李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社

第一章 绪论

1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。 解：近似值*

x 的相对误差为*

***

*r e x x e x x δ-=

==

而ln x 的误差为()1

ln *ln *ln **

e x x x e x =-≈

进而有(ln *)x εδ≈

2．设x 的相对误差为2%，求n

x 的相对误差。 解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()|

|()

p xf x C f x =

又1

'()n f x nx

-= , 1

|

|n p x nx C n n

-?∴==

又((*))(*)r p r x n C x εε≈? 且(*)r e x 为2

((*))0.02n

r x n ε∴≈

3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*

57 1.0.x =? 解：*

1 1.1021x =是五位有效数字；

*

20.031x =是二位有效数字； *

3385.6x =是四位有效数字； *

456.430x =是五位有效数字； *

57 1.0.x =?是二位有效数字。

4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **

24/x x . 其中*

*

*

*

1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。 解：

*

4

1*

3

2*1

3*3

4*1

51()1021()1021()1021()1021()10

2

x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=

?

**

*

124*

*

*

12443

3

3

(1)()()()()11110

10

10

22

2

1.0510

x x x x x x εεεε----++=++=?+

?+

?=?

*

*

*

123*

*

*

*

*

*

*

*

*

1232311321

4

3

(2)()

()()()1111.10210.03110

0.031385.610

1.1021385.610

22

2

0.215

x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+??

?+??

?≈

**

24*

*

*

*

24422

*43

3

5

(3)(/)()()

110.03110

56.43010

2

2

56.43056.430

10

x x x x x x x

εεε---+≈

??+?

?=?=

5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为3

43

V R π=

则何种函数的条件数为

2

3

'4343

p R V R R C V

R

ππ=

==

(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=

又(*)1r V ε=

故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333

r R ε=?≈

6．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -=-

（n=1,2,…）

计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？

解：1n n Y Y -=-

10099Y Y ∴=-

9998Y Y =-

9897Y Y =-

……

10Y Y =-

依次代入后，有1000100Y Y =-?

即1000Y Y =-

，

27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-

*

3

10001()()(27.982)10

2

Y Y εεε-∴=+=

?

100Y ∴的误差限为

3

110

2

-?。

7．求方程2

5610x x -+=的两个根，使它至少具有427.982=）。 解：2

5610x x -+=，

故方程的根应为1,228x =±

故 1282827.98255.982x =+

≈+=

1x ∴具有5位有效数字

211280.0178632827.982

55.982

x =-

=≈=≈+

2x 具有5位有效数字

8．当N 充分大时，怎样求12

11N N

dx x

++?

？

解

12

1arctan(1)arctan 1N N

dx N N x

+=+-+?

设arctan(1),arctan N N αβ=+=。 则tan 1,tan .N N αβ=+=

12

2

11arctan(tan())tan tan arctan 1tan tan 1arctan 1(1)1arctan

1

N N

dx

x

N N N N

N N αβ

αβαβαβ++=-=--=++-=++=++?

9．正方形的边长大约为了100cm ，应怎样测量才能使其面积误差不超过2

1cm ？ 解：正方形的面积函数为2

()A x x =

(*)2*(*)A A x εε∴= .

当*100x =时，若(*)1A ε≤, 则2

1(*)10

2x ε-≤

?

故测量中边长误差限不超过0.005cm 时，才能使其面积误差不超过2

1cm 10．设2

12S gt =

，假定g 是准确的，而对t 的测量有0.1±秒的误差，证明当t 增加时S 的

绝对误差增加，而相对误差却减少。 解：2

1,02

S gt t =

>

2(*)(*)S g t t εε∴= 当*t 增加时，*S 的绝对误差增加 2

*

2

*

(*)

(*)*

(*)1()

2(*)

2

r S S S gt t g t t t

εεεε=

=

=

当*t 增加时，(*)t ε保持不变，则*S 的相对误差减少。 11．序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=- (n=1,2,…),

若0 1.41y =

≈（三位有效数字）

，计算到10y 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？

解：0 1.41y =

≈ 2

01(*)10

2y ε-∴=

?

又1101n n y y -=- 10101y y ∴=- 10(*)10(*)y y εε∴= 又21101y y =- 21(*)10(*)y y εε∴=

2

20(*)10(*)......

y y εε∴=

10

10010

2

8

(*)10(*)

11010

2

110

2y y εε-∴==?

?=?

计算到10y 时误差为

8

1102

?，这个计算过程不稳定。

12

．计算6

1)f =

≈1.4，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？

,

3

(3-,

，

99-。

解：设6

(1)y x =-，

若x =

，*

1.4x =，则*

1

110

2

x -ε()=

?。

计算y 值，则

*

*

*

7

**

*

7

**

1(1)

6(1)

y x x y x x y x ε()=--6?

ε()

+ =ε()

+ =2.53ε()

若通过3

(3-计算y 值，则

*

*

2

*

**

*

*

*

(32)632y x x y x x

y x ε()=-3?2?-ε() =

ε()

- =30ε()

计算y 值，则

*

*

*

4

*

*

*

7*

*1(32)1

(32)

y x x y x x y x ε()=--3?

ε()

+ =6?

ε()+ =1.0345ε()

计算后得到的结果最好。

13

．()ln(f x x =-,求(30)f 的值。若开平方用6位函数表，问求对数时误差有多

大？若改用另一等价公式。ln(ln(x x -=-+

计算，求对数时误差有多大？ 解

()ln(f x x =-

, (30)ln(30f ∴=-

设(30)u y f =

=

则*

u =29.9833

*

4

12

u -∴ε()=

?10

故

*

*

*

*

3

1

0.0167

y u u u -1ε()≈-

ε()

30- =

ε()

≈3?10

若改用等价公式

ln(ln(x x -

=-+

则(30)ln(30f =-+

此时，

*

*

*

*

7

159.9833

y u u

u -1ε()=∣-∣ε()30+ =

?ε() ≈8?10

第二章 插值法

1．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解：

0120121200102021101201220211,1,2,

()0,()3,()4;()()1()(1)(2)()()2

()()1()(1)(2)

()()6()()1()(1)(1)

()()

3x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------=

=-+--

则二次拉格朗日插值多项式为

2

20

()()k k k L x y l x ==

∑

022

3()4()

14(1)(2)(1)(1)2

3

5376

2

3

l x l x x x x x x x =-+=-

--+

-+=+

-

2．给出()ln f x x =的数值表

用线性插值及二次插值计算ln 0.54的近似值。 解：由表格知，

01234012340.4,0.5,0.6,0.7,0.8;()0.916291,()0.693147()0.510826,()0.356675()0.223144

x x x x x f x f x f x f x f x ======-=-=-=-=-

若采用线性插值法计算ln 0.54即(0.54)f ， 则0.50.540.6<<

21121221

11122()10(0.6)

()10(0.5)()()()()()x x l x x x x x x l x x x x L x f x l x f x l x -==----=

=---=+

6.93147

(0.6)

5.10826(

x x =--- 1(0.54)0.62021860.620219L ∴=-≈-

若采用二次插值法计算ln 0.54时，

1200102021101201220212001122()()()50(0.5)(0.6)

()()()()()100(0.4)(0.6)

()()()()()50(0.4)(0.5)

()()

()()()()()()()

x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x L x f x l x f x l x f x l x --==------==-------=

=----=++

500.916291(

0.5)(

0.6)

69.3147(

0.4)(0.6)0.51082650(0.4)(0.5

x x x x x x =-?--+---?--2(0.54)0.61531984

0.615320

L ∴=-

≈- 3．给全cos ,090x x ≤≤

的函数表，步长1(1/60),h '==

若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界。

解：求解cos x 近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x 是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数cos x 的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0，也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。

当090x ≤≤

时， 令()cos f x x = 取0110,(

)6060

180

10800

x h π

π

===

?

=

令0,0,1,...,5400i x x ih i =+= 则5400902x π

=

=

当[]1,k k x x x -∈时，线性插值多项式为

1111

1()()

()

k k k k k k k k

x x x x L x f x f x x x x x ++++--=+--

插值余项为

111()cos ()()()()2

k k R x x L x f x x x x ξ+''=-=

--

又 在建立函数表时，表中数据具有5位有效数字，且[]cos 0,1x ∈，故计算中有误差传播过程。

*

5

*

*

11211

1*

111

1*

1*1(())10

2

()(())

(())

(())()1(())()

(())

k k k k k k k k k

k k k k k k k

k k k k f x x x x x R x f x f x x x x x x x x x f x x x x x f x x x x x h

f x εεεεεε-++++++++++∴=

?--=+----≤+

--=-+-=

∴总误差界为

12*

1*

12

*

85

5

()()1(cos )()()(())21()()(())211()(())

2

2

11.061010

2

0.5010610

k k k k k k k R R x R x x x x x f x x x x x f x h f x ξεεε++---=+=---+≤?--+≤?+=?+

?=?

4．设为互异节点，求证：

（1）0()n

k k

j j j x l x x =≡∑ (0,1

,,)k n = （2）0

()()0n

k

j j j x x l x =-≡∑ (0,1

,,)k n = 证明

（1） 令()k

f x x =

若插值节点为,0,1,,j x j n = ，则函数()f x 的n 次插值多项式为0

()()n

k

n j j j L x x l x ==

∑

。

插值余项为(1)

1()

()()()()(1)!

n n n n f R x f x L x x n ξω++=-=+

又,k n ≤

(1)

()0

()0

n n f

R x ξ+∴=∴=

()n

k k

j j j x l x x =∴

=∑

(0,1,,)

k n = 000

(2)()()

(()

)()()

(())

n

k

j j j n

n

j

i k i

k

j j j i n

n

i k i

i

k

j j i j x x l x C

x x l x C

x x l x =-==-==-=

-=

-∑∑∑∑∑

0i n ≤≤ 又 由上题结论可知

()n

k i

j

j j x

l x x ==∑

()

()0n

i k i

i

k

i k

C

x x

x x -=∴=-=-=∑原式

∴得证。

5设[]2(),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证：

2

1m ax ()()m ax ().8

a x b

a x b

f x b a f x ≤≤≤≤''≤

-

解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为

1010101

()()

()

x x x x L x f x f x x x x x --=+--

=()

()

x b x a f a f b a b

x a

--=+--

1()()0()0

f a f b L x ==∴= 又

插值余项为1011()()()()()()2

R x f x L x f x x x x x ''=-=

--

011()()()()2

f x f x x x x x ''∴=

--

[]012

012

102()()1()()21()41()

4

x x x x x x x x x x b a --??≤-+-????=-=- 又

∴2

1m ax ()()m ax ().8

a x b

a x b

f x b a f x ≤≤≤≤''≤

-

6．在44x -≤≤上给出()x f x e =的等距节点函数表，若用二次插值求x

e 的近似值，要使截断误差不超过6

10

-，问使用函数表的步长h 应取多少？

解：若插值节点为1,i i x x -和1i x +，则分段二次插值多项式的插值余项为

2111()()()()()3!

i i i R x f x x x x x x ξ-+'''=

--- 21144

1()()()()m ax ()6

i i i x R x x x x x x x f x -+-≤≤'''∴≤

---

设步长为h ，即11,i i i i x x h x x h -+=-=+

4

3

43

212().6

27

R x e e h ∴≤

?

=

若截断误差不超过6

10

-，则

6

24

3

6

()1010

27

0.0065.

R x h h --≤∴

≤∴≤

7．若44

2,.n n n n y y y δ=?求及，

解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。

2n

n y =

4

4

(1)n n y E y ?=-

4

404404

404

4(1)4(1)4(1)2(21)2

j j n j j n j j j

j

n

j n n n

E

y j y j y j y y -=+-=-=??=

- ???

?

?=

- ???

??=-? ???=-==∑∑∑

1

14

4

22

()n n y E E

y δ-

=-

14

4

2

2

4

22

()(1)2

n

n

n n E

E y E y y ----=-=?==

8．如果()f x 是m 次多项式，记()()()f x f x h f x ?=+-，证明()f x 的k 阶差分

()(0)k f x k m ?≤≤是m k -次多项式，并且1

()0m f x +?

=（l 为正整数）

。 解：函数()f x 的T aylor 展式为

2

()

(1)

1

111()()()()()()2

!

(1)!

m m

m m f x h f x f x h f x h f

x h f

h

m m ξ++'''+=++

++

+

+

其中(,)x x h ξ∈+

又()f x 是次数为m 的多项式

(1)

()0

()()()

m f

f x f x h f x ξ+∴=∴?=+-

2

()

11()()()2

!

m m

f x h f x h f

x h m '''=+

++

()f x ∴?为1m -阶多项式

2

()(())f x f x ?=?? 2

()f x ∴?为2m -阶多项式

依此过程递推，得()k

f x ?是m k -次多项式

()m

f x ∴?是常数 ∴当l 为正整数时，

1

()0m f x +?

=

9．证明1()k k k k k k f g f g g f +?=?+? 证明

11()k k k k k k f g f g f g ++?=-

111111111()()k k k k k k k k

k k k k k k k k k k k k k k

f g f g f g f g g f f f g g g f f g f g g f +++++++++=-+-=-+-=?+?=?+?

∴得证

10．证明1

1

0010

n n k k n n k k k k f g f g f g g f --+==?=--?∑∑

证明：由上题结论可知

1()k k k k k k f g f g g f +?=?-?

1

01

101

1

1

00

(())()n k k

k n k

k k k k n n k

k k k

k k f g f

g g f f

g g

f -=-+=--+==∴?=?-?=

?-

?∑∑∑∑

111

110022111100

()()

()()()k k k k k k n k

k k n n n n n n f g f g f g f

g f g f g f g f g f g f g f g f g ++-=--?=-∴

?=-+-++-=-∑

1

1

001

n n k k n n k k k k f g f g f g g

f --+==∴?=--

?∑∑

得证。

11．证明1

2

00

n j n j y y y -=?=?-?∑

证明1

1

2

1

()n n j j j j j y y

y --+==?=

?-?∑∑

102110

()()()n n n y y y y y y y y -=?-?+?-?++?-?=?-?

得证。

12．若1

011()n n

n n f x a a x a x

a x --=++++ 有n 个不同实根12,,,n x x x ，

证明：11

00,02;(),1k

n

j

j j k n x f x n k n -=≤≤-?=?'=-?∑

证明： ()f x 有个不同实根12,,,n x x x 且1

011()n n

n n f x a a x a x

a x --=++++

12()()()()n n f x a x x x x x x ∴=---

令12()()()()n n x x x x x x x ω=---

则1

1

()

()k

k

n

n

j

j

j j j n n

j x x f x a x ω===

''∑

∑

而2313()()()()()()()n

n n x x x x x x x x x x x x x ω'=---+--- 121()()()n x x x x x x -++---

1211()()()()()()n

j j j j j j j j n x x x x x x x x x x x ω-+'∴=----- 令(),k g x x =

[]121

,,,()

k

n

j

n j n j

x g x x x x

ω==

'∑

则[]121

,,,()k

n

j

n j n

j

x g x x x x

ω==

'∑

又[]1211,,,()k

n

j

n j j n

x g x x x f x a =∴=

'∑

11

00,02;

(),1

k

n

j

j j k n x f x n k n -=≤≤-?∴=?'=-?∑

∴得证。

13．证明n 阶均差有下列性质：

（1）若()()F x cf x =，则[][]0101,,,,,,;n n F x x x cf x x x =

（2）若()()()F x f x g x =+，则[][][]010101,,,,,,,,,.n n n F x x x f x x x g x x x =+ 证明：

（1）[]120

011()

,,,()()()()

j

n

n j j

j j j j j n f x f x x x x

x x x x x x x =-+=

----∑

[]120011()

,,,()()()()

j

n

n j j

j j j j j n F x F x x x x

x x x x x x x =-+=

----∑

011()

()()()()

j

n

j j j j j j j n cf x x x x x x x x x =-+=

----∑

011()

()()()()()

j

n

j j j j j j j n f x c x x x x x x x x =-+=----∑

[]01,,,n cf x x x =

∴得证。

(2)()()()F x f x g x =+

[]00011()

,,()()()()

j

n

n j j

j j j j j n F x F x x x

x x x x x x x =-+∴=

----∑

0011()()

()()()()

j

j

n

j j j j j j j n f x g x x x x x x x x x =-++=

----∑

0011()

)()()()()

j

n

j j

j j j j j n f x x

x x x x x x x =-+=

----∑

+0

011()

)()()()()

j

n

j j j j j j j n g x x x x x x x x x =-+----∑

[][]00,,,,n n f x x g x x =+

∴得证。

14．74

()31,f x x x x =+++求0172,2,,2F ???? 及0182,2,,2F ????

。 解： 74

()31f x x x x =+++ 若2,0,1,,8i

i x i == 则[]()

01()

,,,!n n f

f x x x n ξ=

[](7)

017()

7!,,,17!

7!

f

f x x x ξ∴=

=

=

[](8)

018()

,,,08!

f f x x x ξ=

=

15．证明两点三次埃尔米特插值余项是 (4)

2

2

31

1

()()()()/4!,

(,)

k

k k

k R x f

x

x x

x

x x ξξ++=--∈ 解：

若1[,]k k x x x +∈，且插值多项式满足条件

33

()(),()()k k k k H x f x H x f x ''== 3113

11()(),()()k k k k H x f x H x f x ++++''== 插值余项为3()()()R x f x H x =- 由插值条件可知1()()0k k R x R x +==

且1()()0k k R x R x +''==

()R x ∴可写成2

2

1()()()()k k R x g x x x x x +=--

其中()g x 是关于x 的待定函数，

现把x 看成1[,]k k x x +上的一个固定点，作函数 2

2

31()()()()()()k k t f t H t g x t x t x ?+=----

根据余项性质，有 1()0,()0k k x x ??+==

22

313()()()()()()

()()()0

k k x f x H x g x x x x x f x H x R x ?+=----=--=

2

2

3

11()()()()[2()()2()()]k k k k t f t H t g x t x t x t x t x ?++'''=----+-- ()0k x ?'∴=

1()0k x ?+'=

由罗尔定理可知，存在(,)k x x ξ∈和1(,)k x x ξ+∈，使 12()0,()0?ξ?ξ''==

即()x ?'在1[,]k k x x +上有四个互异零点。

根据罗尔定理，()t ?''在()t ?'的两个零点间至少有一个零点， 故()t ?''在1(,)k k x x +内至少有三个互异零点， 依此类推，(4)

()t ?

在1(,)k k x x +内至少有一个零点。

记为1(,)k k x x ξ+∈使 (4)

(4)

(4)

3

()()()4!()0f

H g x ?

ξξξ=--=

又(4)

3

()0H t =

(4)

1()

(),(,)4!

k k f

g x x x ξξ+∴=

∈

其中ξ依赖于x

(4)

22

1()

()()()4!

k k f

R x x x x x ξ+∴=

--

分段三次埃尔米特插值时，若节点为(0,1,,)k x k n = ，设步长为h ，即

0,0,1,,k x x kh k n =+= 在小区间1[,]k k x x +上

(4)

22

1(4)

2

2

1()

()()()

4!1()()()()

4!k k k k f

R x x x x x R x f

x x x x ξξ++=

--∴=

--

22(4)

122

(4)

14(4)

4

4

(4)

1()()m ax ()

4!1[()]m ax ()

4!2

11m ax ()

4!2

m ax ()

384

k k a x b

k k a x b

a x

b a x b

x x x x f

x x x x x

f

x h f

x h

f

x +≤≤+≤≤≤≤≤≤≤---+-≤

=?

=

16．求一个次数不高于4次的多项式P （x ），使它满足

(0)(0)0,(1)(1)0,(2)0P P P P P ''=====

解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式

0101010,10,10,1

x x y y m m ====== 1

1

30

2

01001

01

2

()()()

()(12

)(

)

(12)(1)

j j j

j j j H x y x m

x x x x x x x x x x x x αβα===

+--=---=+-∑

∑

2

10110

10

2

()(12

)(

)

(32)x x x x x x x x x x x

α--=---=-

202

1()(1)()(1)x x x x x x

ββ=-=-

2232

3()(32)(1)2H x x x x x x x ∴=-+-=-+

设22

301()()()()P x H x A x x x x =+-- 其中，A 为待定常数

3

2

2

2

(2)1

()2(1)P P x x x Ax x =∴=-++-

14

A ∴=

从而2

2

1()(3)4

P x x x =

-

17．设2

()/(1)f x x

=+，在55x -≤≤上取10n =，按等距节点求分段线性插值函数()h I x ，

计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 值，并估计误差。 解：

若0105,5x x =-= 则步长1,h =

0,0,1,,10i x x ih i =+= 2

1()1f x x

=

+

在小区间1[,]i i x x +上，分段线性插值函数为

111

1()()()i i h i i i i i i

x x x x I x f x f x x x x x ++++--=

+

--

12

2

1

11()

()

11i i i

i x x x x x x ++=-+-++

各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值为 当 4.5x =±时，()0.0471,()0.0486h f x I x == 当 3.5x =±时，()0.0755,()0.0794h f x I x == 当 2.5x =±时，()0.1379,()0.1500h f x I x == 当 1.5x =±时，()0.3077,()0.3500h f x I x == 当0.5x =±时，()0.8000,()0.7500h f x I x ==

误差

1

2

55

m ax

()()m ax ()8

i i h x x x x h

f x I x f ξ+≤≤-≤≤''-≤

又2

1()1f x x

=

+

2

2

2

2

33

2

4

2(),

(1)

62()(1)

2424()(1)

x f x x x f x x x x f x x -'∴=

+-''=

+-'''=

+

令()0f x '''=

得()f x ''的驻点为1,21x =±和30x =

1,2355

1(),()2

2

1m ax ()()4

h x f x f x f x I x -≤≤''''=

=-∴-≤

18．求2

()f x x =在[,]a b 上分段线性插值函数()h I x ，并估计误差。 解：

在区间[,]a b 上，01,,,0,1,,1,n i i i x a x b h x x i n +===-=-

01

2

m ax ()i

i n h h f x x

≤≤-==

∴函数()f x 在小区间1[,]i i x x +上分段线性插值函数为

111

12

2

11()()()

1[()()]

i i h i i i i i i

i i i i i

x x x x I x f x f x x x x x x x x x x x h ++++++--=+

--=-+-

误差为