绪论-第一章-第二章讲稿

目录

绪论 (1)

内容简介 (1)

第一章预备知识 (2)

引言 (2)

§ 1.1 三维欧氏空间中的标架 (2)

一、向量代数复习 (2)

二、标架 (3)

三、正交标架流形 (3)

四、正交坐标变换与刚体运动，等距变换 (3)

§ 1.2 向量函数 (4)

第二章曲线论 (6)

§ 2.1 参数曲线 (6)

§ 2.2 曲线的弧长 (9)

§ 2.3 曲线的曲率和Frenet标架 (10)

§ 2.4 曲线的挠率和Frenet公式 (14)

§ 2.5 曲线论基本定理 (16)

§2.7 存在对应关系的曲线偶 (21)

§2.8 平面曲线 (21)

绪论

几何学是数学中一门古老的分支学科. 几何学产生于现实生产活动. “geometry”就是“土地测量”.

Pythagoras定理和勾股定理(《周髀算经》). 数学：人类智慧的结晶，严密的逻辑系统. 以欧几里德(Euclid)的《几何原本》(Elements)为代表.

《自然辩证法》和《反杜林论》：数学与哲学；数与形的统一：解析几何；坐标系：笛卡儿和费马引入.

对微分几何做出突出贡献的数学家：欧拉(Euler)，蒙日(Monge)，高斯(Gauss)，黎曼(Riemann). 克莱因(Klein)关于变换群的观点. E. Cartan的活动标架方法.

微分几何：微积分，拓扑学，高等代数与解析几何知识的综合运用.

内容简介

第一章：预备知识. 第二章：曲线论. 第三章至第五章：曲面论. 第六章：曲面上的曲线，非欧几何. 第七章*：活动标架和外微分.

第一章 预备知识

本章内容：向量代数知识复习；正交标架；刚体运动；等距变换；向量函数 计划学时：3学时

难点：正交标架流形；刚体运动群；等距变换群

引言

为什么要研究向量函数？在数学分析中，我们知道一元函数()y f x =的图像是xy 平面上的一条曲线，二元函数(,)z f x y =的图像是空间中的一张曲面.

采用参数方程，空间一条曲线可以表示成

()()(),(),()r r t x t y t z t ==.

这是一个向量函数，它的三个分量都是一元函数.

所有这些例子中，都是先取定了一个坐标系. 所以标架与坐标是建立“形”与“数”之间联系的桥梁.

§ 1.1 三维欧氏空间中的标架

一、向量代数复习

向量即有向线段：AB ，r ，r . 向量相等的定义：大小和方向. 零向量：0，0. 反向量：a -.

向量的线性运算. 加法：三角形法则，多边形法则. 向量的长度. 三角不等式. 数乘. 内积的定义：:||||cos (,)ab a b a b =∠ 外积的定义.

二重外积公式：()()()a b c a c b b c a ??=?-?；()()()a b c a c b a b c ??=?-?

b

a

?a b

内积的基本性质：对称性，双线性，正定性. 外积的基本性质：反对称性，双线性.

二、标架

仿射标架{}

;,,O OA OB OC . 定向标架.

正交标架(即右手单位正交标架)：{}

;,,O i j k . 笛卡尔直角坐标系. 坐标. 内积和外积在正交标架下的计算公式. 两点距离公式. 三维欧氏空间3E 和3R .

三、正交标架流形

取定一个正交标架{}

;,,O i j k (绝对坐标系). 则任意一个正交标架{}123;,,P e e e 被P 点的坐标和三个基向量{}123,,e e e 的分量唯一确定：

123111121322122233

313233,,

,.

OP a i a j a k e a i a j a k e a i a j a k e a i a j a k ?=++?

=++??

=++??=++? (1.6) 其中123(,,)a a a a =可以随意取定，而(,1,2,3)ij a i j =应满足

3

1

ik

jk ij k a

a δ==∑， (1.7)

即过渡矩阵()

ij a A =是正交矩阵. 又因为123,,e e e 是右手系，det 1A =，即矩阵

11121321

222331

32

33(3)a a a A a a a SO a a a ?? ?=∈ ? ???

(1.8, 1.9) 是行列式为1的正交矩阵. 我们有一一对应：

{正交标架}←→3(3)E SO ?，{}123;,,(,)P e e e a A ←→.

所以正交标架的集合是一个6维流形.

四、正交坐标变换与刚体运动，等距变换

Q

O

P

k

i

1

e j

2

e 3

e

空间任意一点Q 在两个正交标架{}

;,,O i j k 和{}123;,,P e e e 中的坐标分别为(,,)x y z 和

(,,)x y z ，则两个坐标之间有正交坐标变换关系式：

111213121222323132333

,,.x a xa ya za y a xa ya za z a xa ya za =+++??

=+++??=+++? (1.10) 如果一个物体在空间运动，不改变其形状和大小，仅改变其在空间中的位置，则该物体的这

种运动称为刚体运动.

在刚体运动3

3

:E E σ→下，若σ将正交标架{}

;,,O i j k 变为{}123;,,P e e e ，则空间任意

一点(,,)Q x y z 和它的像点(,,)Q x y z (均为在{}

;,,O i j k 中的坐标)之间的关系式为

111213121222323132333

,,.x a xa ya za y a xa ya za z a xa ya za =+++??

=+++??=+++? (1.11) 定理1.1 3E 中的刚体运动把一个正交标架变成一个正交标架；反过来，对于3

E 中的任意两个正交标架，必有3

E 的一个刚体运动把其中的一个正交标架变成另一个正交标架.

空间3

E 到它自身的、保持任意两点之间的距离不变的变换3

3

:E E σ→称为等距变换.

刚体运动是等距变换，但等距变换不一定是刚体运动. 一般来说，等距变换是一个刚体运动，或一个刚体运动与一个关于某平面的反射的合成(复合映射).

仿射坐标变换与仿射变换.

§ 1.2 向量函数

所谓的向量函数是指从它的定义域D 到3

R 中的映射3

::()r p

r p →R D .

设有定义在区间[,]a b 上的向量函数

()((),(),()),

r t x t y t z t a t b =≤≤.

如果(),(),()x t y t z t 都是t 的连续函数，则称向量函数()r t 是连续的；如果(),(),()x t y t z t 都是t 的连续可微函数，则称向量函数()r t 是连续可微的. 向量函数()r t 的导数和积分的定义与数值函

数的导数和积分的定义是相同的，即

Q

O ()

P O σ=k

i

1

e j

2

e 3

e ()

Q Q σ=

000()()

lim

t t t r t t r t dr dt

t

?→=+?-=?

0000000()()()()()()lim ,,t x t t x t y t t y t z t t z t t t t ?→+?-+?-+?-??

= ??????

()000(),(),()x t y t z t '''=，0(,)t a b ∈， (2.6)

()

1

()lim ()(),(),()n

b

b b

b

i i a

a

a

a

i r t dt r t t x t dt y t dt z t dt λ→='=?=

∑?

??

?， (2.7)

其中01n a t t t b =<<<=是区间[,]a b 的任意一个分割，1i i i t t t +?=-，1[,]i i i t t t -'∈，并且

{}max |1,2,,i t i n λ=?=. (由向量加法和数乘的定义可以得到)

向量函数的求导和积分归结为它的分量函数的求导和积分，向量函数的可微性和可积性归结为它的分量函数的可微性和可积性.

由(1.6)可得

()()()()()(),

()()()()()()a t b t a t b t t a t t a t t a t λλλ''''''+=+=+.

定理2.1 (Leibniz 法则) 假定(),(),()a t b t c t 是三个可微的向量函数，则它们的内积、外积、混合积的导数有下面的公式：

(1) ()()()

()()()()a t b t a t b t a t b t '''?=?+?；

(2) ()()()()()()()a t b t a t b t a t b t '

''?=?+?；

(3) ()()()()(),(),()(),(),()(),(),()(),(),()a t b t c t a t b t c t a t b t c t a t b t c t '

'''=++.

定理2.2 设()a t 是一个处处非零的连续可微的向量函数，则 (1) 向量函数()a t 的长度是常数当且仅当()()0a t a t '?≡. (2) 向量函数()a t 的方向不变当且仅当()()0a t a t '?≡.

(3) 设()a t 是二阶连续可微的. 如果向量函数()a t 与某个固定的方向垂直，那么 ()(),(),()0a t a t a t '''≡.

反过来，如果上式成立，并且处处有()()0a t a t '?≠，那么向量函数()a t 必定与某个固定的方向垂直.

证明 (1) 因为()()22()()()()|()|a t a t a t a t a t '''==，所以|()|a t 是常数2

|()|a t ?是常数

()()0a t a t '??≡.

(2) 因为()a t 处处非零，取()a t 方向的单位向量1

()|()|()b t a t a t -=. 则()()()a t f t b t =，其中()|()|f t a t =连续可微. 于是

()()

2()()()()()()()()()()(),.a t a t f t b t f t b t f t b t f t b t b t t ''''?=?+=??

“?”由条件知()b t c =是常向量，()0b t c ''==. 从而()()0a t a t '?≡.

“?”由条件得()()0b t b t '?≡，所以()b t ，()b t '处处线性相关. 因为()b t 是单位向量，处处非零，所以()()()b t t b t λ'=. 用()b t 作内积，得()1

2

()()()()()0t b t b t b t b t λ''=?=

?≡. 于

是()0b t '≡，()b t c =是常向量.

(3) 设向量函数()a t 与某个固定的方向垂直，那么有单位常向量1e 使得1()0a t e ?≡. 求导得到1()0a t e '?≡，1()0a t e ''?≡. 从而(),(),()a t a t a t '''共面，()(),(),()0a t a t a t '''≡.

反之，设()(),(),()0a t a t a t '''≡. 令()()()b t a t a t '=?. 由条件，()b t 处处非零. 且

()b t '=()()a t a t ''?连续. 根据二重外积公式，

()()

()()()()()()()()()(),(),()()(),(),()()(),(),()()0.

b t b t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t ''''?=???''''''=-'''=≡ 根据已经证明的(2)，()b t 的方向不变. 设这个方向为1e . 则1()|()|b t b t e =. 用()a t 作内积，得

()1|()|()()()()()()0b t a t e a t b t a t a t a t '?=?=??≡.

由于()b t 处处非零，得到1()0a t e ?≡，即()a t 与固定方向1e 垂直. □

课外作业： 1. 证明定理2.1.

2. 设33

:E E σ→为等距变换. 在3E 中取定一个正交标架{}

;,,O i j k . 令3R 为3

E 中全体向量构成的向量空间. 定义映射33

::()()AB A B σσ→R R A . 如果()O O σ=，证明A

是线性映射.

3. 设向量函数()r t 有任意阶导(函)数. 用()

()k r t 表示()r t 的k 阶导数，并设

()(1)()()k k r t r t +?处处非零. 试求()

()(1)(2)(),(),()0k k k r t r t r t ++≡的充要条件.

第二章 曲线论

本章内容：弧长，曲率，挠率；Frenet 标架，Frenet 公式；曲线论基本定理 计划学时：14学时，含习题课3学时. 难点：曲线论基本定理的证明

§ 2.1 参数曲线

三维欧氏空间3

E 中的一条曲线C 是一个连续映射3

:[,]p a b E →，称为参数曲线. 几何上，

参数曲线C 是映射p 的象.

取定正交标架{}

;,,O i j k ，则曲线上的点()([,])p t t a b ∈与它的位置向量()Op t 一一对应. 令()()r t Op t =. 则

()()()()((),(),())r t x t i y t j z t k x t y t z t =++=，[,]t a b ∈， (1.3) 其中t 为曲线的参数，(1.3)称为曲线的参数方程.

由定义可知

()()01

()lim

(),(),()()()t r t x t y t z t r t t r t t

?→''''==+?-?，(,)t a b ∈. (1.4)

如果坐标函数(),(),()x t y t z t 是连续可微的，则称曲线()r t 是连续可微的. 此概念与标架的取法

无关. (为什么？)

导数()r t '的几何意义：割线的极限位置就是曲线的切线.

如果r ()(X u r =其中t 定义. 如果()r t 是至少三次以上的连续可微向量函数，并且处处是正则点，即对任意的t ，

()0r t '≠，则称曲线()r t 是正则参数曲线. 将参数增大的方向称为曲线的正向.

上述定义与3E 中直角坐标系的选取无关. 正则曲线：正则参数曲线的等价类.

曲线的参数方程中参数的选择不是唯一的. 在进行参数变换时，要求参数变换()t t u =满足：(1) ()t u 是u 的三次连续可微函数；(2) ()t u '处处不为零. 这样的参数变换称为可允许的参数变换. 当()0t u '>时，称为保持定向的参数变换.

根据复合函数的求导法则，[]()(())()()d d du dt t t u r t u r t t u ='=?.

这种可允许的参数变换在所有正则参数曲线之间建立了一种等价关系. 等价的正则参数曲线看作是同一条曲线，称为一条正则曲线. 以下总假定()r t 是正则曲线.

如果一条正则参数曲线只允许作保持定向的参数变换，则这样的正则参数曲线的等价类被称为是一条有向正则曲线. (返回Frenet 标架)

()

r t ()

X u ()

r t t +?()

r t '

例1.1

()()sin ,cos ,r t a t a t b '=-，22|()|0()0r t a b r t ''=+>?≠

所以圆柱螺线是正则曲线.

例1.2 半三次曲线3

2

()(,),()r t t t t =∈R .

2()(3,2)r t t t '=，(0)0r '=.

这条曲线不是正则曲线.

连续可微性和曲线的正则性（光滑性）是不同的概念. （与数学分析中的结论比较） 平面曲线的一般方程()y f x =和隐式方程(,)0F x y =. 空间曲线的一般方程

(),

()y f x z g x == (1.6)

和隐式方程

(,,)0,

(,,)0.

F x y z

G x y z =??

=? (1.8) 这些方程可以化为参数方程. (习题4：正则曲线总可以用一般方程表示)

曲线(1.8)的切线方向，正则性.

()

r t bt

Q

α

β

γ

课外作业：习题2，5

§ 2.2 曲线的弧长

设3E 中一条正则曲线C 的方程为(),[,]r r t t a b =∈. 则

|()|b

a

s r t dt '=? (2.1)

是该曲线的一个不变量，即它与正交标架的选取无关，也与曲线的可允许参数变换无关.

不变量s 的几何意义是该曲线的弧长，因为

1

max||0

1

|()|lim

|()()|i n

b

i i a

t i s r t dt r t

r t +?→='==-∑?.

其中01n a t t t b =<<

<=是区间[,]a b 的任意一个分割，1i i i t t t +?=-，max λ={|1,i t i ?=

}2,

,n . (为什么？)

令

()|()|t

a

s t r d ττ'=?. (2.4)

则()s s t =是曲线C 的保持定向的可允许参数变换，称为弧长参数. 它是由曲线本身确定的，至

多相差一个常数，与曲线的坐标表示和参数选择都是无关的. 因此任何正则曲线都可以采用弧长s 作为参数，当然，允许相差一个常数.

注意|()|ds r t dt '=也是曲线的不变量，称为曲线的弧长元素(或称弧微分).

虽然理论上任何正则曲线都可以采用弧长参数s ，但是具体的例子中，曲线都是用一般的参数t 给出的. 由(2.4)，即使|()|r t '是初等函数，()s t 也不一定是初等函数. 下面的定理给出了判别一般参数是否是弧长参数的方法.

定理2.1 设(),[,]r r t t a b =∈是3

E 中一条正则曲线，则t 是它的弧长参数的充分必要条件是|()|1r t '=. 即t 是弧长参数当且仅当(沿着曲线C )切向量场是单位切向量场.

证明. “?”由(2.4)可知，s t a =-. “?”如果t 是弧长参数，则s t =，从而

|()|1ds

r t dt

'=

=. □

以下用“﹒”表示对弧长参数s 的导数，如()r s ，()r s 等等，或简记为,r r 等等. 而“'”则用来表示对一般参数t 的导数.

课堂练习：4

课外作业：习题1，2(1)，3.

§ 2.3 曲线的曲率和Frenet 标架

设曲线C 的方程为()r r s =，其中s 是曲线的弧长参数. 令

()()s r s α=. (3.1)

对于给定的s ，令θ?是()s α与()s s α+?之间的夹角，其中0s ?≠是s 的增量.

定理 3.1 设()s α是曲线()r r s =的单位切向量场，s 是弧长参数. 用θ?表示向量

()s s α+?与()s α之间的夹角，则

lim

|()|s

s s θ

α???→=. (3.2)

证明. ()001

||lim lim ()()s s d s s s ds s s ααααα?→?→?=

==+?-?? ()()220002

2sin sin lim lim lim ||s s s s s s θθθθθ

????→?→?→??===???， 因为arccos[()()]s s s θαα?=+?，所以0

lim 0s θ?→?=. □

定义 称函数():|()|s s κκα==为曲线()r r s =在s (即()r s )点处的曲率，称()s α为该曲

线的曲率向量.

把曲线C 的单位切向量()s α平移到原点，其端点所描出的曲线称为曲线的切线象. 其方程就是

()s αα=. (3.3)

例如圆柱螺线的切线象是单位球面上的一个圆.

()

r s 0

s =图2-5

O

()

s αs L

=()

s s α+?()

r s s +?()

s s α+?()

s α()()

s s s αα+?-θ

?

2()

πα圆柱螺线

()(cos r t a =()(r t a '=-22

1

()(a b t a α+=

-(0)

α(0)

α2()

πα()

απ()

απ32()

π

α32()

πα当然，s αα|()|ds s ds α== (3.4)

所以

ds

s ds

=

=， (3.5) 即曲率κ由|(α()0s α=. ()s α是曲线的一个如果在一点

s 处()s κ≠()|()()()s s s s αακα=称为曲线在该点的. 于是

在该点有

()()()s s s ακβ=. (3.6)

在(s κ()()()s s s αβ=. (3.7)

这样，在正则曲线上()0s κ≠的点，有一个完全确定的正交标架}

(),()s s γ，.

注意. Frenet 标架. 1. 若κ2. 若0s 是κ的孤立零点, 则在0s 的两侧都有Frenet 标架. 如果00()()s s ββ-+=，则可以将Frenet 标架延拓到0s 点.

3. 在其他的情况下将曲线分成若干段来考察.

切线、主法线和次法线，法平面、从切平面和密切平面，以及它们的方程.

切线：()()()u r s u s ρα=+；主法线：()()()u r s u s ρβ=+；次法线：()()()u r s u s ργ=+ 法平面：[()]()0X r s s α-=；从切平面：[()]()0X r s s β-=；密切平面：[()]()0X r s s γ-=

在一般参数t 下，曲率κ和Frenet 标架的计算方法.

3|()()|()|()|r t r t t r t κκ'''?==

'，()|()|r t r t α'='，()()

|()()|

r t r t r t r t γ'''?='''?，βγα=?. (3.13)

证明. 设()s s t =为弧长参数，()t t s =为其反函数. 则由(2.4)，

()|()|ds

s t r t dt

''=

=. 故

(())()()

()|()|(())()(),():(())|()|

dr s t ds t r t r t r t s t s t t s t ds dt r t αααα''''=

===='. (3.12)

由曲率κ的定义，||0κα=≥，可知主法向量||

α

βα=

满足ακβ=. 上式再对t 求导，得 2d d ds

r s s s s s s dt ds dt

ααααακβ'''''''''''=+=+=+.

于是

2333()()||r r s s s s s r r s αακβκαβκγκ'''''''''''''?=?+=?=??=.

所以33

|()()||()()||()|r t r t r t r t s r t κ''''''??==''. 代入上式得()()

|()()|r t r t r t r t γ'''?='''?. □

例3.1 求圆柱螺线()(cos ,sin ,),()r t a t a t bt t =∈R 的曲率和Frenet 标架，其中0a >. 解. ()(sin ,cos ,)r t a t a t b '=-，()(cos ,sin ,0)r t a t a t ''=-，2|()|r t a '=

2(sin ,cos ,)(sin ,cos ,)r r ab t ab t a a b t b t a '''?=-=-，2||r r a a '''?=所以

322|()()||()|r t r t a

r t a b κ'''?=

='+，

()sin ,cos ,)t a t a t b α=-， ()

s α()

s γ()

s β()

r s

2|

()()|r t r t a ='''?+(cos βγα=?=-维维安尼(Viviani)例3.2 标架. 解法对应的参数为2

t π=

+22,cos sin t -于是当2t π=时，

(0,0,1),r r 1,0)，1γ=

5

(2,0,1)=

-所以在(0,0,1)点处的曲率5κ=

，Frenet 标架为(0,0,1)r =，(0,1,0)α=-，1)β=-，

γ □

解法2. (),()y y s z z s =，(s ∈(0,0,1)对

应的参数为 (1)

以及

()(()()()1,

x s y x s y s z s +++= (3.14) 求导得到

()()()()()0,)()2()()()0,()()()()()()0.x s y s y s z s z s s x s y s y s x s x s x s y s y s z s z s ++=+-=?++=?

(3.15) 令0s =，由(1)和上述方程组得到(0)(0)0x z ==，(0)1y =±. 通过改变曲线的正方向，可设(0)1y =，于是

(0)((0),(0),(0))(0,1,0)x y z α==. (3.16)

对(3.15)前两式再求导，利用(3.14)得

22

()()()()()()1,

2()()2()2()()2()()0.

x s x s y s y s z s z s x s x s x s y s y s y s x s ++=-??+++-=? (3.17) 令0s =，由(3.15)和(3.16)得(0)0y =；由(1)和(3.17)第1式得(0)1z =-；再由(3.17)第2式得(0)2x =. 所以

(0)(0)((0),(0),(0))(2,0,1)r x y z α===-.

由此得(0)(0,0,1)r =处的曲率(0)|(0)|5κα==，Frenet

标架为：(0)(0,0,1)r =；

(0)(0,1,0)α=，1

1

(0)5

(0)(0)(2,0,1)κβα==

-，(0)(0)(0)1,0,2)γαβ=?=

--. □

课外作业：习题1(2,4)，4，7

§ 2.4 曲线的挠率和Frenet 公式

密切平面对弧长s 的变化率为||γ，它刻画了曲面偏离密切平面的程度，即曲线的扭曲程度. 定义 4.1 函数τγβ=-?，即()()()s s s τγβ=-?称为曲线的挠率. 注. 由0γγ?=，()0γαγαγκβ?=-?=-?=可知//γβ. 因此可设

γτβ=-， (4.1)

从而||||τγ=，即挠率的绝对值刻画了曲线的扭曲程度.

定理4.1 设曲线C 不是直线，则C 是平面曲线的充分必要条件是它的挠率0τ≡. 证明. 设曲线C 的弧长参数方程为()r r s =，[0,]s L ∈. 因为C 不是直线，0κ≠(见定理3.2 )，存在Frenet 标架{}

;,,r αβγ.

“?” 设C 是平面曲线，在平面:()0X a n ∏-=上，其中a 是平面上一个定点的位置向

量，n 是平面的法向量，a 和n 均为常向量. 则有

(())0,[0,]r s a n s L -=?∈.

求导得

()0,()()0()0,s n s s n s n s ακββ==?=?.

于是()//s n γ, 由于|()|||1s n γ==，所以()s n γ=±是常向量，从而0γ≡，||||0τγ=≡. 即有0τ≡.

“?”设0τ≡. 由(4.1)得0γτβ=-=. 所以()0s c γ=≠是常向量. 由

(())()()()0d

r s c r s c s s ds

αγ=== 可知()r s c 是一个常数，即0()()r s c r s c =，其中0[0,]s L ∈是固定的. 于是曲线C 上的点满足平面方程0[()()]0r s r s c -=，其中0()r s 是平面上一个定点的位置向量，c 是平面的法向量. □

设正则曲线C 上存在Frenet 标架. 对Frenet 标架进行求导，得到Frenet 公式

,,,.r αακββκα

τγγτβ?=?

=

??

=-+??

=

-? (4.8) 上式中的后三式可以写成矩阵的形式

00000ακ

αβκτβγτγ??????

? ? ?=- ? ? ?

? ? ?- ?????

??

. (4.9)

作为Frenet 公式的一个应用，现在来证明

定理4.2 设曲线()r r s =的曲率()s κ和挠率()s τ都不为零，s 是弧长参数. 如果该曲线落

在一个球面上，则有

2

22

111d a ds κτκ??????+= ? ??

???????

， (4.10) 其中a 为常数.

证明. 由条件，设曲线所在的球面半径是a ，球心是0r ，即有

()

2

20()r s r a -=. (4.11)

求导得到

()0()()0r s r s α-=.

这说明0()r s r -垂直于()s α，可设

0()()()()()r s r s s s s λβμγ-=+. (4.12)

再求导，利用Frenet 公式得

()()()()[()()()()]()()()()()s s s s s s s s s s s s s αλβλκατγμγμτβ=+-++-.

比较两边,,αβγ的系数，得

1λκ=-，λμτ=，μλτ=-， (4.13)

其中略去了自变量s . 所以

1

λκ

=-，111d d ds ds λλμτττκ??===- ???. (4.14)

将(4.12)两边平方可得()2

2

2

2

0r r a λμ+=-=，再将(4.14)代入其中，即得(4.10). □

注记 由证明过程中的(4.13)第3式还可得

110d d ds ds τκτκ????+= ???????

. (4.16) 在一般参数下挠率的计算公式.

2

(,,)

||r r r r r τ''''''=

'''?. (4.18)

证明. 因为()|()|ds

s t r t dt

''=

=，利用Frenet 公式，有 ()()(())ds dr r t s t s t dt ds

α''==，

2()()(())()(())(())r t s t s t s t s t s t ακβ'''''=+，

23(())

()()(())3()()(())(())()(())

()(())[(())(())(())(())].d s t r t s t s t s t s t s t s t s t s t dt

s t s t s t s t s t s t κακββκκατγ''''''''''=++'+-+ 于是3

()()()(())(())r t r t s t s t s t κγ''''?=，从而

()36

2

()()()()(())(())()

(),(),()()(())(()).

r t r t r t s t s t s t r t r t r t r t s t s t s t κγκτ''''''''''''''''=??=?'=

由(3.13)可知622

()(())|()()|s t s t r t r t κ''''=?，代入上式即得(4.18). □

定理4.3 曲线()r r t =是平面曲线的充要条件是(,,)0r r r ''''''=. □ 例 求圆柱螺线()(cos ,sin ,)r t a t a t bt =的挠率.

解. ()(sin ,cos ,)r t a t a t b '=-，()(cos ,sin ,0)r t a t a t ''=-，2|()|r t a '=

2(sin ,cos ,)(sin ,cos ,)r r ab t ab t a a b t b t a '''?=-=-，2||r r a a '''?=()(sin ,cos ,0)r t a t t '''=- 所以2

(,,)r r r a b ''''''=，22

b a b τ=+. □

课外作业：习题1(2, 4)，4，10

§ 2.5 曲线论基本定理

已经知道正则参数曲线的弧长、曲率、挠率是曲线的不变量，与坐标系取法及保持定向的参数无关，都是曲线本身的内在不变量. 在空间的刚体运动下，弧长、曲率、挠率保持不变(为什么？). 反之，这三个量也是曲线的完备不变量系统，对确定空间曲线的形状已经足够了，即有

定理5.1 (唯一性定理) 设111222:(),:()C r r s C r r s ==是3E 中两条以弧长s 为参数的正则参数曲线，[0,]s l ∈. 如果它们的曲率处处不为零，且有相同的曲率函数和挠率函数，即

12()()s s κκ=，12()()s s ττ=，则有3E 中的一个刚体运动σ将1C 变成2C .

证明 选取3

E 中的刚体运动σ将2C 在0s =处的Frenet 标架{}

2222(0);(0),(0),(0)r αβγ变

为1C 在0s =处的Frenet 标架{}

1111(0);(0),(0),(0)r αβγ. 则这个刚体运动

σ将2C 变为正则曲线3C . 设3C 的弧长参数方程为33()r r s =. 由于在刚体运动下，弧长、曲率、挠率保持不变，1C 与3C 也有相同的曲率和挠率函数：

13()()s s κκ=，13()()s s ττ=.

且在0s =处它们有相同的Frenet 标架：

13131313(0)(0),(0)(0),(0)(0),(0)(0).r r ααββγγ====

令{

}1111();(),(),()r s s s s αβγ和{}

3333();(),(),()r s s s s αβγ分别为1C 和3C 的Frenet 标架. 则它们都满足一阶线性常微分方程组初值问题

,

,,.

r αακββκατγγ

τβ?=?=??=-+??=-? (5.6) 11

11(0)(0),

(0)(0),(0)(0),

(0)(0).r r ααββγγ=??=??=??=? (5.7)

根据解的唯一性(见附录定理1.1)，有13()()r s r s =，即1C 与3C 重合. □

注 常微分方程组(5.6)中，共有12个未知函数：

()()(),(),()r s x s y s z s =，()123()(),(),()s s s s αααα=，

()123()(),(),()s s s s ββββ=，()123()(),(),()s s s s γγγγ=.

初始条件为：

()1123(0)(,,)(0),(0),(0)r a a a x y z ==，()123111213(0),(0),(0)(,,)a a a ααα=，

()123212223(0),(0),(0)(,,)a a a βββ=，()123313233(0),(0),(0)(,,)a a a γγγ=.

定理5.2设111222:(),:()C r r t C r r u ==是3E 中两条正则参数曲线，它们的曲率处处不为零. 如果存在三次以上的连续可微函数()u t λ=([,]t a b ∈)，()0t λ'≠，使得这两条曲线的弧长函数、曲率函数和挠率函数之间满足

121212()(()),()(()),()(())s t s t t t t t λκκλττλ===， (5.4) 则有3E 中的一个刚体运动σ将1C 变成2C .

证明 不妨设()0t λ'>. 对2C 作可允许参数变换()u t λ=，可将2C 的参数方程写成

32()(())r t r t λ=. 则1C 的弧长为11()|()|t

a

s t r d ξξ'=?，2C 的弧长为

()2

3322()

()|()||()|(())()t

t

t a

a a dr s t r d d d s t r du λλξξλξξηλη'''====??

?. 由条件，可取132

()()()s s t s t s t λ===作为1C 和2C 的弧长参数. 因为13()()s t s t =有相同的反函数()t s μ=，即111111322()s s s s μλλ-----====，1

2s λμ-=. 于是

11

11112222()()()()()()s s s s s s s s κκκμκλμκκ--≡===≡.

同理，21()()s s ττ= 根据定理5.1，有3

E 中的一个刚体运动σ将1C 变成2C . □

定理 5.3 (存在性定理) 设(),()s s κτ是定义在区间[,]a b 上的任意二个给定的连续可微函数，并且()0s κ>. 则除了相差一个刚体运动之外，存在唯一的3

E 中的正则曲线:()C r r s =，

[,]s a b ∈，使得s 是C 的弧长参数，且分别以给定的函数()s κ和()s τ为它的曲率和挠率.

证明 唯一性由定理5.1即得. 只要证明存在性.

考虑含有12个未知函数的一阶线性常微分方程组初值问题(5.6)，(5.7).：

,

,,

.

dr

ds d ds d ds d ds

αακββκατγγτβ?=???=???=-+???=

-? (5.6) 00

00(0),

(0),

(0),(0).r r ααββγγ=??=??=??=? (5.7)

根据解的唯一存在定理(见附录定理1.1)，对任意给定的初始条件(5.7)，(5.6)都有定义在区间[,]

a b 上的解. 取(5.6)的满足初始条件

(0)0,(0),(0),(0)r i j k αβγ==== (5.7)’

的解，其中{}

;,,O i j k 是一个正交标架(即右手单位直角标架). 为了使用求和号，记

123,,,ij i j e e e g e e αβγ====, (5.9)

[,]

a b 11[,]

a b [0,]

l λ

1

s 2

s R

1

κ2

κμ

11121321222331323300000a a a a a a a a a κκττ????

? ?=- ? ?

-?

???. (5.5) 因为123,,,r e e e 是(5.6)的解，所以()r r s =是三阶连续可微的. 下面来证明()r r s =就是所要求的曲线. 由(5.6)可得

3

11

,,1,2,3i

ij j j de dr

e a e i ds

ds ====∑ (5.6)’ 首先来证明

(),,1,2,3ij ij g s i j δ==. (5.10)

由(5.6)得

333111

()()ij i j j i

j i ik k j jk i k ik kj jk ki k k k dg d e e de de e e a e e a e e a g a g ds

ds ds ds ====

=+=+=+∑∑∑， 由初始条件(5.7)’可知有(0)(0)(0)ij i j ij g e e δ==，,1,2,3i j =. 这说明9个函数()ij g s 满足一阶线性常微分方程组初值问题

3

1

()ij ik kj jk ki k dF a F a F ds

==+∑，(0)ij ij F δ=，,1,2,3i j =.

另一方面由(5.5)可知ij ji a a =-，,1,2,3i j =. 于是9个函数()ij ij F s δ=也满足上面的一阶线性常微分方程组初值问题. 由解的唯一性，必有()()ij ij ij g s F s δ==.

因此123(),(),()e s e s e s 是两两正交的单位向量. 从而混合积()123(),(),()1e s e s e s =±. 但是函数()123()(),(),()f s e s e s e s =是连续的，并且由初始条件得()123(0)(0),(0),(0)1f e e e ==. 所以123(),(),()e s e s e s 构成右手系.

现在，由(5.6)’可知

11dr

e ds

==. 所以()r r s =是正则曲线，并且s 是:()C r r s =的弧长参数，1()()s e s α=是C 的单位切向量场. 由(5.6)第2式及()0s κ>可知C 的曲率为()s κ，主

法向量场为2()()s e s β=. 最后，因为123(),(),()e s e s e s 是右手单位正交基，所以3()()s e s γ=是次法向量场. 再由(5.6)第3式可知C 的挠率为()()()s s s γβτ-=. □

例 求曲率和挠率分别是常数00κ>，0τ的曲线C 的参数方程.

解 我们已经知道圆柱螺线()(cos ,sin ,)r t a t a t bt =的曲率和挠率都是常数，分别为

22a a b +和22b a b +. 根据定理5.1，曲线C 一定是圆柱螺线. 由0

22a a b κ=+和022

b

a b τ=+解出02200a κκτ=+，02200

b τ

κτ=+. 因此所求曲线C 的参数方程为

()0

002200

1

()cos ,sin ,r t t t t κκτκτ=

+. 因为C 的弧长参数s b t κ=+=，将上式中的t 就可得到C 的弧长

参数方程：

)

)

(

)

0022001

()cos

,sin

,r s κκτκτ=

+. □

课外作业：习题1，4，6

§ 2.6 曲线参数方程在一点的标准展开

对于定义在区间[,]a b 上的n 次连续可微的函数()f x ，可以在区间(,)a b 内任意一点0x 邻近展开为Taylor 展式：

2()1

1000000002!

!

()()()()()()()()()n n n n f x f x f x x x f x x x f x x x o x x '''=+-+-+

+

-+-.

同样，对于一条三次连续可微的弧长参数曲线(),(,)r r s s εε=∈-，可在0s =处展开为

233112!

3!

()(0)(0)(0)(0)()r s r sr s r s r o s =++

+

+， (6.1)

其中3

()o s 是一个向量函数，满足

330()

lim 0s o s s

→=. (6.2) 由Frenet 公式可得

2(0)(0),(0)(0)(0),

(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)r r r ακβκακβκτγ===-++ (6.3)

代入(6.1)得

2

3233300000()(0)(0)(0)(0)()6266r s r s s s s s o s κκκκταβγ????

=+-++++ ? ????

?，

其中000(0),(0),(0)κκκκττ===.

以0s =处的Frenet 标架{}

(0);(0),(0),(0)r αβγ建立右手直角坐标系，则曲线C 在0s =附近的参数方程为

233

01233

00233003(),6(),26().6x s s o s y s s o s z s o s κκκκτ?=-+??

?=++??

?=+??

(6.4)

上式称为曲线:()C r r s =在0s =处的标准展开式.

在标架{}

(0);(0),(0),(0)r αβγ下，考虑C 的近似曲线

232300000011:(),,(0)(0)(0)(0)2626C r s s s s r s s s κκτκκταβγ??

=≡+++ ???

. (6.5)

近似曲线1C 与原曲线C 在0s =处有相同的Frenet 标架{}

(0);(0),(0),(0)r αβγ，有相同的曲率

0κ和相同的挠率0τ. 这是因为s 是1C 的一般参数，并且1(0)(0,0,0)(0)r r ==，

1(0)(1,0,0)(0)r α'==，100(0)

(0,,0)(0)r κκβ''==，10000(0)(0,0,)(0)r κτκτγ'''==， 从而

1(0)1r '=，11

1(0)

(0)(0)(0)

r r αα'=='，()

1100(0)(0)(0)(0)(0)r r ακβκγ'''?=?=，

110(0)(0)r r κ'''?=，11103

1(0)(0)(0)(0)

r r r κκ'''?=

='，11111(0)(0)

(0)(0)(0)(0)

r r r r γγ'''?=

='''?，

111(0)(0)(0)(0)(0)(0)βγαγαβ=?=?=，211100

102

20

11(0)(0)(0)(0)(0)(0)

r r r r r κτττκ''''''??=

=='''?. 在0s =邻近，近似曲线1C 的性状近似地反映了原曲线C 的性状. 近似曲线1C 的图形见下图，其在各坐标平面上的投影见书上图2-6.

在密切平面上的投影是抛物线：20

,,02

x s y s z κ==

=，在从切平面上的投影是三次曲线：

300

,0,6

x s y z s κτ===

，在法平面上的投影是半三次曲线：230

00

0,,2

6

x y s z s κκτ==

=

.

定义 设两条弧长参数曲线111222:(),:()C r r s C r r s ==相交于0p ，012(0)(0)Op r r ==. 取1122,p C p C ∈∈，使得0102p p p p s ==?. 若有正整数n 使得

121200|||()()|lim

lim 0n n s s p p r s r s s s ?→?→?-?==??，1210|()()|

lim 0n s r s r s s +?→?-?≠?， (6.9) 则称1C 与2C 在0p 处有n 阶切触.

定理 6.1 设两条弧长参数曲线111222:(),:()C r r s C r r s ==在0s =处相交. 则它们在

0s =处有n 阶切触的充分必要条件是

()()12(0)(0)k k r r =，1,2,

,k n =，(1)(1)12(0)(0)n n r r ++≠. (6.10)

证明 在0s =处，有0s s s ?=-=. 因为12,C C 在0s =处相交，所以12(0)(0)r r =. 根据

Taylor 公式，

α0

γβ(0)

r