第十章 多重积分的计算 习题
重点：二重积分：二重积分化二次积分、直角坐标系下的二重积分化极坐标系下的二重积分、交换积分次序、二重积分的计算；
三重积分：计算三重积分（投影法化三重积分为先一后二，截面法化三重积分为先二后一） 重积分的应用：计算平面区域的面积、空间区域的体积、曲面面积、质量计算、物体的质心与形心。 一、单项选择题 1. ????+=+=
D
D
dxdy y x I dxdy y x I 2231)()(与，其中2)1()2(2
2≤-+-y x D ：,则下列关系式成立的是: （ ）。
A ．21I I =
B ．21I I > C. ．21I I < D ．无法判断 2．设Ｄ由x 轴、ln y x x e ==、围成，则
(,)D
f x y d σ=??（ ）
。 A ．ln 1
(,)e
x
dx
f x y dy ??
Ｂ．ln 0
(,)e
x
dx f x y dy ?? C ．1
(,)y
e dy
f x y dx ?? D ．10(,)y
e
e dy
f x y dx ??
3．设22:2D x y x +≤， (,)f x y 在D 上连续． (,)D f x y d σ??=( )。
A.
2sin 0
0(cos ,sin )d f r r rdr π
θθθθ?
?
B.22cos 0
0(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ??
C.
2cos 2
2
(cos ,sin )d f r r rdr πθ
πθθθ-
?
?
D.
2sin 20
2
(cos ,sin )d f r r rdr π
θπθθθ-
?
?
4．累次积分cos 2
(cos ,sin )d f r r rdr π
θ
θθθ?
?
可以写成（ ）。
A.1
0(,)dy f x y dx ?.
B.1
0(,)dy f x y dx ?. C.
1
1
(,)dx f x y dy ??
.
D.10
(,)dx f x y dy ?
5. 设D 为圆周2
2
2
R y x =+所围的闭区域，则
=+??
dxdy y x D
22（ ）。
A.
3
R dxdy R D
π=??
B.??=R
R d d 0
220πρρ?π
C.
3
2
20
32R d d R
πρρ?π
=?
?
` D.??=R R d R d 032202πρ?π
6.
??-2
1
0 x x f(x,y)dy dx ＝（ ）
。 A ．
???
ρρ?ρ?ρ?
πcos 0
0 )sin cos 2 d ,f(d B ．2
2
cos 0
cos sin ) d f(,d π
π?
?ρ?ρ?ρρ-??
C ．
sin 0
cos sin ) d f(,d π
?
?ρ?ρ?ρρ?
?
D ．22
sin 0
cos sin ) d f(,d π
π?
?ρ?ρ?ρρ-?? 0
7．Ｄ由,,y x y x a ==+,3(0)y a y a a ==>所围，二重积分
??=+D
d y x σ)(2
2（ ）。 A.4
2a B.4
14a C.4
6a D ．4
8a 8．设?是空间的空心球域：41222≤++≤z y x ，那么d d d x y z Ω
=???（ ）。
A.
223π B. 263π C. 283π D. 323
π
9．设有两空间区域，22221:,0x y z R z Ω++≤≥；22222:,0,0,x y z R x y Ω++≤≥≥
0z ≥，则以下结论正确的是
（ ）。
A ．1
2
4xdv xdv ΩΩ=?????? B ．1
2
4ydv ydv ΩΩ=?????? C ．
1
2
4zdv zdv ΩΩ=?????? D ．1
2
4xyzdv xyzdv ΩΩ=??????
10．设D 为圆周222R y x =+所围成的闭区域，则
=+??
dxdy y x D
22（ ）。
A ．
3
R dxdy R D
π=??
． B ．20
20R d d R
πρρ?π
=??． C ．
3
220
3
2R d d R
πρρ?π
=
??
． D ．302202R d R d R πρ?π=??．
11．设平面区域(){}
222,R y x y x D ≤+=，(){}
0,0,,2
221≥≥≤+=y x R y x y x D ，则下
列等式正确的是（ ）． A ．
????=1
4D D
xd d x σσ． B ．????=1
4D D
yd d y σσ．
C ．
????=1
4D D
xyd d xy σσ． D ．????=1
2
2
4D D
d x d x σσ． 12．设D 由曲线2y x =和直线2y x =-围成，则d D
xy σ=??（ ）
。 A ．
4
2
d d y
y y xy x +?
?
B
．140
1
2
d d d d x
x x y x xy x -+???
C ．
22
2
1
d d y y
y xy x +-?
?
D ．
2
2
1
d d y y
y xy x +-?
?
13
．由上半球面z =0z =所围立体的体积=V （ ）。
A
．1
1
dx -?
B
．1
1dy -?
C
．
1
1
dx -?
D
．1
1
1
dx
--??
14．设{}{}
222222
1(,)|,(,)|,0,0,D x y x y R D x y x y R x y =+≤=+≤≥≥ 则正确的是（ ）。
A .1
4D
D xd xd σσ=????
B .1
4D
D yd yd σσ=????
C .
1
4D
D xyd xyd σσ=???? D .1
22
4D
D x d x d σσ=????
二、填空题
1
．改变二次积分的积分顺序
2
1
2(,)x
dx f x y dy -=? 。
2．交换积分次序：
??=2
22
),(y
y dx y x f dy 。
3．已知D 是矩形区域01,02x y ≤≤≤≤，则__ ___(1)D
x y d σ≤++≤?? __ ___。
4．设 2
2
2
2
:,0x y z R z Ω++≤≥，则
1
xyzdv Ω=??? ＿ ＿＿＿＿＿。
5. 设有空间闭区域2222{(,,),0}V x y z x y z a z =++≤≥,则
V
zdxdydz =??? 。
6.
??-2
1
0 y y f(x,y)dx dy 化极坐标二次积分为
7．
把积分化为极坐标：20
(,)a
f x y dy =? ____________________.
8．设f x y e t t x
x y
(,)d =
-+?
2
，则(0,1)yy f =____________ 。
9．设Ω为球()2
22
1(1)4x y z -+++=，则
dxdydz Ω
=??? 。
三、解答题 1
．计算重积分2
2
1
1
x y e dx dy -?
。
2．计算重积分
arctan
D
y
d x
σ??，其中D 是由圆周22221,4x y x y +=+=及直线y y x =0,= 所围成的在第一象限内的闭区域。 3
．求曲面z =被22z x =所割下部分的面积.
4．计算??
D
d y x σ223，其中D 是由x 轴、y 轴及抛物线21x y -=所围成的在第一象限内的闭
区域． 5．计算积分??--
=
D
dxdy y x
I )221(，其中?
??≤≤-≤≤-2211:x x D 。
6．计算二重积分
dxdy y x D
??
+22，其中D 是由y 轴及圆周1)1(22=-+y x 所围成的在
第一象限内的区域。 7．计算
2
,x dxdydz Ω
Ω???
为222(),1z x y z =+=所围成的闭区域。 8．求由平面1,0,0=+==y x y x 所围成的柱体被平面0=z 及抛物面z y x -=+622截得的立体的体积.
9. 计算二重积分：2
2,D
x d y σ??其中Ｄ由直2,,1x y x xy ===所围成的闭区域。
10. 计算二重积分
2
2
221
x
y x y e dxdy ++≤??
。
11．计算二重积分：??
+D
dxdy y x )3(22，其中区域D 是由直线2,1,2,====x x x y x y 围成（如图）
12. 求由曲面228y x z --=，22y x z +=所围立体的体积。 13.
计算二重积分D
σ，其中Ｄ是圆周22x y Rx +=上半圆与x 轴所围成的闭
区域。
14. 计算由四个平面0,0, 1.1x y x y ====所围成的柱体被平面0z =及236x y z ++=所截得的立体体积。 15．计算二重积分
??≤++1
2)(y x dxdy y x 。
16．计算三重积分,zdxdydz Ω
???
其中Ω
为曲面z =2z =所围成的闭区域。 四、证明题：
1．证明：dx x f e x a dx x f e
dy y
a
a x
b a x b a
)()()(0
)()
(0
?
??---=
2．
证明：2
11
()()()y
x
a
f x dx e e f x dx =-??。
《结构力学习题集》(下)-结构的动力计算习题及答案
第九章 结构的动力计算 一、判断题： 1、结构计算中，大小、方向随时间变化的荷载必须按动荷载考虑。 2、仅在恢复力作用下的振动称为自由振动。 3、单自由度体系其它参数不变，只有刚度EI 增大到原来的2倍，则周期比原来的周期减小1/2。 4、结构在动力荷载作用下，其动内力与动位移仅与动力荷载的变化规律有关。 5、图示刚架不计分布质量和直杆轴向变形，图a 刚架的振动自由度为2，图b 刚架的振动自由度也为2。 (a)(b) 6、图示组合结构，不计杆件的质量，其动力自由度为5个。 7、忽略直杆的轴向变形，图示结构的动力自由度为4个。 8、由于阻尼的存在，任何振动都不会长期继续下去。 9、设ωω,D 分别为同一体系在不考虑阻尼和考虑阻尼时的自振频率，ω与ωD 的关系为ωω=D 。
二、计算题： 10、图示梁自重不计，求自振频率ω。 EI l W l/4 11、图示梁自重不计，杆件无弯曲变形，弹性支座刚度为k，求自振频率ω。 EI W o o l/2l/2 k 12、求图示体系的自振频率ω。 m l EI EI l 0.5l 0.5 2 13、求图示体系的自振频率ω。EI = 常数。 m l l0.5 14、求图示结构的自振频率ω。 m l l l l EI=常数
15、求图示体系的自振频率ω。EI =常数，杆长均为l 。 m 16、求图示体系的自振频率ω。杆长均为l 。 EA=o o EI m EI EI 17、求图示结构的自振频率和振型。 m m EI EI EI l /2 l /2 l /2 18、图示梁自重不计，W EI ==??2002104kN kN m 2 ,，求自振圆频率ω。 EI W A B C 2m 2m 19、图示排架重量W 集中于横梁上，横梁EA =∞，求自振周期ω。 h EI EI W
不定积分练习题及答案
不定积分练习题 2 11sin )_________ 2 x d x -=?一、选择题、填空题：、（ 2 2()(ln )_______x e f x x f x dx =?、若是的原函数，则： 3sin (ln )______x d x =?、 2 2 2 4()(tan )sec _________; 5(1,1)________; 6'()(),'()_________;1() 7(),_________;1 8()arcsin ,______() x x x e f x f x xd x d x y x x F x f x f a x b d x f e f x d x c d x x e xf x d x x c d x f x --===+== +==+=?? ??? ? ? 、已知是的一个原函数，则、在积分曲线族 中，过点的积分曲线是、则、设则、设 则____; 9'(ln )1,()________; 10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______; 12'()(),'()(),()_____()() ()() ()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x d x x x xd x f x F x f x x f x f x d x A F x B x C x κ??=+== - = ===???、则、若在内连续，则在内必有导函数必有原函数必有界 必有极限 、若 则、若则)()()()c D F x x c ?+++ 13()[()]() ()[()]()() ()() () ()()d A d f x dx f x B f x dx f x dx d x C df x f x D df x f x c === = +????、下列各式中正确的是： (ln )14(),_______ 11() ()ln () () ln x f x f x e dx x A c B x c C c D x c x x -==++-+-+? 、设则：
不定积分例题及参考答案
第4章不定积分
习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2)dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)2 2x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +?
思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式， 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134 （- +-）2 思路:分项积分。 解：3411 342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =？ 111 7248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 715 8 88 .15x dx x C ==+? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ?
定积分典型例题20例答案(供参考)
定积分典型例题20例答案 例1 求2 1lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111 n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 = ?． 例2 0 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=， 故321(1)3f x x -= ，令3126x -=得3x =，所以1(26)27 f =．
2016年专项练习题集-定积分的计算
2016年专项练习题集-定积分的计算 一、选择题 1.dx x )5(1 22-?=（ ） A.233 B. 31 C.3 4 D ．83 【分值】5分 【答案】D 【易错点】求被积函数的原函数是求解关键。 【考查方向】求定积分 【解题思路】求出被积函数的原函数，应用微积分基本定理求解。 【解析】dx x )5(122-?=123153x x -＝83 ． 2.直线9y x =与曲线3 y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ） A 、 B 、 C 、2 D 、4 【分值】5分 【答案】D 【易错点】求曲线围成的图形的面积，可转化为函数在某个区间内的定积分来解决，被积函
数一般表示为曲边梯形上边界的函数减去下边界的函数. 【考查方向】定积分求曲线围成的图形的面积 【解题思路】先求出直线与曲线在第一象限的交点，再利用牛顿-莱布尼茨公式求出封闭图形的面积. 【解析】由? ??==39x y x y ，得交点为()()()27,3,27,3,0,0--， 所以()4 81034129942303 =??? ??-=-=?x x dx x x S ，故选D. 3.2 2-?2412x x -+dx =（ ） A.π 4 B.π 2 C.π D.π3 【分值】5分 【答案】A 【易错点】利用定积分的几何意义，一般根据面积求定积分,这样可以避免求原函数，注意理解所涉及的几何曲线类型. 【考查方向】求定积分 【解题思路】利用定积分的几何意义,转化为圆的面积问题。 【解析】设y =2412x x -+,即(x -2)2+y 2=16(y ≥0).∵2 2-?2412x x -+dx 表示以4为半径的圆的四分之一面积.∴2 2-?2412x x -+dx =π4. 4.F4遥控赛车组织年度嘉年华活动，为了测试一款新赛车的性能，将新款赛车A 设定v ＝3t 2＋1(m/s)的速度在一直线赛道上行驶，老款赛车B 设定在A 的正前方5 m 处，同时以v
定积分典型例题11198
定积分典型例题 例1 求21lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1 i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 =?． 例2 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ?= 2 π ． 例18 计算2 1 ||x dx -?． 分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分． 解 2 1||x dx -?＝0 2 10()x dx xdx --+??＝220210[][]22x x --+＝5 2 ． 注 在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 3 322 2111 []6 dx x x --=-=?，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界. 例19 计算2 20 max{,}x x dx ?． 分析 被积函数在积分区间上实际是分段函数 212()01x x f x x x ?<≤=?≤≤? ． 解 232 12 2 2 12010 1 1717max{,}[][]23236 x x x x dx xdx x dx =+=+=+=? ?? 例20 设()f x 是连续函数，且10 ()3()f x x f t dt =+?，则()________f x =． 分析 本题只需要注意到定积分()b a f x dx ?是常数（,a b 为常数）． 解 因()f x 连续，()f x 必可积，从而10 ()f t dt ?是常数，记1 ()f t dt a =?，则 ()3f x x a =+，且11 (3)()x a dx f t dt a +==??．
经济数学(不定积分习题及答案)
第五章 不定积分 习题 5－1 1. 1. 验证在(-∞,+∞) 内, 221 sin , cos 2, cos 2x x x -- 都是同一函 数的原函数. 解 221 (sin )'(cos 2)'(cos )'sin 22x x x x =-=-=因为 221 sin ,cos 2,cos sin 22x x x x --所以都是的原函数. 2. 2. 验证在(-∞,+∞) 内, 2222(),() 2()x x x x x x e e e e e e ---+-+都是 的原函数. 解 2 2 22[()]' [()]'=2() x x x x x x e e e e e e - --+=-+因为 2222 ()() 2().x x x x x x e e e e e e ---+=-+所以都是的原函数 3.已知一个函数的导数是2 11 x -，并且当x = 1时, 该函数值是3 2π，求这个函数. 解 设所求函数为f (x ), 则由题意知 '()f x = '(arcsin )x 因为 '()()d arcsin f x f x x x C ===+?所以 又当x = 1时， 3 (1)2f π =，代入上式, 得C = π 故满足条件的函数为 ()f x =arcsin x π+. 3. 3. 设曲线通过点(1, 2) , 且其上任一点处的切线的斜率等于这点横坐 标的两倍，求此曲线的方程. 解 设曲线方程为 ()y f x =, 则由题意知'' ()2y f x x == 因为 2()'2x x = 所以 2'()d 2d y f x x x x x C = ==+? ? 又因为曲线过点(1, 2), 代入上式, 得C = 1 故所求曲线方程为 2 1y x =+. 5. 求函数y = cos x 的分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1)的积分曲线的方程. 解 设y = cos x 积分曲线方程为 ()y f x = 因为 ' (sin )cos x x = 所以 ()cos d sin f x x x x C ==+? 又因为积分曲线分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1),代入上式, 得C 1 = 1 与 C 2 = -1. 故满足条件的积分曲线分别为
[整理]三重积分的计算方法小结与例题76202
三重积分的计算方法介绍： 三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看： 如果先做定积分?2 1),,(z z dz z y x f ，再做二重积分??D d y x F σ),(，就是“投 影法”，也即“先一后二”。步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。σd dz z y x f dv z y x f D z z ??????Ω =2 1]),,([),,( 如果先做二重积分??z D d z y x f σ),,(再做定积分?2 1 )(c c dz z F ，就是“截面 法”，也即“先二后一”。步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。区域z D 的边界曲面都是z 的函数。计算区域z D 上的二重积分??z D d z y x f σ),,(，完成 了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分?2 1 )(c c dz z F ，完成“后 一”这一步。dz d z y x f dv z y x f c c D z ]),,([),,(2 1σ??????Ω = 当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。 为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面) （1） D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲
§_5_定积分习题与答案
第五章 定积分 (A) 1．利用定积分定义计算由抛物线12 +=x y ，两直线)(,a b b x a x >==及横轴所 围成的图形的面积。 2．利用定积分的几何意义，证明下列等式： ? =1 12)1xdx 4 1) 21 2π = -? dx x ?- =π π0sin ) 3xdx ?? - =2 2 20 cos 2cos )4π ππ xdx xdx 3．估计下列各积分的值 ? 33 1arctan ) 1xdx x dx e x x ?-0 2 2)2 4．根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小 ?2 1 ln )1xdx 与dx x ?2 1 2)(ln dx e x ?10)2与?+1 )1(dx x 5．计算下列各导数
dt t dx d x ?+20 2 1)1 ?+32 41)2x x t dt dx d ?x x dt t dx d cos sin 2)cos()3π 6．计算下列极限 x dt t x x ?→0 20 cos lim )1 x dt t x x cos 1)sin 1ln(lim )20 -+?→ 2 2 20 )1(lim )3x x t x xe dt e t ? +→ 7．当x 为何值时，函数? -=x t dt te x I 0 2 )(有极值？ 8．计算下列各积分 dx x x )1 ()12 1 42? + dx x x )1()294+?
? --212 12) 1()3x dx ? +a x a dx 30 2 2) 4 ?---+2 11)5e x dx ?π20sin )6dx x dx x x ? -π 3sin sin )7 ? 2 )()8dx x f ，其中??? ??+=22 11)(x x x f 1 1>≤x x 9.设k ，l 为正整数，且l k ≠，试证下列各题： ?- =π π 0cos )1kxdx πππ =?-kxdx 2cos )2 ?- =?π π 0sin cos )3lxdx kx ?-=π π 0sin sin )4lxdx kx
定积分典型例题20例答案
定积分典型例题20例答案 例1 求33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++=333 112 lim ()n n n n n n →∞++ +=1303 4 xdx =?． 例2 2 20 2x x dx -? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，2 20 2x x dx -?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故220 2x x dx -? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 2 2 2x x dx -? =2 2 2 1sin cos t tdt ππ- -? =2 2 21sin cos t tdt π -? =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=，
数学分析21.5三重积分(含习题及参考答案)
第二十一章 重积分 5三重积分 一、三重积分的概念 引例：设一空间立体V 的密度函数为f(x,y,z)，为求V 的质量M ， 将V 分割成n 个小块V 1,V 2,…,V n . 每个小块V i 上任取一点(ξi ,ηi ,ζi ), 则 M=i n i i i i T V f ?∑=→10 ),,(lim ζηξ, 其中△V i 是小块V i 的体积, T =}{max 1的直径i n i V ≤≤. 概念：设f(x,y,z)是定义在三维空间可求体积有界区域V 上的有界函数. 用若干光滑曲面所组成的曲面网T 来分割V ，把V 分成n 个小区域 V 1,V 2,…,V n .记V i 的体积为△V i (i=1,2,…,n)，T =}{max 1的直径i n i V ≤≤. 在每个V i 中任取一点(ξi ,ηi ,ζi ), 作积分和i n i i i i V f ?∑=1 ),,(ζηξ. 定义1：设f(x,y,z)为定义在三维空间可求体积的有界闭区域V 上的函数，J 是一个确定的数. 若对任给的正数ε，总存在某一正数δ，使得对于V 的任何分割T ，只要T <δ，属于分割T 的所有积分和都有 J V f i n i i i i -?∑=1 ),,(ζ ηξ<ε，则称f(x,y,z)在V 上可积，数J 称为函数f(x,y,z) 在V 上的三重积分，记作J=???V dV z y x f ),,(或J=???V dxdydz z y x f ),,(，其中 f(x,y,z)称为被积函数，x, y, z 称为积分变量，V 称为积分区域. 注：当f(x,y,z)=1时，???V dV 在几何上表示V 的体积.
高等数学不定积分例题思路和答案超全
高等数学不定积分例题思路和答案超全 内容概要 课后习题全解 习题4-1 ：求下列不定积分1.知识点：。直接积分法的练习——求不定积分的基本方法思路分析：！利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分(1)★思路: 被积函数，由积分表中的公式（2）可解。 解： (2)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： (3)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。：解． (4)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： (5)思路:观察到后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解： (6)★★思路:注意到，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解： 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。(7)★思路:分项积分。 解： (8)★思路:分项积分。 解： (9)★★思路:？看到，直接积分。 解： (10)★★思路: 裂项分项积分。解： (11)★解： (12)★★思路:初中数学中有同底数幂的乘法：指数不变，底数相乘。显然。 解： (13)★★思路:应用三角恒等式“”。 解： (14)★★思路:被积函数，积分没困难。 解： (15)★★思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。 解： (16)★★思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。 解： () 17★思路:不难，关键知道“”。 ：解． ()18★思路:同上题方法，应用“”，分项积分。 解： ()19★★思路:注意到被积函数，应用公式(5)即可。 解： ()20★★思路:注意到被积函数，则积分易得。 解： 、设，求。2★知识点：。考查不定积分（原函数）与被积函数的关系思路分析：：。即可1直接利用不定积分的性质解：：等式两边对求导数得 、，。求的原函数全体设的导函数为3★知识点：。仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系思路分析：。连续两次求不定积分即可解：，由题意可知：。所以的原函数全体为、证明函数和都是的原函数4★知识点：。考查原函数（不定积分）与被积函数的关系思路分析：。只需验证即可解：，而、，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。一曲线通过点5★知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。 思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解：设曲线方程为，由题意可知：，； 又点在曲线上，适合方程，有， 所以曲线的方程为 、，：问6一物体由静止开始运动，经秒后的速度是★★（1）在秒后物体离开出发点的距离是多少？
高中数学定积分计算习题
定积分的计算 班级 姓名 一、利用几何意义求下列定积分 （1）dx x ? 1 1 -2-1 (2)dx x ? 2 2-4 （3） dx x ? 2 2-2x （4） ()dx x x ? -2 4 二、定积分计算 （1）()dx ?1 7-2x （2）( ) d x ?+2 1 x 2x 32 （3）dx ?3 1 x 3 （4）dx x ?π π - sin （5）dx x ?e 1 ln （6）dx ? +1 x 112 （7）() dx x x ?+-10 2 32 （8）()dx 2 31 1-x ? （9）dx ?+1 1 -2x x 2）（ （10）( ) d x x ?+21 2x 1x （11）() dx x x ?-+1 1 -352x （12）() dx e e x x ?+ln2 x -e （13）dx x ?+π π --cosx sin ） （ （14）dx ? e 1 x 2 （15）dx x ?2 1 -x sin -2e ）（ （16）dx ?++2 1-3x 1 x x 2 （17）dx ? 2 1x 13 （18）()dx 2 2 -1x ?+
三、定积分求面积、体积 1求由抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积。 2．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－1 3 x 所围成图形的面积． 3．求由曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积 4.如图求由两条曲线y ＝－x 2 ，y ＝－14 x 2 及直线y ＝－1所围成的图形的面积． 5、求函数f(x)＝???? ? x ＋1 (－1≤x<0)cosx (0≤x ≤π 2)的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积。 6．将由曲线y ＝x 2，y ＝x 3所 围成平面图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积。 7．将由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积。 8.由曲线y ＝x 与直线x ＝1，x ＝4及x 轴所围成的封闭图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积
10结构的动力计算习题解答,重庆大学,文国治版教材课后答案
第10章 结构的动力计算习题解答 习题10.1 是非判断题 (1) 引起单自由度体系自由振动的初速度值越大，则体系的自振频率越大。（ ） (2) 如果单自由度体系的阻尼增大，将会使体系的自振周期变短。（ ） (3) 在土木工程结构中，阻尼对自振周期的影响很小。（ ） (4) 由于各个质点之间存在几何约束，质点体系的动力自由度数总是小于其质点个数。（ ） (5) 多自由度的自振频率与引起自由振动的初始条件无关。（ ） (6) n 个自由度体系有n 个自振周期，其中第一周期是最长的。（ ） (7) 如果考虑阻尼，多自由度体系在简谐荷载作用下的质点振幅就不能用列幅值方程的方法求解。（ ） 【解】(1) 错误。体系的自振频率与初速度无关，由结构本身的特性所决定。 (2) 错误。由阻尼结构的自振频率2r 1ωωξ=-可知，阻尼增大使自振频率减小，自振周期变长。 (3) 正确。 (4) 错误。由动力自由度的概念知，动力自由度数与计算假定有关，而与集中质量数目和超静定次数无关。 (5) 正确。 (6) 正确。 (7) 正确。 习题10.2 填空题 (1) 单自由度体系运动方程为2P 2()/y y y F t m ξωω++=，其中未考虑重力，这是因为__________。 (2) 单自由度体系自由振动的振幅取决于__________。 (3) 若要改变单自由度体系的自振周期， 应从改变体系的__________或__________着手。 (4) 若由式() 2 1 1βθω=-求得的动力系数为负值，则表示__________。 (5) 习题10.2(5)图所示体系发生共振时，干扰力与__________平衡。 c k W F sin θ t P 12-2(5)习题 图 习题10.2(5)图 (6) 求习题10.2(6)图所示质点系的自振频率时(EI ＝常数)，其质量矩阵[M ]= __________。
(完整版)不定积分习题与答案
不定积分 （Ａ） １、求下列不定积分 １）?2 x dx ２） ? x x dx 2 ３） dx x ?-2)2 ( ４） dx x x ? +2 2 1 ５）??- ? dx x x x 3 2 5 3 2 ６） dx x x x ?2 2sin cos 2 cos ７） dx x e x) 3 2(?+ ８） dx x x x ) 1 1( 2 ?- ２、求下列不定积分（第一换元法） １） dx x ?-3)2 3( ２） ? - 33 2x dx ３） dt t t ?sin ４） ? ) ln(ln ln x x x dx ５）? x x dx sin cos６） ?- +x x e e dx ７） dx x x) cos(2 ? ８） dx x x ? -4 3 1 3 ９） dx x x ?3 cos sin 10） dx x x ? - - 2 4 9 1 11）? -1 22x dx 12） dx x ?3 cos 13)?xdx x3 cos 2 sin 14) ?xdx x sec tan3 15) dx x x ? +2 3 916) dx x x ? +2 2sin 4 cos 3 1 17) dx x x ? -2 arccos 2 1 10 18) dx x x x ? +) 1( arctan
3、求下列不定积分（第二换元法） １） dx x x ? +2 1 1 ２） dx x ?sin ３） dx x x ?-4 2 ４） ?> - )0 (, 2 2 2 a dx x a x ５）? +3 2)1 (x dx ６） ? +x dx 2 1 ７）? - +2 1x x dx ８） ? - +2 1 1x dx ４、求下列不定积分（分部积分法） １） inxdx xs ? ２） ?xdx arcsin ３）?xdx x ln 2 ４） dx x e x ?- 2 sin 2 ５）?xdx x arctan 2 ６） ?xdx x cos 2 ７）?xdx 2 ln ８） dx x x 2 cos2 2 ? ５、求下列不定积分（有理函数积分） １） dx x x ? +3 3 ２）? - + + dx x x x 10 3 3 2 2 3）? +)1 (2x x dx （Ｂ） 1、一曲线通过点 )3, (2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的 方程。 2、已知一个函数 ) (x F的导函数为2 1 1 x -，且当1 = x时函数值为 π 2 3 ，试求此函数。
三重积分练习题
三重积分练习题 1． 计算cos()I y x z dxdydz Ω = +???，Ω由抛物柱面y =，平面0,0,2 y z x z π ==+= 所围区域。（ 28 16 π-） 2． 计算I z dxdydz Ω =??? ，Ω由z =与22 3x y z +=围成。（134 π ） 3． 计算I Ω = ???，Ω为由2221x y z ++≤和z ≥区域。（ 20 π） 4． 已知()f x 连续，222()[()]F t z f x y dxdydz Ω =++???，222:0,z h x y t Ω≤≤+≤，求： ()F t '和2 0() lim t F t t + →。 5． 设Ω为平面1(0,0,0)x y z a b c a b c ++=>>>与三个坐标平面围成的四面体区域，求 (,,)I a b c z dxdydz Ω =???； 若又设a b c h ++=为定值，问,,a b c 怎样取值时，(,,)I a b c 最大，并求此最大值。（24 ,241536 a b c h ） 6． 将22()I f x y dxdydz Ω = +??? 化为球坐标下的三次积分，其中222:1,x y z Ω++≤ 0,0x y ≥≥。 7． 设()f u 具有连续导数，求2222 4 01lim t x y z t f dxdydz t π→++≤??? 。 （(0)f '，若(0)0f =；∞，若(0)0f ≠） 8． 计算22 ()I x y dxdydz Ω =+???，其中Ω为平面曲线 { 2 20 y z x ==绕z 轴旋转一周形成的曲面与平面8z =所围成的区域。（10243 π ） 9． 计算I Ω = ???，其中Ω为22,1,1y x z y =+==之间。 10．设222 {(,,)|1,0}x y z x y z x y z Ω=++≤++≥，计算三重积分：
定积分计算例题
第5章 定积分及其应用 （一）、单项选择题 1．函数()x f 在区间[a ，b]上连续是()x f 在[a ，b]上可积的（ ）。 A ．必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分也非必要条件 2．下列等式不正确的是（ ）。 A ． ()()x f dx x f dx d b a =??????? B. ()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C. ()()x f dx x f dx d x a =??????? D. ()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 3．? ?→x x x tdt tdt sin lim 的值等于( ). A.-1 B.0 C.1 D.2 4．设x x x f +=3 )(，则 ? -2 2 )(dx x f 的值等于（ ）。 A ．0 B.8 C. ? 2 )(dx x f D. ?2 )(2dx x f 5．设广义积分 ? +∞ 1 dx x α收敛，则必定有（ ）。 A.1-<α B. 1->α C. 1<α D. 1>α 6．求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（ ）。 A.［0，2e ］ B.［0，2］ C.［1，2］ D.［0，1］ 7．由曲线2,0,===y x e y x 所围成的曲边梯形的面积为（ ）。 A.dy y ? 2 1 ln B. dy e e x ? 2 C.dy y ? 2 ln 1ln D. ()d x e x ?-2 1 2 8．由直线1,+-==x y x y ，及ｘ轴围成平面图形的面积为（ ）。 A. ()[]dy y y ?--1 1 B. ()[]dx x x ? -+-21 1 C. ()[]dy y y ? --210 1 D.()[]dx x x ? +--1 1 9．由e x x y x y e ===,log ,ln 1围成曲边梯形，用微法求解时，若选ｘ为积分变量，面积微元为 （ ）。 A.dx x x e ???? ? ? +1 log ln B.dy x x e ???? ? ?+1log ln C.dx x x e ???? ? ?-1log ln D.dy x x e ??? ? ? ?-1log ln 10．由0,1,1,2==-==y x x x y 围成平面图形的面积为（ ）。 A. ? -1 1 2dx x B. ? 1 2dx x C. ? 1 dy y D.? 1 2 dy y
结构的动力计算
第十章 结构动力计算基础 一、判断题： 1、结构计算中，大小、方向随时间变化的荷载必须按动荷载考虑。 2、仅在恢复力作用下的振动称为自由振动。 3、单自由度体系其它参数不变，只有刚度EI 增大到原来的2倍，则周期比原来的周期减小1/2。 4、结构在动力荷载作用下，其动内力与动位移仅与动力荷载的变化规律有关。 5、图示刚架不计分布质量和直杆轴向变形，图a 刚架的振动自由度为2，图b 刚架的振动自由度也为2。 6、图示组合结构，不计杆件的质量，其动力自由度为5个。 7、忽略直杆的轴向变形，图示结构的动力自由度为4个。 8、由于阻尼的存在，任何振动都不会长期继续下去。 9、设ωω,D 分别为同一体系在不考虑阻尼和考虑阻尼时的自振频率，ω与ωD 的关系为ωω=D 。
二、计算题： 10、图示梁自重不计，求自振频率ω。 l l /4 11、图示梁自重不计，杆件无弯曲变形，弹性支座刚度为k ，求自振频率ω。 l /2 l /2 12、求图示体系的自振频率ω。 l l 0.5l 0.5 13、求图示体系的自振频率ω。EI = 常数。 l l 0.5 14、求图示结构的自振频率ω。 l l
15、求图示体系的自振频率ω。EI =常数，杆长均为l 。 16、求图示体系的自振频率ω。杆长均为l 。 17、求图示结构的自振频率和振型。 l /2 l /2 l / 18、图示梁自重不计，W EI ==?? 2002104kN kN m 2 ,，求自振圆频率ω。 B 2m 2m 19、图示排架重量W 集中于横梁上，横梁EA =∞，求自振周期ω。 EI EI W
不定积分练习题及答案
不定积分练习题 一、选择题、填空题： 1、 ((1—sin 2 X )dx = 2 ------------- 2、 若 e x 是f (x)的原函数，贝x 2f(lnx)dx = ________ 3、sin (I n x)dx 二 __ 12、若 F '(x)工 f(x), ? '(x)工 f (x),则 f(x)dx = _______________________________________________ (A)F(x) (B) ： (x) (C) ： (x) - c (D)F(x) (x) c 13、下列各式中正确的是： (A) d[ f(x)dx]二 f(x) (B) —[ f(x)dxp f(x)dx dx L (C) df(x)二 f(x) (D) df(x)二 f(x) c 14、设 f(x)=e ：则： f(lnx) dx = _____________ 2 已知e 公是f (x)的一个原函数，贝V f (tan x)sec xdx 二__ 在积分曲线族(卑中，过(1,1点的积分曲线是y=_ 'x\!x F'(x)= f (x),贝》J f'(ax+b)dx = ________ ; 设 [f (x)dx =丄 + c ，贝叮 "号)dx = _________ ; e 「dx= ____ ; "f(x) f '(ln x) =1 x,则f (x)二 ______ ; 10、 若 f (x)在(a, b)内连续，则在(a, b)内 f (x) ___ ; (A)必有导函数 (B)必有原函数 (C)必有界(D)必有极限 11、 ______________________________________________ 若 Jxf (x)dx = xs in x — [sin xdx,贝 V f (x) = ________ ; 4、 5、 6、 7、 9、 设 xf (x)dx =arcsin x c,贝V
[整理]三重积分重积分习题.
第九章 重积分 第六讲 三重积分、重积分应用习题课 教学目的 使学生能更清楚进行三重积分计算时．在何种情况下用何种坐标计算，以便灵活 的进行三重积分的计算．使学生能方便地运用重积分进行曲面的面积，质心，转动恒量以及引力的计算 教学重点 通过三重积分计算的强化使学生明确在三重积分计算时如何确定用何种坐标以及 各是如何化为三次积分． 教学难点 柱面坐标与球面坐标所适用情况的区分与判定. 教学时数 2学时 教学过程 一、知识回顾 1．三重积分的意义及物理模型(空间物体的质量) 2．在直角坐标，柱面坐标，球面坐标下计算三重积分 (1) 柱面坐标与球面坐标. (2) 柱面坐标，球面坐标分别与直角坐标之关系. (3) 直角坐标化柱面坐标，球面坐标的公式. (4) 何时用何种坐标计算. 3．曲面的面积，物体的质心，转动惯量及引力的计算 曲面的面积：关键在找曲面在坐标面的投影，这里问题是 (1) 往何坐标面上投 (2) 如何找投影区域 物理应用，注意利用密度为常数以及物体所占区域在坐标面上的对称性. 二、练习 1．将I= zdv Ω ???分别表示成直角坐标，柱面坐标和球面坐标下 的三次积分，并选择其中一种计算出结果．其中Ω是由曲面 z=2 2 2y x --及z=x 2+y 2 所围成的闭区域. 分析 为计算该三重积分，我们先把积分区域投影到某坐标
平面上，由于是由两张曲面222y x z --=及2 2y x z +=，而由这两个方程所组成的方 程组z z ?=?=? 极易消去z ，我们把它投影到xoy 面上．然后，为在指定的坐标 系下计算之，还应该先把Ω的边界曲面用相应的坐标表示，并找出各种坐标系下各个变量的取值范围，最后作代换即可． 解 将Ω投影到xoy 平面上， 由z z ?=?=?消去z 得 (x 2+y 2)2=2-(x 2+y 2)， 或(x 2+y 2+2)(x 2+y 2-1)=0，于是有 x 2+y 2 =1．即知，Ω在xoy 平面上的投影为圆域D ：x 2+y 2 ≤1 ． 为此在D 内任取一点Q(x ，y)，过Q 作平行于z 轴的直线自下而上穿过Ω．穿入时碰 到的曲面为2 2y x z +=，离开时碰到的曲面为222y x z --=(不画图，仅用代数方法也易判断22y x z +=≤222y x z --=)，这是因为x 2+y 2≤1) (1) 直角坐标系下，我们分直角坐标及柱面坐标，下边找z 的变化范围从而化为三重积 分．因此再由D ：x 2+y 2 ≤1，有22y x z +=≤222y x z --= ，于是在直角坐标下，Ω 可表示为 Ω :22y x y z ??≤??+≤≤?， 于是有 I=??----2 2 111 1 x x dy dx ?--+2 22 22y x y x zdz . (2) 柱面坐标下 首先把Ω的表面方程用柱面坐标表示，这时z=x 2+y 2 表示为z= 2ρ，z=2 22y x --表示为z=2 2ρ-．再由投影区域D 为x 2+y 2≤1．故0ρ≤≤1，0≤θ≤2π．于是Ω可 表示为 Ω：??? ? ???-≤≤≤≤≤≤.2,10,2022ρρρπθz