直线与方程经典复习讲义 (1)
直线与方程复习讲义
一、基础知识回顾 1.倾斜角与斜率
知识点1：当直线l 与x 轴相交时， x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.
例、若直线1=x 的倾斜角为α，则=α（ ）
A 、 0
B 、 45
C 、
90 D 、不存在 注意: 当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.
知识点2：直线的倾斜角(90)αα≠?的正切值叫做这条直线的斜率.记为tan k α=. 注意: 当直线的倾斜角90οα=时，直线的斜率是不存在的王新敞
知识点3：已知直线上两点111222(,),(,)P x y P x y 12()x x ≠的直线的斜率公式：
21
21
y y k x x -=-. 例、经过两点)3,2(),12,4(-+B y A 的直线的倾斜角为
135，则y 的值等于（ ） A 、1- B 、3- C 、0 D 、2
知识点4：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即12//l l ?1k =2k 王新敞
．
知识点5：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直.
即12l l ⊥?12
1k k =-
?121k k =- 王新敞
注意：
1．1212//l l k k ?=或12,l l 的斜率都不存在且不重合.
2．12121l l k k ⊥?=-或10k =且2l 的斜率不存在，或20k =且1l 的斜率不存在. 2.直 线 的 方 程
知识点6：已知直线l 经过点00(,)P x y ，且斜率为k ，则方程00()y y k x x -=-为直线的点斜式方程. 注意：
⑴x 轴所在直线的方程是 y 轴所在直线方程是
⑵经过点000(,)P x y 且平行于x 轴（即垂直于y 轴）的直线方程是
⑶经过点000(,)P x y 且平行于y 轴（即垂直于x 轴）的直线方程是 知识点7：直线l 与y 轴交点(0,)b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距.直线
y kx b =+叫做直线的斜截式方程.
注意：截距b 就是函数图象与y 轴交点的纵坐标.
知识点8：已知直线上两点112222(,),(,)P x x P x y 且1212(,)x x y y ≠≠，则通过这两点的直线方程为
11
12122121
(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--，由于这个直线方程由两点确定，叫做直线的两点式方程.
知识点9：已知直线l 与x 轴的交点为(,0)A a ，与y 轴的交点为(0,)B b ，其中
0,0a b ≠≠，则直线l 的方程为
1=+b
y
a x ，叫做直线的截距式方程. 注意：直线与x 轴交点（a ,0）的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距；直线与y 轴交点（0,
b ）的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距.
知识点10：关于,x y 的二元一次方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程.
注意：（1）直线一般式能表示平面内的任何一条直线 （2）点00(,)x y 在直线0Ax By C ++=上?00Ax By +0C += 王新敞
3、直线的交点坐标与距离
知识点11： 两直线的交点问题.一般地，将两条直线的方程联立，得方程组
111222
0A x B y C A x B y C ++=??
++=?，若方程组有唯一解，则两直线相交；若方程组有无数组解，则两直线重合；若方程组无解，则两直线平行.
知识点12：已知平面上两点111222(,),(,)P x y P x y ，则22122121()()PP x x y y =-+-.
特殊地：(,)P x y 与原点的距离为22OP x y =+.
知识点13：已知点00(,)P x y 和直线:0l Ax By C ++=，则点P 到直线l 的距离为：
002
2
Ax By C
d A B
++=
+.
知识点14：已知两条平行线直线1l 10Ax By C ++=，2:l 20Ax By C ++=，则1l 与2l 的距离为12
22
C C d A B
-=
+王新敞
知识点15：巧妙假设直线方程：
（1）与10Ax By C ++=平行的直线可以假设成：20Ax By C ++=（C 1和C 2不相等） （2）与0Ax By C ++=垂直的直线可以假设成：Bx -Ay+m=0 （3）过1l :A 1x+B 1y+C 1=0和2:l A 2x+B 2y+C 2=0交点的直线可以假设成A 1x+B 1y+C 1+λ(A 2x+B 2y+C 2)=0（该方程不包括直线2:l )
知识点16：1l :A 1x+B 1y+C 1=0和2:l A 2x+B 2y+C 2=0垂直等价于：A 1A 2+B 1B 2=0(A 1和B 1不全为零；A 2和B 2不全为零；) 知识点17：中点坐标公式:
1122(,),(,)A x y B x y ,则AB 的中点(,)M x y ,则212
1
,22
x x y y x y ++=
=. 例题解析
例1. 在第一象限的ABC ?中，(1,1),(5,1)A B ，60,45O O A B ∠=∠=.求 ⑴AB 边的方程；⑵AC 和BC 所在直线的方程.
例2.点(3,9)关于直线3100x y +-=对称的点的坐标是（ ）. A ．(1,3)-- B.(17,9)- C ．(1,3)- D ．(17,9)-
例3. 求经过直线3260x y ++=和2570x y +-=的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.
例4．方程(1)210()a x y a a R --++=∈所表示的直线（ ）. A ．恒过定点(2,3)- B ．恒过定点(2,3) C ．恒过点(2,3)-和(2,3) D ．都是平行直线
例5．已知直线12:220,:1l x ay a l ax y +--=+-a -0=. ⑴若12//l l ，试求a 的值； ⑵若12l l ⊥，试求a 的值
例6 .已知两直线1:40l ax by -+=，2:(1)l a x y -+0b +=，求分别满足下列条件的,a b 的值.
⑴直线1l 过点(3,1)--，并且直线1l 与直线2l 垂直；⑵直线1l 与直线2l 平行，并且坐标原点到12,l l 的距离相等.
例7. 过点(4,2)P 作直线l 分别交x 轴、y 轴正半轴于,A B 两点，当AOB ?面积最小时，求直线l 的方程.
例8.点P(x,y)在x+y-4=0上，则x 2+y 2最小值为多少？
一、基础巩固练习：
1．已知点(3,)m 到直线340x y +-=的距离等于1，则m =（ ）. A ．3 B ．3- C ．33-
D ．3或3
3
- 2．已知(3,)P a 在过(2,1)M -和(3,4)N -的直线上，则a = . 3．将直线3(2)y x =--绕点(2,0)按顺时针方向旋转30o ，所得的直线方程是 .
4.直线l 的方程为(2)3m x y m ++=,根据下列条件分别求m 的值. ⑴l 在x 轴上的截距为2-； ⑵斜率为1-.
二、提高能力训练
1．直线过原点且倾角的正弦值是
5
4
，则直线方程为 2．直线mx ＋ny ＝1（mn ≠0）与两坐标轴围成的三角形面积为 3．如果三条直线mx +y +3=0,x -y -2=0,2x -y +2=0不能成为一个三角形三边所在的直线，那么m 的一个．．值是_______. 三、解答题
5. ABC ?中，点A (),1,4-AB 的中点为M (),2,3重心为P (),2,4求边BC 的长
6．若N a ∈，又三点A(a ，0)，B （0，4+a ），C （1，3）共线，求a 的值
7．若直线062=++y ax 和直线0)1()1(2=-+++a y a a x 垂直，求a 的值