高二数学人教A版选修1-2练习：2.2.2反证法

学业分层测评

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是( )

A ．有两个内角是钝角

B ．有三个内角是钝角

C ．至少有两个内角是钝角

D ．没有一个内角是钝角

【解析】 “最多有一个”的反设是“至少有两个”，故选C.

【答案】 C

2．下列命题错误的是( )

A ．三角形中至少有一个内角不小于60°

B ．四面体的三组对棱都是异面直线

C ．闭区间[a ，b ]上的单调函数f (x )至多有一个零点

D ．设a ，b ∈Z ，若a ，b 中至少有一个为奇数，则a ＋b 是奇数

【解析】 a ＋b 为奇数?a ，b 中有一个为奇数，另一个为偶数，故D 错误．

【答案】 D

3．“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”的否定正确的为( )

【导学号：81092029】

A ．a ，b ，c 都是奇数

B ．a ，b ，c 都是偶数

C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数

D ．a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数

【解析】 自然数a ，b ，c 的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数．所以否定正确的是a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数．

【答案】 D

4．设x ，y ，z 都是正实数，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x

，则a ，b ，c 三个数 ( )

A ．至少有一个不大于2

B ．都小于2

C ．至少有一个不小于2

D ．都大于2

【解析】 若a ，b ，c 都小于2，则a ＋b ＋c <6， ①

而a ＋b ＋c ＝x ＋1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z

≥6， ② 显然①②矛盾，所以C 正确．

【答案】 C

5．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①A ＋B ＋C ＝90°＋90°＋C >180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A ＝B ＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A ，B ，C 中有两个直角，不妨设A ＝B ＝90°，正确顺序的序号为

( )

A ．①②③

B ．①③②

C ．②③①

D ．③①②

【解析】 根据反证法的步骤，应该是先提出假设，再推出矛盾，最后否定假设，从而肯定结论．

【答案】 D

二、填空题

6．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是__________________．

【解析】 “至少有一个”的否定是“没有一个”．

【答案】 任意多面体的面没有一个是三角形或四边形或五边形

7．用反证法证明命题“如果a >b ，那么3a >3b ”时，假设的内容应是________．

【解析】 3a 与3b 的关系有三种情况：3a >3b ，3a ＝3b 和3a <3b ，所以“3a >3b ”

的反设应为“3a ＝3b 或3a <3b ”．

【答案】 3a ＝3b 或3a <3b

8．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＝1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2. 其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．

【解析】 若a ＝13，b ＝23

，则a ＋b ＝1，但a <1，b <1，故①不能推出．若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②不能推出．

若a ＝－2，b ＝1，则a 2＋b 2>2，故④不能推出．

对于③，即a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1.

反证法：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾，因此假设不成立，故a ，b 中至