中国邮递员问题的整数规划模型
第19卷第6期 2010年12月
系统管理学报
Jo ur nal of Sy stems &M anag ement
Vol.19No.6 Dec.2010
文章编号:1005 2542(2010)06 0684 05
中国邮递员问题的整数规划模型
冯俊文
(南京理工大学经济管理学院,南京210094)
摘要 基于无向图的传统中国邮递员问题,给出了相应的显式整数规划模型,应用整数规划软件包求解可以方便地确定相应问题的最优投递路线,进一步地,讨论了一类基于有向图的广义中国邮递员问题,给出了相应的显式整数规划模型;并研究了随机中国邮递员问题,建立了相应的确定型等价模型。举例说明了各种模型的有效性。最后,讨论了中国邮递员问题的可能推广及其建模问题。
关键词:中国邮递员问题;整数规划;最优化模型;赋权图中图分类号:F 224.3 文献标识码:A
Integer Programming Modeling for Chinese Postman Problems
FEN G J un w en
(Scho ol of Econom ics and M anagement,Nanjing U niv ersity of
Science and T echno logy ,N anjing 210094,China)
Abstract As far as the traditional Chinese Postm an Problem (CPP)is concerned,based o n the discus sions in the undirected and directed graphs respectively ,the co rresponding integer pro gramm ing m odels ar e proposed,some numerical ex am ples are g iv en to demo nstr ate the utility o f the models.Further more,the mo dels are ex tended to the case w ith stochastic w eights (the corresponding problem is called Sto chastic Chinese Postm an Problem).Finally,some possible generalizations o f the Chinese Postm an Problem ar e discussed briefly.
Key words:chinese po stman problem ;integ er prog ramming;optim al model;w eighted g raph 收稿日期:2009 08 07 修订日期:2010 01 25基金项目:国家自然科学基金资助项目(79870030)
作者简介:冯俊文(1960 ),男,教授,博士生导师。研究方向为
管理决策分析。E mail:feng junw en8@h otm https://www.360docs.net/doc/be4511958.html,
关于邮递员最优投递路线问题最早是由管梅谷[1]首先提出并进行研究的,国际上现在统称之为中国邮递员问题。管梅谷给出了这一问题的奇偶点图上作业法。Edmonds 等
[2]
给出了中国邮递员问
题的改进算法,较前者的计算更为有效。管梅谷
[3]
对有关中国邮递员问题的研究情况进行了综述。
早期关于中国邮递员问题的讨论总是基于无向图展开的,事实上,由于单行线或上下行路线的坡度等原因,这一问题有时必须借助于有向图来进行研究和解决。到目前为止,对中国邮递员问题的研究
主要是从图论角度展开的,给出的多数都是各种启发式算法或递推算法[4 12]。本文从数学规划的角度进行研究。数学规划建模具有借助软件包求解方便、易于修改和推广等多方面的优点,即使对于大型问题也易于建模分析和解决的优点。
1 传统中国邮递员问题的建模
传统的中国邮递员问题可以概述如下:一个邮
递员每次送信要从其所在的邮局出发,走遍所负责投递范围内的每条街道,完成送信任务后回到原来的邮局,应该选择怎样的路线行走,才能使得所走的总路程数最小。把该问题抽象成图论问题就是给定一个连通图G(V,E ),其中:V ={V 1,V 2,!,V n }是顶点的集合,表示街道交汇的地方;E 是顶点间边的
集合,表示街道,即E={e ij=(V i,V j);顶点V i与
V j间有边e ij},每个边e ij?E上有非负权重w(e ij) =w(V i,V j),表示边即街道的长度。问题是要确定G的一个子图(是一个圈),它过每条边至少1次,而且使得该圈的总权(即图上各边的和)最小。
从图论知识[13 14]知,若G不含有奇点(即相邻边的个数为奇数),则G有圈,它过每边1次且仅仅1次,所以这个圈就是所要求的圈。若G含有奇点(即相邻边的个数为奇数),则G的任一过每边至少1次的圈,必在某些边上通过多于1次。若在边e 上通过了k次,设e ij=(V i,V j),就在V i与V j之间添加k-1条新边,并令这些条新边的权都等于边e ij的权,称这些新边为e ij的添加边。显然,若边e上的添加边多余1条,那么去掉其中偶数条后,得到的图中任一过每边至少1次的圈的总权不会增大。因此可以假定每边上添加边的个数至多1条。这样,寻找邮递员最优投递路线的问题就可以归结为如下图论问题:
给定连通图G(V,E),每条边e=(V i,V j)?E 对应的顶点V i和V j之间添加1条边e#=(V j,V i),得到边数双倍于G的另一个连通图G#(V,E#),求E1 E#,E1E使图G1(V,E1)不含奇点且总权?
e?E1
w(e)为最小。
为叙述方便,若e=(V i,V j)?E,则记为e i,j?E 或(i,j),而相应的添加边为e j,i,与边e i,j?E#相对应,设定一0-1整数变量x i,j。若e i,j?E#,即称边是从V i到V j的,或称为弧。这样,就可以把无向图理解为有向图。每个E1惟一对应一组x i,j的值,反之亦然。可以借助变量x i,j(i=1,2,!,n;j=1,2, !,n)来定义最优投递员问题的约束如下:
(1)过每边至少1次且添加边至多1条,E1对应的所有的x i,j的值(称为E1的值系)满足:
对 !e i,j?E, x i,j+x j,i%1
(2)图G1(V,E1)不含奇点,即对于任意一个顶点V i,有进向弧,必有与之等量的出向弧:
?
j&i
x j,i-?j&i x i,j=0
这一问题的目标是使得G1(V,E1)的总权最小,即
min ?(i,j)?E#w i,j x i,j
其中,w i,j为边e i,j上的权,w j,i=w i,j。
这样,就得到中国邮递员问题的显式整数规划模型(CPP)如下:
min ?(i,j)?E#w i,j x i,j s.t.
?
j
(j,i)?E#
x j,i-?j
(j,i)?E#
x i,j=0,i=1,2,!,n
x i,j+x j,i%1,!(i,j)?E
x i,j=0或1,!(i,j)?E# 这一模型不仅可以用于求解中国邮递员问题,而且可以确定相应的最优投递路线:如x i,j=1,即表示邮递员应该从V i沿着边(即街道)e ij到V j。
2 广义中国邮递员问题及其建模
上节所述的邮递员问题,假定了邮递员投递范围内的每条街道的上行和下行是无差别的,而在实际信件的投递过程中可能不是这样的,如遇到单行线街道、街道有一定的坡度、街道两边不能单行中同时投递等。这样的邮递员问题称之为广义的中国邮递员问题。这一广义的中国邮递员问题可以抽象为一个有向图问题。
类似于前面所述的邮递员问题(称为传统的中国邮递员问题),广义的邮递员问题可以叙述为:给定一个连通有向图G(V,E),每个弧e上有非负权w(e),需要寻找G的一个回路,它过每个弧至少1次,且使得总权为最小。
对于广义的中国邮递员问题,添加弧的个数至多1条有时已经不再可行,即需要多条添加弧,才能使对应的连通有向图G的任一顶点的进向弧数与出向弧数相同,从而使G#(V,E#)存在回路(E回路)。在此,如e=(V i,V j)?E,则称弧e是顶点V j 的进向弧,同时也是顶点V i的出向弧。可以证明,如G(V,E)的顶点数为n,则每条弧上至多增加(n-1)条添加弧,即可实现各顶点的进向弧数与出向弧数相等。
根据以上分析,对于G(V,E)的每条弧e i,j?E 定义一正整数变量x i,j,表示弧e ij上增加了(x i,j-1)条添加弧,由此形成另一个有向图G#(V,E#)。类似于上节的分析,可以有如下广义中国邮递员问题的显式整数规划模型(GCPP):
min ?(i,j)?E w i,j x i,j
s.t.
?
j
(j,i)?E
x j,i-?j
(j,i)?E
x i,j=0,i=1,2,!,n
x i,j=1,2,!,或n,!(i,j)?E 通过这一模型的求解,可以得到广义中国邮递员问题的最优投递路线。
3 数值例示求解
例1 考虑图1所示的中国邮递员问题:
685
第6期冯俊文:中国邮递员问题的整数规划模型
(a)
无向图(b)有向图
图1 传统中国邮递员问题
根据前面的模型讨论,这一数值例示邮递员问题对应的整数规划模型如下:
min2(x1,8+x8,1)+4(x8,7+x7,8)+5(x1,2+x2,1)+ 3(x8,9+x9,8)+3(x6,7+x7,6)+6(x2,9+x9,2)+
4(x9,6+x6,9)+5(x3,2+x2,3)+4(x9,4+x4,9)+
4(x5,6+x6,5)+9(x3,4+x4,3)+4(x4,5+x5,4)
s.t.
x2,1+x8,1-x1,2-x1,8=0
x1,2+x9,2+x3,2-x2,1-x2,9-x2,3=0
x2,3+x4,3-x3,2-x3,4=0
x3,4+x9,4+x5,4-x4,3-x4,9-x4,5=0
x6,5+x4,5-x5,6-x5,4=0
x7,6+x9,6+x5,6-x6,7-x6,9-x6,5=0
x6,7+x8,
7-x7,6-x7,8=0
x1,8+x7,8+x9,8-x8,1-x8,7-x8,9=0
x2,9+x4,9+x6,9+x8,9-x9,2-
x9,4-x9,6-x9,8=0
x1,8+x8,1%1, x8,7+x7,8%1
x1,2+x2,1%1, x8,9+x9,8%1
x6,7+x7,6%1, x2,9+x9,2%1
x9,6+x6,9%1, x2,3+x3,2%1
x9,4+x4,9%1, x5,6+x6,5%1
x3,4+x4,3%1, x4,5+x5,4%1, x i,j=0或1应用整数规划求解工具QSB[14],求解得到这一
问题的最优解,如:x1,2=x2,1=x1,8=x8,1=x8,7= x9,8=x7,6=x2,9=x3,2=x6,9=x4,3=x9,4=x5,6= x6,5=x5,4=x4,5=1,其他x i,j=0,最小权重为68。假定邮局在顶点V1,则有如下最优投递线路:
e1,2?e2,9?e9,8?e8,7?e7,6?e6,5?e5,6?e6,9?e9,4?e4,5?e5,4?e4,3?e3,2?e2,1?e1,8?e8,1
注意,这一问题的最优投递路线不惟一。同理可以求得邮局从任何一顶点出发时的最优投递路线。
例2 考虑图2所示的广义中国邮递员问题。
图2 广义中国邮递员问题
相应的广义中国邮递员问题的整数规划模型如下:
min2x1,2+8x1,4+x3,1+6x2,4+7x4,3+x2,5+ 5x5,4+x6,4+2x7,2+9x3,7+4x6,7+3x6,5+
2x8,5+x5,9+6x9,6+3x7,9+x7,10+x10,9+
7x9,8+9x8,11+2x11,9+4x10,11
s.t.
x3,1-x1,2-x1,4=0
x1,2-x2,4-x2,5=0
x4,3-x3,1-x3,7=0
x1,4+x2,4+x5,4+x6,4+x7,4-x4,3=0
x2,5+x8,5+x6,5-x5,4-x5,9=0
x9,6-x6,5-x6,4-x6,7=0
x6,7+x3,7-x7,4-x7,9-x7,10=0
x9,8-x8,5-x8,11=0
x5,9+x10,9+x11,9+x7,9-x9,6-x9,8=0
x7,10-x10,9-x10,11=0
x10,11+x8,11-x11,9=0
x i,j=1,2,!,或10
应用相同的整数规划求解软件,求解这一模型得到下列最优解:
x1,2=2,x1,4=1,x3,1=3,x2,4=1,x4,3=5 x2,5=1,x5,4=1,x6,4=1,x7,4=1,x3,7=2 x6,7=2,x6,5=1,x8,5=1,x5,9=2,x9,6=4 x7,9=1,x7,10=2,x10,9=1,x9,8=2,x8,11=1 x11,9=2,x10,11=1
最小权重为159。假定邮局在顶点V1,则有如下投递路线:
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e1,2?e2,4?e4,3?e3,1?e1,4?e4,3?e3,1?e1,2?e2,5?e5,4?e4,3?e3,7?e7,10?e10,11?e11,9?e9,8?e8,11?e11,9?e9,6?e6,5?e5,9?e9,8?e8,5?e5,9?e9,6?e6,7?e7,9?e9,6?e6,4?e4,3?e3,7?e7,10?e10,9?e9,6?e6,7?e7,4?e4,3?e3,1
这是一个回路。类似可以确定邮局在任一顶点时的最佳投递路线。这一最优投递路线是根据模型的最优解,采用类似接龙游戏的方法找出的。这里需要注意的是,如某x i,j的值大于1,意味着该弧要重复走。所有x i,j的和应等于所走的所有街道数(包括重复走的)。
4 随机中国邮递员问题及其建模
上述讨论的传统的和广义的中国邮递员问题都假定与边或弧相联系的权重是确定型的常数。实际中经常遇到权重非固定的情况,如考虑的权重是该街道上所花费的投递时间,这一参数往往不是常数,每次投递所花费的时间会由于邮件量的多少而变动,但一般会遵循某种变化形式,即权重是具有某种分布的随机变量,这时可以称对应的问题为随机中国邮递员问题。处理传统中国邮递员问题的奇偶点图上作业法[1]及其改进算法[2]对这一随机问题都无能为力,但借助于本文建立的整数规划模型,应用随机规划理论[16 18],可以很方便地进行处理。
随机问题的处理方法有多种,如期望值法、机会约束法、最优值分布法、相关机会约束法、多阶段(如两阶段)法。本文在此处仅讨论机会约束法,其核心是概率约束条件的确定型等价处理。其他方法可以按照随机规划理论类似处理,在此略去。
注意到,CPP或GCPP的约束中都不含有权重参数,因此,处理权重随机的问题只需要将目标函数做相应的确定型等价处理即可。权重随机时,目标函数也是随机变量,根据随机规划理论,随机的CPP问题可以转化为如下2个确定型等价模型[17]: 1 CPP( ) min w
s.t.
P?(i,j)?E#w i,j x i,j(w%
CPP的约束条件
2 CPP(w) max
s.t.
P?(i,j)?E#w i,j x i,j(w%
CPP的约束条件
其中,1 CPP( )指对固定的 求解x i,j以及权重w。而2 CPP(w)指对固定的权重w求解x i,j和 。此处,称 为权重w的可行度,w为总权重的希望水平。如果诸权重均服从正态分布而且相互独立, w i,j服从N( i,j,2i,j),则1 CPP( )和2 CPP(w)分别等价于下列2个数学规划:
1 NCPP( )
min w
s.t.
w-?(i,j)?E# i,j x i,j-F-1( )?(i,j)?E#2i,j x2i,j%0
CPP的约束条件
2 NCPP(w)
max
s.t.
w-?(i,j)?E# i,j x i,j-F-1( )?(i,j)?E#2i,j x2i,j%0
CPP的约束条件
其中:F(X)为标准正态累积分布函数;F-1(y)为其逆函数。进一步地,可分别等价于如下2个数学规划问题:
1 NCPP( )#
min ?(i,j)?E# i,j x i,j+F-1( )?(i,j)?E#2i,j x2i,j=w s.t.CPP的约束条件
2 NCPP(w)# max
w-?(i,j)?E# i,j x i,j
?
(i,j)?E#
2
i,j x2i,j
=F-1( )
s.t.CPP的约束条件
其中,注意到F-1( )是 的单调递增函数。
对于其他类型的随机问题也可以类似地进行分析。注意上述规划是非线性的,因此需要借助非线性整数规划的求解工具和软件或两阶段法[18]进行求解,大型问题也可以借助于现代智能优化算法进行求解[19]。
对于广义中国邮递员问题也可以类似讨论相应的随机问题,在此从略。
5 结 语
本文基于传统的中国邮递员问题,建立了这一问题的显式整数规划模型,并将之推广到基于赋权有向图的广义邮递员问题和权重不确定的随机邮递员问题。另外的推广是考虑权重是模糊型或灰色型、粗糙型、信度型的中国邮递员问题,根据相应的不确定性内涵,对于目标函数进行相应的确定型转化。
本文讨论的是单目标问题,如果考虑多目标中国邮递员问题,数学规划灵活、机动、易于修正和变形的特点,可以用来非常方便地处理这一可能的拓展问题。
687
第6期冯俊文:中国邮递员问题的整数规划模型
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下期发表论文摘要预报
考虑战略顾客行为时的两阶段报童模型
黄 松, 杨 超, 张 曦
(华中科技大学管理学院,武汉430074)
摘 要:在季节性产品销售环境下,考虑由一个零售商和可以无限细分的顾客群体组成的两级供应链系统,研究了
考虑战略顾客行为时两阶段报童模型的库存与定价决策问题。传统的两阶段报童模型没有考虑战略顾客行为对
于零售商的库存和定价决策的影响,实际上顾客在购买时将会考虑产品在销售期内完整的价格路径,以最大化期
望效用为目标确定最优购买时机,而零售商则以最大化期望收益为目标确定最优订货数量和设定价格路径。引入
理性预期均衡分析,研究了零售商和战略顾客双方同时行动静态博弈时的理性预期均衡解,并进一步分析了零售
商承诺销售价格不变时的理性预期均衡解,最后,通过两组数值算例对模型进行了说明。
688系 统 管 理 学 报第19卷
整数规划的两种数学模型解法
规划模型求解 指导老师： 组员： 组员分工 实际的内容： 1·简要介绍线性规划的历史 线性规划是运筹学中最基本、应用最广泛的分支。规划模型是一类有着广泛应用的确定性的系统优化模型，1939年，苏联数学家康托洛维奇出版《生产组织和计划中的数学方法》一书. 1947年，美国数学家丹兹格提出了线性规划问题的单纯形求解方法. 1951年，美国经济学家库普曼斯（J.C.Koopmans,1910—1985）出版《生产与配置的活动分析》一书. 1950～1956年，线性规划的对偶理论出现. 1960年，丹兹格与沃尔夫（P.Wolfe）建立大规模线性规划问题的分解算法. 1975年，康托洛维奇与库普曼斯因“最优资源配置理论的贡献”荣获诺贝尔经济学奖. 1978年，苏联数学家哈奇扬（L.G.Khachian）提出求解线性规划问题的多项式时间算法（内点算法），具有重要理论意义. 1984年，在美国贝尔实验室工作的印度裔数学家卡玛卡（N.Karmarkar）提出可以有效求解实际线性规划问题的多项式时间算法——Karmarkar算法.
线性规划的基本点就是在满足一定约束条件下，使预定的目标达到最优. 现在线性规划已不仅仅是一种数学理论和方法，而且成了现代化管理的重要手段，是帮助管理者与经营者做出科学决策的一个有效的数学技术. 历史表明，重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学发展的影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡，回顾函数概念的历史发展，看一看 函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分有益的事情，它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且更能帮助我们领悟数学概念 对数学发展，数学学习的巨大作用。 2·线性规划的原理：线性规划是合理利用、调配资源 的一种应用数学方法。它的基本思路就是在满足一定的约束条件下，使预定的目标达到最优。它的研究内容可归纳为两个方面：一是系统的任务已定，如何合理筹划，精细安排，用最少的资源(人力、物力和财力)去实现这个任务；二是资源的数量已定，如何合理利用、调配，使任务完成的最多。前者是求极小，后者是求极大。线性规划是在满足企业内、外部的条件下，实现管理目标和极值(极小值和极大值)问题，就是要以尽少的资源输入来实现更多的社会需要的产品的产出。因此，线性规划是辅助企业“转轨”、“变型”的十分有利的工具，它在辅助企业经营决策、计划优化等方面具有重要的作用。其一般形式为： n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a x c x c x c x f =+++=+++→+++= 2 2222121112121112211min )(
(完整word版)整数规划的数学模型及解的特点
整数规划的数学模型及解的特点 整数规划IP (integer programming)：在许多规划问题中，如果要求一部分或全部决策变量必须取整数。例如，所求的解是机器的台数、人数、车辆船只数等，这样的规划问题称为整数规划，简记IP 。 松弛问题(slack problem)：不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题。 若松弛问题是一个线性规化问题，则该整数规划为整数线性规划(integer linear programming)。 一、整数线性规划数学模型的一般形式 ∑==n j j j x c Z 1 min)max(或 中部分或全部取整数n j n j i j ij x x x m j n i x b x a t s ,...,,...2,1,...,2,10 ),(.211 ==≥=≥≤∑= 整数线性规划问题可以分为以下几种类型 1、纯整数线性规划(pure integer linear programming)：指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划。有时，也称为全整数规划。
2、混合整数线性规划(mixed integer liner programming)：指决策变量中有一部分必须取整数值，另一部分可以不取整数值的整数线性规划。 3、0—1型整数线性规划(zero —one integer liner programming)：指决策变量只能取值0或1的整数线性规划。 1 解整数规划问题 0—1型整数规划 0—1型整数规划是整数规划中的特殊情形，它的变量仅可取值0或1，这时的 ???? ? ????≥≤+≥+≤-+=且为整数0,5210453233max 2121212121x x x x x x x x x x z
中国邮递员模型研究
中国邮递员模型研究 一、 中国邮递员问题概述 著名图论问题之一。邮递员从邮局出发送信，要求对辖区内每条街， 都至少通过一次，再回邮局。在此条件下，怎样选择一条最短路线? 关于邮递员最优投递路线问题最早是由管梅谷首先提出并进行研究的, 国际上现在统称之为中国邮递员问题。管梅谷给出了这一问题的奇偶点图上作业法。Edmonds 等给出了中国邮递员问题的改进算法, 较前者的计算更为有效。管梅谷对有关中国邮递员问题的研究情况进行了综述。早期关于中国邮递员问题的讨论总是基于无向图展开的,事实上,由于单行线或上下行路线的坡度等原因, 这一问题有时必须借助于有向图来进行研究和解决。到目前为止,对中国邮递员问题的研究主要是从图论角度展开的, 给出的多数都是各种启发式算法或递推算法。本文从数学规划的角度进行研究。数学规划建模具有借助软件包求解方便、 易于修改和推广等多方面的优点,即使对于大型问题也易于建模分析和解决的优点。 1、 传统中国邮递员问题的建模 一些基本概念: 定义 经过G 的每条边的迹叫做G 的Euler 迹；闭的Euler 迹叫做Euler 回路或E 回路；含Euler 回路的图叫做Euler 图。 直观地讲，Euler 图就是从一顶点出发每边恰通过一次能回到出发点的那种图，即不重复地行遍所有的边再回到出发点。 定理（i ）G 是Euler 图的充分必要条件是G 连通且每顶点皆偶次。 （ii ）G 是Euler 图的充分必要条件是G 连通且 d i i C G 1==，i C 是圈，
)()()(j i C E C E j i ≠Φ= 。 （iii ）G 中有Euler 迹的充要条件是G 连通且至多有两个奇次点。 问题（管梅谷，1960） ：一位邮递员从邮局出发投递邮件，经过他所管辖的每条街道至少一次，然后回到邮局。请为他选择一条路线，使其所行路程尽可能短。 图论模型：求赋权连通图中含有所有边的权最小的闭途径。这样的闭途径称为最优回路。 思想： （1）若 G 是 Euler 图，则 G 的 Euler 环游便是最优回路，可用 Fleury 算法求得； （2）若 G 不是 Euler 图，则含有所有边的闭途径必须重复经过一些边，最优回路要求重复经过的边的权之和达到最小。闭途径重复经过一些边，实质上可看成给图 G 添加了一些重复边（其权与原边的权相等） ，最终消除了奇度顶点形成一个 Euler 图。因此，在这种情况下求最优回路可分为两步进行：首先给图 G 添加一些重复边得到 Euler 图*G ，使得添加边的权之和()e F w e ∈∑最 小， （其中()()*\F E G E G = ） ；然后用 Fleury 算法求*G 的一条 Euler 环游。这样便得到 G 的最优回路。 问题是：如何给图 G 添加重复边得到 Euler 图*G ，使得添加边的权之和 ()e F w e ∈∑ 最小？ 方法一（图上作业法） 定理1设 C 是一条经过赋权连通图 G 的每条边至少一次的回路，则 C 是 G 的最优回路 当且仅当 C 对应的Euler 图*G 满足： （1）G 的每条边在*G 中至多重复出现一次；
第五章整数规划
第五章 整数规划 主要内容：1、分枝定界法； 2、割平面法； 3、0－1型整数规划； 4、指派问题。 重点与难点：分枝定界法和割平面法的原理、求解方法，0－1型规划模型的建立及求解步骤，用匈牙利法求解指派问题的方法和技巧。 要 求：理解本章内容，熟练掌握求解整数规划的方法和步骤，能够运用这些方法解决实际问题。 §1 问题的提出 要求变量取为整数的线性规划问题，称为整数规则问题（简称IP ）。如果所有的变量都要求为（非负）整数，称之为纯整数规划或全整数规划；如果仅一部分变量要求为整数，称为混合整数规划。 例1 求解下列整数规划问题 211020m ax x x z += ????? ? ?≥≤+≤+为整数2 1212121,0,13522445x x x x x x x x 如果不考虑整数约束，就是一个线性规划问题（称这样的问题为原问题相应的线性规划问题），很容易求得最优解为： 96m ax ,0,8.421===z x x 。
用图解法将结果表示于图中画“+”号的点都是可行的整数解，为满足要求，将等值线向原点 方向移动，当第一次遇到“+”号点（1,421==x x ）时得最优解为1,421==x x ， 最优值为z=90。 由上例可看出，用枚举法是容易想到的，但常常得到最优解比较困难，尤其是遇到变量的取值更多时，就更困难了。下面介绍几种常用解法。 §2 分枝定界法 分枝定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题。基本思路：设有最大化的整数规划问题A ，与之相应的线性规划问题B ，从解B 开始，若其最优解不符合A 的整数条件，那么B 的最优值必是 A 的最优值 * z 的上界，记为 z ；而A 的任意可行解的目标函数值是* z 的一个下界 z ，采 取将B 的可行域分枝的方法，逐步减少z 和增大z ，最终求得*z 。现举例说明： 例2 求解A 219040m ax x x z += ?????? ?≥≤+≤+为整数 21212121,0 ,7020756 79x x x x x x x x 解：先不考虑条件⑤，即解相应的线性规划B （①--④），得最优解 =1x 4.81, =2x 1.82, ① ② ③ ④ ⑤
01型整数规划模型
甲乙公司不合作即竞争下所争取到的不同名专业推广者所建立的不同动态规划模 型的组合方案如下：其中X 为可能竞争到的专业推广者人数，即动态规划模型中第一天的
专业推广者推 广能力的份数，Y 为第二天需要的专业推广者推广能力的份数，即第三天安排从事推广 工作的专业推广者的人数；Z 为第三天需要的专业推广者推广能力的份数，即第三天安排从事推广工作的专业推广者的人数；a 为x 名专业推广者累计从事培训工作出来的兼职推广者的批数（每批20 人），其中，有多种组合方案；甲公司雇佣这些兼职推广者均工作一天，从事推广工作，第二天辞退a ?b 批兼职推广员，其余的b 批继续从事推广工作一天后辞退，即兼职宣传员总共最多雇佣2 天；cost 为花费的成本，即资金的使用数量；F 为不同方案下所达到的总推广效益。上表可以提供给甲公司做决策依据，根据效益的大小甲公司可以决策的目标方向顺序是从①--⑧，即不合作的情况下甲公司可以尽量争取到9 人，如若 不行，考虑争取4 人。 §5.4 0—1型整数规划模型 1、 0—1型整数规划模型概述 整数规划指的是决策变量为非负整数值的一类线性规划，在实际问题的应用中，整数规划模型对应着大量的生产计划或活动安排等决策问题，整数规划的解法主要有分枝定界解法及割平面解法（这里不作介绍，感兴趣的读者可参考相关书籍）。在整数规划问题中，0—1型整数规划则是其中较为特殊的一类情况，它要求决策变量的取值仅为0或1，在实际问题的讨论中，0—1型整数规划模型也对应着大量的最优决策的活动与安排讨论，我们将列举一些模型范例，以说明这个事实。 0—1型整数规划的的数学模型为： 目标函数 n n x c x c x c z M i n M a x +++= 2211)( 约束条件为： ???? ?? ?==≥≤++=≥≤++=≥≤++1 | 0 ) ,() ,() ,(2211222221211 1212111n m n mn m m n n n n x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a , , ,21 这里，0 | 1表示0或1。 2、0—1型整数规划模型的解法
中国邮递员问题各种算法的对比分析报告
附录2 《图论》课程专题论文 论文题目： 中国邮递员问题各种算法的对比分析 班 级： 2008级数学与应用数学 组 长： 马利巍 2011年 12 月 27 日
论文评价指标与鉴定意见
摘要 本文基于无向图的传统中国邮递员问题,给出了相应的显式整数规划模型,进一步讨论了一类基于有向图的广义中国邮递员问题,给出了相应的显式整数规划模型；并研究了随机中国邮递员问题,建立了相应的确定型等价模型。并可以利用奇度数结点的配对来进行求解。根据此思想给出了一种新的求解思路——通过去掉原始图中的偶度数结点并利用最小生成树来确定奇度数结点的配对。提出了“虚拟权值”和“虚拟节点”的概念[]5,给出了中国邮递员问题的一种基于DNA计算的求解算法。新算法首先利用多聚酶链式反应技术来排除非解,从而得到中国邮递员问题的所有可行解；然后,结合基于表面的DNA计算方法与荧光标记等技术,最终从所有可行解中析出最优解。通过各种算法分析比较表明,新算法具有易于解读、编码简单等特点。 关键字：中国邮递员问题整数规划最优化模型奇度数结点最小生成树 DNA计算多聚酶链式反应
Abstract Based on the traditional Chinese to figure without the postman problem,The corresponding display integer programming model，further discussed based on adirected graph of the generalized China the postman problem，the corresponding display integer programming model；And the traditional China the postman problem，established the corresponding equivalent model that can and can use odd degree of nodes to solving matching。According to this thought gives a new method for solving thinking—by removing the original graph of the degree and use the node accidentally minimum spanning tree to determine the degree of the node′s pairing。Put forward the “virtual weights ”and “virtual node ”，given China a postman of DNA computing algorithm is based on。First the new algorithm is more Meilian together to exclude the technology of reaction solution，and then got the postman all feasible solutions to problems；And then，based on the surface with DNAcalculation methods and fluorescent markers，and from all the feasible solution of eventually get the optimal solution。Through the comparison of the algorithm analysis show that the new algorithm is easy to read，code simple features。
中国邮递员问题的EXCEL求解
中国邮递员问题的EXCEL求解 邱家学（中国药科大学商学院） 摘要：借助EXCEL规划求解的功能完成了中国邮递员问题的求解，实现的方法原理简单、操作方便、快捷易行、结果可靠、扩展性强。 关键词：EXCEL规划求解中国邮递员问题 0引言 1962年中国组合数学家管梅谷教授提出了著名的“中国邮递员问题”：一个邮递员从邮局出发，要走完他所管辖的每一条街道，然后返回邮局，那么如何选择一条尽可能短的路线？ 人们对这个问题进行了深入的探讨，提出了许多解决的算法和思路，如文献[1]中的奇偶点图上作业法、文献[2]的DNA计算模型、文献[3]的遗传算法等。EXCEL的规划求解以其特有的功能和特性可以被用来进行中国邮递员问题的求解。 1EXCEL规划求解的准备工作 假设图1就是邮递员需行走的路线图，A结点为邮局，各路径长度标记在相应路径上。 通过对图2所 示的EXCEL工作 表各单元格内容及 其作用的介绍，来 分析采用规划求解 的基本思路。 1.1单元格A 2~C16中存放的是 各路径的始点、终 及长度，如A2：C2 为A、B、6即指A 到B路径长6，余 类推。由于邮递员 可能从两个不同方 向行走同一条路， 故还要构造如图2 单元格A17：C31 所示的反方向路 径，如A17：C17即 为A2：C2所表示 路径的反向路径。 1.2单元格D 2~D31为相应路 径行走次数且为可 变单元格，取值要 大于等于0；如果 等于0即表示相应 路径未被行走，大 于0即表示该路径 行走一次乃至更多 次。单元格E2：E31 为相应可变单元格 与路径长度乘积， E32为所行走路径 的总长度并作为取 值“最小”的目标单元格（希望行走路线尽量短）。 1.3定义每个结点的流入量、流出量和净流出量。结点流入量就是各路径终点为该结点的路径数，结点流出量就是各路径始点为该结点的路径数，结点净流出量为该结点流出量与该结点流入量之差。在实际找寻最短行走路线时，有些路径被选中，有些路径没有被选中，则选中的路径才可以计量其对相应结点的流入量、流出量。以结点C为例，与结点C有关的路径共有12条，而路径CB、AC、CD、CF、CE被选中，则其流入量为1，流出量为4，净流出量为3。由于邮递员不可以在任何一个结点处停下不走，必须回到邮局，所以各结点A~H净流出量（G2~G9）必须为0，这一要求将作为求解约束。 1.4实际上，任何一次不计方向在某路的行走均为对该路行走过一次，任何一条路行走次数就等于方向相反的两条路径行走次数之和，如路AB的行走次数等于路径AB和BA行走次数之和即等于图2中D2与D17之和。对各条路行走次数应至少一次（这是邮递员问题的原始要求），对这些路的行走次数要求即大于等于1将作为求解约束。 2规划求解计算结果与分析 通过以上规划求解的工作，调用规划求解功能，输入有关参数如目标单元格及最小化要求、可变单元格、约束等，就可以进行规划求解了。 在点击“求解”后有时会告知“不存在最优解”，即没有求得所要结果，尤其是涉及的结点和路径较多时。其原因是，对于中国邮递员问题的规划求解所需要的计算时间可能比较长（与所使用的计算机等有关）、迭代次数较多，在规定的时间和次数内无法求得结果。规划求解默认的“最长运算时间”为100秒、“迭代次数”为100次。在这样比较有限的时间和次数限制下，可能还不能计算出最优结果。为此，在“规划求解参数”对话框中选择“选项”进行有关选项的设置，如选中“假定非负”、“采用线性模型”可以提高计算速度，把“最长运算时间”改设为600秒或更大，把“迭代次数”改设为600次或更大，然后进行求解，就可以得到最优解于图2所示的相应单元格中。 在图2可变单元格列中不为0的单元格所对应的路径即为邮递员行走的最短路线，该路线为：A-B-E-H-F-G-D-A-D-C-B- E-H-G-C-F-E-C-A，总长度为75。 如果规定某条路必须按照一定的方向行走，则可以在求解时对这条路径增加一条约束，即相应可变单元格的值要求必须为1。如规定必须行走从B到A方向的路径，则只要在约束中增加D17=1即可，规划求解的计算结果即邮递员行走的最短路线为：A-C-B-E-H -F-E-H-G-F-C-E-B-A-D-C-G-D-A，总长度为75。比较上面两个结果，发现这是两条线路总长度一样的行走线路，也就是存在着多个最优解。 还可以同时规定两条乃至更多必须行走的路线及方向，用规划求解在这样的要求下进行最短路线找寻。 由于图1中各条路径的权即长度相差不大，这个问题的最优解可能有很多；当然，这个方法是没有办法求出所有最优解的。 EXCEL的规划求解较好地完成了中国邮递员问题的求解。从中可以看到，这个方法原理简单、操作方便、快捷易行、结果可靠、扩展性强。 参考文献： [1]李德，钱颂迪.运筹学[M].北京.清华大学出版社.1982.313-316. [2]韩爱丽，朱大铭.基于一种新的边权编码方案的中国邮递员问题的DNA 计算模型[J].计算机研究与发展.2007.44(6).1053~1062. [3]曹鱼，陈传波.遗传算法求解邮递员问题的探讨[J].计算机与数字工程. 2000.28（3）.28-30. 与，使节能成为广大居民的自觉行动，推动全社会节能。 参考文献： [1]武云甫，张雷，景洪兰等.城市热网失水率达标措施[J].节能.2002.240 (7).30-33. [2]丁亦如，孙杰.谈目前供暖系统中常见的几个技术问题[J].区域供热. 2001(4).1-6. [3]张宝林，闫横，刘志勇.浅析城镇供热系统节能[J].节能.2006.289(8).62-63. [4]刘杨.锅炉供热系统节能技术在供热管理中的应用[J].记者摇篮.2004(8).64. 科学实践 （上接第215页） 216
数学建模(整数规划)
整数规划模型
实际问题中 x x x x f z Max Min T n "),(),()(1==或的优化模型 m i x g t s i ",2,1,0)(..=≤x ~决策变量f (x )~目标函数g i (x )≤0~约束条件 多元函数决策变量个数n 和数 线性规划条件极值约束条件个数m 较大最优解在可行域学 规 非线性规划解 的边界上取得划 整数规划
Programming +Integer 所有变量都取整数，称为纯整数规划；有一部分取整数，称为混合整数规划；限制取0，1称为0‐1型整数规划。 型整数规划
+整数线性规划 max(min) n z c x =1j j j n =∑1 s.t. (,) 1,2,,ij j i j a x b i m =≤=≥=∑"12 ,,,0 () n x x x ≥"且为整数 或部分为整数
+例：假设有m 种不同的物品要装入航天飞机，它们的重量和体积分别为价值为w j 和v j ，价值为c j ，航天飞机的载重量和体积限制分别为W 和V ，如何装载使价值最大化？ m 1?1 max j j j c y =∑ 1 0j j y =?被装载 s.t. m j j v y V ≤∑0 j ?没被装载1 j m =1 j j j w y W =≤∑ 0 or 1 1,2,,j y j m =="
(Chicago)大学的Linus Schrage教授于1980年美国芝加哥(Chi)Li S h 前后开发, 后来成立LINDO系统公司（LINDO Systems Inc.），网址：https://www.360docs.net/doc/be4511958.html, I）网址htt//li d LINDO: Interactive and Discrete Optimizer (V6.1) Linear(V61) LINGO: Linear Interactive General Optimizer (V8.0) LINDO——解决线性规划LP—Linear Programming，整数规划IP—Integer Programming问题。 LINGO——解决线性规划LP—Linear Programming，非线性规划NLP—Nonlinear Programming，整数规划IP—Integer Programming g g整划g g g 问题。
中国邮递员问题的应用
题目：姓名：学号：班级：
前 言 我们在生活中都与中国邮递员有了一定的接触，那么什么是中国邮递员？中国邮递员问题产生于1960年，它讨论的主要内容是：“一个投递员应该如何选择线路，才能把所有的由他负责的信件都送到，而且所走的路线又是最短的。我国管梅谷教授1962变首先并提出了中国邮递员问题的原始模型。 然而在我们研究中国邮递员以前，国外有很多人士研究了所谓的旅行售货员问题：“一个售货员要到n 个城市去售货，问其应该如何的选择路线才能一条路的走完所有的城市，且路程是最短的。”当n 增大到一定程度的时候我们将难以解决。 所以我们这里的中国投递员的问题也相当于旅行售后员一条线走完所有城市的问题，只要将所有的城市的点换成了我们所要投递的点就可以了。事实上就是告诉你几个点和几条边及其权重，就其求出某点到某点的最短路的问题。 摘 要 图论在各个领域都有着广泛的应用，在单循道路的寻早上早已经开始应用。对于中国邮递员等的问题，我们可以用边着色理论和Euler 理论来解决，这里本文将应用于实践，将理论性问题用到福建省漳平市的邮递员发送派件的应走得道路方式。本文将应用Fluery 算法来求解最终得到与本文所要寻找的问题的结果。 关键词：图论；EULER ；FLEURY 算法；邮递员 1.知识简介 EULER 环游]1[：一条闭途径如果通过图中每条边至少一次就称为环游，图中的每条边恰一次的比途径就称之为EULER 环游，有EULER 环游的图称之为EULER 图。 FLEURY 算法]1[（过河拆桥，尽量不走独木桥）： (1)任取一点0v ，令00w v =。 (2)若迹k k k v e v e 110v w =已经取定，选},,,{e \E e 211k k e e ∈+使得
运筹学[第五章整数规划]山东大学期末考试知识点复习
第五章整数规划 1．整数规划的特点 (1)整数规划：决策变量要求取整数的线性规划。 (2)整数规划可分为纯整数规划和混合整数规划。 (3)整数规划的可行域为离散点集。 2．整数规划的建模步骤 整数规划模型的建立几乎与线性规划模型的建立完全一致，只是变量的部分或全体必须限制为整数。 3．求解整数规划的常用方法 1)分支定界法 没有最大化的整数规划问题A，与它相应的线性规划问题为问题B，从解问题B开始，若其最优解不符合A的整数条件，那么B的最优目标函数必是A的最优目标函数z*的上界，记作，而A的任意可行解的目标函数值将是z*的一个 下界，分支定界法就是将B的可行域分成子区域的方法，逐步减小和增大， 最终求得z*。 将要求解的整数规划问题称为问题A，将与它相应的线性规划问题称为问题B。 (1)解与整数规划问题A相应的线性规划问题B，可能得到以下几种情况之一： ①B没有可行解，A也没有可行解，停止计算。 ②B有最优解，并符合问题A的整数条件，则此最优解即为A的最优解，停止计算。 ③B有最优解，但不符合A的整数条件，记它的目标函数值为。
(2)用观察法找问题A的一个整数可行解，求得其目标函数值，并记作。 以z*表示问题A的最优目标数值，则≤z*≤。 下面进行迭代。 分支，在B的最优解中任选一个不符合整数条件的变量x i ，其值为b i 。 构造两个约束条件 x j ≤[b j ] ① 和 x j ≥[b j ]+1 ② 其中[b j ]为不超过b j 的最大整数。 将这两个约束条件分别加入问题B，求两个后继规划问题B1和B2。不考虑整数约束条件求解这两个后继问题。 定界，以每个后继问题为一分支标明求解的结果。 第一步：先不考虑整数约束，变成一般的线性规划问题，用图解法或单纯形法求其最优解，记为 ) ； 第二步：若求得的最优解，刚好就是整数解，则该整数就是原整数规划的最优解，否则转下步； 第三步：对原问题进行分支寻求整数最优解。 第四步：对上面两个子问题按照线性规划方法求最优解。若某个子问题的解是整数解，则停止该子问题的分支，并且把它的目标值与上一步求出的最优整数解相比较以决定取舍；否则，对该子问题继续进行分支。
中国邮递员问题matlab实现
中国邮递员问题的matlabchengxu clear; clc; M=inf; a(1,1)=0;a(1,36)=10.3;a(1,37)=5.9;a(1,38)=11.2; a(1,50)=6.0; a(2,2)=0;a(2,50)=9.2; a(2,5)=8.3;a(2,3)=4.8; a(3,3)=0;a(3,39)=8.2; a(3,38)=7.9; a(4,4)=0;a(4,39)=12.7; a(4,8)=20.4; a(5,5)=0;a(5,6)=9.7; a(5,39)=11.3; a(5,48)=11.4; a(6,6)=0;a(6,7)=7.3;a(6,47)=11.8; a(6,48)=9.5; a(7,7)=0;a(7,47)=14.5; a(7,40)=7.2; a(7,39)=15.1; a(8,8)=0;a(8,40)=8.0; a(9,9)=0;a(9,40)=7.8; a(9,41)=5.6; a(10,10)=0;a(10,41)=10.8; a(11,11)=0;a(11,42)=6.8; a(11,45)=13.2; a(11,40)=14.2; a(12,12)=0;a(12,43)=10.2; a(12,42)=7.8;a(12,41)=12.2; a(13,13)=0;a(13,45)=9.8;a(13,44)=16.4;a(13,42)=8.6; a(13,14)=8.6; a(14,14)=0;a(14,43)=9.9; a(14,15)=15.0; a(15,15)=0;a(15,44)=8.8; a(16,16)=0;a(16,17)=6.8;a(16,44)=11.8; a(17,17)=0;a(17,22)=6.7; a(17,46)=9.8; a(18,18)=0;a(18,46)=9.2; a(18,45)=8.2; a(18,44)=8.2; a(19,19)=0;a(19,20)=9.3; a(19,45)=8.1; a(19,47)=7.2; a(20,20)=0;a(20,21)=7.9;a(20,25)=6.5; a(20,47)=5.5; a(21,21)=0;a(21,23)=9.1;a(21,25)=7.8; a(21,46)=4.1; a(22,22)=0;a(22,23)=10.0; a(22,46)=10.1; a(23,23)=0;a(23,24)=8.9; a(23,49)=7.9; a(24,24)=0;a(24,27)=18.8; a(24,49)=13.2; a(25,25)=0;a(25,49)=8.8; a(25,48)=12.0; a(26,26)=0;a(26,27)=7.8; a(26,49)=10.5; a(26,51)=10.5; a(27,27)=0;a(27,28)=7.9; a(28,28)=0;a(28,52)=8.3; a(28,51)=12.1; a(29,29)=0;a(29,52)=7.2; a(29,51)=15.2; a(29,53)=7.9; a(30,30)=0;a(30,32)=10.3; a(30,52)=7.7; a(31,31)=0;a(31,33)=7.3;a(31,32)=8.1; a(31,53)=9.2; a(32,32)=0;a(32,33)=19;a(32,35)=14.9; a(33,33)=0;a(33,35)=20.3; a(33,36)=7.4; a(34,34)=0;a(34,35)=8.2; a(34,36)=11.5; a(34,37)=17.6; a(35,35)=0; a(36,36)=0;a(36,53)=8.8;a(36,37)=12.2; a(37,37)=0;a(37,38)=11.0; a(38,38)=0;a(38,50)=11.5; a(39,39)=0;
第五章 整数规划练习题答案
第五章 整数规划练习题答案 一. 判断下列说法是否正确 1. 用分枝定界法求解一个极大化的整数规划问题时，任何一个可行整数解的目标函数值是 该问题目标函数值的下界。() 2. 用割平面法求解整数规划时，构造的割平面有可能切去一些不属于最优解的整数解。() 3. 用割平面法求解纯整数规划时，要求包括松弛变量在内的全部变量必须取整数值。() 4. 指派问题数学模型的形式与运输问题十分相似，故也可以用表上作业法求解。() 二. 设有五项工作要分派给五个工人，每人的作业产值如下表所示，为了使总产值最大，问 应如何分配这五项工作，并求得最大产值。 工作 工人 A & B C D E 甲 9 4 6 8 5 \ 乙 8 5 9 10 6 丙 9 7 3 ' 5 8 丁 4 8 6 9 5 戊 10 ； 5 3 6 3 答案： 设原矩阵为A ，因求极大问题，令B=[M-a ij ]，其中M=Max {a ij }=10，则： 16425105 3140 42 13251042510424003B 1 3752102 64 10 154062415151 3045 020305 7470574704646111-?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =→→- ? ? ?- ? ? ? ? ? ??????? --- m 4n 5l m 4 4 21342132432431541545235234 6 4 64 6 4 6=<===? ??? ? ??? ? ? ? ?→→????→?? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ? 031023 4003115406020303535?? ? ? ? ? ? ?? ? 31234311546233 5 3 5? ?? ?? ? ?→ ?? ? ?? ? m=5=n ，得最优解。解矩阵*0001000100X 0000101 00010000?? ? ? ?= ? ? ??? 。
运筹学 中国邮递员问题
§4.中国邮递员问题 （Chinese Postman Problem） 1．问题的提出 例5. 一个邮递员从邮局出发投递信件, 然后再返回邮局, 如果他必须至少一次地走过他负责投递范围内的每条街道, 街道路线如下图所示, 问选择怎样的路线才能使所走 的路为最短? 5 6 78 问题的图论表述：在赋权G=[V, E]上找一条经每条边至少一次的权最小的圈。 1960年山东师范学院管梅谷教授首先提出此问题，并设计了一个“奇偶点表上作业法”，后来发现此法不是多项式算法，1973年，Edmonds和Johnson给出一个多项式算法。 2．哥尼斯堡七桥问题 18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如下图所示。城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。
3．Euler圈 Euler圈：经图G的每条边的简单圈 Euler图：具有Euler圈的图 Euler图非Euler图下面讨论的图G允许有重边，且重边被认为是有区别的边。
伪Euler 圈：经图G 的每条边至少一次的圈 点v 的次：与点V 关联的边的数目 奇(偶)点：该点的次为奇(偶)数 命题1：G 的奇点个数为偶数 命题2：G 中有伪Euler 圈 ? G 无奇点 中国邮递员问题可表述为：在图G 中找一条权最小的伪Euler 圈。 对于邮递员来说，有些街道可能会重复走，原问题便转化为尽可能少走重复的 街道。我们将这些重复的边组成的集合称可行集，即找最小的可行集。 命题3：E *是最小可行集 ? ωωμμμ()()()()*()*()e e e E E E e E E ≤∑∑?μ∈∩∈∩\初等圈 重复的边 非重复的边 4．算法思路 由命题1，简单图G 的奇点个数为偶数，可设为v 1 , v 2 , …, v 2k , 对每个1≤ i ≤k, 找v 2i ? 1 至v 2i 的链p i ，将p i 的边重复一次。对于每一个p i 而且除两端点外，其它点 保持原奇偶性，即此时图中无奇点。再将添加边多于1条的边, 成对删去, 仍保持点 的奇偶性。由命题2，存在伪Euler 圈。将添加的边组成一个可行集，由命题3检验 是否为最优，如果非最优的，则存在一圈不满足命题3, 将该圈中非重复边重复一次， 重复边删去一次，图的各点奇偶性不变。 5．管氏算法 计算步骤： c 如果G 中没有奇点，则存在Euler 圈，停止计算。否则，设G 的奇点为v 1 , v 2 , …, v 2k , 转 d 。 d 对每一个1≤ i ≤k , 将v 2i ? 1 至v 2i 的链p i 上的边重复一次，转 e 。 e 除原边外，将添加的重边成对删去，转 f 。 f 对每一个圈，计算有重边的权之和ω1以及无重边的权之和ω2。若前者均不大于后者， 则停止计算，获最优伪Euler 圈。否则，在出现重边权之和大于无重边权之和的所 有圈上，删去重边同时在无重边上添加一重边，转e 。
第5章-整数规划(割平面法)
割平面法 求解整数规划问题： Max Z=3x1+2x2 2x1+3x214 4x1+2x218 x1,x20，且为整数 解：首先，将原问题的数学模型标准化，这里标准化有两层含义：（1）将不等式转化为等式约束，（2）将整数规划中所有非整数系数全部转化为整数，以便于构造切割平面。从而有： Max Z=3x1+2x2 2x1+3x2+x3=14 2x1+x2+x4=9 x1,x20，且为整数 利用单纯形法求解，得到最优单纯形表，见表1： 表1 C B X B b 3 2 0 0
j 最优解为：x1=13/4, x2=5/2, Z=59/4 根据上表，写出非整数规划的约束方程，如：x2+1/2x3-1/2x4=5/2 (1) 将该方程中所有变量的系数及右端常数项均改写成“整数与非负真分数之和”的形式，即： (1+0)x2+(0+1/2)x3+(-1+1/2)x4=2+1/2 把整数及带有整数系数的变量移到方程左
边，分数及带有分数系数的变量称到方程右边，得： x2 - x4-2 =1/2-(1/2x3+1/2x4) (2) 由于原数学模型已经“标准化”，因此，在整数最优解中，x2和x4也必须取整数值，所以(2)式左端必为整数或零，因而其右端也必须是整数。又因为x3,x40，所以必有： 1/2-(1/2x3+1/2x4)<1 由于(2)式右端必为整数，于是有： 1/2-(1/2x3+1/2x4)0 (3) 或 x3+x4 1 (4) 这就是考虑整数约束的一个割平面约束方程，它是用非基变量表示的，如果用基变量来表示割平面约束方程，则有： 2x1+2x211 (5) 从图1中可以看出，(5)式所表示的割平面约束仅割去线性规划可行域中不包含整数可行解的部分区域，使点E，2)成为可行域的一个极点。
中国邮递员问题的EXCEL求解
中国邮递员问题的EXCEL求解 发表时间：2010-04-01T21:54:24.467Z 来源：《中小企业管理与科技》2010年2月下旬刊供稿作者：邱家学[导读] 借助EXCEL规划求解的功能完成了中国邮递员问题的求解，实现的方法原理简单、操作方便、快捷易行、结果可靠、扩展性强邱家学（中国药科大学商学院） 摘要：借助EXCEL规划求解的功能完成了中国邮递员问题的求解，实现的方法原理简单、操作方便、快捷易行、结果可靠、扩展性强。关键词：EXCEL 规划求解中国邮递员问题 0 引言 1962年中国组合数学家管梅谷教授提出了著名的“中国邮递员问题”：一个邮递员从邮局出发，要走完他所管辖的每一条街道，然后返回邮局，那么如何选择一条尽可能短的路线？ 人们对这个问题进行了深入的探讨，提出了许多解决的算法和思路，如文献[1]中的奇偶点图上作业法、文献[2]的DNA计算模型、文献[3]的遗传算法等。EXCEL的规划求解以其特有的功能和特性可以被用来进行中国邮递员问题的求解。 1 EXCEL规划求解的准备工作 假设图1就是邮递员需行走的路线图，A结点为邮局，各路径长度标记在相应路径上。 通过对图2所示的EXCEL工作表各单元格内容及其作用的介绍，来分析采用规划求解的基本思路。 1.1 单元格A 2~C16中存放的是各路径的始点、终及长度，如A2：C2为A、B、6即指A到B路径长6，余类推。由于邮递员可能从两个不同方向行走同一条路，故还要构造如图2单元格A17：C31所示的反方向路径，如A17：C17即为A2：C2所表示路径的反向路径。 1.2 单元格D 2~D31为相应路径行走次数且为可变单元格，取值要大于等于0；如果等于0即表示相应路径未被行走，大于0即表示该路径行走一次乃至更多次。单元格E2：E31为相应可变单元格与路径长度乘积，E32为所行走路径的总长度并作为取值“最小”的目标单元格（希望行走路线尽量短）。 1.3 定义每个结点的流入量、流出量和净流出量。结点流入量就是各路径终点为该结点的路径数，结点流出量就是各路径始点为该结点的路径数，结点净流出量为该结点流出量与该结点流入量之差。在实际找寻最短行走路线时，有些路径被选中，有些路径没有被选中，则选中的路径才可以计量其对相应结点的流入量、流出量。以结点C为例，与结点C有关的路径共有12条，而路径CB、AC、CD、CF、CE 被选中，则其流入量为1，流出量为4，净流出量为3。由于邮递员不可以在任何一个结点处停下不走，必须回到邮局，所以各结点A~H净流出量（G2~G9）必须为0，这一要求将作为求解约束。 1.4 实际上，任何一次不计方向在某路的行走均为对该路行走过一次，任何一条路行走次数就等于方向相反的两条路径行走次数之和，如路AB的行走次数等于路径AB和BA行走次数之和即等于图2中D2与D17之和。对各条路行走次数应至少一次（这是邮递员问题的原始要求），对这些路的行走次数要求即大于等于1将作为求解约束。 2 规划求解计算结果与分析 通过以上规划求解的工作，调用规划求解功能，输入有关参数如目标单元格及最小化要求、可变单元格、约束等，就可以进行规划求解了。 在点击“求解”后有时会告知“不存在最优解”，即没有求得所要结果，尤其是涉及的结点和路径较多时。其原因是，对于中国邮递员问题的规划求解所需要的计算时间可能比较长（与所使用的计算机等有关）、迭代次数较多，在规定的时间和次数内无法求得结果。规划求解默认的“最长运算时间”为100秒、“迭代次数”为100次。在这样比较有限的时间和次数限制下，可能还不能计算出最优结果。为此，在“规划求解参数”对话框中选择“选项”进行有关选项的设置，如选中“假定非负”、“采用线性模型”可以提高计算速度，把“最长运算时间”改设为600秒或更大，把“迭代次数”改设为600次或更大，然后进行求解，就可以得到最优解于图2所示的相应单元格中。 在图2可变单元格列中不为0的单元格所对应的路径即为邮递员行走的最短路线，该路线为：A-B-E-H-F-G-D-A-D-C-B-E-H-G-C-F-E-C-A，总长度为75。 如果规定某条路必须按照一定的方向行走，则可以在求解时对这条路径增加一条约束，即相应可变单元格的值要求必须为1。如规定必须行走从B到A方向的路径，则只要在约束中增加D17=1即可，规划求解的计算结果即邮递员行走的最短路线为：A-C-B-E-H-F-E-H-G-F-C-E-B-A-D-C-G-D-A，总长度为75。比较上面两个结果，发现这是两条线路总长度一样的行走线路，也就是存在着多个最优解。 还可以同时规定两条乃至更多必须行走的路线及方向，用规划求解在这样的要求下进行最短路线找寻。 由于图1中各条路径的权即长度相差不大，这个问题的最优解可能有很多；当然，这个方法是没有办法求出所有最优解的。 EXCEL的规划求解较好地完成了中国邮递员问题的求解。从中可以看到，这个方法原理简单、操作方便、快捷易行、结果可靠、扩展性强。 参考文献： [1]李德，钱颂迪.运筹学[M].北京.清华大学出版社.1982.313-316. [2]韩爱丽，朱大铭.基于一种新的边权编码方案的中国邮递员问题的DNA计算模型[J].计算机研究与发展.2007.44(6).1053~1062. [3]曹鱼，陈传波.遗传算法求解邮递员问题的探讨[J].计算机与数字工程. 2000.28（3）.28-30.