湖南省株洲市2016届高三教学质量统一检测(一)数学(理)试题Word版含答案

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株洲市2016届高三年级教学质量统一检测（一）

数学试题（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1.复数z ＝

+2的共轭复数是（） A ．2＋i B ． i -2 C ．1+2i D ．i 21-

2.下列有关命题的说法错误的是( )

A ．命题“若x 2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2

﹣3x+2≠0”

B ． “x=1”是“x 2

﹣3x+2=0”的充分不必要条件 C ．若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题

D ．对于命题p ：?x ∈R ，使得x 2+x+1＜0．则￢p ：?x ∈R ，均有x 2

+x+1≥0 3.已知tan α=2，其中α是第三象限的角，则sin （π+α）等于（） A ．—

55 B. 55 C. —552 D. 5

52 4．如图（1），AB 是⊙O 的直径，点C ，D 是半圆弧AB 上的两个三等分点，设→

AB =→

a ，→

AC =→

b ，则→

AD =（）

A ．21→a +→b

B ．21→a -→b

C ．→a +21→b

D ．→a -2

1→

5.在522

)11)(54(x

x +-的展开式中，常数项为( )

A ．20

B ．－20

C ．15

D ．－15

6.执行如图（2）所示的程序框图，若输出的结果为2，则输入的正整数a 的可能取值的集合是（）

A ．{}1,2,3,4,5

B ．{}1,2,3,4,5,6

C ．{}2,3,4,5

D ．{}2,3,4,5,6 7.的最小正周期为π，且其图像向右

个单位后得到函数()()x x g ωsin =的图像，则函数()f x 的图像 ( )

8.1,2,3

图（1）

图（2）

俯视图

正视图

侧视图

图（3）

放回），连取三次，则取得的小球的最大标号为3的概率为（） A.

19 C.

20 D.

7 9．已知一个圆的圆心在曲线y =x

（x ＞0）上，且与直线2x+y+1=0相切，则当圆的面积最小时，该圆的方程为（）

A.5)2()1(22=-+-y x

B. 5)1()2(22=-+-y x

C. 25)2()1(22=-+-y x

D. 25)1()2(22=-+-y x

10.某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图（3）所示，则该四棱锥的体积等于（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

11.如图（4）所示，已知点P 为双曲线)0,0(122

22>>=-b a b y a x 右支上一点，21,F F 分别为双

曲线的左右焦点，且a

b F F 2

21||=，I 为三角形21F PF 的内心，若

1212IPF IPF IF F S S S λ???=+成立，则λ的值为（）

A ．

21+ B ．132- C ．12+ D ．12- 12.已知函数e x k

x x x x f 2ln )(2

+--=

有且只有一个零点，则k 的值为（）

A ．21e

e + B ．e e 12

+ C ．1 D ． e

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卷上） 13.由曲线y=2

x 与直线y=1围成的封闭图形的面积为．

14.若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤??

≤??+≥?

，则y x z -=2的取值范围是___________.

15.已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，AB=2，BC=4，∠ABC=600

，且棱锥O —ABC 的体积为

4则球O 的表面积为。

16.在△A

B C 中,3

B π

=,2B C =,点D 、E 分别在边A B 、AC 上,A D D C =,

D EA C ⊥,且D

E ≥

,则∠ACB 的最大值为。三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）

图（4）

17.（本小题满分12分）已知等差数列｛n a ｝的前n 项和为n S ，且2a =2，9S =45．（I ）求数列｛n a ｝的通项公式；

（II ）若数列｛b n ｝满足b 1＝l ，n n b b 331+=n a 3（n ∈N +

），求数列{11-+n b n

}的前n 项和Tn ．

18．（本小题满分12分)为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下数据的列联表：

19．（本小题满分12分）在边长为3的正三角形ABC 中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点，满足AE ∶EB ＝CF ∶FA ＝CP ∶PB ＝1∶2(如图（5）)．将△AEF 沿EF 折起到△A 1EF 的位置，使二面角A 1－EF －B 成直二面角，连结A 1B 、A 1P(如图（6）)．

（I ）求证：A 1E ⊥平面BEP ；（II ）求二面角B —A 1P —E 的余弦值．

20. （本小题满分12分）已知椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的离心率为12，以原点为圆

120+=相切．

（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设(4,0)A -，过点(3,0)R 作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P ，

Q 两点，连接AP ，AQ 分别交直线16

x =

于M ，N 两点，若直线MR 、NR 的斜率分别为1k 、2k ，试问：12k k 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．

21. （本小题满分12分）设函数)23(ln )(2

+-+=x x b x a x f ，其中R b a ∈,．（I ）若b a =，讨论()f x 极值（用a 表示）；（II ）当1=a ，b =2

，函数()2()(

3)2g x f x x λ=-++，若1x ，2x （12x x ≠）满足图（5）

图（6）

12()()g x g x =且1202x x x +=，证明：0'()0g x ≠．

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

22.（本小题满分10分）选修4-l ：几何证明选讲

如图（7），⊙O 的半径为 6，线段AB 与⊙O 相交于点C 、D ，4AC =，BOD A ∠=∠，OB 与⊙O 相交于点E . （I ）求BD 长；（II ）当CE OD ⊥时，求证：AO AD =. 23．（本小题满分10分）选修4 -4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为

cos 3sin {

==x y ,（α为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为

24)4

sin(=+π

θρ．

（I ）求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；

（II ）设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2上点的距离的最小值． 24．（本小题满分10分）选修4 -5：不等式选讲设函数()|21|||,f x x x a a R =++-∈．（I ）当a =2时，求不等式)(x f ＜4的解集；（II ）当1

2a <-

时，对于]2

1,(--∞∈?x ，都有x x f +)(≥3成立，求a 的取值范围． 2016届株洲市高三检测试题参考答案及评分标准

(理科数学)

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）

1、 C;

2、C;

3、D;

4、A;

5、C;

6、C

7、B ；

8、B ；

9、A ； 10、B ； 11、D ；12、B. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．

4;14．[—2，4];15．48π; 16.750

三、解答题（本大题共6小题，共70分．）

17（本小题满分12分）

解：（I ）a n =n …………………4分（2）bn=

21n 2—21

n+1 …………………8分 Tn=1

2+n n ………………12分

18．（本题满分12分）解：（1）x=10，y=40，N=70 ………2分

图（7）

50245C 50245C ∵AE ∶EB ＝CF ∶FA ＝1∶2，∴AF ＝AD ＝2，而∠A ＝60°，∴△ADF 为正三角形．

又AE ＝DE ＝1，∴EF ⊥AD.在图（6）中，A 1E ⊥EF ，BE ⊥EF ， ∴∠A 1EB 为二面角A 1－EF －B 的一个平面角，

由题设条件知此二面角为直二面角，∴A 1E ⊥平面BEP ； ………6分 (2)面EA 1P 的法向量→

1n =（3,—1,0）；面BA 1P 的法向量→

2n =（3，1,23）所以cos ＜→

1n ，→

2n ＞=……=41，所以二面角B —A 1P —E 的大小的余弦值为4

………12分 20. （本题满分12分）

解：（1）由题意得2221

2,,

c a b a b c ?=??

=?=+??

解得4,2,

a b c =??=??=?故椭圆C 方程为2211612x y +=…4分（2）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线PQ 的方程为3x my =+，由22

1,16123,x y x my ?+

=???=+?

得22(34)18210m y my ++-=．∴1221834m y y m -+=+，12

221

y y m -=+，由A ，P ，M 三点共线可知，

443

1611+=+x y y M ，所以1

12834M y y x =?+；同理可得222834N y y x =

?+,所以1291616493333

N M N M

y y y y k k =?=--121216(4)(4)y y x x =

++．因为1212(4)(4)(7)(7)x x my my ++=++212127()49m y y m y y =+++，

所以121221212167()49y y k k m y y m y y =+++222221

1612347749

3434

m m m m m -?

+==-?+?+++…12分 21．（本小题满分12分）

解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，∵a=b ∴)23(ln )(2+-+=x x a x a x f ∴)(/x f =

x a +)32(-x a ，∴)(/x f =x a +)32(-x a =x

x x a )

12)(1(-- ①当0a =时，f （x ）=0，所以函数f （x ）无极值；

②当0a >时，f （x ）在（0，21）和（1，+∞）单调递增，在（21

，1）单调递减， ∴f （x ）的极大值为f （21）= -aln2+4

a ，f （x ）的极小值为f （1）=0；

③当0a <时，f （x ）在（0，21）和（1，+∞）单调递减，在（21

，1）单调递增，

∴f （x ）的极小值为f （21）= -aln2+4

a ，f （x ）的极大值为f （1）=0；

综上所述：

当0a =时，函数f （x ）无极值；

当0a >时，函数f （x ）的极大值为-alna ，函数f （x ）的极小值为0；

当0a <时，函数f （x ）的极小值为-alna ，函数f （x ）的极大值为0。……………5分

（2）2

()2ln g x x x x λ=--， λ--=

x x

x g 22

)(/．假设结论不成立，则有22111222

12000

2ln 2ln , 2,2

20x x x x x x x x x x x λλλ?

?--=--??

+=???--=??……①

………………………………②……………………………③

由①，得22112122

2ln ()()0x

x x x x x λ----=，∴1

2012ln

22x x x x x λ=--，

由③，得00

2x x λ=-，∴

12120ln

1x x x x x =-，即1

21212ln 2x

x x x x x =-+，即112122

22ln 1x x x x x x -=+．④ 令1

2x t x =，不妨设12x x <，22()ln 1t u t t t -=-+（01t <<），则22

(1)'()0(1)

t u t t t -=>+，

∴()u t 在01t <<上增函数， ()(1)0u t u <=，∴④式不成立，与假设矛盾． ∴0'()0g x ≠． ……………12分 22.(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲【解析】（1）∵OC=OD ，∴∠OCD=∠ODC

∵∠BOD=∠A ，∴△OBD ∽△AOC

OC=OD=6，AC=4， BD=9． ……………5分（2，CE ⊥OD ．∴∠COD=∠BOD=∠A ． ∴∠AOD=1800—∠A —∠ODC=1800

—∠COD —∠OCD=∠ADO ．∴AD=AO ……………10分 23.(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

【解析】（1）由曲线1C ：???==ααsin cos 3y x 得??

??==α

αsin cos 3y x

即：曲线1C 的普通方程为：

1322=+y x 由曲线2C ：24)4sin(=+πθρ得：24)cos (sin 2

2=+θθρ

即：曲线2C 的直角坐标方程为:08=-+y x ……………………5分（2）设椭圆上的点P 的坐标为)sin ,cos 3(αα,则点P 到直线08=-+y x 的距离为

sin(22

sin cos 3-+=

-+=

αααd

所以当1)3

sin(=+

α时，d 的最小值为23 ……………10分

24.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

【解析】解：（1）令|2x+1|=0，得1

x =-；令|x ﹣2|=0，得x=2． ①当x ≥2时，原不等式化为2x+1+x ﹣2＜4，即5

x <，得无解；

②当时，原不等式化为2x+1+2﹣x ＜4，即x ＜1，得

； ③当x ≤

时，原不等式化为﹣2x ﹣1+2﹣x ＜4，即x ＞﹣1，得﹣1＜x ≤

．

综合①、②、③，得原不等式的解集为{x|﹣1＜x ＜1}． ……………………5分（2）令g （x ）=f （x ）+x ，当1

x ≤

时，g （x ）=|x ﹣a|﹣x ﹣1，由a ＜﹣，得11,()221,a a x g x x

a x a

--<≤-

?=??-+-≤?

对于]2

1,(--∞∈?x 使得x x f +)(≥3恒成立，只需[g （x ）]min ≥3（]2

1,(--∞∈x ）即可．

作出g （x ）的大致图象，易知，[g （x ）]min =g （a ）=﹣a ﹣1，∴﹣a ﹣1≥3，得a ≤﹣4 ……………10分