第二章第1课时知能演练轻松闯关

1．已知f (x )＝π(x ∈R )，则f (π2)等于( ) A ．π2 B ．π C.π D ．不确定 答案：B

2．下列四个命题正确的有( ) ①函数是其定义域到值域的映射； ②y ＝x －3＋2－x 是函数；

③函数y ＝2x (x ∈N )的图象是一条直线；

④y ＝?

????

x 2 (x ≥0)－x 2 (x <0)的图象是抛物线．

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 答案：A

3．(教材习题改编)下列函数中，与y ＝x 相等的函数是( ) A ．y ＝x 2 B ．y ＝(x －1)2＋1

C ．y ＝x 2x

D ．y ＝?????

x 2

x

(x >0)0(x ＝0)

－x 2

|x |(x <0)

答案：D

4．设函数f (x )＝???

1－1

2

x (x ≥0)1

x (x <0)

，若f (a )＝a ，则实数a 的值是________．

答案：－1或2

3

5．设二次函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (2－x )，且f (x )＝0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求f (x )的解析式．

解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，

由f (x ＋2)＝f (2－x )知，该函数的图象关于直线x ＝2对称，

∴－b

2a

＝2，即b ＝－4a .①

又图象过点(0,3)，∴c ＝3.②

由方程f (x )＝0的两实根平方和为10，得 ????－b a 2－2c a

＝10，即b 2－2ac ＝10a 2.③ 由①②③得a ＝1，b

＝－4

，c ＝3(a ＝0舍去)． ∴f (x )＝x 2－4x ＋3.

1．定义运算a b ＝?

????

a (a ≤

b )b (a ＞b )，则函数f (x )＝1 2x

的图象是( )

解析：选A.x ≥0时，2x

≥1，x ＜0时，2x

＜1，∴f (x )＝?

????

2x

(x ＜0)

1(x ≥0)，故选A.

2．下列各组函数中表示同一函数的是( )

A ．f (x )＝x 2与g (x )＝(x )4

B ．f (x )＝|x |与g (x )＝3

x 3 C ．f (x )＝lne x 与g (x )＝e ln x

D ．f (x )＝x 2－1

x －1

与g (t )＝t ＋1(t ≠1)

解析：选D.由函数的三要素中的定义域和对应关系进行一一判断，知D 正确． 3．(2012·深圳调研)在一条公路上每隔10公里有一个仓库，共有5个仓库．一号仓库存有10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的．现在要把所有的货物集中存放一个仓库里，若每吨货物运输1公里需要0.5元运输费，则最少需要的运费是( )

A ．450元

B ．500元

C ．550元

D ．600元

解析：选B.把全部物资集中存放在五号仓库；所需费用为： 0．5(30×20＋40×10)＝500，故选B. 4.

函数y ＝f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式为( ) A ．y ＝－|x |－1 B ．y ＝|x －1| C ．y ＝－|x |＋1 D ．y ＝|x ＋1|

解析：选C.对照函数图象，分别把x ＝0代入解析式排除A ，把x ＝－1代入解析式排除B ，把x ＝1代入解析式排除D ，故选C.

5．已知f (x －1x )＝x 2＋1

x 2，则f (3)＝________.

解析：∵f (x －1x )＝x 2＋1x 2＝(x －1

x )2＋2，

∴f (x )＝x 2＋2(x ≠0)，∴f (3)＝32

＋2＝11. 答案：11 6.

如图所示，已知四边形ABCD 在映射f ：(x ，y )→(x ＋1,2y )作用下的象集为四边形A 1B 1C 1D 1，若四边形A 1B 1C 1D 1的面积是12，则四边形ABCD 的面积是________．

解析：由于四边形ABCD 在映射f ：(x ，y )→(x ＋1,2y )作用下的象集仍为四边形，只是将原图象上各点的横坐标向左平移了一个单位，纵坐标伸长为原来的2倍，故面积是原来的2倍．故填6.

答案：6

7．(1)已知f (x )＝x 2

－1，g (x )＝?

????

x －1，x ＞0，2－x ，x ＜0，求f [g (x )]和g [f (x )]的表达式；

(2)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f (1

x

)·x －1，求f (x )的表达式．

解：(1)当x ＞0时，g (x )＝x －1， 故f [g (x )]＝(x －1)2－1＝x 2－2x ； 当x ＜0时，g (x )＝2－x ，

故f [g (x )]＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3；

∴f [g (x )]＝?

???

?

x 2－2x ，x ＞0，x 2－4x ＋3，x ＜0.

当x ＞1或x ＜－1时，f (x )＞0， 故g [f (x )]＝f (x )－1＝x 2－2； 当－1＜x ＜1时，f (x )＜0， 故g [f (x )]＝2－f (x )＝3－x 2.

∴g [f (x )]＝?

????

x 2－2，x ＞1或x ＜－1，

3－x 2

，－1＜x ＜1. (2)在f (x )＝2f (1x )x －1中，用1x 代替x ，得f (1x )＝2f (x )1x －1，将f (1x )＝2f (x )

x

－1代入f (x )

＝2f (1x )x －1中，可求得f (x )＝23x ＋13

.

1．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是( )

解析：选A.要注意y ＝s (t )在某一点的导数就是曲线在该点处的斜率，即为在该点处的速度，可知选A.

2．有一位商人，从北京向上海的家中打电话，通话m 分钟的电话费，由函数f (m )＝1.06×(0.5[m ]＋1)(元)决定，其中m >0，[m ]是大于或等于m 的最小整数．则他的通话时间为5.5分钟的电话费为( )

A ．3.71元

B ．3.97元

C ．4.24元

D ．4.77元

解析：选C.∵m ＝5.5，∴[5.5]＝6.代入函数解析式， 得f (5.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24(元)．

3．已知函数f (x )＝?????

3x (x ≤0)log 2x (x >0)

，那么f ????f ????14的值为________． 解析：f ????f ????14＝f ????log 214＝f (－2)＝3－2＝19

. 答案：19

4．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为 ________.

解析：法一：函数f (x )＝????

?

2x

0≤x ≤2x ＋2 2

10－x x >4

，由于函数在区间[0,2]上单调递增，在区

间(2,4]上单调递增，在点x ＝2处两段的函数值相等，故函数在区间[0,4]上单调递增，函数

在区间(4，＋∞)上单调递减，又在点x ＝4处两段上的函数值相等，故x ＝4是函数的最大值点，函数的最大值是f (4)＝6.

法二：图象法，在同一坐标下画出y ＝2x ，y ＝x ＋2，y ＝10－x 的图象． 答案：6

5．已知：对于给定的q ∈N *及映射f ：A →B ，B ?N *.集合C ?A .(1)若C 中所有元素对应的象之和大于或等于q ，则称C 为集合A 的好子集．

对于q ＝2，A ＝{a ，b ，c }，映射f ：x →1，x ∈A ，求集合A 的所有好子集的个数； (2)对于给定的

若当且仅当C 5个整数时，C 为集合A 的好子集．写出所有满足条件的数组(q ，y ，z )．

解：(1)依题意得集合C 中的所有元素的象都是1，且要求C 中的所有元素的象之和不

小于2，因此集合C 中的元素个数可以是2或3，满足题意的集合C 的个数是C 23＋C 3

3＝4.

(2)依题意知当C 中恰好含有A 中5个整数时，C 为集合A 的好子集，因此q ≤5；当C 中仅含有A 中4个整数时，C 不是集合A 的好子集，因此q >4.又q ∈N *，于是q ＝5.当C 中恰好含有π和A 中2个整数时，C 为集合A 的好子集，因此z ＋y ＋1≥5，z ＋2≥5；当C 中恰好含有π和A 中1个整数时，C 不是集合A 的好子集，因此5>1＋z,5>y ＋z,3≤z <4，又z ∈N *，故z ＝3，y ≥1且y <2，又y ∈N *，于是y ＝1，所有满足条件的数组(q ，y ，z )＝(5,1,3)．

6．如图①所示是某公共汽车线路收支差额y (元)与乘客量x (人)的图象．

(1)试说明图①上点A 、点B 以及射线AB 上的点的实际意义；

(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图②③所示．你能根据图象，说明这两种建议吗？

(3)图①、②、③中的票价分别是多少元？ (4)此问题中直线斜率的实际意义是什么？

解：(1)点A 表示无人乘车时收支差额为－20元．点B 表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB 上的点(不包括B 点)表示亏损，AB 延长线上的点表示赢利．

(2)图②的建议是降低成本，票价不变，图③的建议是增加票价． (3)图①②中的票价是2元．图③中的票价是4元． (4)斜率表示票价．