§8.4双曲线的简单几何性质 离心率在解题中的应用_964
离心率在解题中的应用
王学青
（江苏省吴江市平望中学 ２１５２２１）
离心率是圆锥曲线中的一个基本量，它可以用来统一定义圆锥曲线，解析几何中的许多习题都跟它有直接联系．对于某些习题，若能将题设中的有关条件跟离心率巧妙地联系起来，常常会起到简化解题过程、迅速求解的功效．现举例说明如下．
一、轨迹方程或曲线类型问题
例１ 方程143)1(22--=+-y x y x 对应的点Ｐ（x ,y ）表示的轨迹为（ ）
Ａ．抛物线 Ｂ．双曲线 Ｃ．椭圆 Ｄ．两条直线
分析：如果按一般方法：两边平方后再化简方程进行判断，不但计算较繁杂，右边还会出现xy 这样的二次项．由于现行的教材中没有坐标轴旋转的内容，因而用这样的方法学生很难得到正确的结论．但如果把方程变形为51
435)1(22--?=+-y x y x ，左端就是Ｐ（x ,y ）到Ｍ（１，０）的距离，右端显然是
Ｐ（x ,y ）到直线0143:=--y x l 的距离，上式即表示Ｐ（x ,y ）到Ｍ点的距离是直线l 的距离的５倍，因Ｍ不在直线l 上，根据圆锥曲线的定义，它的离心率e ＝５＞１，故选Ｂ．
如用此法判别以下轨迹方程表示何种曲线就很容易了． （１）1435
1)1(2
2--=+-y x y x ；（抛物线） （２）143101)1(22--=+-y x y x ．（椭圆） 例２ 以圆锥曲线焦点弦为直径的圆若与相应的准线的位置关系分别为①相交，②相切，③相离，那么此圆锥曲线一定分别是①＿＿＿，②＿＿＿，③＿＿＿．
分析：判定为何种圆锥曲线的关系是求得相应条件下的离心率的范围．
设圆锥曲线的焦点为Ｆ，焦点弦为ＭＮ，圆心为Ｐ，ＭM ′，ＰＰ′，
ＮＮ′分别与准线l 垂直于Ｍ′，Ｐ′，Ｎ′（图１），则离心率
P P PM P P MN N N M M NF MF N N NF
M M MF
e '
='='+'+='='=2． ①相交时，PM P P '，此时e ＞１，曲线为双曲线．同样可得出②
抛物线，③椭圆．
例３ 已知抛物线Ｃ：y ２＝４x ．若椭圆的左焦点及相应的准线与抛物线Ｃ的焦点Ｆ及准线l 分别重合，
试求椭圆的短轴端点Ｂ与焦点Ｆ连线的中点Ｐ的轨迹方程．（图２）
分析：由于可以求得焦点坐标和准线方程，因而假设Ｐ点为（x ，y ）
后即可根据圆锥曲线的两个不同的定义，分别得出离心率的不同表达式，
从而得到轨迹方程．
解 由y ２＝４x 得焦点Ｆ（１，０），准线l ：x ＝－１．设Ｐ点为（x ，
y ），因Ｐ为ＢＦ的中点，得Ｂ点为（２x －１，２y ），设椭圆中心为Ｏ′，
ＢＢ′⊥l 于Ｂ′，则有,,e BF O F e B B BF
='
='因此BF
O F B B BF '='，得
2222)
2()22(112112)2()22(y x x x y x +---=+-+-，化简得 1),22(24)22(222-=-=+-x y x x y x 即．又因Ｏ′在Ｆ的右方x x ?-?022 ＞１．所以Ｐ点的轨迹方程为)1(12 x x y -=．
二、最值问题
例４ 设Ｐ（５，－１），Ｆ为椭圆112
)2(16)6(2
2=-+-y x 的左焦点，点Ｑ在椭圆上移动．为了使PQ QF 2
1+有最小值，求Ｑ点的坐标．（图３） 分析：根据题意，按两点间的距离公式列出PQ QF 21+
的表达式，然后再按求最小值的常规方法求解，以确定Ｑ的坐标．这样解题过程相当繁杂，也难以求出结果．从题设知QF 即椭圆的焦半径，椭圆中PQ e c b a 又正好为而2
1,21,2,32,4=
===前面的系数，由此联想到用离心率、焦点、准线间的关系求解． 解 因21,2,4==
==a c e c a ，左准线为2166-=-x 即x ＝－２，设Ｑ到准线的距离为QN ，因此QN QF QN QF
e 21,21===，显然PN PQ QN PQ QF 2
1)(2121≥+=+
，所以只有当Ｐ，Ｑ，Ｎ三点共线，且Ｑ在Ｐ，Ｎ之间时，PQ QF 21+的值最小为PN 21，此时Ｑ点和Ｐ点的纵坐标相同．将1-=y 代入椭圆方程得x ＝４或x ＝８，而x =8时Ｑ点在Ｐ点的右侧显然不合题意，舍去，所以Ｑ点的坐标为（４，－１）．
根据例４的解题思路，例５、例６的求解就很方便了．
例５ 设双曲线116
92
2=-x y 的右焦点为Ｆ，点Ａ（９，２），试在双曲线上求一点Ｍ，使MA MF 35+有最小值．（Ｍ（)2,2
53） 例６ 已知点Ａ（２，１），在抛物线x y 42=上求一点Ｍ，使MF MA +有最小值，并求出最小值．（Ｍ（4
1，１），最小值３） 解此类题只要观察定点和曲线上的动点连结的线段前面的系数是否为该圆锥曲线的离心率，求动点坐
标时只要将过定点和准线垂直的直线方程对应的坐标代入曲线方程即得另一坐标，最小值即该点到相应准
线的距离的e 倍．
例７ 已知a b R b a 4,2=∈且．试求2222)1()1()2(b a b a T +-+-+-=的最小值．
分析：由a b 42=联想到),(,42b a M x y =为抛物线上的点，2222)1()1()2(b a b a +--+-和分
别是Ｍ（a ,b ）到Ａ（２，１）和Ｆ（１，０）的距离，Ｆ（１，０）又恰为抛物线y ２
＝４x 的焦点．此题经过这样变换不就是例６中求MF MA +的最小值吗？因为抛物线离心率e ＝１，很容易得Ｔ最小＝３．
离心率在解题中的应用，远非以上两个方面．但从上面的例子已经可以看出，利用离心率的有关概念及性质会使某些问题的解答变得十分简捷流畅，值得我们进行研究和总结．
双曲线几何性质 (1)
百度文库- 让每个人平等地提升自我！ 1 双曲线的几何性质 学习目标：理解并掌握双曲线的几何性质，能根据性质解决一些基本问题，进一步体会数形结合的思想. 学习重点：双曲线的几何性质及其运用. 一、学习情境 类比椭圆几何性质和研究方法，我们应该如何去研究双曲线的几何性质？ 二、学习任务（理P56—P58例3完；文P49—P51例3完） 问题1: 画出 1 3 42 2 2 2 = - y x 与 1 3 42 2 2 2 = - x y 的图形，观察图形你能得出双曲线的哪些性质？ 问题2: 请分别从图形和方程两个角度解释这些性质. 标准方程 图象 范围 对称轴 对称中心 实虚轴 顶点 渐近线 离心率 a,b,c关系 A级理P61 (文P53) 1、2、3、4 B级习题理2.3 (文2.2) 3、4 选做题 1、已知椭圆方程 1 9 16 2 2 = + y x 和双曲线方程 1 9 16 2 2 = - x y 有下列说法： ①椭圆和双曲线的实轴长都是4，但椭圆和双曲线的实轴分别在x轴和y轴上; ②椭圆的长半轴长是4，双曲线的实轴长是3 ③它们的焦距都是10 其中说法正确的个数是（） A、0 B、1 C、2 D、3个 2、根据下列条件，求双曲线方程 ①与双曲线1 4 16 2 2 = - y x 有公共焦点，且过点（2 3，2） ②与双曲线1 9 16 2 2 = - y x 有共同的渐近线，且过点（3 2，-3） 三、归纳反思 椭圆和双曲线几何性质的比较： 椭圆双曲线定义 标准方程 图形 (顶点坐 标) (焦点坐 标) 范围 轴 对称轴 (对称中 心) 离心率 及其范围 a,b,c关系 渐近线
双曲线的简单几何性质总结归纳
双曲线的简单几何性质 一．基本概念 1 双曲线定义： ①到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹 （21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点． ②动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线 这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线 2、双曲线图像中线段的几何特征： ⑴实轴长122A A a =，虚轴长2b,焦距122F F c = ⑵顶点到焦点的距离：11A F =22A F c a =-，12A F =21A F a c =+ ⑶顶点到准线的距离：21122 a A K A K a c ==-；21221 a A K A K a c ==+ ⑷焦点到准线的距离：22 11221221 a a F K F K c F K F K c c c ==-==+或 ⑸两准线间的距离: 2 122a K K c = ⑹21F PF ?中结合定义a PF PF 221=-与余弦定理21cos PF F ∠，将 有关线段1PF 、2PF 、21F F 和角结合起来，122 12 cot 2 PF F F PF S b ?∠= ⑺离心率： 121122121122PF PF A F A F c e PM PM A K A K a ======∈（1，+∞） ⑻焦点到渐近线的距离：虚半轴长b ⑼通径的长是a b 22，焦准距2b c ，焦参数2b a （通径长的一半）其中2 22b a c +=a PF PF 221=- 3 双曲线标准方程的两种形式： ①22 a x －22 b y =1， c =22b a +，焦点是F 1（－c ，0），F 2（c ，0） ②22a y －22 b x =1， c =22b a +，焦点是F 1（0，－c ）、F 2（0，c ） 4、双曲线的性质：22 a x －22b y =1（a ＞0，b ＞0） ⑴范围：|x |≥a ，y ∈R ⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0） ⑷渐近线： ①若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程?=-02222b y a x x a b y ±= ②若渐近线方程为x a b y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x ③若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22 22b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上） ④特别地当?=时b a 离心率2=e ?两渐近线互相垂直，分别为y=x ±，
双曲线的简单几何性质(教案)(精)
双曲线的简单几何性质 山丹一中周相年 教学目标: (1 知识目标 能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点、实虚半轴、焦点、离心率、渐近线方程等,熟练掌握双曲线的几何性质 . (2能力目标 通过类比椭圆的简单几何性质的方法来研究双曲线的简单几何性质, 在老师的指导下让学生积极讨论、归纳,培养学生的观察、研究能力,增强学生的自信心 . (3 情感目标 通过提问、讨论、合作、探究等主动参与教学的活动,培养学生自尊、自强、自信、自主等良好的心理潜能和主人翁意识、集体主义精神 . 教学重点:双曲线的几何性质 . 教学难点:双曲线的渐近线 . 教学方法:启发诱导、练讲结合 教学用具 :多媒体 教学过程: 一、复习回顾,问题引入: 问题 1:双曲线的定义及其标准方程?
问题 2:椭圆的简单几何性质有哪些?我们是如何研究的?双曲线是否也有类似性质?又该怎样研究? 二、合作交流,探究性质: 类比椭圆的几何性质的研究方法,我们根据双曲线的标准方程 0, 0(122 22>>=-b a b y a x 研究它的几何性质 1. 范围: 双曲线在不等式x ≥ a 与x ≤-a 所表示的区域内 . 2. 对称性: 双曲线关于每个坐标轴和原点都对称, 这时, 坐标轴是 双曲线的对称轴, 原点是双曲线的对称中心, 双曲线的对称 中心叫双曲线中心 . 3.顶点: (1 双曲线和它的对称轴有两个交点 A1(-a,0 、 A2(a,0, 它们叫做双曲线的顶点 . (2 线段 A1A2叫双曲线的实轴, 它的长等于 2a,a 叫做双曲线的实半轴长; 线段B1B2叫双曲线的虚轴,它的长等于 2b, b叫做双曲线的虚半轴长 .
双曲线的几何性质教案(精)
双曲线的简单几何性质教案课题:双曲线的简单几何性质 教学类型:新知课 教学目标: ①知识与技能 理解并掌握双曲线的几何性质, 能根据性质解决一些基本问题培养学生分析,归纳,推理的能力。 ②过程与方法 与椭圆的性质类比中获得双曲线的性质,进一步体会数形结合的思想,掌握利用方程研究曲线性质的方法 ③情感态度与价值观 通过本节课的学习使学生进一步体会曲线与方程的对应关系, 感受圆锥曲线在解决问题中的应用 教学方法:本节课主要通过数形结合,类比椭圆的几何性质,运用现代化教学手段,通过观察,分析,归纳出双曲线的几何性质,在教学过程中可采取设疑提问,重点讲解,归纳总结,引导学生积极思考,鼓励学生合作交流。 教学重难点: 重点:双曲线的几何性质及其运用 难点 : 双曲线渐近线,离心率的讲解 教具:多媒体 教学过程:
⑴复习提问导入新课: 首先带领学生复习椭圆的几何性质,它有哪些几何性质?(应为范围,对称性,顶点,焦点 ,离心率,准线是如何探讨的呢?(通过椭圆的标准方程探讨。让全班同学口答,并及时给以表扬。接下来让那个同学回忆双曲线的标准方程是什么?请一名同学回答。 (应为:中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程为 x 2/a 2-y 2/b 2=1; 中心在原点,焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为 y 2/a 2-x 2/b 2=1 。回忆完旧知后,我会给 出一首歌曲《悲伤的双曲线》 (大概一分钟左右 ,引起学生兴趣,渴望知道双曲线的性质,这样顺利进入探究新知环节中。 ⑵引导探索,学习新知 1, 引导学生完成黑板上关于椭圆与双曲线性质的表格(让学生回答,教师引导, 启发,订正并写在黑板上 ,通过类比联想可以得到双曲线的范围,对称性和顶点。 2, 导出渐近线(性质 4 在学习椭圆时,以原点为中心, 2a,2b 为邻变的矩形,对于估计椭圆的形状, 画出椭圆的简图有很大帮助, 试问对双曲线, 仍然以 2a,2b 为邻边做一矩形, 那么双曲线和这个矩形有什么关系呢?这个矩型对于估计和画出双曲线有什么指导意义呢? (不要求学生回答, 只引起学生类比联想。接着在提出问题:当 a,b 为已知时,这个矩形的两条对角线所在的直线的方程是什么?(请一名同学回答。接下来按照幻灯片显示来详细解决。最后向学生说明我们研究渐近线是为了较 准确地画出双曲线的草图。 3. 顺其自然介绍离心率 由于正确的认识了渐近线的概念, 对于离心率的直观意义也就容易掌握了,为此介绍双曲线的离心率其的影响。 最后应明确的指出:双曲线的几何性质与坐标系的选择无关, 即不随坐标系的 改变而改变。
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北安一中高二数学导学案 主备人：陈叔彤 审阅人：高二数学组 备课日期 ：2012-10-17 课题：§双曲线简单几何性质知识点总结 课时： 课时 班级： 姓名： 【学习目标】 知识与技能：1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等 几何性质 2．掌握双曲线的另一种定义及准线的概念3．掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念 过程与方法：进一步对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育情感态度与价值观：辨证唯物主义世界观。【学习重点】双曲线的几何性质及其应用。【学习难点】双曲线的知识结构的归纳总结。 【学法指导】 1.课前依据参考资料，自主完成，有疑问的地方做好标记. 2.课前互相讨论交流，课上积极展示学习成果. 【知识链接】双曲线的定义：_________________________________________________【学习过程】 1．范围： 由标准方程，从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图 122 22=-b y a x 象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大。 X 的取值范围________ y 的取值范围______2. 对称性： 对称轴________ 对称中心________3．顶点：(如图) 顶点：____________特殊点：____________实轴：长为2a, a 叫做半实轴长21A A 虚轴：长为2b ，b 叫做虚半轴长 21B B 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点， 这是两者的又一差异4．离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率 a c a c e == 22范围：___________________ 双曲线形状与e 的关系：，e 越大，即渐112 222 2-=-=-= =e a c a a c a b k 近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔
《双曲线的简单几何性质》教学设计.
《双曲线的简单几何性质》教学设计 首都师范大学附属丽泽中学宛宇红靳卫红 一、教材分析 1.教材中的地位及作用 本节课是学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，在此基础上，反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质。它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质。 2.教学目标的确定及依据 平面解析几何研究的主要问题之一就是：通过方程，研究平面曲线的性质。教学参考书中明确要求：学生要掌握圆锥曲线的性质，初步掌握根据曲线的方程，研究曲线的几何性质的方法和步骤。根据这些教学原则和要求，以及学生的学习现状，我制定了本节课的教学目标。 （1）知识目标：①使学生能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称性、 顶点、离心率、渐近线等几何性质； ②掌握双曲线标准方程中c ,的几何意义，理解双曲线的渐近 a, b 线的概念及证明； ③能运用双曲线的几何性质解决双曲线的一些基本问题。 （2）能力目标：①在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，培养学生的观察 能力，想象能力，数形结合能力，分析、归纳能力和逻辑推 理能力，以及类比的学习方法； ②使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对 直角坐标系中曲线与方程的概念的理解。
（3）德育目标：培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运用运动的，变化的观点分析理解事物。 3.重点、难点的确定及依据 对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，而学生对渐近线的发现与证明方法接受、理解和掌握有一定的困难。因此，在教学过程中我把渐近线的发现作为重点，充分暴露思维过程，培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，巧妙地应用极限思想导出了双曲线的渐近线方程。这样处理将数学思想渗透于其中，学生也易接受。因此，我把渐近线的证明作为本节课的难点，根据本节的教学内容和教学大纲以及高考的要求，结合学生现有的实际水平和认知能力，我把渐近线和离心率这两个性质作为本节课的重点。 4.教学方法 这节课内容是通过双曲线方程推导、研究双曲线的性质，本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中可以与其类比讲解，让学生自己进行探究，得到类似的结论。在教学中，学生自己能得到的结论应该让学生自己得到，凡是难度不大，经过学习学生自己能解决的问题，应该让学生自己解决，这样有利于调动学生学习的积极性，激发他们的学习积极性，同时也有利于学习建立信心，使他们的主动性得到充分发挥，从中提高学生的思维能力和解决问题的能力。 渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，而学生对渐近线的发现与证明方法接受、理解和掌握有一定的困难。因此，在教学过程中着重培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，从已有知识出发，层层设（释）疑，激活已知，启迪思维，调动学生自身探索的内驱力，进一步清晰概念（或图形）特征，培养思维的深刻性。 例题的选备，可将此题作一题多变（变条件，变结论），训练学生一题多解，开拓其解题思路，使他们在做题中总结规律、发展思维、提高知识的应用能力和发现问题、解决问题能力。
双曲线的简单几何性质 (第二课时) 教案 2
课 题：8．4双曲线的简单几何性质 （二） 教学目的： 1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质 2．掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念 3．并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题 4．通过教学使同学们运用坐标法解决问题的能力得到进一步巩固和提高，“应用数学”的意识等到进一步锻炼的培养 教学重点：双曲线的渐近线、离心率 教学难点：渐近线几何意义的证明，离心率与双曲线形状的关系 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．范围、对称性 由标准方程122 22=-b y a x ，从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方 向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭 圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心 2．顶点 顶点：()0,),0,(21a A a A - 特殊点：()b B b B -,0),,0(21 实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长 虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异 3．渐近线 过双曲线122 22=-b y a x 的两顶点21,A A ，作Y 轴的平行线a x ±=，经过21,B B 作X 轴的 平行线b y ±=，四条直线围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是x a b y ± =（ 0=±b y a x ），这两条直线就是双曲线的渐近线 4．等轴双曲线 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±=；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率2=e x y Q B 1 B 2A 1A 2N M O
(完整版)双曲线简单几何性质知识点总结
四、双曲线 一、双曲线及其简单几何性质 （一）双曲线的定义：平面内到两个定点F 1，F 2的距离差的绝对值等于常数2a （0＜2a ＜|F 1F 2|）的点的轨 迹叫做双曲线。 定点叫做双曲线的焦点；|F 1F 2|=2c ，叫做焦距。 ● 备注：① 当|PF 1|-|PF 2|=2a 时，曲线仅表示右焦点F 2所对应的双曲线的一支（即右支）； 当|PF 2|-|PF 1|=2a 时，曲线仅表示左焦点F 1所对应的双曲线的一支（即左支）； ② 当2a=|F 1F 2|时，轨迹为以F 1，F 2为端点的2条射线； ③ 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。 双曲线12222=-b y a x 与122 22=-b x a y （a>0,b>0）的区别和联系
（二）双曲线的简单性质 1．范围： 由标准方程122 22=-b y a x （a ＞0，b ＞0），从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的 方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大。 x 的取值范围________ ,y 的取值范围______ 2. 对称性： 对称轴________ 对称中心________ 3．顶点：(如图) 顶点：____________ 特殊点：____________ 实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长 虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做半虚轴长 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点 4．离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比 a c a c e = = 22，叫做双曲线的离心率 范围：___________________ 双曲线形状与e 的关系：1122 222-=-=-==e a c a a c a b k ，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就越 大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔 5．双曲线的第二定义： 到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数 )0(>>= a c a c e 的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双 曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e 是双曲线的离心率． 准线方程： 对于12222=-b y a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 2 1:-=， 相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线 c a x l 2 2:= ； 6．渐近线 过双曲线122 2 2=-b y a x 的两顶点21,A A ，作x 轴的垂线a x ±=，经过21,B B 作y 轴的垂线b y ±=，四条直线 围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是____________或（0 =±b y a x ），这两条直线就是双曲线 的渐近线 双曲线无限接近渐近线，但永不相交。
双曲线的几何性质(一)
双曲线的几何性质（一） 教学目标 1.掌握双曲线的几何性质 2.能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点、实虚半轴、焦点、离心率、渐近线方程. 教学重点 双曲线的几何性质 教学难点 双曲线的渐近线 教学过程 I.复习回顾： 双曲线的标准方程、研究椭圆的几何性质的方法与步骤 II.讲授新课： 1.范围： 双曲线在不等式x ≥a 与x ≤－a 所表示的区域内. 2.对称性： 双曲线关于每个坐标轴和原点都对称， 这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是 双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫 双曲线的中心。 3.顶点： 双曲线和它的对称轴有两个交点A 1(－a ,0)、A 2(a ,0)，它们叫做双曲线的顶点. 线段A 1A 2叫双曲线的实轴，它的长等于2a ,a 叫做双曲线的实半轴长；
线段B 1B 2叫双曲线的虚轴，它的长等于2b ,b 叫做双曲线的虚半轴长. 4.渐近线 ①我们把两条直线y=± x a b 叫做双曲线的渐近线； ②从图可以看出，双曲线122 22=-b y a x 的各支向 外延伸时，与直线y =±x a b 逐渐接近. ③“渐近”的证明：略 ④等轴双曲线： 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线. ⑤ 利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图.具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线. 注意：⑴求渐近线方程的简便方法：令方程左边等于零即0b y a x 22 22=- ⑵等轴双曲线一般可设为k y x 22=- 等轴双曲线的性质：①离心率为2 ②等轴双曲线的相伴矩形是正方形 ③渐近线方程为y ＝±x 且互相垂直 ④两条渐近线平分双曲线实轴和虚轴所成的角。 5.离心率：
双曲线的几何性质.
双曲线的几何性质 （4） 教学目标：能综合应用所学知识解决较综合的问题，提高分析问题与解决问题 的能力． 教学过程 例1 中心在原点，一个焦点为F （1，0）的双曲线，其实轴长与虚轴长之比为 m ， 求双曲线标准方程． 例2 已知点A(3,2)，F(2,0)，在双曲线22 13y x -=上求一点 P ，使1||||2 PA PF +的值最小． 例3 已知双曲线2 2 12 y x -=，求过定点A （2，1）的弦的中点P 的轨迹方程. 例4 在双曲线22 11312 x y - =-的一支上有三个不同点A (x 1,y 1)、B (x 2,6)、C (x 3,y 3)与焦点F 1(0,5)的距离成等差数列，求y 1+y 3的值． 例5已知梯形ABCD 中，AB//CD,|AB|=2|CD|，点 E 满足 ，双曲线 过 C 、 D 、 E 三点，且以 A 、 B 为焦点，当23 34 λ≤≤时，求双曲线离心率 的取值范围． 课堂练习 1．设直线y =kx 与双曲线4x 2―y 2=16相交，则实数k 的取值范围是 （A ）―2 双曲线的几何性质（1） 【学习目标】 1．了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等。 2．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题。 【自主学习】关于椭圆与双曲线性质的表格 渐近线 ①我们把两条直线y=±x a b 叫做双曲线的渐近线； ②双曲线12222=-b y a x 的各支向外延伸时，与直线y =±x a b 逐渐接近。 离心率 双曲线的焦距与实轴长的比e =a c ，叫双曲线的离心率； 说明：①由c >a >0可得e >1；②双曲线的离心率越大，它的开口越阔。 【活动探究】 例1双曲线22169144x y -=的实轴长是 ，虚轴的长是 ，离心率是 ，顶点坐标是 ，渐近线方程是 . 例2求双曲线13 42 2=-y x 的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、顶点坐标、离心率、渐近线方程． 例3 已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为 43 ，求双曲线的标准方程。 【目标检测】 1.比较下列双曲线的形状， ①22 936x y -=；②2211612x y -= ； ③2213664x y -=；④22 1106y x -= 其中开口最大的是 ，开口最小的是 。 2. 离心率是椭圆16x 2＋25y 2=400的离心率的倒数，焦点是此椭圆长轴端点的双曲线的标准方程是___________________。 3.．中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率为 3，焦距等于10的双曲线方程为______________________。 4．过双曲线的一个焦点F 2作垂直于实轴的弦PQ ，F 1是另一焦点，∠PF 1Q =π2 ，则这条双曲线的离心率等于_________。 5.渐近线方程是3x 02=±y ，一个焦点为F(-4,0)的双曲线方程为 。 6. 双曲线的离心率为 5 13，坐标轴为对称轴，且焦点在y 轴上，则此双曲线的渐近线方程是__________。 能力拓展提升 一、选择题 11．已知方程ax 2－ay 2＝b ，且a 、b 异号，则方程表示( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在x 轴上的双曲线 D ．焦点在y 轴上的双曲线 [答案] D [解析] 方程变形为x 2b a －y 2b a ＝1，由a 、b 异号知b a <0，故方程表示 焦点在y 轴上的双曲线，故答案为D. 12．(2013·新课标Ⅰ文，4)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为5 2，则C 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±1 4x B ．y ＝±1 3x C ．y ＝±12x D ．y ＝±x [答案] C [解析] 本题考查双曲线渐近线方程．由题意得c a ＝52，即c ＝52a ，而c 2 ＝a 2 ＋b 2 ，所以a 2 ＋b 2 ＝54a 2，b 2＝14a 2，b 2a 2＝14，所以b a ＝12，渐 近线的方程为y ＝±1 2x ，选C.在解答此类问题时，要充分利用a 、b 、c 的关系． 13．(2012～2013学年度浙江金华十校高二期末测试)已知椭圆x 2 a 2 ＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，则双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的渐近线方程为( ) A ．y ＝±3 2x B ．y ＝±1 2x C ．y ＝±2x D ．y ＝±233x [答案] A [解析] 由题意得a 2－b 2a ＝12， ∴3a 2 ＝4b 2 ，∴b a ＝3 2. ∴双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±3 2x . 14．中心在坐标原点，离心率为5 3的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( ) A ．y ＝±5 4x B ．y ＝±4 5x C ．y ＝±43x D ．y ＝±34x [答案] D [解析] ∵c a ＝53，∴c 2a 2＝a 2＋b 2 a 2＝259，∴ b 2a 2＝16 9， ∴b a ＝4 3，又∵双曲线的焦点在y 轴上， ∴双曲线的渐近线方程为x ＝±b a y ，即x ＝±4 3y ， ∴所求双曲线的渐近线方程为y ＝±34x . 二、填空题 双曲线的简单几何性质 【知识点1】双曲线22a x -2 2b y ＝1的简单几何性质 (1)范围：｜x ｜≥a,y∈R. (2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x 轴、y 轴及原点中心对称. (3)顶点：两个顶点：A 1(-a,0),A 2(a,0)，两顶点间的线段为实轴长为2a ，虚轴长为2b ，且c 2 ＝a 2 +b 2 . (4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y ＝±a b x ，或令双曲线标准方程22a x -2 2b y ＝1中的1为零即得渐近线方程. (5)离心率e ＝a c ＞1，随着e 的增大，双曲线张口逐渐变得开阔. (6)等轴双曲线(等边双曲线)：x 2-y 2＝a 2 (a≠0),它的渐近线方程为y ＝±x,离心率e ＝2. (7)共轭双曲线：方程22a x -22b y ＝1与22a x -2 2b y ＝-1表示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注 意方程的表达形式. 注意：（1）与双曲线22a x -22b y ＝1共渐近线的双曲线系方程可表示为22a x -2 2b y ＝λ(λ≠0且λ为待定常数) （2）与椭圆22a x +22b y ＝1(a ＞b ＞0)共焦点的曲线系方程可表示为λ-22a x -λ-22b y ＝1(λ＜a 2,其中b 2 -λ＞0时 为椭圆， b 2 ＜λ＜a 2 时为双曲线) （3）双曲线的第二定义：平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l :x ＝c a 2的距离之比等于常数e ＝a c (c ＞a ＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p ＝c b 2 ，与椭圆相同. 1、写出双曲线方程125492 2 -=-y x 的实轴长、虚轴的长，顶点坐标，离心率和渐近线方程 2、已知双曲线的渐近线方程为x y 4 3 ±=，求双曲线的离心率 双曲线的性质及应用 教学目标 (一)知识教学点 使学生理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质，并能具体估计双曲线的形状特征． (二)能力训练点 在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力． (三)学科渗透点 使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决双曲线中的弦、最值等问题． 教学重点：双曲线的几何性质及初步运用． (解决办法：引导学生类比椭圆的几何性质得出，至于渐近线引导学生证明．) 教学难点：双曲线的渐近线方程的导出和论证． (解决办法：先引导学生观察以原点为中心，2a、2b长为邻边的矩形的两条对角线，再论证这两条对角线即为双曲线的渐近线．) 教学疑点：双曲线的渐近线的证明． (解决办法：通过详细讲解．) 活动设计 提问、类比、重点讲解、演板、讲解并归纳、小结． 教学过程 (一)复习提问引入新课 1．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？ 请一同学回答．应为：范围、对称性、顶点、离心率，是从标准方程探讨的． 2．双曲线的两种标准方程是什么？ 再请一同学回答．应为：中心在原点、焦点在x轴上的双曲线的标 下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质． (二)类比联想得出性质(性质1～3) 引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格(让学生回答，教师引导、启发、订正并板书)．<见下页> (三)问题之中导出渐近线(性质4) 在学习椭圆时，以原点为中心，2a、2b为邻边的矩形，对于估计 仍以原点为中心，2a、2b为邻边作一矩形(板书图形)，那么双曲线和这个矩形有什么关系？这个矩形对于估计和画出双曲线简图(图2-26)有什么指导意义？这些问题不要求学生回答，只引起学生类比联想． 接着再提出问题：当a、b为已知时，这个矩形的两条对角线的方程是什么？ 下面，我们来证明它： 双曲线的几何性质 年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____ — 一、选择题(共34题，题分合计170分) ） 1.双曲线9y 2－x 2 －2x －10＝0的渐近线方程是 ＝±3(x ＋1) ＝±3(x －1) ＝±31(x ＋1) ＝±31 (x －1) 2.若双曲线x 2－y 2 =1右支上一点P (a ,b )到直线y =x 的距离为2，则a ＋b 的值是 A.－21 B.21 C.－21或21 或－2 ( 3.过(0,3)作直线 L ,若L 与双曲线 342 2y x =1,只有一个公共点,则L 共有 条 条 条 条 4.双曲线2mx 2 -my 2 =2,有一条准线方程是y =1,则m 应等于 是 21 34 5.双曲线15)1(422=--y x ，经过第一象限内的点) 217 , (m P ，则P 点到双曲线右焦点的距离是__________. 6.双曲线11692 2=-y x 的一个焦点到一条渐近线的距离等于 A.3 7.已知双曲线中心在原点且一个焦点为 )0,7(F ，直线y =x -1与其相交于M ?N 两点,MN 中点的横坐标为, 32 -则此双曲线的方程是 … A.14322=-y x B.13422=-y x C.12522=-y x D.1522 2=-y x 8.双曲线虚轴的一个端点为M,两个焦点为F,F ,∠FMF =120°则双曲线的离心率为 A.3 B.26 C.36 D.33 9.双曲线的渐近线方程为y =±2(x -1),一焦点坐标为(1+25,0),则该双曲线的方程是 A.116)1(422=--y x B.1164)1(22=--y x C.1416)1(22=--y x D.116)1(42 2=--y x 10.过双曲线1 22 2 =-y x 的右焦点F 作直线l 交双曲线于A ?B 两点,若|AB |=4,则这样的直线l 有 条 条 条 条 11.以椭圆114416922=+y x 的右焦点为圆心，且与双曲线116922=-y x 的渐近线相切的圆的方程是 / A. 91022=+-+x y x B. 91022=--+x y x C. 091022=-++x y x 双曲线的标准方程及其几何性质 一、双曲线的标准方程及其几何性质. 1．双曲线的定义：平面内与两定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数(大于零，小于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫双曲线。两定点F 1、F 2是焦点，两焦点间的距离｜F 1F 2｜是焦距，用2c 表示，常数用2a 表示。 (1)若｜MF 1｜-｜MF 2｜=2a 时，曲线只表示焦点F 2所对应的一支双曲线. (2)若｜MF 1｜-｜MF 2｜=-2a 时，曲线只表示焦点F 1所对应的一支双曲线. (3)若2a =2c 时，动点的轨迹不再是双曲线，而是以F 1、F 2为端点向外的两条射线. (4)若2a ＞2c 时，动点的轨迹不存在. 2.双曲线的标准方程：22 a x -22b y =1(a ＞0,b ＞0)表示焦点在x 轴上的双曲线； 22a y -2 2b x =1(a ＞0,b ＞0)表示焦点在y 轴上的双曲线. 判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x 2 、y 2 的分母的大小，而是x 2 、y 2 的系数 的符号，焦点在系数正的那条轴上. 4.直线与双曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与双曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定。 （1）通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式?，则有：?>?0直线与双曲线相交于两个点；?=?0直线与双曲线相交于一个点；? (3)直线l 被双曲线截得的弦长2 212))(1(x x k AB -+=或2 212 ))(11(y y k -+ ，其中k 是直线l 的斜率，),(11y x ，),(22y x 是直线与双曲线的两个交点A ，B 的坐标，且 212212214)()(x x x x x x -+=-，21x x +，21x x 可由韦达定理整体给出． 二、例题选讲 例1、中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距 离为2，则双曲线方程为 ( ) A ．x 2－y 2＝1 B ．x 2－y 2＝2 C ．x 2－y 2＝ 2 D ．x 2－y 2＝1 2 解析：由题意，设双曲线方程为x 2a 2－y 2 a 2＝1(a >0)，则c ＝2a ，渐近线y ＝x ， ∴ |2a | 2 ＝2，∴a 2＝2.∴双曲线方程为x 2－y 2＝2. 答案：B 例2、根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程． (1)过点)2,3(-P ，离心率2 5= e ． (2)1F 、2F 是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上一点，双曲线离心率为2且 ?=∠6021PF F ，31221=?F PF S ． 解：(1)依题意，双曲线的实轴可能在x 轴上，也可能在y 轴上，分别讨论如下． 如双曲线的实轴在x 轴上，设122 22=-b y a x 为所求． 由25=e ，得4522=a c ． ① 由点)2,3(-P 在双曲线上，得 12 922 =-b a ．②， 又222c b a =+，由①、②得12=a ，4 1 2= b ． ③ 若双曲线的实轴在y 轴上，设12222=-b y a x 为所求． 同理有4522=a c ，19 222=-b a ， 222c b a =+．解之，得2 17 2- =b （不合，舍去）． ∴双曲线的实轴只能在x 轴上，所求双曲线方程为142 2 =-y x ． (2)设双曲线方程为12222=-b y a x ，因c F F 221=，而2==a c e ，由双曲线的定义，得 双曲线简单几何性质知 识点总结 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08] 四、双曲线 一、双曲线及其简单几何性质 （一）双曲线的定义：平面内到两个定点F 1，F 2的距离差的绝对值等于常数2a （0＜2a ＜|F 1F 2|）的点的轨迹叫做双曲线。 定点叫做双曲线的焦点；|F 1F 2|=2c ，叫做焦距。 ● 备注：① 当|PF 1|-|PF 2|=2a 时，曲线仅表示右焦点F 2所对应的双曲线的一支（即右支）； 当|PF 2|-|PF 1|=2a 时，曲线仅表示左焦点F 1所对应的双曲线的一支（即左支）； ② 当2a=|F 1F 2|时，轨迹为以F 1，F 2为端点的2条射线； ③ 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。 双曲线12222=-b y a x 与122 22=-b x a y （a>0,b>0）的区别和联系 （二）双曲线的简单性质 1．范围： 由标准方程122 22=-b y a x （a ＞0，b ＞0），从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间 没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大。 x 的取值范 围________ ,y 的取值范围______ 2. 对称性： 对称轴________ 对称中心________ 3．顶点：(如图) 顶点：____________ 特殊点：____________ 实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长 虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做半虚轴长 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点 4．离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比a c a c e = = 22，叫做双曲线的离心率 范围： ___________________ 双曲线形状与e 的关系：1122 222-=-=-==e a c a a c a b k ，e 越大，即渐近线的斜 率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心 率越大，它的开口就越阔 5．双曲线的第二定义： 2.3.2 双曲线的几何性质（第一课时教案) 一、 教学目标 1. 知识与技能 （1）理解并掌握双曲线的简单几何性质； （2）利用双曲线的几何性质解决双曲线的问题。 2. 过程与方法 （1）通过类比椭圆的几何性质，得到双曲线的几何性质； （2）通过例题和练习掌握根据条件求双曲线几何性质的相关问题。 3. 情感、态度与价值观 （1）培养学生的知识类比的数学思想和逻辑思维能力； （2）培养学生的方法归纳能力和应用意识。 二、 教学重难点 1、教学重点：双曲线的几何性质 2、教学难点：应用双曲线的几何性质解决双曲线的相关问题 三、 教学过程 结合双曲线图像以及几何画板动画，学习双曲线 的相关几何性质。 1. 取值范围 (1) 焦点在x 轴上：x a ≥或x a ≤-，y R ∈ (2) 焦点在y 轴上：y a ≥或y a ≤-，x R ∈ 2. 对称性——既是轴对称图形，又是中心对称图形 3. 顶点——双曲线与坐标轴的交点，即12,A A （以图为例） (1) 实轴——线段12A A 。122,A A a a =为半实轴长； (2) 虚轴——记12(0,),(0,)B b B b -，则线段12B B 为虚轴。122,B B b b =为半虚轴长。 (3) 等轴双曲线——实轴与虚轴长度相等的双曲线。 一般可设为：22,(0)x y m m -=≠ 4. 离心率：c e a = (1) 范围：1e >； (2) 变化规律：e 越大，双曲线开口越大；e 越小，双曲线开口越小. 5. 渐近线 (1) 若22 221(0,0)x y a b a b -=>>，则渐近线为：b y x a =±， (2) 若)0,0(122 22>>=-b a b x a y ，则渐近线为：a y x b =±， (3) 一般求法：令双曲线方程等于0，即22220x y a b -=（或22 220y x a b -=） (4) 渐近线相同的双曲线可设为：22 22(0)x y a b λλ-=≠ 题型一：求双曲线的标准方程 例 求满足下列条件的双曲线标准方程 （1） 顶点在x 轴上，两定点间的距离为8，54e = ； （2） 焦点在y 轴上，焦距为16，43 e =； （3） 以椭圆22 185 x y +=的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线； （4） 过点(3,1)A -的等轴双曲线. 题型二：有关渐近线的计算 例1 已知双曲线的渐近线方程为34 y x =±，求双曲线的离心率为. 例2 若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点为) ，求双曲线的方程. 例3 求与双曲线22 1916x y -=有共同的渐近线，且过点(3,-的双曲线方程. 作业：P61 A 组 《导报》第8课时 典型例题一 例1 求与双曲线19162 2=-y x 共渐近线且过() 332-，A 点的双曲线方程及离心率． 解法一：双曲线191622=-y x 的渐近线方程为：x y 4 3±= （1）设所求双曲线方程为122 22=-b y a x ∵43=a b ，∴a b 4 3= ① ∵()332-， A 在双曲线上 ∴191222=-b a ② 由①－②，得方程组无解 （2）设双曲线方程为122 22=-b x a y ∵43=a b ，∴a b 3 4= ③ ∵() 332-，A 在双曲线上，∴112922=-b a ④ 由③④得492=a ，42= b ∴所求双曲线方程为：144 922=-x y 且离心率3 5=e 解法二：设与双曲线191622=-y x 共渐近线的双曲线方程为：()09 162 2≠=-λλy x ∵点()332-，A 在双曲线上，∴4 1991612-=-=λ ∴所求双曲线方程为：4191622-=-y x ，即14 4 92 2=-x y ． 说明：（1）很显然，解法二优于解法一． （2）不难证明与双曲线191622=-y x 共渐近线的双曲线方程()09 162 2≠=-λλy x ． 一般地，在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同渐近线的条件下，利用双曲线系方程()02 2 22≠=-λλb y a x 求双曲线方程较为方便．通常是根据题设中的另一条件确定参数λ． （3）以上优美巧妙的解法，达到了化繁为易的目的．教学中，要引起重视． 典型例题二 例2 作方程21x y -=的图象． 分析：∵21x y -=()()?????>-≤-?11 1122x x x x ∴方程图象应该是圆122=+y x 及双曲线122=-y x 在x 轴上方的图象． 说明：在根据方程作出相应图象时，应遵循：“如果曲线C 的方程是()0=y x f ，，那么点()00y x P ，在曲线C 上的充要条件是()000=y x f ，”这一原则；另外，须注意方程变形的未知数的允许值可能会扩大，而原方程的曲线只能取原方程允许值范围内的那一部分． 典型例题三 例3 求以曲线0104222=--+x y x 和222 -=x y 的交点与原点的连线为渐近线，且实轴长为12的双曲线的标准方程． 分析：先求出渐近线方程，确定出其斜率，结合已知条件确定所求双曲线方程中的字母系数． 解：∵?????-==--+2201042222x y x y x ，∴???==23y x 或???-==23y x ，∴渐近线方程为x y 32±= 当焦点在x 轴上时，由3 2=a b 且6=a ，得4=b ． ∴所求双曲线方程为116 362 2=-y x 当焦点在y 轴上时，由3 2=b a ，且6=a ，得9=b ． ∴所求双曲线方程为181 362 2=-x y 说明：（1）“定量”与“定位”是求双曲线标准方程的两个过程，解题过程中应准确把握． （2）为避免上述的“定位”讨论，我们可以用有相同渐近线的双曲线系方程去解，请读者自行完成．双曲线的几何性质(1) 导学案
2-2-2 双曲线的简单几何性质
高中数学双曲线的简单几何性质(经典)
双曲线的性质及应用
双曲线的几何性质(习题)
高中数学双曲线的标准方程及其几何性质
双曲线简单几何性质知识点总结
双曲线的简单几何性质优秀教案
双曲线的简单几何性质典型例题