广东省六校联盟2017届高三第三次联考数学理试题

广东省2017届高三第三次六校联考

理科数学试卷

时间：120分钟 满分：150分 参考学校：深圳实验中学等六校

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集U =R ，集合{|021}x

A x =<<，3{|log 0}

B x x =>，则U ()A B I e=（ ） A. {|0}x x < B.{|0}x x > C.{|01}x x << D. {|1}x x > 2．设复数113i z =-，232i z =-，则

2

1

z z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

3．已知命题:,1lg p x R x x ?∈-≥，命题1

:(0,),sin 2sin q x x x

π?∈+

>， 则下列判断正确的是（ ） A . 命题p q ∨是假命题 B. 命题p q ∧是真命题 C . 命题()p q ∨?是假命题 D. 命题()p q ∧?是真命题 4．设α、β、γ为平面，m 、n 为直线，则m β⊥的一个充分条件是（ ）

A. αβ⊥，n α

β=，m n ⊥ B. m αγ=，αγ⊥，βγ⊥

C. αβ⊥，βγ⊥，m α⊥

D. n α⊥，n β⊥，m α⊥ 5．已知函数3()sin 2()2f x x x π?

?

=+

∈ ??

?

R ，给出下面四个命题： ①函数)(x f 的最小正周期为π；②函数)(x f 是偶函数；③函数)(x f 的图象关于直线4

x π

=

对称；④函数)(x f 在区间0,

2π??

????

上是增函数，其中正确命题的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

6

．设[)[]2

1,1()1,1,2x f x x x ∈-=-∈??

，则21()f x dx -?的值为（ ）

A ．

42

3π

+

B ．32π+

C ．443

π+ D ． 34π

+

7．已知sin(

)3cos()sin()2

π

θπθθ++-=-，则2sin cos cos θθθ+=（ ）

A ．

1

5

B ．

25

C ．

35

D ．

8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若311a -<<，603a <<，则9S 的取值范围是（ ）

A ．(3,21)-

B ．(27,45)-

C ．(12,45)-

D ．(27,21)-

9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）

A ．24π

B ．6π

C ．8π

D ． 12π

10. 在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有—段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安三千里，良马初日行一百零三里，日增一十三里：驽

马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几

日相逢？（ ）

A ．22日

B ．20日

C ．18日

D ．16日

11．已知函数)(x f 是R 上的奇函数，且满足)()2(x f x f -=+，当[0,1]x ∈时，()21x f x =-，则方程6()log (3)f x x =-在),0(+∞上解的个数是（ ）

A ．6

B ．5

C ．4

D ．3 12

．设函数()0)f x a =

<的定义域为D ，若所有点(,())(,)s f t s t D ∈构成一个正方

形区域，则a 的值为（ ）

A ．2-

B ．4-

C ．8-

D ．不能确定

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分． 13．已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝________.

14．在平面几何中，有这样一个定理：过三角形的内心作一直线，将三角形分成的两部分的周长比等于其面积比.请你类比写出在立体几何中，有关四面体的相似性质 .

15．某港口水的深度y (m)是时间t （0≤t ≤24，单位：h ）的函数，记作()y f t =. 下面是某日水深的数据：

经长期观察，()y f t =的曲线可以近似地看成函数sin y A t b ω=+的图象.一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5m 或5m

以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）. 某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5m ，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它最多能在港内停留 小时（忽略进出港所需的时间）.

ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且不等式

恒成立，则实数m 的最大值是___________．

侧视图

三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分10分）

在ABC ?中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、

sin c

C

=.

（1）证明：3

A π

=

；

（2）若6=a ，求ABC ?的周长的取值范围.

18.（本小题满分12分）

设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知，12a =，且1234,3,2S S S 成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设25n n b n a =-?，求数列{}n b 的前n 项和n T .

19.（本小题满分12分）

如图1,在直角梯形ABCD 中,90ADC ∠=?,//CD AB ,4,2AB AD CD ===, M 为线段

AB 的中点.将ADC ?沿AC 折起,使平面ADC ⊥平面ABC ,得到几何体D ABC -,如图2所示.

(Ⅰ) 求证:BC ⊥平面ACD ；

(Ⅱ) 求二面角A CD M --的余弦值.

20. （本小题满分12分）

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2

4(1)(1)(2)(N )n n n S n a n *

++=+∈．

（1）求1a ，2a 的值； （2）求n a ； （3）设1n n

n b a +=

，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：25

36n T <．

A

C

D 图2

M B

A C D

图1

M

.

第19题图