2015届高三冲刺模拟数学(理)试题_Word版含答案

甘肃省兰州一中2015届高三冲刺模拟试题

数学（理科）

第I 卷（选择题）

注意事项：

1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。

一、选择题

1.设集合M={}22|21x x y -=，N={}2|y y x =，则M

N =( )

A. {（1,1）}

B. {（-1,1），（1,1）}

C. )

1,?+∞?? D. ?+∞???

2. 设i 是虚数单位，那么使得1()1

n -+

=的最小正整数n 的值为（）

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

3. 如果直线ax +by =4与圆C ：x 2+y 2=4有两个不同的交点，那么点（a ，b ）和圆C 的位置关系是（） A.在圆外

B.在圆上

C.在圆内

D.不能确定

4.要得到函数sin 2y x =的图象，只需将函数πcos(2)3

y x =-的图象（）

A ．向右平移

π6个单位长度 B ．向左平移π

6个单位长度 C ．向右平移π12个单位长度 D ．向左平移π

个单位长度

5.过椭圆22143

y x +=的右焦点F 作两条相互垂直的直线分别交椭圆于A ，B ，C ，D 四点，则

11||||

AB CD +的值为（） A. 18 B. 16 C. 1 D. 712

6. 已知ABC ?的外接圆半径为R ，且B b a C A R sin )2()sin (sin 222-=-（其中a ，b 分别是A ∠，B ∠的对边），那么角C 的大小为（）

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．90°

7.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某多面件的三视图，

该多面体的体积为（

A. 403

cm B. 503

由4

的概率是（）

180 B.

288

9.已知三棱锥S—ABC

是边长为1的正三角形，SC

棱锥的体积为（）

4 B.

10.执行右图程序框图，如果输入的正实数x与输出的实数y满足y=x，

则x= （）

A. B. C. D.

11.已知函数3

y x

=在

x a

=时的切线和x轴交于

，若

a=，则数列{}

的前n项和为（）

+ B. 1

2()

n- C. 2

3()

- D.

12.已知函数()3,

f x x mx x R

=-∈，若方程()

f x=2在[4,4]

x∈-恰有3 个不同的实数解，则实数m的取值范围是（）

A. (31,32?

B. (313,2???

C. ()()

,3,

-∞-+∞ D. ()()

,3,

-∞+∞

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 在(x2+

－4)5的展开式中含x4项的系数是___________. (用数字填写答案)

14.在△ABC中，∠A=90°，AB=1，点M，N满足AM AB

=，(1)

AN AC

=-，R

λ∈，若2

BN CM

?=-，则λ=_________.

15.平面上满足约束条件

100.

x y

≥

+≤

?--≤

的点（x，y）形成的区域为D，区域D关于直线y=2x 对称的区域为E，则两个区域中距离最近的两点之间的距离为__________.

16.定义在R上的奇函数()

f x的导函数满足()()

f x f x

'<，且()()31

f x f x

?+=-，若

()2015f e =-，则不等式()x f x e <的解集为__________.

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）

已知点A (sin ,1)θ，B (cos ,0)θ，C (sin ,2)θ-，且AB BP =.

（Ⅰ）记函数()f BP CA θ=?，(,)82

ππθ∈-，讨论函数的单调性，并求其值域；

（Ⅱ）若O ，P ，C 三点共线，求||OA OB +的值.

18. （本小题满分12分）

如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ， ∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且△PAD 是以AD 为底的等腰三角形. （Ⅰ）证明：AD ⊥PB ；

（Ⅱ）若四棱锥P —ABCD 的体积等于32

，试求PB 与平面PCD 所

成角的正弦值.

19. （本小题满分12分）

一种智能手机电子阅读器，特别设置了一个“健康阅读”按钮，在开始阅读或者阅读期间的任意时刻按下“健康阅读”按钮后，手机阅读界面的背景会变为蓝色或绿色以保护阅读者的视力. 假设“健康阅读”按钮第一次按下后，出现蓝色背景与绿色背景的概率都是.2

从按钮第二次按下起，若前次出现蓝色背景，则下一次出现蓝色背景、绿色背景的概率分别为

31、32；若前次出现绿色背景，则下一次出现蓝色背景、绿色背景的概率分别为5

3、.5

记第)1,(≥∈n N n n 次按下“健康阅读”按钮后出现蓝色背景概率为P n . （Ⅰ）求P 2的值；

（Ⅱ）当,2n N n ∈≥时，试用P n -1表示P n ；（Ⅲ）求P n 关于n 的表达式.

20. （本小题满分12分）

已知椭圆C:()222210y x a b a b

+=>>的左右焦点1F ，2F 与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形.

（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）过椭圆C 上任意一点P 做椭圆C 的切线与直线1F P 的垂线1F M 相交于点M ，求点M 的轨迹方程；

（Ⅲ）若切线MP 与直线x =-2交于点N ，求证：11||

NF MF 为定值.

21. （本小题满分12分）

已知函数()ln h x x x =，2

()(0)a x a x

?=>. （Ⅰ）求()()x

g x t dt ?=

；

（Ⅱ）设函数()()()1f x h x g x '=--，试确定()f x 的单调区间及最大最小值；（Ⅲ）求证：对于任意的正整数n ，均有111123n

e e ++++≥成立.

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，按所做的第一题计分，做答时请写清题号.

22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲

如图，在四边形ABCD 中，已知60BAD ∠=?，

90ABC ∠=?，120BCD ∠=?，对角线BD AC ,交于点S ，

且SB DS 2=，P 为AC 的中点．

求证：（Ⅰ）?=∠30PBD ；

（Ⅱ）DC AD =．

23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线C 的极坐标方程是

ρ＝2，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线L 的参数方程为12x t

y =+???

=+?? (t 为参数).

（Ⅰ）写出直线L 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；

（Ⅱ）设曲线C 经过伸缩变换12x x

y y '=??

?'=??得到曲线C '

，设 M(x ,y )为C '上任意一点，求

222x y +的最小值，并求相应的点M 的坐标.

24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲

已知正数a ，b ，c 满足a +b +c =6，求证：

1111(1)(1)(1)2

a b b c c a ++≥+++

甘肃省兰州一中2015届高三冲刺模拟试题参考答案

数学（理科）

第I 卷（选择题）

第Ⅱ卷

二、填空题

13. -960 ； 14. 23 ； 15. ； 16. ()1,+∞ ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）

解：设P （x ，y ），由 AB BP = 得 O B O A O P O B

-=-

，即 (cos sin ,1)(cos ,)x y θθθ--=-，

所以 2cos sin ,1x y θθ=-=-，亦即(2cos sin ,1)P θθ--；…………………… 2分（Ⅰ）()(sin cos ,1)(2sin ,1)f BP CA θθθθ=?=-?-

22sin 2sin cos 1sin 2cos 2θθθθθ=--=--

πθ=+；

由(,)82ππθ∈-得52(0,)44

ππθ+∈，

所以，当2(0,)42

ππθ+∈即(

,88ππθ?∈-??

时，()f θ单调递减，且()0f θ≤<，

当)

52,4

πππθ?+∈??即)

,82

ππθ?∈??时，()f θ单调递增，且()1f θ≤<，

故，函数()f θ的单调递减区间为(

,88ππ?-??，单调递增区间为)

,82

ππ???，

值域为)

. …………………………………… 6分

（Ⅱ）由O 、P 、C 三点共线可知，OP ∥OC ，

即 (1)(sin )2(2cos sin )θθθ-?-=?-，得4tan 3

θ=，

所以 ||(sin OA OB +=

===………………………………… 12分

18. （本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：取AD的中点G，连PG，BG，CG；

PA PD PG AD

AD PGB

AB AD

BG AD

DAB

=?⊥?

?⊥

=??

?⊥

∠=???

平面

……………………………………5分（Ⅱ）∵侧面PAD⊥底面ABCD，PG⊥AD，

∴PG⊥底面ABCD；

在底面直角梯形ABCD

中，由已知可得BC=，

由

P A B C D

=，即

11[12

322

?+?=

（

，得PG，

而

DG=1，

在Rt△PGB、Rt△PGC、Rt△PGD中分别可求得

、PD=2，在△PCD中，222

cos PD CD PC

PDC+-

==-，

∴

sin PDC=PCD

的面积

1sin

PDC

S PD CD PDC

=???=，

设点B到平面PCD的距离为h，由

P BCD B PCD

V V

得h=，

∴PB平面PCD

所成角的正弦值为

==.

……………………………………12分19. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）若按钮第一次、第二次按下后均出现蓝色背景，则其概率为

?；

若按钮第一次、第二次按下后依次出现绿色背景、蓝色背景，则其概率为.

故所求概率为.

P……………………………………4分（Ⅱ）第1

n次按下按钮后出现蓝色背景的概率为2

(

≥

∈

），则出现绿色背景

的概率为

PB PGB

?平面

AD PB

?⊥

若第1-n 次、第n 次按下按钮后均出现蓝色背景，则其概率为3

11?

-n P ；若第1-n 次、第n 次按下按钮后依次出现绿色背景、蓝色背景，则其概率为.53

)1(1?--n P

所以，5

154)1(5331111+-=-+=

---n n n n P P P P （其中2,≥∈n N n ）. …………………………………… 8分

（Ⅲ）由（2）得)199

(1541991--=-

-n n P P （其中2,≥∈n N n ）. 故}199{-n P 是首项为381，公比为154

-的等比数列，

所以).1,(19

)154(3811≥∈+-=

-n N n P n n …………………………………… 12分 20. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）依题意，2c =a =4，∴ c =2，b

∴椭圆C 的标准方程为2211612

y x +=； …………………………………… 2分

（Ⅱ）设00(,)P x y ，由（Ⅰ），1(2,0)F -，设00(,)P x y ，(,)M x y 过椭圆C 上过P 的切线方程为： 0011612

x x y y

+=， ① 直线1F P 的斜率1002F P y k x =

+，则直线1MF 的斜率100

MF x k y +=-，于是，则直线1MF 的方程为：00

(2)x y x y +=-+，即 00(2)(2)yy x x =-++， ②

① 、②联立，解得 x = -8，

∴ 点M 的轨迹方程为 x = -8； …………………………………… 8分（Ⅲ）依题意及（Ⅱ），点M 、N 的坐标可表示为(8,)M M y -、(2,)N N y -，点N 在切线MP 上，由①式得 003(8)

2N x y y +=

，点M 在直线1MF 上，由②式得 00

6(2)

M x y y +=

， 0202

129(8)||4N

x NF y y +==， 02

200222

36[(2)]||[(2)(8)]M y x MF y y ++=---+=，

∴ 00222200122222

100009(8)(8)||1||436[(2)]16(2)y x x NF MF y y x y x ++=?=++++， ③ 注意到点P 在椭圆C 上，即 22

11612

x y +=，

于是020484x y -=代人③式并整理得

2121||1

||4

NF MF =， ∴

11||

||NF MF 的值为定值12

. …………………………………… 12分

21. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）2111()()[]|()x x

x a a

a x a g x t dt dt a a t t x a x

?-=

==-=--=??

； …………… 3分

（Ⅱ）∵ ()(ln )ln 1(0)h x x x x x ''==+>，

∴ ()ln 11ln (0)x a x a f x x x x x x

--=+--=->，

22()1()(0)x x a x a

f x x x x x

---'=-=>，

∵ a >0，∴ 函数()f x 在区间(0,)a 上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增，函数()f x 的最小值为()ln f a a =，函数()f x 无最大值； ……………… 7分（Ⅲ）取a =1，由（Ⅱ）知，1()ln (1)0x f x x f x

-=-≥=，

∴ 11ln 1x x -≥=-，即 11ln ln e x ≥-=，亦即 1x e e x

≥，……… 10分分别取 1,2,,x n = 得

111e e ≥，1

22e e ≥，13e e ≥，…，1e e n

≥，

将以上各式相乘，得：1111!

e e

n ++++≥ ……………………………… 12分

22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲

证明：（Ⅰ）由已知得 90ADC ∠=?，从而D C B A ,,,四点共圆，AC 为直径，P 为该圆的圆心．

作BD PM ⊥于点M ，知M 为BD 的中点，

所以BPM ∠＝

BPD ∠＝60A ∠=?，从而?=∠30PBM ． …………………………………… 5分

（Ⅱ）作BP SN ⊥于点N ，则1

SN SB =．又BD MB DM SB DS 21

,2=

==， ∴ SN SB SB SB DM DS MS ==-=-=2

232，

∴ Rt △PMS ≌Rt △PNS ， ∴ ?=∠=∠30NPS MPS ，

又PB PA =，所以1

152

PAB NPS ∠=∠=?，

故DCA DAC ∠=?=∠45，所以DC AD =． ……………………10分

23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程

解：（1）圆C 的方程为2

4x y += …………………………………… 1分

直线L 20y -+= ………………………… 3分

（2）由''12

x x y y

?=??=??和224x y +=得'C 2

214x y += ………………… 5分

设M 为2x cos y sin θθ

==??

?，则 22

232cos(2)3x y πθ+=++ …… 8分

所以当M 为或(1,-时原式取得最小值1． …………… 10分 24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲已知正数a ，b ，c 满足a +b +c =6，求证：1111(1)(1)(1)2

a b b c c a ++≥+++.

证明：由已知及均值不等式：

111(1)(1)(1)a b b c c a ++≥+++

311133

a b c a b c =

≥+++++++?

31232

==? ……………………… 10分