑹你能发现什么规律? ⑻ 1()x x ααα-'= （α为常数） ⑼ ()ln (01)x x a a a a a '=>≠， ⑽ a a 11(log x)log e (01) x xlna a a '= = >≠，且 ⑾ x x e )(e =' ⑿ x 1)(lnx =' ⒀ cosx )(sinx =' ⒁ sinx )(cosx －=' 从上面这一组公式来看，我们只要掌握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。

例1、求下列函数导数。（1）5-=x y ( 2）x y 4= （3）x x x y = (4)x y 3log = （5）y=sin(2 π +x) (6) y=sin 3 π （7）y=cos(2π－x) 例2.若直线y x b =-+为函数1y x = 图象的切线,求b 的值和切点坐标. 变式1.求曲线y=x 2 在点(1,1)处的切线方程. 总结切线问题：找切点求导数得斜率变式2:求曲线y=x 2过点(0,-1)的切线方程变式3:已知直线1y x =-,点P 为y=x 2 上任意一点,求P 在什么位置时到直线距离最短. 三:课堂练习. 1.求下列函数的导数 (1)3y x = (2)y = (3)2 1y x = (4)3x y = (5)2log y x = (6)cos y x = 四、小结（1）基本初等函数公式的求导公式（2）公式的应用随堂检测： 1. 已知3()f x x =,则'(1)f = 。 2．设y = ，则它的导函数为。 3．过曲线3y x -=上的点1 (2,)8 的切线方程为。 4．求下列函数的导函数（1）2y x -= （2）y = (3）41y x = （4）2x y = （5）4log y x = （6）ln y x = （7）sin()2y x π=- （8）3cos()2 y x π =+ 5．求曲线x y e =在0x =处的切线方程。

常见函数的导数公式

几种常见函数的导数公式： ①C'=0(C为常数函数) ②(x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q*)；熟记1/X的导数。 ③(sinx)' = cosx (cosx)' = - sinx (tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2 -(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2 (secx)'=tanx·secx (cscx)'=-cotx·cscx (arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2 (arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2 (arctanx)'=1/(1+x^2) (arccotx)'=-1/(1+x^2) (arcsecx)'=1/(|x|(x^2-1)^1/2) (arccscx)'=-1/(|x|(x^2-1)^1/2) ④(sinhx)'=coshx (coshx)'=sinhx (tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2 (coth)'=-1/(sinhx)^2=-(cschx)^2 (sechx)'=-tanhx·sechx (cschx)'=-cothx·cschx (arsinhx)'=1/(x^2+1)^1/2 (arcoshx)'=1/(x^2-1)^1/2 (artanhx)'=1/(x^2-1) (|x|<1) (arcothx)'=1/(x^2-1) (|x|>1) (arsechx)'=1/(x(1-x^2)^1/2) (arcschx)'=1/(x(1+x^2)^1/2) ⑤(e^x)' = e^x (a^x)' = （a^x）lna （ln为自然对数）(Inx)' = 1/x（ln为自然对数）(logax)' =x^(-1) /lna(a>0且a不等于1) (x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(-1) (1/x)'=-x^(-2) 【其中第4类不用记，那是大学的内容】希望回答对你有所帮助！

几个常用函数的导数

321几个常用函数导数教学目标：1、能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式； 2、能利用导数公式求简单函数的导数。教学重难点：能利用导数公式求简单函数的导数，基本初等函数的导数公式的应用教学过程：【合作探究】探究任务一：函数y f(x) c的导数. 问题：如何求函数y f(x) c的导数新知：y 0表示函数y c图象上每一点处的切线斜率为______________ . 若y c表示路程关于时间的函数，则y ______ ，可以解释为________________ 即一直处于静止状态. 试试：求函数y f (x) x的导数反思：y 1表示函数y x图象上每一点处的切线斜率为______________ . 若y x表示路程关于时间的函数，则y ______ ，可以解释为________________ 探究任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数y 2x,y 3x,y 4x的图象，并根据导数定义，求它们的导数. (1)从图象上看，它们的导数分别表示什么 (2)这三个函数中，哪一个增加得最快哪一个增加得最慢 (3)函数y kx(k 0)增(减)的快慢与什么有关【典型例题】 1 .函数y f (x) c的导数根据导数定义，因为亠f(x x) f(x)口0 x x x 所以y lim lim 0 0 x 0 x x 0 y 0表示函数y c图像上每一点处的切线的斜率都为0?若y c表示路程关于时间的函数，则y 0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即物体一直处于静止状态. 2.函数y f (x) x的导数因为_y f (x x) f (x) xxx 1 x x x 所以y

几种常见函数的导数教案

几种常见函数的导数教案教学目的使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数的导数公式，掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．教学重点和难点掌握并熟记四种常见函数的求导公式是本节的重点．正整数幂函数及正、余弦函数的导数公式的推导是本节难点．教学过程一、复习提问 1．按定义求导数有哪几个步骤？ 2．用导数的定义求下列各函数的导数： (1)y＝x5；(2)y＝c．几点说明：练习(1)为推导正整数幂函数导数公式作准备，在求Δy值时启发学生应用二项式定理展开(x＋Δx)5；练习(2)推导前，首先指出这里y＝c称为常数函数，可设y=f(x)=c说明不论自变量取何值，对应的函数值均为c，以避免出如下错误，Δy=f(x＋Δx)－f(x)＝c＋Δx－c＝Δx．二、新课 1．引言：由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，本节课根据导数定义先来证明几个常见函数的导数公式． 2．几个常见函数的导数公式． (1)设y=c(常数)，则y'=0．此公式前面已证．下面我们还可以用几何图象对公式加以说明(图2－6)．因为y=c 的图象是平行于x轴的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率都是0．此公式可叙述成“常数函数的导数为零”．

(2)(x n)'＝nx n-1(n为正整数)．此公式的证明在教师指导下，由学生独立完成．证明：设y=f(x)=x n，此公式可叙述成“正整数幂函数的导数等于幂指数n与自变量的(n－1)次幂的乘积”． (3)(sinx)'=cosx．证明：y＝f(x)=sinx，

几个常用函数的导数教案

§1.2.1几个常用函数的导数教学目标： 1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x =的导数公式； 2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．教学重点：四种常见函数y c =、y x =、2 y x =、1y x =的导数公式及应用教学难点：四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x =的导数公式教学过程：一．创设情景我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．二．新课讲授 1．函数()y f x c ==的导数根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x ?+?--===??? 所以00 lim lim 00x x y y ?→?→?'=== 0y '=表示函数y c =图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态． 2．函数()y f x x ==的导数因为()()1y f x x f x x x x x x x ?+?-+?-===??? 所以00 lim lim11x x y y ?→?→?'===

几个常见函数的导数

§1.2.1几个常见函数的导数【学情分析】：本节重要是介绍求导数的方法.根据导数定义求导数是最基本的方法.但是,由于最终总会归结为求极限,而本章并没有介绍极限知识,因此, 教科书只是采用这种方法计算21 ,,,, y c y x y x y y x =====这五个常见函数的导数.学生只要会用导数公式和求简单函数的导数即可. 【教学目标】：（1）用导数定义, 求函数2 1 ,,,, y c y x y x y y x =====. （2）能用基本初等函数的导数公式和导数运算法则求简单函数的导数. （3）理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题，培养学生的应用意识. 【教学重点】：能用导数定义, 求函数21 ,,,, y c y x y x y y x =====. 【教学难点】：能用基本初等函数的导数公式和导数加减运算法则求简单函数的导数.

3 (4)(0) y x x =>

练习与测试： A ．基础题. 1．求下列函数的导数：（1）12 y x = （2）y = （3）41 y x = （4）y = 答案：（1）'11 12y x = （2）' y = （3）' 5 4y x -=- （4）2' 5 35 y x -= 2．已知函数2 ()f x x =，则' (3)f =（）（A ）0 （B ）2x （C ）6 （D ）9 答案：C 3．已知函数1()f x x =，则' (2)f -=（）（A ）4 （B ）14 （C ）4- （D ）1 4 - 答案：D

4．已知函数3 ()f x x =的切线的斜率等于3，则其切线方程有（）（A ）1条（B ）2条（C ）多余2条（D ）不存在答案：B B ．难题 1．已知(1,1),(2,4)P Q -是曲线2 y x =上两点，求与直线PQ 平行的曲线2 y x =的切线方程． '(1,1),(2,4)121 11,24 11424410PQ P Q k y x x y y x x y -∴=====- =---=解：令得所以曲线的切线方程为：即 2．设曲线3 y x =过点3 (,)a a 的切线与直线,0x a y ==所围成的三角形面积为 1 3 ，求a . 3'2 332233 3()|3(,)3()320 2 0,;,3 12 ()1 231 x a k x a a a y a a x a a x a y y x a x a y a S a a a a ===∴-=---======-=∴=±解：过点的切线方程为即令得得

几个常用函数的导数练习

第一章 1.2 1.2.1 几个常用函数的导数 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一) 课后强化演练一、选择题 1．若f (x )＝cos π 6，则f ′(x )等于( ) A ． 32 B ．0 C ．12 D ．－12 答案：B 2．给出下列结论： ①若y ＝1x 3，则y ′＝－3x 4；②若y ＝x ，则y ′＝1 2x ；③若y ＝2x ，则y ′＝2x ；④若f (x )＝log a x (a ＞ 0且a ≠1)，则f ′(x )＝log a e x .其中正确的有( ) A ．①② B ．①②③ C ．②③④ D ．①②④ 答案：D 3．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为1 2，则切点的横坐标为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．12 解析：设切点的横坐标为x 0(x 0>0)， ∵y ′＝x 2－3 x ， ∴y ′|x ＝x 0＝x 02－3x 0＝1 2，整理得：x 20－x 0－6＝0，解得x 0＝3或x 0＝－2(舍)．答案：A 4．正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A ．????0，π 4 B ．???? 3π4，π C ．????0，π4∪??? ?3π 4，π D ．????0，π4∪????π2，3π 4 解析：设P (x 0，y 0)，∵y ′|x ＝x 0＝cos x 0，∴直线l 的斜率k ＝cos x 0∈[－1,1]．又直线l 的倾斜角α∈[0，π)，∴0≤α≤π4或3π 4 ≤α＜π.

答案：C 5．若f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，则g ′(x )－f ′(x )＞0的解集为( ) A ．(－∞，0)∪????23，＋∞ B ．??? ?0，2 3 C ．??? ?－2 3，0 D ．? ???－∞，－2 3∪(0，＋∞) 解析：∵g ′(x )＝3x 2，f ′(x )＝2x ，由g ′(x )－f ′(x )＞0，得3x 2－2x ＞0，得x ＞2 3或x ＜0. 答案：A 6．若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(0)等于( ) A ．2 B ．0 C ．－2 D ．－4 解析：∵f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ∴f ′(1)＝2f ′(1)＋2，f ′(1)＝－2， ∴f ′(x )＝2×(－2)＋2x ＝2x －4. ∴f ′(0)＝－4. 答案：D 二、填空题 7．函数y ＝x －1 在(1,1)处的切线方程为________．解析：∵y ′|x ＝1＝－1，∴切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. 答案：x ＋y －2＝0 8．若曲线y ＝x a ＋1(a ∈R )在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则a ＝________. 解析：由题意知：y ′| x ＝1＝a ＝2－0 1－0＝2. 答案：2 9．曲线y ＝ln x 在点M (e,1)处的切线的斜率是________，切线方程为________．解析：∵y ′＝(ln x )′＝1x ，∴y ′|x ＝e ＝1 e . ∴切线方程为y －1＝1 e (x －e)，即x －e y ＝0. 答案：1 e x －e y ＝0 三、解答题 10．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝x 2，求适合f ′(x )＋1＝g ′(x )的x 值．解：∵f ′(x )＝1 x ，g ′(x )＝2x ，

常见函数的导数

选修2-2 导数及其应用 §1.2.1 常见函数的导数（总第50课时）一、【目的要求】（1）了解求函数的导数的流程图，会求函数的导函数（2）掌握基本初等函数的运算法则二、【教学过程】 1、定义法求导数的步骤：见教课书18P 。 2、用定义法求下列函数的导数（1）b kx x f +=)(（k,b 为常数）注意 ① k b kx =+')(（一次项系数）； ② 当k=0时，f(x)=b(常数)，0)('=x f ，即常数函数的导数为0； ③ 当k=1,b=0时，f(x)=x ，1)('=x f 。（2）2)(x x f = (3) 3)(x x f = (4) x x f 1)(= (5)x x f =)( 由（2）～（5），你能发现什么重要规律？。 3、对于基本初等函数，有下列求导公式（不必证明，但需熟记） ______)('=a x ； _____)('=x a （a>0且a ≠1）； _____)(log '=x a （a>0且a ≠1）； _____)'(=x e ； _____)(ln '=x ； ______)(sin '=x ； ______)(cos '=x 。

4、典题讲解例1、求下列函数的导数（1）100x y = （2）41x y = （3）53x y = （4）x y 4= （5）x y 5log = （6）y=sin 3π （7）x x x y = （8）434cos 4sin 44-+=x x y （9）)4cos 21(2sin 22x x y --= 例2、若直线b x y +-=为函数x y 1= 图像的切线，求b 及切点坐标。例3、直线b x y +=2 1能作为下列函数)(x f y =图像的切线吗？若能，求出切点坐标；若不能，简述理由。（1）x x f 1)(= (2) 4)(x x f = (3) x x f sin )(= (4) x e x f =)( 5、当堂反馈 1、y=lnx 在点（1，0）处的切线方程是；又若曲线x e y =在点 ),22e （处的切线与坐标轴围成的三角形面积为S ，则S= 。 2、设x x f cos )(0=，)()('01x f x f =，)()('12x f x f =……)()(')1(x f x f n n =+，N n ∈，则)(2010x f =___________。 3、经过点（2，0）且与曲线x y 1=相切的直线方程是。