网格中的相似三角形

1．已知：如图，网格中的每个小正方形的边长都是1个单位，请在图中画出一个与格点△DEF相似但相似比不等于1的格点三角形．

2．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F．

（1）求证：△ACB∽△DCE；

（2）求证：EF⊥AB．

3．已知：Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示，P（3，4）为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分．

问：点C在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△OAB相似（注：在图上画出所有符合要求的线段PC，并求出相应的点C的坐标）．

4．如图，在正方形网格上有△ABC和△DEF．

（1）这两个三角形相似吗？为什么？

（2）求∠A的度数；

（3）在右边的网格再画一个三角形，使它与△ABC相似，并求出其相似比．

5．如图所示，△ABC和△A1B1C1在边长为1的正方形网格中，请判断△ABC与△A1B1C1是否相似，请说明理由．

6．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：

（1）试证明三角形△ABC为直角三角形；

（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；

（3）画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC相似（要求：不写作法与证明）．

初三《相似三角形》知识点总结

相似三角形知识点总结知识点1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。如△ABC 与△A /B /C /相似，记作: △ABC ∽△A /B /C / 。相似三角形的比叫相似比相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。注意：（1）相似比是有顺序的。（2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。（3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若△ABC ∽△A /B /C /，相似比为k ，则△A /B /C /与△ABC 的相似比是1 k 知识点2、相似三角形与全等三角形的关系（1）两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。（2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。（3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。知识点3、平行线分线段成比例定理 1. 比例线段的有关概念：在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2 =AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质： a b c d ad bc =?= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d =?= ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知l1∥l2∥l3, A D l1 B E l2 C F l3 可得 EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或等.

相似三角形知识点梳理

相似三角形知识点大总结知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念（1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是 n m b a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。（2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a d c b =． ②()a c a b c d b d ==在比例式：：中， a 、d 叫比例外项， b 、 c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、 d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项，此时有2 b ad =。（3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =?，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，（4）其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即AC BC AB AC == 简记为：1 2 长短＝＝全长注：黄金三角形：顶角是360 的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1）基本性质： ①bc ad d c b a =?=::；②2 ::a b b c b a c =?=?．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2）更比性质(交换比例的内项或外项)： ()() ()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=?? ?=??，交换内项，交换外项．同时交换内外项（3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b d a c =?=．（4）合、分比性质：a c a b c d b d b d ±±=?=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间

2018年中考专题相似三角形

2018中考数学专题相似形（共40题） 1．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．（1）求证：BD=CE；（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，求PB的长； 2．如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F．（1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE；（2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC；②AG2=AF?AC． 3．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求的值． 4．如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交CD于G．（1）求证：BG=DE；（2）若点G为CD的中点，求的值．

5．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE⊥BF于点M，求证：AE=BF；（2）如图2，将（1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE⊥BF于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论． 6．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．（1）证明：∠BDC=∠PDC；（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长． 7．△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC 的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的长．

相似三角形真题(难)

学科教师辅导讲义学员编号：年级：课时数：3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师：学科组长签名及日期教务长签名及日期课题相似三角形真题训练授课时间：备课时间：教学目标1、学生通过探索实际问题来体验测量中对相似三角形有关知识的应用。 2、经历应用相似三角形的有关知识去解决简单的实际问题的全过程。重点、难点1 引导学生根据题意构建出相似三角形模型，从而可以把实际问题转化为纯数学问题来解决。 2 面对已设计出来的测量方案，应注意在实际操作中所出现的错误。通过审题、思考后，如何在实际问题中抽象出相似三角形的模型。考点及考试要求相似三角形的判定和性质应用，三角形中比例线段比例关系寻找教学内容一、知识点梳理：相似三角形的判定：（1）、相似三角形的判定方法判定方法1 ∵___________ ∴△ABC∽△ADE 判定方法2 ∵________________ ∴△ABC∽△A，B，C，判定方法3 ∵_____________，∠B=∠B，∴△ABC∽△A，B，C，

判定方法 4 ∵___________，__________ ∴△ABC ∽△A ，B ，C ，（2）、直角三角形的判定定理：（3）、相似三角形的基本图形：相似三角形的判定① 1、已知两数4和8，试写出第三个数，使这三个数中，其中一个数是其余两数的比例中项，第三个数是 (只需写出一个即可). 2、在△ABC 中，AB=8，AC=6，点D 在AC 上，且AD=2，若要在AB 上找一点E ，使△ADE 与原三角形相似，那么AE= 。 3、如图，在△ABC 中，点D 在AB 上，请再添一个适当的条件，使△ADC ∽△ACB ，那么可添加的条件是 4、已知D 、E 分别是ΔABC 的边AB 、AC 上的点，请你添加一个条件，使 ΔABC 与ΔAED 相似. (只需添加一个你认为适当的条件即可). 5、下列说法：①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有等腰直角三角形都相似；④所有的直角三角形都相似.，其中正确的是 6、如图，在直角坐标系中有两点A(4,0)、B(0,2)，如果点C 在x 轴上(C 与A 不重合)，当点C 的坐标为或时，使得由点B 、O 、C 组成的三角形与ΔAOB 相似(至少写出两个满足条件的点的坐标). 7、下列命题中正确的是（） ①三边对应成比例的两个三角形相似 ②二边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似 ③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似 ④一个角对应相等的两个等腰三角形相似 A 、①③ B 、①④ C 、①②④ D 、①③④ 8、如图，已知D E ∥BC ，E F ∥AB ，则下列比例式中错误的是（） A AC AE AB AD = B FB EA CF CE = C BD AD BC DE = D CB CF AB EF = 9、如图，D 、E 分别是AB 、AC 上两点，CD 与BE 相交于点O ，下列条件中不能使ΔABE 和ΔACD 相似的是（）

初三数学《相似三角形》知识点归纳

初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理（一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段的比是，或写成a ：b=m ：n ；其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:b c a d d c b a =?= 2. 合比：若，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 则 …………a c e m b d f n a b m n k ++++++++=== 4、黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=2 1 5-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ，语言描述如下： = ， = ， = . （4）上述结论也适合下列情况的图形： n m b a =

相似三角形中的射影定理-精选.

相似三角形 ——相似直角三角形及射影定理【知识要点】 1、直角三角形的性质：（1）直角三角形的两个锐角（2）Rt△ABC中，∠C=90o，则2+ 2= 2 （3）直角三角形的斜边上的中线长等于（4）等腰直角三角形的两个锐角都是，且三边长的比值为（5）有一个锐角为30o的直角三角形，30o所对的直角边长等于，且三边长的比值为 2、直角三角形相似的判定定理（只能用于选择填空题）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 3、双垂直型： Rt△ABC中，∠C=90o，CD⊥AB于D，则 ①∽∽ ②射影定理： CD2= ·AC2= ·BC2= · 【常规题型】 1、已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，S△ABC=20，AB=10。求AD、BD的长. 2、已知，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D。（1）若AD=8，BD=2，求AC的长。（2）若AC=12，BC=16，求CD、AD的长。 B A

【典型例题】例1．如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，AM 是BC 边的中线，CN ⊥AM 于N 点，连接BN ，求证：BM 2=MN ·AM 。例2．已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90o，DF ⊥AC 于E ，且与AB 的延长线相交于F ，与BC 相交于G 。求证：AD 2=AB ·AF 例3．（1）已知ABC ?中，?=∠90ACB ，AB CD ⊥，垂足为D ，DE 、DF 分别是BDC ADC ??和的高，这时CAB DEF ??和是否相似？【拓展练习】 1、已知：如图，AD 是△ABC 的高，BE ⊥AB ，AE 交BC 于点F ，AB ·AC=AD ·AE 。求证：△BEF ∽△ACF A B A B C N D C

初中数学相似三角形知识库平行线分线段成比例经典例题与变式练习(精选题目)

平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理及其推论 1. 平行线分线段成比例定理如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则 BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB AC DE DF = . l 3 l 2l 1F E D C B A 2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则 AD AE DE AB AC BC == A B C D E E D C B A 3. 平行的判定定理：如上图，如果有 BC DE AC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。

专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。 E D C B A 【例2】如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111 c a b =+. F E D C B A 【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和 BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明： 111 AB CD EF += . F E D C B A 【巩固】如图，找出ABD S ?、BED S ?、BCD S ?之间的关系，并证明你的结论. F E D C B A 【例3】如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作

EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。 O F E D C B A 【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。 Q P F E D C B A 专题二、定理及推论与中点有关的问题【例4】（2007年北师大附中期末试题）（1）如图（1），在ABC ?中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14 AE AB =，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则 BC CD =_______. （2）如图（2），已知ABC ?中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EF AF FC FD + 的值为（） A.5 2 B.1 C.32 D.2 (1) M E D C B A (2) F E D C B A 【例5】（2001年河北省中考试题）如图，在ABC ?中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O . （1）当 1A 2AE C =时，求 AO AD 的值； E A O

相似三角形的比例关系及相似三角形证明的变式

相似三角形的比例关系及相似三角形证明的变式【知识疏理】一，相似三角形边长比，和周长比以及面积比的关系！若两个相似三角形的对应角的平分线之比是1∶2，则这两个三角形的对应高线之比是---------，对应中线之比是------------，周长之比是---------，面积之比是-------------，若两个相似三角形的面积之比是1∶2，则这两个三角形的对应的角平分线之比是----------，对应边上的高线之比是-------- 对应边上的中线之比是----------，周长之比是--------------。二，相似三角形证明的变式 1，相似三角形当中常以乘积的形式出现，如：例1、已知：如图1，BE 、DC 交于点A ，∠E=∠C 。求证：DA ·AC=BA ·AE 图2 题目比较简单，学生独立完成，启发学生总结：①本题找对应角的特殊方法是对顶角相等；②要想证明乘积式或比例式，应先证明三角形相似。 2，对特殊图形的认识例2、已知：如图3，Rt △ABC 中，∠ABC=90o，BD ⊥AC 于点D 。图3 （1）图中有几个直角三角形？它们相似吗？为什么？（2）用语言叙述第（1）题的结论。（3）写出相似三角形对应边成比例的表达式。总结：（1）有一对锐角相等的两个直角三角形相似；（2）本题找对应角的方法是公共角及同角的余角相等； A B C A'B'C'图（4）图1 B A C

双垂直图形中的BD 2=AD ·CD ，AB 2=AD ·AC ，BC 2=CD ·CA ，BC ·AB=AC ·BD 等结论很重要，它们在计算、证明中应用很普遍，但需先证明两个三角形相似得到结论，再加以应用。在此基础上，将双垂直图形转化为“公边共角”，讨论、探究， A B C 得到结论：由公边共角的两个相似三角形中，公边是两个三角形中落在一条直线上的两边的比例中项，即若△ABD ∽△ACB ，则AB 2=AD ·AC 。【课堂检测】一选择题 1、一个三角形的三边长为5，5，6，与它相似的三角形最长边为10，则后一个三角形的面积为（） A 、3100 B 、20 C 、54 D 、25 108 2、如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，如果S △ODC ：S △BDC =1：3，那么S △ODC ：S △ABC 的值是（） A 、 51 B 、61 C 、71 D 、9 1 D C ＡＤ O Ｐ A B ＢＣ（第2题图）（第4题图） 3、已知一个梯形被一条对角线分成两个相似三角形，如果两腰的比是1：4，则两底的比是（） A 、1：2 B 、1：4 C 、1：8 D 、1：16 4、已知，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=900，对角线AC ⊥BD ，垂足为P ，已知AD ：BC=3：4，则BD ：AC 的值是（）Ａ、3：２Ｂ、２：３Ｃ、3：３Ｄ、３：４ 5、如图，已知：∠BAO=∠CAE=∠DCB ，则下列关系式中正确的是（） A 、AE BC AD A B = B 、AD B C AE AC = C 、AE BC DE AB = D 、AD AB AE AC =

九年级相似三角形知识点总结及例题讲解

相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似 1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。 2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。 ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。 ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形． 3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1. 知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ： n （或 n m b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如d c b a = 4、比例外项：在比例 d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。 5、比例项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例项。 6、第四比例项：在比例 d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。 7、比例中项：如果比例中两个比例项相等，即比例为 a b b a =（或a:b ＝b: c 时，我们把b 叫做a 和 d 的比例中项。

中考数学专题复习——相似三角形(通用).doc

中考专题复习——相似三角形一. 选择题 1. （山东省潍坊市）如图 ,Rt △ABAC 中 ,AB ⊥AC,AB=3,AC=4,P 是 BC 边上一点 , 作 PE ⊥AB 于 E,PD ⊥ AC 于 D,设 BP=x,则 PD+PE=（） A. x 3B. 4 x C. 7 D. 12x 12x 2 5 5 2 5 25 A D C E P B 2。( 乐山市 ) 如图（ 2），小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在离网 6 米的位置上，则球拍击球的高度 h 为（） A 、 8 B 、 1 C 、 4 D 、 8 15 3 5 h 米 0.8 米 6 米 4 米 3．（2020 湖南常德市）如图 3，已知等边三角形 ABC 的边长为 2，DE 是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE=1，（ 2）AB 边上的高为 3 ，（ 3）△ CDE ∽△ CAB ，（ 4）△ CDE 的面积与△ CAB 面积之比为 1：4. 其中正确的有（） A ．1 个 B ． 2 个 C ．3 个 D ． 4 个

C D E A B 图3 4.(2020 山东济宁 ) 如图，丁轩同学在晚上由路灯AC 走向路灯BD ，当他走到点P 时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC 的底部，当他向前再步行20m 到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯 BD 的底部，已知丁轩同学的身高是 1.5m，两个路灯的高度都是 9m，则两路灯之间的距离是（）D A．24m B．25m C．28m D．30m 5. （ 2020 江西南昌）下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（）B A ．B．C．D． 6.(2020重庆)若△ ABC∽△DEF，△ ABC与△ DEF的相似比为2︰3，则 S△ABC︰S△DEF 为（） A、2∶3 B、4∶9 C、 2 ∶3 D、3∶2 7.(2020 湖南长沙 ) 在同一时刻，身高 1.6 米的小强在阳光下的影长为0.8 米，一棵大树的影长为 4.8 米，则树的高度为（） C A、4.8 米 B、 6.4 米 C、9.6 米 D、10 米 8．（ 2020 江苏南京）小刚身高 1.7m，测得他站立在阳关下的影子长为 0.85m。紧

中考“网格”中的相似三角形问题

中考“网格”中的相似三角形问题所谓网格中的形似三角形就是在正方形的网格中寻找三角形相似的问题.这类问题是近年来全国各地中考的一个热点和亮点，试题的特点主要是以用勾股定理等知识计算三角形的边长，再加上正方形的对角线形成的特殊角，要求能从正方形网格中挖掘出条件，灵活运用相似三角形的性质与判定解决问题.目的是要考查同学们的观察、猜想、探究问题的能力，为了帮助同学们掌握这一知识点，现以中考试题为例说明如下：例1 如图1，小正方形的边长均为1，则下图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的为（）分析先利用勾股定理求出△ABC 、2 ，再分别求出选择支中三角形的三边的长，然后分别求出对应边长的比. 解由于正方形边长均为1，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝2，AB ＝10；图A 中三角形三边长为1 22，而与△ABC ，2 显然它们不相等；图B 中三角形三边长为1，2 ABC ＝ 2 ， 2 2 ，故对应边的比相等；同样的道理可以得出在图C 和图D 中的两个三角形三边分别与△ABC 三边的比不相等.故选B . 例 2 如图2，若A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、O 都是5×7方格纸中的格点，为使△DME ∽△ABC ，则点M 应是F 、G 、H 、O 四点中的（） A.F B.G C.H D.O 分析若△DME ∽△ABC ，△ABC 又是一个等腰直角三角形，故△DME 也应是等腰直角三角形，这样观察图中F 、G 、H 、O 四点与D 、E 两点的位置关系即可求解. 解因为△ABC 是一个等腰直角三角形，所以要使△DME ∽△ABC ，△DME 也必须是一个等腰直角三角形，所以观察图中F 、G 、H 、O 四点与D 、E 两点的位置关系只有点H 能与D 、E 两点构成等腰直角三角形.故应选C . 图4 图2 图1 图3

第27章.相似——专训2：巧作平行线构造相似三角形

第27章.相似——专训2：巧作平行线构造相似三角形名师点金：解题时，往往会遇到要证的问题与相似三角形联系不上或者说图中根本不存在相似三角形的情况，做平行线构造相似三角形是这类几何证明题的一种重要方法．常作的平行线有以下几种：(1)由比例式作平行线；(2)有中点时，作中位线；(3)根据比例式，构造相似三角形．巧连线段的中点构造相似三角形 1．如图，在△ABC 中，E ，F 是边BC 上的两个三等分点，D 是AC 的中点，BD 分别交AE ，AF 于点P ，Q ，求BP ：PQ ： QD. (第1题 ) 过顶点作平行线构造相似三角形 2．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，F 为底边AB 上一点，BF ：AF ＝3：2，取CF 的中点D ，连接AD 并延长交BC 于点E ，求BE EC 的值． (第2题) 3.如图，已知△ABC 中，AD 为BC 边上中线，过C 任作一条直线交AD 于E ，交AB 于F ，求证：AE ：ED=2AF ：FB ． (第3题 ) 过一边上的点作平行线构造相似三角形 4．如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，在边AB 上取一点D ，在AC 上取一点E ，使AD ＝AE ，直线DE 和BC 的延长线交于点P.求证：BP CP ＝BD EC . (第4题 ) 过一点作平行线构造相似三角形 5．如图，在△ABC 中，点M 为AC 边的中点，点E 为AB 上一点，且AE ＝1 4 AB ，连接EM 并延长交BC 的延长线于点D.求证：BC ＝2CD. 作辅助线的方法一： (第5题①) 作辅助线的方法二： (第5题②) 作辅助线的方法三： (第5题③) 作辅助线的方法四： (第5题④)

北师大版九年级数学上相似三角形

一对一教案

三、主要练习：【知识点】：相似多边形定义：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形可以用符号“∽”表示，读作“相似于”。在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。相似多边形对应边的比叫做相似比。【例题】： 1．以下五个命题：①所有的正方形都相似；②所有的矩形都相似；③所有的三角形都相似；④所有的等腰直角三角形都相似；⑤所有的正五边形都相似．其中正确的命题有_______． 2、若五边形ABCDE∽五边形MNOPQ ，且AB=12，MN=6，AE=7，则MQ= ． 3、矩形ABCD 与矩形EFGH 中，AB=4，BC=2，EF=2，FG=1，则矩形ABCD 与矩形EFGH 相似(填“一定”或“不一定”) 4、如图，在□ABCD 中，AB//EF ，若AB = 1，AD = 2，AE= 2 1 AB ，则□ABFE 与□BCDA 相似吗?说明理由．【课堂练习】： 1．下面图形是相似形的为 ( ) A ．所有矩形 B ．所有正方形 C ．所有菱形 D ．所有平行四边形 2．下列说法正确的是 ( ) A ．对应边成比例的多边形都相似 B ．四个角对应相等的梯形都相似 C ．有一个角相等的两个菱形相似 D ．有一个锐角相等的两个等腰三角形相似 3．□ABCD 与□ EFGH 中，AB = 4，BC = 2，EF = 2，FG=1，则□ABCD 与□ EFGH 相似(填“一定”或“不一定”) 4.如图，等腰梯形ABCD 与等腰梯形A′B′C′D′相似，∠A′=65°，A′B′=6 cm， AB=8 cm ， AD=5 cm ，试求梯形ABCD 的各角的度数与A′D′， B′C′的长． F E D C B A

格点相似三角形

格点相似三角形在方格纸中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，以网格为背景的相似三角形问题，在中考试题中时有出现．解决格点三角形相似问题，要依据网格的特征，并结合相似三角形的有关判定方法去思考．例1（安徽省）如图1是一个10×10格点正方形组成的网格．△ABC是格点三角形（顶点在网格交点处），请你完成下面两个问题: 在图2中画出与△ABC相似的格点△ABC和△ABC，且△ABC与△ABC的相似121121112 2．ABC 的相似比是△ABC与△比是2，2222 析解：要作与△ABC相似的三角形，首先找到△ABC的特征，AB=BC=2，∠B=90°，因为△ABC与△ABC的相似比是2，所以AB=BC=4，∠B=90°；因为△ABC与△ABC21121111211 2AB?BC?2，∠B=90°．所作的三角形如图2的相似比是所示．．所以22222评注：作已知三角形的相似三角形的关键是确定已知三角形的特征，根据条件找到要作三角形的对应特征．本题也可以从三边对应成比例考虑作相似三角

形． DEF△ABC和4×4的正方形方格中，△，例2（台州市）如图3在1的小正方形的顶点上．的顶点都在边长为=_____；=_____°，BC（1）填空：∠ABC 是否相似，并说明你的结论．△DEFABC（2）判断△与析解：本题是一道和网格有关的相似三角形探索题．以，EBC，ABE知形察，度ABC角）（1求∠的数观图可∠=90°∠=45°所- 1 - ∠ABC=90°+45°=135°； 22?2?2BC?22．根据网格的特征，利用勾股定理可得（2）要判断△ABC和△DEF是否相似，则应根据三角形相似的判定方法，从对应边ABBC ??2，所，以为∠ABC =∠DEF = 135°入比成例，对应角相等手．因DEEF△ABC ∽△DEF．评注：说明网格中的三角形相似，一般根据三边对应成比例，或

相似三角形详细讲义

知识梳理相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注意： ①对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边． ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的． ③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．相似三角形的基本定理定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：用数学语言表述是：

BC DE // ， ADE ∽ABC ．相似三角形的等价关系 (1)反身性：对于任一ABC 有ABC ∽ABC ． (2)对称性：若ABC ∽'''C B A ，则'''C B A ∽ABC ． (3)传递性：若ABC ∽C B A ''，且C B A ''∽C B A ，则ABC ∽C B A ．三角形相似的判定方法 1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似． 2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似． 3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似． 4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．（在遇到两个三角形的三边都知道的情况优先考虑，把边长分别从小到大排列，然后分别计算他们的比值是否相等来判断是否相似） 6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用． (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． (3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。公式如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则有射影定理如下：（1）（AD ）2=BD ·DC ，（2）（AB ）2=BD ·BC ，（3）（AC ）2=CD ·BC 。证明：在 △BAD 与△ACD 中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠DAC ，又∵∠ BDA=∠ADC=90°，∴△BAD ∽△ACD 相似，∴ AD/BD ＝CD/AD ，即（AD ）2=BD ·DC 。其余类似可证。注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。由公式（2）+（3）得：（AB ）2+（AC ）2=BD ·BC+CD ·BC =（BD+CD)·BC=（BC ）2，即（AB ）2+（AC ）2=（BC ）2。这就是勾股定理的结论。判断相似三角形的几条思路： 1 条件中若有平行线，可采用相似三角形的基本定理 2 条件中如果有一对等角，可再找一对等角（用判定1）或再找夹边成比例。（用判定2）3条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等（直角可以直接得出相似）4条件中若有一对直角，可考虑在找一对等角或证明斜边，直角边对应成比例。5条件中若

【初三数学专题】相似三角形中的相似模型(二)

模型归纳：已知，如图①②③中：∠B＝∠A C E＝∠D. 结论：△A B C∽△C D E 模型分析：如图①，∵∠ACE＋∠DCE＝∠B＋∠A，又∵∠B＝∠ACE，∴∠DCE＝∠A．∴△ABC∽△CDE．图②③同理可证△ABC∽△CDE． 2.旋转相似模型旋转相似又是啥意思呢？哈哈哈哈哈哈还是来看视频吧模型归纳：如图①，已知DE∥BC，将△ADE绕点A旋转一定的角度，连接BD、CE，得到如图②．结论：△ABD∽△ACE．

模型分析同鞋们，上面的模型我们都学会识别的了吗？下面我们一起进入模型应用哦！！！典例精讲相似模型——共线三等角模型的例题相似模型——旋转模型的例题

专题讲解视频好记性不如烂笔头，快快整理笔记在笔记本上，找题目练练哦！题目已经给你们准备好啦专题小练习 1．如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD ＝60°，BP＝2，CD＝1，则△ABC的边长为（） A．3B．4C．5D．6

2．如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD、CE，若AC：BC＝3：4，则BD：CE为（） 3.如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠CBA＝90°，点E为AB的中点，DE⊥CE．（1）求证：△AED∽△BCE；（2）若AD＝3，BC＝12，求线段DC的长．

4.如图，△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，E在△ABC内， ∠CAE+∠CBE＝90°，连接BF．（1）求证：△CAE∽△CBF．（2）若BE＝1，AE＝2，求CE的长．

【教案】-相似三角形及平行线分线段成比例

27.2.1 相似三角形及平行线分线段成比例一、教学目标：知识目标理解并掌握相似三角形及平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活应用。能力目标通过应用，培养识图能力和推理论证能力。情感态度与价值观（1）、培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值。（2）、在进行探索的活动过程中发展学生的探索发现归纳意识并养成合作交流的习惯。二、重、难点重点：平行线分线段成比例定理和推论及其应用。难点：平行线分线段成比例定理及推论的灵活应用，平行线分线段成比例定理的变式。三、教学过程 1、复习设疑，引入新课内容：教师提问：（1）什么是成比例线段？（2）什么是相似多边形？（3）你能不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比是2:3？目的：（1）复习成比例线段的内容，回顾上节课通过方格纸探究成比例线段性质的过程。（2）通过一个生活中的实例激发学生探究的欲望。效果：学生对不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比是2:3，这一问题很感兴趣，急切想要知道解决办法。 2、小组活动，探究定理探究活动一：内容：如图（1）小方格的边长都是1，直线a ∥b∥ c ,分别交直线m,n 于 A 1，A 2 ，A 3 ，B 1 ，B 2 ，B 3 。

（１）计算 1212 2323 ,A A B B A A B B 你有什么发现？（２）将ｂ向下平移到如下图2的位置，直线ｍ，ｎ与直线ｂ的交点分别为A 2，B 2 。你在问题（１）中发现的结论还成立吗？如果将ｂ平移到其他位置呢？ (图2）（３）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？归纳：平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；目的：让学生通过观察、度量、计算、猜测、验证、推理与交流等数学活动，达到对平行线分线段成比例定理的意会、感悟。效果：学生在以前的学习中，尤其是本章前两节的探究也是通过表格中的多边形来完成的。所以学生有种熟悉感，并不感到困难。 2.议一议：内容：教师提问： 1.如何理解“对应线段”？ 2.平行线分线段成比例定理的符号语言如何表示？ 3.“对应线段”成比例都有哪些表达形式？

相似三角形相似比和面积比之间的关系

1.在△ABC 中，AB =12，AC =10，BC =9，AD 是BC 边上的高.将△ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则△DEF 的周长为( ) A ．9.5 B ．10.5 C ．11 D ．15.5 2.如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 上的点，DE AC ⊥，EF AB ⊥，FD BC ⊥，则DEF △的面积与ABC △的面积之比等于（） A ．1∶3 B ．2∶3 C ．3∶2 D ．3∶3 3.如图，点M 是△ABC 内一点，过点M 分别作直线平行于△ABC 的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC 的面积是 ▲ ． 4 如图，已知平行四边形ABCD 中，E 是AB 边的中点，DE 交AC 于点F ，AC ，DE 把平行四边形A BCD 分成的四部分的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4．下面结论：①只有一对相似三角形；②E F ：ED=1：2；③S 1：S 2：S 3：S 4=1：2：4：5．其中正确的结论是（） A ．①③ B ．③ C ．① D ．①② 5.如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=°，直线EF BD ∥，交AB 于点E ，交AC 于点G ，交AD 于点F ，若13AEG EBCG S S =△四边形，则CF AD = ．[来源:学§科§网]

6．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ，BD 交于点O ，S △AOD ：S △COB =1：9，则S △DOC ：S △BOC = _________ ． 7．如图，在△ABD 中，∠ADB=90°，C 是BD 上一点，若E 、F 分别是AC 、AB 的中点，△DEF 的面积为3.5，则△ABC 的面积为 _________ ． 8．在矩形ABCD 中，E 、F 分别是边AD 、BC 的中点，点G 、H 在DC 边上，且GH=DC ．若AB=10，BC=12，则图中阴影部分的面积为 _________ ． 9.如图，△ABC 是等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC 的面积的。 10．如图，E 是矩形ABCD 的边CD 上的点，BE 交AC 于点O ，已知△COE 与△BOC 的面积分别为2 和8，则四边形AOED 的面积为（） A 、16 B 、32 C 、38 D 、40 A E F D G C B

初三数学《相似三角形》知识点归纳

初三数学《相似三角形》知识提纲（孟老师归纳） :比例的性质及平行线分线段成比例定理（一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比在同一长度单位下两条线段a，b的长度分别为m n，那么就说这两条线段的比是，或写成a：b=m n；其中a叫做比的前项, 项 2：比例尺=图上距离/实际距离 b叫做比的后 3:成比例线段：在四条线段a, b, c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：b =—（或a：b=c：d） a c ①线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项， ..I.； I , ②线段a叫首项，d叫a，b，c的第四比例项。 ③ 比例中项：若a = b即&卩c,则b是a,c的比例中项. b c （二）比例式的性质 2. 1.比例的基本性质：a=c二ad=bc b d 合比：若-，则U =□或―a J b d b d b±a d±c 3?等比：若m k (右b d f .................... n = 0) n 则ace…… m =3 =巴* b d f .......................... n b n 4、黄金分割：把线段AB分成两条线段AC BC（ AC>BC,并且使AC是AB和BC

的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC^^AB 0.618AB, 2 （三）平行线分线段成比例定理 1. 平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 2. 推论:平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例. 如图：当AD// BE// CF时，都可得到 AB _ BC~ 语言描述如下: 上一上上一上 __ ------------------------------ ----------- 、-,二二, DE AB = DE BC = EF睿~七三「三一［一二， 7 7 〔十宀（4）上述结论也适合下列情况的图形: 13 11 12 1 2 3 D E