Bresenham算法画圆
bresenham画圆算法bresenham画圆算法中点画圆算法在一个方向上取单位间隔，在另一个方向的取值由两种可能取值的中点离圆的远近而定。实际处理中，用决策变量的符号来确定象素点的选择，因此算法效率较高。
一、中点画圆算法描述
设要显示圆的圆心在原点(0，0)，半径为R，起点在(0，R)处，终点在(，)处，顺时针生成八分之一圆，利用对称性扫描转换全部圆。
为了应用中点画圆法，我们定义一个圆函数
F(x，y)=x2+y2-R2 (2－19)
任何点(x，y)的相对位置可由圆函数的符号来检测：
F(x，y) <0点(x，y)位于数学圆内
=0点(x，y)位于数学
圆上
>0点(x，y)位于数学
圆外
(2－20)
如下图所示，图中有两条圆弧A和B，假定当前取点为Pi(xi，yi)，如果顺时针生成圆，那么下一点只能取正右方的点E(xi+1，yi)或右下方的点SE(xi+1，yi-1)两者之一。
中点画线算法
假设M是E和SE的中点，即，则：
1、当F(M)<0时，M在圆内(圆弧A)，这说明点E距离圆更近，应取点E作为下一象素点；
2、当F(M)>0时，M在圆外(圆弧B)，表明SE点离圆更近，应取SE点；
3、当F(M)=0时，在E点与SE点之中随便取一个即可，我们约定取SE点。
二、中点画圆算法思想
因此，我们用中点M的圆函数作为决策变量d i，同时用增量法来迭代计算下一个中点M的决策变量d i+1。
(2－21)
下面分两种情况来讨论在迭代计算中决策变量d i+1的推导。
1、见图（a），若d i <0，则选择E点，接着下一个中点就是，这时新的决策变量为：
(2－22)
（a）(di<0) 中点画线算法
式(2－22)减去(2－21)得：
d i+1=d i+2x i+3(2－23)
2、见图（b），若di≥0，则选择SE点，接着下一个中点就是，这时新的决策变量为：
(2－24)
（b）(d i ≥0) 中点画线算法
式(2－24)减去(2－21)得：
d i+1=d i+2(x i-y i)+5(2－25)
我们利用递推迭代计算这八分之一圆弧上的每个点，每次迭代需要两步处理：
（1）用前一次迭代算出的决策变量的符号来决定本次选择的点。
（2）对本次选择的点，重新递推计算得出新的决策变量的值。
剩下的问题是计算初始决策变量d0，如下图所示。对于初始点(0，R)，顺时针生成八分之一圆，下一个中点M的坐标是，所以：
(2－26)
生成圆的初始条件和圆的生成方向
Bresenham算法实现的画圆函数
CIRCLE PROC NEAR
PUSH BP
MOV BP,SP
SUB SP,6
MOV WORD PTR[BP-2],0 ;X<=0 | |
MOV AX,WORD PTR[BP+4] ; | |
MOV WORD PTR[BP-4],AX ;Y<=R SP-> | |
MOV AX,0FFFEH ; | P |<-BP-6
IMUL WORD PTR[BP+4] ;AX<=RADIUS*(-2) | Y |<-BP-4
ADD AX,3 ;AX<=3-2*RADIUS | X |<-BP-2
MOV WORD PTR[BP-6],AX ;P=3-2*RADIUS | BP |<-BP
C0: MOV AX,WORD PTR[BP-2] ;AX<=X |返回地址|<-BP+2
CMP AX,WORD PTR[BP-4] ;IF X JMP C3 ; | XC |<-BP+8 C00: PUSH WORD PTR[BP+8] ; CIRCLE堆栈结构 PUSH WORD PTR[BP+6] ; PUSH WORD PTR[BP-2] PUSH WORD PTR[BP-4] CALL CIRCLE_POINT CMP WORD PTR[BP-6],0 JGE C1 MOV AX,4 MUL WORD PTR[BP-2] ADD AX,6 ADD AX,WORD PTR[BP-6] MOV WORD PTR[BP-6],AX JMP C2 C1: MOV AX,WORD PTR[BP-2] SUB AX,WORD PTR[BP-4] MOV BX,4 IMUL BX ADD AX,10 ADD AX,WORD PTR[BP-6] MOV WORD PTR[BP-6],AX DEC WORD PTR[BP-4] C2: INC WORD PTR[BP-2] JMP C0 C3: MOV AX,WORD PTR[BP-2] CMP AX,WORD PTR[BP-4] JNE C4 PUSH WORD PTR[BP+8] PUSH WORD PTR[BP+6] PUSH WORD PTR[BP-2] PUSH WORD PTR[BP-4] CALL CIRCLE_POINT C4: MOV SP,BP POP BP RET 6 CIRCLE ENDP 圆画点子程序 CIRCLE_POINT PROC NEAR PUSH BP MOV BP,SP SUB SP,16 MOV AX,WORD PTR[BP+10] ADD AX,WORD PTR[BP+6] MOV WORD PTR[BP-2],AX ;XC+X MOV AX,WORD PTR[BP+10] SUB AX,WORD PTR[BP+6] MOV WORD PTR[BP-4],AX ;XC-X MOV AX,WORD PTR[BP+10] ; | | ADD AX,WORD PTR[BP+4] ; | | MOV WORD PTR[BP-6],AX ;XC+Y | | MOV AX,WORD PTR[BP+10] ; SP-> | | SUB AX,WORD PTR[BP+4] ; | YC-Y |<-BP-16 MOV WORD PTR[BP-8],AX ;XC-Y | YC+Y |<-BP-14 MOV AX,WORD PTR[BP+8] ; | YC-X |<-BP-12 ADD AX,WORD PTR[BP+6] ; | YC+X |<-BP-10 MOV WORD PTR[BP-10],AX ;YC+X | XC-Y |<-BP-8 MOV AX,WORD PTR[BP+8] ; | XC+Y |<-BP-6 SUB AX,WORD PTR[BP+6] ; | XC-X |<-BP-4 MOV WORD PTR[BP-12],AX ;YC-X | XC+X |<-BP-2 MOV AX,WORD PTR[BP+8] ; | BP |<-BP ADD AX,WORD PTR[BP+4] ; |返回地址|<-BP+2 MOV WORD PTR[BP-14],AX ;YC+Y | Y |<-BP+4 MOV AX,WORD PTR[BP+8] ; | X |<-BP+6 SUB AX,WORD PTR[BP+4] ; | YC |<-BP+8 MOV WORD PTR[BP-16],AX ;YC-Y | XC |<-BP+10 PUSH WORD PTR[BP-2] ; | | PUSH WORD PTR[BP-14] ; CIRCLE_POINT堆栈结构 PUSH COLOR CALL PIXEL CALL DELAY_C PUSH WORD PTR[BP-4] PUSH WORD PTR[BP-14] PUSH COLOR CALL PIXEL CALL DELAY_C PUSH WORD PTR[BP-2] PUSH WORD PTR[BP-16] PUSH COLOR CALL PIXEL CALL DELAY_C PUSH WORD PTR[BP-4] PUSH WORD PTR[BP-16] PUSH COLOR CALL PIXEL CALL DELAY_C PUSH WORD PTR[BP-6] PUSH WORD PTR[BP-10] PUSH COLOR CALL PIXEL CALL DELAY_C PUSH WORD PTR[BP-8] PUSH WORD PTR[BP-10] PUSH COLOR CALL PIXEL CALL DELAY_C PUSH WORD PTR[BP-6] PUSH WORD PTR[BP-12] PUSH COLOR CALL PIXEL CALL DELAY_C PUSH WORD PTR[BP-8] PUSH WORD PTR[BP-12] PUSH COLOR CALL PIXEL CALL DELAY_C MOV SP,BP POP BP RET 8 CIRCLE_POINT ENDP 计算机图形学试验报告（六） 试验名称：利用正负法画圆 专业：地理信息系统班级：2011级1班学号：********姓名：日期：2013年 一、试验内容 1、利用中点法思想编写函数； 2、利用算法生成圆； 3、完成属性设置和增加交互功能； 二、试验目的 通过上机操作，编写中点法生成圆，理解重点算法的生成原理，并实现简单的交互功能。 三、试验原理 中点法生成圆，是利用函数曲线的交点与两个像素的中点的位置关系，来确定下一像素点的选取，决策变量d的初始值为d=d=5.0/4-r; 当点（x,y）在圆内时，d<0；当点在圆外时，d>0；当点在圆上时，d=0。根据判别变量F的正负，可设定x,y的移动方向，然后利用映射变换生成整个圆。 四、程序设计流程 五、试验程序 (1) #include “graphics.h” #include “conio.h” void MidpointCircle(x0,y0,r,color) { int x,y; float d; x=0; y=r; d=5.0/4-r; //设置初始变量d while(x<=y) { //结束判断 putdot(x0,y0,x,y,color); if(d<0) d+=x*2.0+3; //更新判别变量 else { d+=2.0*(x-y)+5; y--; //点在圆外，向下走一个单位} x++; } } putdot(x0,y0,x,y,color) { putpixel(x0+x,y0+y,color); putpixel(x0+x,y0-y,color); putpixel(x0-x,y0+y,color); putpixel(x0-x,y0-y,color); putpixel(x0+y,y0+x,color); 洛阳理工学院实验报告用纸 （2）画理想圆流程图如图-1： 图-1：画理想圆流程图 （3）中点画圆法 图-2 中点画圆法当前象素与下一象素的候选者 数，将乘法运算改成加法运算，即仅用整数实现中点画圆法。 （4）Bresenham画圆法 Bresenham画线法与中点画线法相似，，它通过每列象素中确定与理想直线最近的象素来进行直线的扫描的转换的。通过各行，各列的象素中心构造一组虚拟网格线的交点，然后确定该列象素中与此交点最近的的象素。该算法的巧妙之处在于可以采用增量计算，使得对于每一列，只要检查一个误差项的符号，就可以确定该列的所求对象。 假设x列的象素已确定，其行下标为y。那么下一个象素的列坐标必为x+1。而行坐标要么不变，要么递增1。是否递增1取决于如图所示的误差项d的值。因为直线的起始点在象素中心，所以误差项d的初始值为0。X下标每增加1，d的值相应递增直线的斜率值，即d=d+k（k=y/x为直线斜率）。一旦d>=1时，就把它减去，这样保证d始终在0、1之间。当d>0.5时，直线与x+1垂直网络线交点最接近于当前象素（x,y）的右上方象素(x+1,y+1)；而当d<0.5时，更接近于象素（x+1，y），当d=0。5时，与上述二象素一样接近，约定取（x+1，y+1）。令e=d-0。5。则当e>=0时，下一象素的y下标增加1，而当e〈0时，下一象素的y下标不增。E的初始值为-0.5. （二）实验设计 画填充点流程图，如图-3： 图-3：圆的像素填充过程NS图 画理想圆，记录圆心坐标，计算半径大小，并记录 是否开始填充 否 是 初始化计数器、标志变量，设置最大计数值 调用Bresenha m画圆算法 否 是 填充标记是否为真 （While）计数变量小于最大计数值 循环变量temp + 1 填充计算出来的temp个坐 标点 计算需要填充坐标数组的 前temp个坐标 课程实验报告 步骤 为了规范颜色的处事，定义了CRGB类，重载了“+”，“-”、“*”、“\”、“+=”、“-=”、“*=”、“/=”运算符。成员函数Normalize()将颜色分量red,green,blue规范到[0,1]闭区间内。 RGB.h #pragma once class CRGB { public: CRGB(); CRGB(double, double, double); ~CRGB(); friend CRGB operator + (const CRGB&, const CRGB&); friend CRGB operator - (const CRGB&, const CRGB&); friend CRGB operator * (const CRGB&, const CRGB&); friend CRGB operator * (const CRGB&, double); friend CRGB operator * (double, const CRGB&); friend CRGB operator / (const CRGB&, double); friend CRGB operator += (const CRGB&, const CRGB&); friend CRGB operator -= (const CRGB&, const CRGB&); friend CRGB operator *= (const CRGB&, const CRGB&); friend CRGB operator /= (const CRGB&, double); void Normalize(); public: double red; double green; double blue; }; RGB.cpp #include"stdafx.h" #include"RGB.h" CRGB::CRGB() { red = 1.0; green = 1.0; blue = 1.0; 圆的认识与画圆练习 教学内容：青岛版数学六年级上册56～59页,信息窗1第2课时。 教学目标： 1.进一步体会圆的特征；熟练掌握圆的各部分名称，能灵活、正确地按要求画圆，用圆的知识来解释生活中的简单现象；认识扇形，知道扇形的大小与圆心角的关系。 2.在画圆练习中，发展学生的空间观念。 3.经历对圆的认识知识的整理梳理，培养学生归纳、概括能力。 4.培养学生独立思考及综合运用知识解决问题的能力。 教学重点和难点: 教学重点：进一步体会圆的特征，熟练的按要求画圆。 教学难点：归纳圆的特征，发展空间观念，应用所学知识解决生活中的实际问题。 教具、学具： 教师准备：多媒体课件、圆规、三角板。 学生准备：圆规、三角板。 教学过程： 一、问题回顾，再现新知。 1.谈话导入：同学们，还记得上节课我们学习交通中的圆吗？说一说你对圆都有哪些了解？（引导学生回顾有关圆的知识。） 预设： （1）圆的画法； （2）圆的各部分名称； （3）圆的特征； （4）圆是轴对称图形。…… 2.自主整理圆的知识。 请同学们用自己喜欢的方法整理有关圆的知识。 教师出示复习指导： （1）我们是用什么工具画圆的？说一说是怎样画的？ （2）什么是圆心、半径、直径？用哪个字母表示？ （3）同一个圆里半径和直径有什么关系？ （4）圆是轴对称图形吗？有多少条对称轴？ （5）什么是扇形，扇形的大小与什么有关？ 3.汇报交流，构建知识网络。 学生汇报，其他生认真倾听及时补充，教师根据学生的回答将知识点适当板书，形成知识网。 （1）用图钉、细线和铅笔画圆。 圆的画法：（2）用圆形的盖子。①圆规两脚分开定好两脚尖距离； （3）用圆规画圆②把有针尖的一脚固定在一点上； ③把有铅笔的一脚旋转一周。 圆圆心：圆规针尖固定一点叫圆心，用O表示。 的圆的各半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫半径用r表示。 部分名称直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫直径d表示。 认 识（1）同一个圆里有无数条半径和直径； 圆的特征：所有的直径都相等，所有的半径都相等； 直径是半径的2倍d=2r，半径是直径的r=d／2 （2）圆是轴对称图形，直径所在的直线都是圆的对称轴。 4.小结评价：看来大家掌握的不错，今天我们就来利用圆的知识解决一些实际问题。（板书课题：圆的认识与画圆练习） 二、分层练习，巩固提高。 （一）基本练习，巩固新知。 1.判断：（补充练习） （1）圆有无数条对称轴。（） （2）圆的直径就是圆的对称轴。（） 以下是Bresenham的直线生成算法和整圆生成算法，已调试过，没有任何问题。Bresenham直线生成算法 #include "stdio.h" #include "graphics.h" Bresenham_line(x0,y0,x1,y1,color) int x0,y0,x1,y1,color; { int x,y,dx,dy, i; float k,e; dx=x1-x0;dy=y1-y0; k=(dy*1.0)/dx; e=-0.5; x=x0; y=y0; for (x=x0; x<=x1; x++) { putpixel(x,y,color); e=e+k; if(e>=0) { y++;e=e-1;} } } int main() { int x0,y0,x1,y1,c; int driver=DETECT,mode=0; initgraph(&driver,&mode,"c:\\tc"); setbkcolor(BLUE); setcolor(YELLOW); printf("input x0,y0,x1,y1,c"); scanf("%d%d%d%d%d",&x0,&y0,&x1,&y1,&c); Bresenham_line(x0,y0,x1,y1,c); getch(); closegraph(); } 当取e=2*dy-dx时，可以消除浮点和除法运算 #include "stdio.h" #include "graphics.h" Bresenham_line(x0,y0,x1,y1,color) int x0,y0,x1,y1,color; { int x,y,dx,dy, i,e; float k; dx=x1-x0;dy=y1-y0; k=(dy*1.0)/dx; e=2*dy-dx; x=x0; y=y0; for (x=x0; x<=x1; x++) { putpixel(x,y,color); e=e+2*dy; if(e>=0) { y++;e=e-2*dx;} } } int main() { int x0,y0,x1,y1,c; int driver=DETECT,mode=0; initgraph(&driver,&mode,"c:\\tc"); setbkcolor(BLUE); setcolor(YELLOW); printf("input x0,y0,x1,y1,c"); scanf("%d%d%d%d%d",&x0,&y0,&x1,&y1,&c); Bresenham_line(x0,y0,x1,y1,c); getch(); closegraph(); } 计算机图形学实验 圆、椭圆的中点算法 学院：计算机科学与技术学院专业：软件工程 班级：软工152 学号：08 学生姓名：刘强坤 姓名刘强坤学号408 实验组实验时间10-24 指导教师成绩实验项目名称圆，椭圆中点算法 实 验要求优化后的算法：二次差分法可任意指定圆心坐标 实 验 目 的 实 验 环 境 VS 2015 实验内容圆： void Bresenham_Circle( int xc, int yc, int r) ( int x, y, d; x = 0; y = r; d = 3 - 2 * r; glVertex2i(x + xc, y + yc); while (x < y) ( if (d < 0) ( d = d + 4 * x + 6; ) else ( d = d + 4 * (x - y) + 10; 学院：计算机科学与技术专业：软件工程班级：软工152 y--; ) x++; glVertex2i(x + xc, y + yc); glVertex2i(y + xc, x + yc); glVertex2i(y + xc, -x + yc); glVertex2i(x + xc, -y + yc); glVertex2i(-x + xc, -y + yc); glVertex2i(-y + xc, -x + yc); glVertex2i(-x + xc, y + yc); glVertex2i(-y + xc, x + yc); ) ) 椭圆： void Ellipsepot( int x0, int y0, int x, int y) ( //1 setPixel(( x0 + x), ( y0 + y)); // 2 setPixel(( x0 + x), ( y0 - y)); // 3 setPixel(( x0 - x), ( y0 - y)); // 4 setPixel(( x0 - x), ( y0 + y)); ) //中点画椭圆算法 void MidPoint_Ellipse( int x0, int y0, int a, int b) ( double sqa = a*a; double sqb = b*b; double d = sqb + sqa*(0.25 - b); int x = 0; int y = b; Ellipsepot( x0, y0, x, y); // 1 while (sqb*(x + 1) < sqa*(y - 0.5)) ( if (d < 0) ( d += sqb*(2 * x + 3); 计算机图形学实验报告 实验1 使用画线算法，绘制直线段 一．实验目的及要求 （1）掌握图形学中常用的三种画线算法：数值微分法、中点画线法和Bresenham画线算法。 （2）掌握绘制直线的程序设计方法。 （3）掌握使用文件来保存直线段的方法。 （4）掌握从文本文件中恢复出直线的方法。 二．实验内容 使用VC++ 6.0开发环境，分别实现中点画线算法和Bresenham画线算法，绘制直线（注意，不能使用VC中已有的绘制直线的函数），并以文本文件的形式保存绘制的结果，可以从文本文件中恢复出以前绘制过的直线。 三．算法设计与分析 Bresenham算法绘制直线的程序（仅包含整数运算）。 void MidBresenhamLine(int x0,int y0,int x1,int y1,int color) { int dx,dy,d,UpIncre,DownIncre,x,y; if(x0>x1){ x=x1;x1=x0;x0=x; y=y1;y1=y0;y0=y; } x=x0;y=y0; dx=x1-x0;dy=y1-y0; d=dx-2*dy; UpIncre=2*dx-2*dy;DownIncre=-2*dy; while(x<=x1){ putpixel(x,y,color); X++; if(d<0){ y++; d+=UpIncre; } else d+=DownIncre; } } 四．程序调试及运行结果的自我分析与自我评价 // testView.cpp : implementation of the CTestView class #include "stdafx.h" #include "test.h" #include "testDoc.h" #include "testView.h" #include 圆的画法 教学目标： 1. 培养学生自主画圆的能力，让学生经历用自己的方法画圆，按要求用圆规画圆的过程。 2. 让学生掌握用圆规按要求画圆的方法，认识圆的大小和半径的关系。 3. 让学生积极参加动手画圆活动，获得成功的学习体验，发展初步的空间观念。 教学重点： 掌握用圆规按要求画圆的方法。 教学难点： 掌握用圆规按要求画圆的方法。 课前准备： 多媒体课件、圆规、直尺一把、剪刀一把、白纸一张。 教学过程： 一、谈话导入 (一)师：在上一节课，我们已经认识圆， 同学们会不会画圆？这节课我们就一起去学习 怎么样画圆。（板书课题：画圆） 二、自主画圆 （一）讨论：可以怎样画？再利用自己准备好的物品画圆。 （二）交流：交流自己画出的圆，并说一说是怎样画的。 三、用圆规画圆 （一）师说：前面我们借助实物来描摹画圆，画出圆的大小是固定的，不能随意变化。为了既准确又方便地画出一个圆，我们可以用画圆的专用工具——圆规来画。 1.下面同学们先用圆规试画一个圆，然后与同桌的同学说说你是怎样画的？ 2.找两名学生说说如何画圆。 3.归纳画圆的步骤。（画圆的步骤归纳起来，有三步。） （1）把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离作为半径。（板书：定半径） （2）把有针尖的一只脚固定在一点上作为圆心。（板书：定圆心）（3）让装有铅笔尖的一只脚旋转一周。（板书：旋转一周） 4.请同学按要求画圆。（下面请同学们按照这三个步骤画出要求的圆。） （1）用圆规画一个半径是2cm 的圆，并用字母O、r、d 表示出它的圆心、半径和直径。从上节课学习的知识过渡到这节课学习的新知识，揭示课题。让学生自主画圆，培养学生动手能力和自主探究能力。巩固学生掌握用圆规按要求画圆的方法。 （2）用圆规画一个半径是4cm 的圆。 5.在画圆时要注意什么？（有针尖的一只脚不能动，两脚间的距离不能变。） 6.刚才我们画出两个位置和大小都不同的圆，想一想：圆的位置 Course Page 一、画圆的方法： 1、用手指画圆。以大拇指为圆心，以食指与大拇指之间的距离为半径，旋转一周所形成的图形就是圆形。 2、用线绳、图钉和笔画圆。用图钉固定线绳的一端做圆心，将笔系在线绳的另一端，拉直绳子作半径，旋转线绳一周所形成的图形就是圆。 3、用圆规画圆。将圆规的一个针脚固定在本上做圆心，用圆规两个针脚间的距离作半径，旋转圆规一周所形成的图形就是圆。 4、用物体的圆形面画圆。按住物体的圆形面，用笔在物体的圆形面的圆周上画一圈所形成的图形就是一个圆。 二、为什么车轮都是圆形的？ 答：因为在同一个圆中所有的半径都相等。车轴在圆心的位置，圆形车轮在滚动时，圆心在一条直线上运动，这样车才更平稳。而其他的图形不具备这样的特点，所以车轮都是圆形的。 三、井盖为什么是圆形的？ 答：因为在圆形中，直径是圆中最长的线段，在同一个圆内有无数条直径，所有的直径都相等，无论怎样翻转井盖，井盖都不会掉下去，这样更安全。 四、围观时大家为什么自觉的就站成圆形？ 答：因为圆中同一个圆中所有的半径都相等。围成圆形时，每一个围观的人与被围观的事物之间的距离都是相等的，所有站成圆形能让每个人看清楚围观的事物。 五、寻找圆直径的方法。 1、圆形的纸片等一切可以对折的圆形，用对折的方法找到圆的直径。 2、可以用两个三角板和一个直尺来找圆的的直径。（如图1-1所示） 1-1 1-2 1-3 AB之间的线段的长度就是圆的直径。 3、画出圆的外接正方形，正方形的边长就是圆的直径。（如图1-2所示） 4、量出圆的周长，用圆的周长除以3.14也可以得到圆的直径的长度。 5、画出圆中的一条弦，找到弦的中点，过中点画这条弦的垂线，圆周上这两点间的线段就是圆的直径。（如图1-3所示） 六、圆周长的测量方法。 1、滚动法。画出圆的一条直径，在直尺上滚动圆一周，从直径的一个端点和直尺的零刻度线重合开始向前滚动直到再次滚动到起始的端点为止。此时的读数就是这个圆的周长。 2、绳测法。用绳绕圆片一周，剪去多余的绳子，量出绳子的长度就是这个圆片的周长。 信息与计算科学专业基础课 Computer Report Of course 计算机图形学课程实验 报告 实验题目设计算法绘制直线与圆 班级 姓名 学号 指导教师 日期 实验说明 试验目的： 掌握直线和圆的基本生成算法思想，并上机编程实现相应的算法。 试验地点： 教九楼401 数学系机房 实验要求(Direction): 1. 每个学生单独完成；2.开发语言为TurboC 或C++，也可使用其它语言；3.请在自己的实验报告上写明姓名、学号、班级；4.每次交的实验报告内容包括：题目、试验目的和意义、程序制作步骤、主程序、运行结果图以及参考文件；5. 自己保留一份可执行程序,考试前统一检查和上交。 实验内容 实验题一 实验题目 1).用DDA 法在屏幕上画一条具有三个像素宽的直线段L1。要求：(1)直线段L1的两个端点坐标和画线颜色都要求可以随机输入；(2)要求输出直线段L1上的各点坐标；(3)画出直线的同时要求标明两端点坐标。 2).将课堂所讲的斜率0 实验1直接绘制实验 (提示：#表示Project的编号，##表示Project题目) 学号姓名上交时间 1.问题描述 如何利用OpenGL实现直线光栅化的DDA算法、中点画线算法和Bresenham算法2.算法描述 DDA算法：据直线公式y = kx + b来推导出来的，其关键之处在于如何设定单位步进，即一个方向的步进为单位步进，另一个方向的步进必然是小于1。 中点划线法：在画直线段的过程中，当前像素点为（xp ,yp )，下一个像素点有两种可选择点P1(xp +1,yp )或P2(xp +1,yp +1)。若M=(xp +1,yp +0.5)为P1与P2之中点，Q 为P理想直线与x=xp +1垂线的交点。当M在Q的下方，则P2应为下一个像素点； M在Q的上方，应取P1为下一个像素点。 Bresenham算法：过各行、各列像素中心构造一组虚拟网格线，按直线从起点到终点的顺序计算直线各垂直网格线的交点，然后确定该列像素中与此交点最近 的像素。 实验结果 成功运行三个算法，并且能转换出通用Bresenham算法。 3.分析与评论 (分析每个算法的运行时间，对你的本实验的工作进行评论，同时也可以对老师提出建议。) 附录: Source Code(in C) #include 本技术新型涉及教学领域，尤其涉及一种数学教学用画圆器。本技术新型要解决的技术问题是提供一种不会对黑板造成损坏、画圆时不会偏移位置的数学教学用画圆器。为了解决上述技术问题，本技术新型提供了这样一种数学教学用画圆器，包括有第一支杆等；第一支杆左侧后部连接有第一轴承座，第一轴承座上连接有第一转杆，第一转杆与第一支杆连接，第一轴承座左侧连接有橡胶柱，橡胶柱左侧连接有吸盘，第一支杆左侧前部连接有夹紧装置。本技术新型通过让吸盘吸在黑板上作图，这样能够达到教师在黑板上画图时，不损坏黑板的目的，并且设置有夹紧装置和移动装置的缘由。 技术要求 1.一种数学教学用画圆器，其特征在于，包括有第一支杆（1）、第一轴承座（2）、第一转杆（3）、橡胶柱（4）、吸盘（5）和夹紧装置（6），第一支杆（1）左侧后部连接有第一轴承座（2），第一轴承座（2）上连接有第一转杆（3），第一转杆（3）与第一支杆（1）连接，第一轴承座（2）左侧连接有橡胶柱（4），橡胶柱（4）左侧连接有吸盘（5），第一支杆（1）左侧前部连接有夹紧装置（6）。 2.根据权利要求1所述的一种数学教学用画圆器，其特征在于，夹紧装置（6）包括有第二支杆（601）、螺杆（602）、固 定夹板（603）、移动夹板（604）、螺帽（606）、第二弹簧（607）和第三支杆（608），第一支杆（1）左侧连接有固定夹板（603），固定夹板（603）前后两端均连接第三支杆（608），第三支杆（608）右侧连接有螺杆（602），第三支杆（608）右侧连接有第二弹簧（607），第二弹簧（607）的另一端连接有第二支杆（601），第二支杆（601）之间连接有移动夹板（604），第二支杆（601）上开有螺纹孔（605），螺杆（602）穿过螺纹孔（605），螺杆（602）上连接有螺帽 （606），螺杆（602）穿过第二弹簧（607）。 Circle方法用于绘制圆、椭圆、扇形或弧，其语法格式如下： [对象。]Circle[[Step]（x,y）],半径[,颜色][,起始角][,终止角了[长短轴比率]. 对象可以是窗体或图片框控件，其中各参数的含义如下： Step:该参数是可选的，如果使用该参数，则表示圆心坐标（x,y）是相对当前点（CurrentX,CurrentY）的，而不是相对坐标原点的。 （x,y）：用于指定圆的圆心，也是可选的，如果省略则圆心为当前点（CurrentX,GurrentY）。 半径：用于指定圆的半径，对于椭圆来讲，该值是椭圆的长轴长度。 颜色：指定所绘制图形的颜色。 起始角、终止角：用来指定圆弧或扇形的起始角度与终止角度，单位为弧度。取值范围为0~2π时，绘制的是圆弧：给起始角与终止角取值前添加一个负号，则所绘制的是扇形，负号表示绘制圆心到圆弧的径向线。省略这两个参数，则所绘制的是圆或椭圆。 VB规定，从起始角按逆时针方向绘制圆弧至到终止角处，水平向右方向为0度，且与坐标系统无关，如图9.18所示。 长短轴比率：当需要绘制椭圆时，可使用该参数指定椭圆长短轴的比率。若值大于1，则所绘制的是竖立的椭圆；若值小于1，则所绘制的是扁平的椭圆。该值的缺省值为1，即省略时绘制的是圆。 例如，使用下列语句绘制出的各种图形如图9.19所示。 实例9.4绘制太极图 使用Circle方法绘制出如图9.20所示的太极图。 代码如下： 首先定义了一个名为Tjt的子过程，形参x和Y为太极图的圆心，r为半径。在窗体的Click事件过程中以不同的参数调用Tjt子过程，运行程序，单击窗体后就会在窗体的不同位置绘制出大小不同的太极图。 #include XXXXXXXX 大学（计算机图形学）实验报告 实验名称 数值微分（DDA ）法、中点画线法、Bresenham 算法 实验时间 年 月 日 专 业 姓 名 学 号 预 习 操 作 座 位 号 教师签名 总 评 一、实验目的： 1.了解数值微分（DDA ）法、中点画线法、Bresenham 算法的基本思想； 2.掌握数值微分（DDA ）法、中点画线法、Bresenham 算法的基本步骤； 二、实验原理： 1.数值微分(DDA)法 已知过端点 的直线段L ：y=kx+b,直线斜率为 从x 的左端点 开始，向x 右端点步进。步长=1(个象素)，计算相应的y 坐标y=kx+b ；取象素点(x, round(y))作为当前点的坐标。 2.中点画线法 当前象素点为(x p , y p ) 。下一个象素点为P 1 或P 2 。 设M=(x p +1, y p +0.5)，为p 1与p 2之中点，Q 为理想直线与x=x p +1垂线的交点。将Q 与 M 的y 坐标进行比较。 当M 在Q 的下方，则P 2 应为下一个象素点； 当M 在Q 的上方，应取P 1为下一点。 构造判别式:d=F(M)=F(x p +1,y p +0.5)=a(x p +1)+b(y p +0.5)+c ，其中a=y 0-y 1, b=x 1-x 0, c=x 0y 1-x 1y 0。 当d<0，M 在L(Q 点)下方，取右上方P 2为下一个象素； 当d>0，M 在L(Q 点)上方，取右方P 1为下一个象素； 当d=0，选P 1或P 2均可，约定取P 1为下一个象素； 但这样做，每一个象素的计算量是4个加法，两个乘法。 d 是x p , y p 的线性函数，因此可采用增量计算，提高运算效率。 若当前象素处于d ≥0情况，则取正右方象素P 1 (x p +1, y p), 要判下一个象素位置，应计算 d 1=F(x p +2, y p +0.5)=a(x p +2)+b(y p +0.5)=d+a ； 增量为a 。 若d<0时，则取右上方象素P 2 (x p +1, y p +1)。要判断再下一象素，则要计算 d 2= F(x p +2, y p +1.5)=a(x p +2)+b(y p +1.5)+c=d+a+b ；增量为a ＋b 。 3.Bresenham 算法 过各行各列象素中心构造一组虚拟网格线。按直线从起点到终点的顺序计算直线与各垂 ),(),,(111000y x P y x P 0101x x y y k --=0x XXXXXXXX 大学（计算机图形学）实验报告 实验名称 画圆法 实验时间 年 月 日 专 业 姓 名 学 号 预 习 操 作 座 位 号 教师签名 总 评 一、实验目的： 1.了解画圆法的基本思想； 2.掌握画圆法的基本步骤。 二、实验原理： 1. 中点画圆法 中点画圆法是利用圆心在坐标原点的、半径为R )0,0(圆的方程222R y x =+，将每个像素的中点坐标代入圆的方程得到d,再通过d 的值来确定中点与圆的位置。 取重点以上的像素点。，则中点在圆内，点下方的像素点；如果则中点在圆外，就取中 如果00,d <>d 若 d<0, 则取P1为下一象素，而且再下一象素的判别式为 若d>=0, 则应取P2为下一象素，而且下一象素的判别式为 第 一个象素是（0,R ），判别式d 的初始值为 中点画圆法绘出的只是一个完整圆弧的八分之一，然后根据圆良好的对称性，绘出和参考点对称的另外七个点，再用中点画圆法，以生成的这几个点为基础，绘出其它七段圆弧，构成一个完整的园。这七个点的坐标分别为：(x0+x,y0-y,c)，(x0+x,y0+y,c)， (x0-x,y0-y,c)， (x0-x,y0+y,c)，(x0-y,y0-x,c)，(x0-y,y0+x,c)， (x0+y,y0+x,c)， (x0+y,y0-x,c)。 找到和参考点对称的另外几个点，再在中点绘制圆弧的定义函数中调用，绘制另外的几段圆弧。 。222)5.0()1()5.0,1()(R y x y x F M F d p p p p --++=-+==；32)5.0()2()5.0,2('222++=--++=-+=p p p p p x d R y x y x F d ；5)(2)5.1()2()5.1,2('222+-+=--++=-+=p p p p p p y x d R y x y x F d 。 R R F d -=-=25.1)5.0,1(0 Bresenham直线算法与画圆算法 文章分类:Java编程 计算机是如何画直线的？简单来说，如下图所示，真实的直线是连续的，但我们的计算机显示的精度有限，不可能真正显示连续的直线，于是我们用一系列离散化后的点（像素）来近似表现这条直线。 （上图来自于互联网络，《计算机图形学的概念与方法》柳朝阳，郑州大学数学系） 接下来的问题就是如何尽可能高效地找到这些离散的点，Bresenham直线算法就是一个非常不错的算法。 Bresenham直线算法是用来描绘由两点所决定的直线的算法，它会算出一条线段在 n 维光栅上最接近的点。这个算法只会用到较为快速的整数加法、减法和位元移位，常用于绘制电脑画面中的直线。是计算机图形学中最先发展出来的算法。 (引自wiki百科布雷森漢姆直線演算法) 这个算法的流程图如下： 可以看到，算法其实只考虑了斜率在 0 ~ 1 之间的直线，也就是与 x 轴夹角在 0 度到 45 度的直线。只要解决了这类直线的画法，其它角度的直线的绘制全部可以通过简单的坐标变换来实现。 下面是一个C语言实现版本。 Java代码 1.view sourceprint? 2. // 交换整数 a 、b 的值 3. 4.inline void swap_int(int *a, int *b) 5.{ 6. *a ^= *b; 7. *b ^= *a; 8. *a ^= *b; 9.} 10. 11.// Bresenham's line algorithm 12. 13.void draw_line(IMAGE *img, int x1, int y1, int x2, int y2, unsi gned long c) 14.{ 15. // 参数 c 为颜色值 16. int dx = abs(x2 - x1), 17. dy = abs(y2 - y1), 18. yy = 0; 19. 20. if(dx < dy) 21. { 22. yy = 1; 23. swap_int(&x1, &y1); 24. swap_int(&x2, &y2); 25. swap_int(&dx, &dy); 26. } 27. 28. int ix = (x2 - x1) > 0 ? 1 : -1, 29. iy = (y2 - y1) > 0 ? 1 : -1, 30. cx = x1, 31. cy = y1, 32. n2dy = dy * 2, 33. n2dydx = (dy - dx) * 2, 34. d = dy * 2 - dx; 35. 36.// 如果直线与 x 轴的夹角大于45度 37. if(yy) 38. { 39. while(cx != x2) 40. { 41. if(d < 0) 42. { 43. d += n2dy; 44. } 45. else 46. { 47. cy += iy; 48. d += n2dydx; 49. } 50. 51. putpixel(img, cy, cx, c); 给定两个点起点P1(x1, y1), P2(x2, y2),如何画它们直连的直线呢，即是如何得到上图所示的蓝色的点。假设直线的斜率0 e = e + k; if (e > 0) { y++; e = e - 1; } } } 上述Bresenham算法在计算直线斜率与误差项时用到小数与除法。可以改用整数以避免除法。等式两边同时乘以2*dx，得到2*e*dx = 2*e*dx + 2dy, 2*e*dx = 2*e*dx - 2*dx.由于算法中只用到误差项的符号，因此可作如下替换：2*e*dx.改进的Bresenham画线算法程序：将e统一乘以2*dx即变成了整数的Bresenhan算法了，^_^ void InterBresenhamline (int x0, int y0, int x1, int y1, int color) { int dx = x1 - x0； int dy = y1 - y0； int dx2 = dx << 1;//乘2 int dy2 = dy<< 1;//乘2 int e = -dx; int x = x0； int y = y0; for (x = x0; x < x1; x++) { drawpixel (x, y, color); e=e + dy2; if (e > 0) { y++; e = e - dx2; } } }计算机图形学正负法画圆
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2.1.2 生成直线的Bresenham算法
从上面介绍的DDA算法可以看到，由于在循环中涉及实型数据的加减运算，因此直线的生成速度较慢。 在生成直线的算法中，Bresenham算法是最有效的算法之一。Bresenham算法是一种基于误差判别式来生成直线的方法。 一、直线Bresenham算法描述： 它也是采用递推步进的办法，令每次最大变化方向的坐标步进一个象素，同时另一个方向的坐标依据误差判别式的符号来决定是否也要步进一 个象素。 我们首先讨论m=△ y/△x，当0≤m≤1且x1
由图中可以知道，在x=xi+1处，直线上点的y值是y=m(xi+1)+b，该点离象素点(xi+1，yi)和象素点(xi+1，yi+1)的距离分别是d1和d2：
d1=y-yi=m(xi+1)+b-yi d2=(yi+1)-y=(yi+1)-m(xi+1)-b 这两个距离差是 d1-d2=2m(xi+1)-2yi＋2b-1
(2－8) (2－9)
(2－10)
我们来分析公式(2-10)： (1)当此值为正时，d1>d2，说明直线上理论点离(xi+1，yi+1)象素较近，下一个象素点应取(xi+1，yi+1)。 (2)当此值为负时，d1
2011-7-12画圆的方法
计算机图形学-设计算法绘制直线与圆
DDA算法 中点画线算法 Bresenham算法
数学教学用画圆器制作方法
Circle方法用于绘制圆
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计算机图形学 实验 数值微分(DDA)法、中点画线法、Bresenham算法
计算机图形学 实验 画圆法
Bresenham直线算法与画圆算法
bresenham画线算法详解