八年级数学竞赛辅导资料及答案(六)
八年级数学竞赛辅导资料及答案（六）
分式
甲内容提要
1．除式含有字母的代数式叫做分式。分式的值是由分子、分母中的字母的取值确定的。
(1)分式A 中，当B ≠0时有意义；当A 、B 同号时值为正，异号时值为负，反过来也成立。分子、分母都化为积的形式时，分式的符号由它们中的负因数的个数来确定。
(2)若A 、B 及
B A 都是整数，那么A 是B 的倍数，B 是A 的约数。(3)一切有理数可用A 来表示，其中A 是整数，B 是正整数，且A 、B 互质。2．分式的运算及恒等变形有一些特殊题型，要用特殊方法解答方便。
乙例题
例1．x 取什么值时，分式x
x x x 23222+--的值是零？是正数？是负数？解：x
x x x 23222+--＝)2()3)(1+-+x x x x （以零点－2，－1，0，3把全体实数分为五个区间，标在数轴上（如上图）
当x=－1,x=3时分子是0，分母不等于0，这时分式的值是零；
当x<－2,－1
当－2 172-+m m 的值是正整数？解：172-+m m ＝1922-+-m m ＝2＋19-m 当例3．计算4++x ＋2--x －2-+x －4++x 19-m ＞－2且m －1是9的约数时，分式的值是正整数即m －1＝1，3，9，－9解得m=2,4,10,－8。答：（略） 解：用带余除法得，原式＝1＋3+x ＋1＋1-x －1－3-x －1－1+x ＝)1)(1()1(3)1(3-++--x x x x ＋) 3)(3()3()3(+---+x x x x ＝162-x －＋962-x ＝) 9)(1(4822--x x 4．已知（a+b ）∶(b+c)∶(c+a)=3∶4∶5求①a ∶b ∶c ②bc c ab a +-22解：设a+b=3k,则b+c=4k,c+a=5k,全部相加 得2（a+b+c ）=12k,即a+b+c=6k,分别减上列各式 得a=2k,b=k,c=3k ∴①a ∶b ∶c =2∶1∶3②bc c ab a +-22＝k k k k k k 3)3(2)2(22??-＋＝6130-1 -2 例5．一个两位数除以它的两个数位上的数字和，要使商为最小值，求这个两位数；如果要使商为最大值呢？解：设这个两位数为10x+y ，那么0＜x ≤9,0≤y ≤9 y x y x ++10＝1＋y x x +9当x 取最小值1，y 取最大值9时，分式y x x +9的值最小；当x 取最大值9，y 取最小值0时，分式y x x +9的值最大。答：商为最小值时的两位数是19，商为最大值时的两位数是90。 丙练习22 1．a=___时，分式62 -+-a a a 的值是0 2．已知???=++=--0 2022z y x z y x 则分式2222 22z y x z y x ++--＝＿＿＿＿3．若x 和分式23-+x 都是整数，那么x=_______________4．直接写出结果:1x 21 2x ＋=(x+ x 1)2-______②(x 2+21x +2)÷（x+)1x =____3（x 2- 21x ）÷（x+x 1）=__＿＿④（1＋1x （1－112x x +＝＿＿＿＿5．化简繁分式，并指出字母x 取什么值时它没有意义。 ＋＋＋ x 11 1111 6．x 取什么值时分式9 222---x x x 的值是零？是正数？是负数？7．计算：① 14++x x ＋321432++------x x x x x x ②4214121111x x x x ++++++-③4102124832 7622222-++--++-++++x x x x x x x x x x 8．解方程： 6 75691089++-++=++-++x x x x x x x x 12429122323-=++-++-+x x x x x x x ⑶3=--+--+--a c x c b x b a x （其中)0111≠++9．已知xy ∶yz ∶z x=3∶2∶1,求①x ∶y ∶z ②yz x ∶zx y 10．已知a ≠b ≠c 且z b a y a c x c b -=-=-求证：ax+by+cz=0 11.已知：y x z x z y z y x +=+=+求：（x+y ）∶z 的值 12．由三个非零且相异的数字组成的三位数，除以这三个数字和，其商的最小值是多少？ 13．在保证分母不等于0的前提下，分式 53++bx ax 中的x 不论取什么值分式的值都不变，问a 和b 之间的关糸应满足什么条件？14.已知p c n b m a ==求证：（a 2+b 2+c 2）(m 2+n 2+p 2)=(am+bn+cp)2参考答案 1. －2 2.－1 3.2，0，6，－4 4.①1＋31x ②x+x 1③－2④－3（x+x 1）⑤1＋211x x +⑥－（x+x 1） 5.x=－1，－2，－1.5时没有意义 6. 仿例1，四个零点－3，－1，2，3把实数分为五个区间7.①) 9)(1(568223---x x x x ②818x -③23+-x x 8.①x=－7②x ＝－19.①3∶6∶2 ②0.2510.设各比的比值为k 11.2或－112.10.5（x=1,y=8,z=9）13.5a=3b 14.设比的比值为k,分别证明左，右两边都等于k 2(m 2+n 2+p 2)2 2019-2020年八年级上数学竞赛试题 班级： 姓名： 一 填空题（每题4分，计40分） 1、已知 23m m +=, 则m = 。 2、方程111246819753x ?? ?+???+++=?? ????????? 的解是 。 3、 在1, 3, 5, ……, 2003这1002数的前面任意添加一个正号或一个负号，其代数和的绝对值最小值是 。 4、已知c b a ,,为△ABC 的三边，则化简=--++-2 )(c b a c b a 。 5、直角三角形的三边长分别是5，12，13，若此三角形内一点到三边的距离均为x ，则x= . 6、某音像社对外出租光盘的收费方法是：每张光盘在出租的头三天每天收0.8元, 以后每天收0.4元，那么一张光盘在租出后第n 天应收租金 元。 7、已知长方形的两边的长分别为a 和b (a >b ),其中a,b 都是小于10的正整数，而且9a a b +也是整数，那么这样的长方形有 个. 8、一个长，宽，高分别为27厘米，18厘米，15厘米的长方体，先从此长方体中尽可能最大地切下一个正方体， 然后从剩余的部分尽可能最大地切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能最大地切下一个正方体，剩下的体积是 . 9、写出直线y=－2x －3关于y 轴对称的直线的解析式__________________. 10、将自然数按下列三角形规律排列,则第15行的各数之和是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……… ……… ……… ……… ………… 二 单项选择题（以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，每题5分，选对得5分， 不选不得分，多选或选错倒扣2分，计25分） 11、设a 、b 、c 的平均数为Ｍ，a 、b 的平均数为Ｎ，Ｎ、c 的平均数为P ，若a ＞b ＞c ，则Ｍ与Ｐ的大小关系是…………………………………………………………………【 】 （Ａ）Ｍ＝Ｐ （Ｂ）Ｍ＞Ｐ （Ｃ）Ｍ＜Ｐ （Ｄ）不能确定 12、代数式13432-- -x x 的最小值是……………………………………………【 】 （A ）、0 （B ）、3 （C ）、3.5 （D ）、1 13、现已知有两个角，锐角α，钝角β，赵，钱，孙，李四位同学分别计算 1 ()4 αβ+的结果，分别为68.5o,22o,51.5o, 72o ,四个结果中只有一个答案是正确的，那么这个正确的答案是……………………………………………………………………………【 】 （A ） 68.5o （B ）22o （C ）51.5o （D ）72o 14、已知代数式f ex dx cx bx ax x +++++=+2 3 4 5 5 13)(，则f e d c b a -+-+-的值是…………………………………………………………………………………【 】 （A ）、32 （B ）、－32 （C ）、1024 （D ）、－1024 15、若A(a,b)，B(b,a)表示同一点，那么这一点在…………………………………………【 】 （A ）．第一、三象限内两坐标轴夹角平分线上 （B ）．第一象限内两坐标轴夹角平分线上 （C ）．第二、四象限内两坐标轴夹角平分线上 （D ）．平行于y 轴的直线上 三 解答题（16、17两题中任选一题10分；18题必做10分；计20分） 16、如果0132 =+-a a ，试求代数式1 82522 2345+-+-a a a a a 的值。 初中数学竞赛专题选讲 识图 一、内容提要 1.几何学是研究物体形状、大小、位置的学科。 2.几何图形就是点，线，面，体的集合。点是组成几何图形的基本元素。《平面几何学》只研究在同一平面内的图形的形状、大小和相互位置。 3.几何里的点、线、面、体实际上是不能脱离物体而单独存在的。因此单独研究点、线、面、体，要靠正确的想像 点：只表示位置，没有大小，不可再分。 线：只有长短，没有粗细。线是由无数多点组成的，即“点动成线”。面：只有长、宽，没有厚薄。面是由无数多线组成的，“线动成面”。4.因为任何复杂的图形，都是由若干基本图形组合而成的，所以识别图形的组合关系是学好几何的重要基础。 识别图形包括静止状态的数一数，量一量，比一比，算一算；运动状态中的位置、数量的变化，图形的旋转，摺叠，割补，并合，比较等。还要注意一般图形和特殊图形的差别。 二、例题 例1.数一数甲图中有几个角（小于平角）？乙图中有几个等腰三角形？丙图中有几全等三角形？丁图中有几对等边三角形？ E 解：甲图中有10个角：∠AOB, ∠AOC,∠BOC,∠BOD,∠COD, ∠COE,∠DOE,∠DOA,∠EOA,∠EOB.如果OA和OC成一直线，则少一个∠AOC，余类推。 乙图中有5个等腰三角形：△ABC，△ABD，△BDC，△BDE，△DEC 丙图中有全等三角形4对：(设AC和DB相交于O) △AOB≌△COD，△AOD≌△BOC，△ABC≌△CDA，△BCD≌△DAB。 丁图中共有等边三角形48个： 边长1个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＋3＋4＋5＝15 顶点在下▼的个数有 1＋2＋3＋4＝10 边长2个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＋3＋4＝10 顶点在下▼的个数有 1＋2＝3 边长3个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＋3＝6 边长4个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＝3 边长5个单位：顶点在上▲的个数有 1 以上要注意数一数的规律 例2.设平面内有6个点A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，其中任意3个点都不在同 一直线上，如果每两点都连成一条线，那么共有线段几条？如果要使图形不 出现有4个点的两两连线，那么最多可连成几条线段？试画出图形。 （1989年全国初中数学联赛题） 解：从点A 1与其他5点连线有5条，从点A 2与其他4点（A 1除外）连线 有4条，从A 3与其他3点连线有3条（A 1，A 2除外）……以此类推，6个 点两两连线共有线段1＋2＋3＋4＋5＝15（条），或用每点都与其他5点 连线共5×6再除以2（因重复计算）。 要使图形不出现有4个点的两两连线，那么每点只能与其他4个点连线， 共有（6×4）÷2＝12（条）如下图：其中有3对点不连线：A 1A 4，A 2A 5， A 3A 6 A 3 1 2 例3.如图水平线与铅垂线相交于O ，某甲沿水平线，某乙铅垂线同时匀速 前进，当甲在O 点时，乙离点O 为500米，2分钟后，甲、乙离点O 相 等；又过8分钟，甲、乙再次离点O 相等。求甲和乙的速度比。 解：如图设甲0，乙0为开始位置，甲1，乙1为前进2分钟后位置，甲2，乙2 乙2 为再前进8分钟的位置。再设甲，乙的速度分别为每分钟x,y 米，根据题意得 ? ??-=-=500101025002y x y x 甲 O 甲1 甲2 解得12x=8y 乙1 ∴x ∶y=2∶3 初中数学竞赛辅导资料（12） 用交集解题 甲内容提要 1． 某种对象的全体组成一个集合．组成集合的各个对象叫这个集合的元素．例如6的正约数集合记作｛6的正约数｝＝｛1，2，3，6｝，它有4个元素1，2，3，6；除以3余1的正整数集合是个无限集，记作｛除以3余1的正整数｝＝｛1，4，7，10……｝，它的个元素有无数多个． 2． 由两个集合的所有公共元素组成的一个集合，叫做这两个集合的交集 例如6的正约数集合A ＝｛1，2，3，6｝，10的正约数集合B ＝｛1，2，5，10｝，6与10的公约数集合C ＝｛1，2｝，集合C 是集合A 和集合B 的交集． 3． 几个集合的交集可用图形形象地表示， 右图中左边的椭圆表示正数集合， 右边的椭圆表示整数集合，中间两个椭圆 的公共部分，是它们的交集――正整数集． 不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集． 例如 不等式组? ??<->)2(2)1(62 x x 解的集合就是（ ） 不等式（1）的解集x >3和不等式（2）的解集x ＞2的交集，x >3． 4．一类问题，它的答案要同时符合几个条件，一般可用交集来解答．把符合每个条件的所有的解（即解的集合）分别求出来，它们的公共部分（即交集）就是所求的答案． 有时可以先求出其中的一个（一般是元素最多）的解集，再按其他条件逐一筛选、剔除，求得答案．（如例2） 乙例题 例1． 一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个自然数的最小值． 解：除以3余2的自然数集合A ＝｛2，5，8，11，14，17，20，23，26，……｝ 除以5余3的自然数集B ＝｛3，8，13，18，23，28，……｝ 除以7余2自然数集合C ＝｛2，9，16，23，30，……｝ 集合A 、B 、C 的公共元素的最小值23就是所求的自然数． 例2. 有两个二位的质数，它们的差等于6，并且平方数的个位数字相同，求这两个数． 解： 二位的质数共21个，它们的个位数字只有1，3，7，9，即符合条件的质数它们的个位数的集合是｛1，3，7，9｝； 其中差等于6的有：1和7；3和9；13和7，三组； 平方数的个位数字相同的只有3和7；1和9二组． 同时符合三个条件的个位数字是3和7这一组 故所求质数是：23，17； 43，37； 53，47； 73，67共四组． 例3. 数学兴趣小组中订阅A 种刊物的有28人，订阅B 种刊物的有21人，其中6人两种都订，只有一人两种都没有订，问只订A 种、只订B 种的各几人？数学兴趣小组共有几人？ 解：如图左、右两椭圆分别表示订阅A 种、B 种刊物的人数集合，则两圆重叠部分就是它们 文档收集于互联网，已重新整理排版.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 17题图 2016年秋人教版八年级上册 数学竞赛试卷（含答案） 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、下列运算正确的是 （ ） A 、x 2 + x 3 = x 5 B 、－2x ·x 2 =－2x 3 C 、x 6÷x 2 = x 3 D 、(－ x 2 )3 = x 6 2、()() 1 222--?+-m m 的值是（ ） A 、0 B 、－2 C 、2 D 、1 2-+m ）（ 3、下列各组图形中，是全等形的是（ ） A.两个含60°角的直角三角形 B.腰对应相等的两个等腰直角三角形 C.边长为3和4的两个等腰三角形 D.一个钝角相等的两个等腰三角形 4、若22169y mxy x ++是完全平方式，则m =（ ） A 、12 B 、24 C 、±12 D 、±24 5、如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°， 点P 是BC 边上的动点，则AP 的长不可能是（ ） A 、3.5 B 、4.2 C 、5.8 D 、7 6、下列因式分解正确的是（ ） A. )45(312152 -=-x xz xz x B. 2 2 )2(44+=++x x x C. x xy x x x y 2-+=-() D . x xy y x y 222242-+=-() 7、已知5=-b a ,ab=6. 则2 2 b a +的值为( ). A 、16 B 、17 C 、25 D 、37 8、式子2016 3 的个位数是（ ） A 、1 B 、3 C 、7 D 、9 9、一个多边形，除了一个内角外，其余各角的和为2740°，则这一内角为（ ）： A 、0120 B 、0130 C 、0140 D 、0150 10、在直角坐标系xOy 中有一点P （1，1），点A 在x 坐标轴上，则使OPA ?为等腰三角形的所有可能的点A 的横坐标的乘积等于（ ）（注：OP=2） A 、－4 B －2 C 、42 D 、4 二、填空题（每小题3分，共24分） 11、已知m a =4，n a =3，则n m a += 12、点A （3x －y ，5)和B （3，7x －3y)关于x 轴对称，则2x －y= 13、．如图，Rt △AOB ≌Rt △CDA ，且A （-1，0），B （0，2）则点C 的坐标是 。 14、若m 、n 、k 为整数，且 12))(2++=++kx x n x m x （，则k 的所有可能的值为： . 15、如图，把矩形纸片ABCD 纸沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD ，对于下列结论： （1）△EBD 是等腰三角形，EB =ED ； （2）折叠后∠ABE 和∠CBD 一定相等； （3）折叠后得到的图形是轴对称图形 ； （4）△EBA 和△EDC 一定是全等三角形。 其中说法错误的是 （填番号） 16、如图：在△FHI 中，HF ＋FG=GI ，HG ⊥FI ，∠F=058， 则∠FHI= 度 17、如图，方格纸中有四个相同的正方形，则∠1+∠2+∠3= 度 18、，如下页图，某体育馆用大小相同的长方形木板平铺墙面，第1次铺2块，如第1图；第2次把第1次铺的完全围起来，用了10块，共12块，如第2图；第3次把第2次铺的完全围起来，如第3图要铺共30块；…。依此方法，第n 次平铺所使用的木板数共． 块（用含n 的式子表示） 三、解答题（共计66分） 19、（1）（本题4分）计算： 44 10 ---π）（ E A B C D 15题图 P 30° C B A 5题图 初二数学竞赛辅导资料(共12讲) 目录 本内容适合八年级学生竞赛拔高使用重点落实在奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高本内容难度适中讲练结合由浅入深讲解与练习同步重在提高学生的数学分析能力与解题能力另外在本次培训中内容的编排和讲解可以根据学生的具体状况由任课教师适当的调整顺序和增删内容其中《因式分解》为初二下册内容但是考虑到它的重要性和工具性将在本次培训进行具体解读注有标注的为选做内容 本次培训具体计划如下以供参考 第一讲实数一 第二讲实数二 第三讲平面直角坐标系函数 第四讲一次函数一 第五讲一次函数二 第六讲全等三角形 第七讲直角三角形与勾股定理 第八讲株洲市初二数学竞赛模拟卷未装订在内另发 第九讲竞赛中整数性质的运用 第十讲不定方程与应用 第十一讲因式分解的方法 第十二讲因式分解的应用 第十三讲考试未装订在内另发 第十四讲试卷讲评 第1讲实数一 知识梳理 一非负数正数和零统称为非负数 1几种常见的非负数 1实数的绝对值是非负数即a≥0 在数轴上表示实数a的点到原点的距离叫做实数a的绝对值用a来表示设a为实数则 绝对值的性质 ①绝对值最小的实数是0 ②若a与b互为相反数则a＝ba＝ba＝b ③对任意实数a则a≥a a≥－a ④a·b＝ab b≠0 ⑤a－b≤a±b≤a＋b 2实数的偶次幂是非负数 如果a为任意实数则≥0n为自然数当n＝1≥0 3算术平方根是非负数即≥0其中a≥0 算术平方根的性质 a≥0 ＝ 2非负数的性质 1有限个非负数的和积商除数不为零是非负数 2若干个非负数的和等于零则每个加数都为零 3若非负数不大于零则此非负数必为零 3对于形如的式子被开方数必须为非负数 4推广到的化简 5利用配方法来解题开平方或开立方时将被开方数配成完全平方式或完全立方 例题精讲 ◆专题一利用非负数的性质解题 例1已知实数xyz满足求x＋y＋z的平方根 巩固 1已知则的值为______________ 2若 的值 拓展 设abc是实数若求abc的值 ◆专题二对于的应用 例2已知xy是实数且 例3 已知适合关系式求的值 巩固 1已知b＝且的算术平方根是的立方根是试求的平方根和立方根 2已知则 初中数学竞赛辅导资料之因式分解 甲内容提要和例题 我们学过因式分解的四种基本方法：提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法。下面再介紹两种方法 1．添项拆项。是.为了分组后,能运用公式（包括配方）或提公因式 例1因式分解：①x4+x2+1②a3+b3+c3－3abc ①分析：x4+1若添上2x2可配成完全平方公式 解：x4+x2+1＝x4+2x2+1－x2=(x2+1)2－x2=(x2+1+x)(x2+1－x) ②分析：a3+b3要配成（a+b）3应添上两项3a2b+3ab2 解：a3+b3+c3－3abc＝a3+3a2b+3ab2＋b3+c3－3abc－3a2b－3ab2 ＝（a+b）3+c3－3ab(a+b+c) =(a+b+c)［(a+b)2－(a+b)c+c2］－3 ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－ac－bc) 例2因式分解：①x3－11x+20②a5+a+1 ①分析：把中项－11x拆成－16x+5x 分别与x5,20组成两组，则有公因式可提。（注意这里 16是完全平方数） ②解：x3－11x+20＝x3－16x+5x+20＝x（x2－16）+5(x+4) =x(x+4)(x－4)+5(x+4) =(x+4)(x2－4x+5) ③分析：添上－a2和a2两项，分别与a5和a+1组成两组，正好可以用立方差公式 解：a5+a+1＝a5－a2+a2+a+1=a2(a3－1)+ a2+a+1 =a2(a－1)( a2+a+1)+ a2+a+1= (a2+a+1)(a3－a2+1) 2．运用因式定理和待定系数法 定理：⑴若x=a时，f(x)=0, ［即f(a)=0］，则多项式f(x)有一次因式x－a ⑵若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等。 例3因式分解：①x3－5x2+9x－6②2x3－13x2+3 永川中学片区初2019级桂山杯数学竞赛试题 （总分：100分时间：100分钟） 考号：班级：姓名： 一、选择题（共10小题，每小题4分） 1．下列计算中，正确的是（） A ． B ． C ． D ． 2．已知一次函数()2 2m -1- + =m x y,函数y随着x的增大而减小，且其图象不经过第一象限， 则m的取值范围是（） A. 2 1 > m B.2 ≤ m C.2 2 1 < 上学期八年级数学竞赛试卷 说明：试卷总分为120分，考试时间为100分钟 一、选择题（每小题4分，共40分，每题只有一个正确答案） 1、下面有4个奥运会标志图案，其中是轴对称图形的是 （ ） A B C D 2、已知点P 1（a-1，5）和P 2（2，b-1）关于x 轴对称，则（a+b ）2005的值为（ ） A 、0 B 、-1 C 、1 D 、（-3）2005 3、如图，△ABC 中，点A 的坐标为（0，1），点C 的坐标为（4，3），如果要使△ABD 与△ABC 全等(点D 不与C 重合），那么符合条件的点D 有 （ ） A ．一个 B ．二个 C ．三个 D ．四个 4、函数y =ax +b 与y =bx +a 的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是 （ ） 5、如图是三条两两相交的笔直公路，现要修建一个 加油站，使它到三条公路的距离相离，这个加油站的位 置共有（ ）个 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 2008年北京 2004年雅典 1988年汉城 1980年莫斯科 L 1 L 2 L 3 A B C D 评分：______________ 6、在227 3.1415926，3.14 中无理数个数是： （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 7、下列图象不能表示y 是x 的函数的是（ ） A B C D 8、请你观察思考下列计算过程： ∵ 211= 121∴121=11，同样，∵ 1112 =12321，∴ 12321=111…由此猜想：7654321 1234567898的值是（ ） A: 1111111 B: 1111 C: 111111111 D: 1111111111 9、将一正方形纸片按图中（1）、（2）的方式依次对折后，再沿(3)中的虚线裁剪，最后将（4）中的纸片打开铺平，所得图案应该是下面图案中的( ) 10、如图，啤酒瓶高为h ，瓶内酒面高为a ，若将瓶盖好 后倒置，酒面高为a '（h b a =+'），则酒瓶的容积与瓶 内酒的体积之比为（ ） （ A ）a b '+ 1 （ B ）b a '+1 （ C ）a b +1 （ D ）b a +1 B A C D 专业资料 初中数学竞赛辅导讲义（初三） 第一讲 分式的运算 [知识点击] 1、 分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。 2、 综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。 3、 分式运算：实质就是分式的通分与约分。 [例题选讲] 例1．化简 2312++x x + 6512++x x + 12 712++x x 解：原式= )2)(1(1++x x + )3)(2(1++x x + ) 4)(3(1++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 4 1+x =) 4)(1(3++x x 例2． 已知 z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ，且xyz ≠0，求分式xyz x z z y y x ))()((+-+的值。 专业资料 解：易知：z y x + = y z x + = x z y + =ｋ 则?? ???=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0 若ｋ=2则原式= k 3 = 8 若 ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k 3 =-1 例3．设 1 2+-mx x x =1，求 12242+-x m x x 的值。 解：显然X 0≠，由已知x mx x 12+- =1 ，则 x +x 1 = ｍ + 1 ∴ 22241x x m x +- = ｘ2 + 21x - ｍ2= (x +x 1)2-2 –ｍ2 =( ｍ +1)2-2- ｍ2= 2ｍ -1 ∴原式=1 21-m 例4．已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2 +1整除，求ａ的值。 解： 八年级数学学科之星试题 班级 ： 姓名： 1、如图，已知AE AD ⊥，AB AF ⊥，AF AB =，AE AD =，AD ∥BC ，AD BC =，求证：AC EF = B E 2、已知：如图△ABC 中，AM 是BC 边上的中线。求证：)(2 1 AC AB AM +< 3、如图，在△ABC 中，A=108°，AB=AC,BD 是角平分线.求证：BC=AB+CD. 4、小明是这样完成“作∠MON 的平分线”这项作业的： “如图，①以O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM ，ON 于点A ，B ；②分别作线段OA ，OB 的垂直平分线l 1，l 2（垂足分别记为C ，D ），记l 1与l 2的交点为P ；③作射线OP ，则射线 OP 为∠MON 的平分线．” 你认为小明的作法正确吗？如果正确，请你给证明，如果不正确，请指出错在哪里． 5、如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD， AF=CE，BD交AC于点M． （1）求证：MB=MD，ME=MF （2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由． 6、在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE= _________ 度； （2）设∠BAC=α，∠BCE=β． ①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？并选择其中一种证明你的结论． 人教版2019-2020学年八年级上学期数学竞赛试卷-因式分解部分 （II ）卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共10题；共30分) 1. （3分）下列运算正确的是 A . B . C . D . 2. （3分）若（3x+a）（3x+b）的结果中不含有x项，则a、b的关系是（） A . ab=1 B . ab=0 C . a﹣b=0 D . a+b=0 3. （3分）下列从左到右的变形是因式分解的是（） A . （x﹣4）（x+4）=x2﹣16 B . x2﹣y2+2=（x+y）（x﹣y）+2 C . x2+1=x（x+） D . a2b+ab2=ab（a+b） 4. （3分）分解因式（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+1的结果是（） A . （x﹣1）（x﹣2） B . x2 C . （x+1）2 D . （x﹣2）2 5. （3分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（） A . B . 42=2×3×7 C . D . 6. （3分）已知a＞0，b＜0，且a+b＞0，下列说法错误的是（） A . a﹣b＞0 B . |a|＜b C . |a+b|＜|a﹣b| D . a＞﹣b 7. （3分）下列算式中，正确的是（） A . x2x=x2 B . 2x2﹣3x3=﹣x﹣1 C . （x3y）2=x6y2 D . ﹣（﹣x3）2=x6 8. （3分）下列运算正确的是（） A . m-2(n-7) =m-2n-14 B . -= C . 2x+3x=5x2 D . x-y+z=x-(y-z) 9. （3分）下列运算正确的是（） A . （a+b）2=a2+b2 B . a3a2=a5 C . a6÷a3=a2 D . 2a+3b=5ab 10. （3分）下列运算正确的是（） A . a3+a4=a7 B . 2a3?a4=2a7 C . （2a4）3=8a7 D . a8÷a2=a4 二、解答题 (共4题；共20分) 11. （5分）计算： （1）（）﹣2﹣23×0.125+20110+|﹣1| （2）（﹣a）2?（a2）2÷a3 ． 12. （5分）已知a+b=﹣，求代数式（a﹣1）2+b（2a+b）+2a的值． 13. （5分）已知x，y满足方程组，求代数式 （共30套）初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全适合中学教师作为辅导教材使用 第一讲 走进追问求根公式 形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法. 而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法. 求根公式a ac b b x 2422 ,1-±-= 内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美. 降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决. 解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法. 【例题求解】 【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个. 思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程. 【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（ ） A 、一4 B 、8 C 、6 D 、0 思路点拨：求出1x 、2x 的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如1213x x -=，2223x x -=. 【例3】 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a . 思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论. 【例4】 设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和. 思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解. 【例5】 已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x a d d c c b b a =+=+=+=+ 1 111， 试求x 的值. 思路点拨：运用连等式，通过迭代把b 、c 、d 用a 的代数式表示，由解方程求得x 的值. 注：一元二次方程常见的变形形式有： (1)把方程02=++c bx ax （0≠a ）直接作零值多项式代换； (2)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax --=2，代换后降次； (3)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax -=+2或bx c ax -=+2，代换后使之转化关系或整体地消去x . 解合字母系数方程02=++c bx ax 时，在未指明方程类型时，应分0=a 及0≠a 两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如222 x x x ==. 八年级数学竞赛题 （本检测题满分：120分，时间：120分钟） 班级： 姓名： 得分： 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列四个实数中，绝对值最小的数是（ ） A ．－5 B ．－2 C ．1 D ．4 2.下列各式中计算正确的是（ ） A .9)9(2-=- B .525±= C .3 3 11()-=- D .2)2(2-=- 3.若901k k <<+ （k 是整数），则k =（ ） A . 6 B . 7 C .8 D . 9 4.下列计算正确的是（ ） A.ab ·ab =2ab C.3-=3（a ≥0） D.·=（a ≥0,b ≥0） 5.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A.三内角之比为1∶2∶3 B.三边长的平方之比为1∶2∶3 C.三边长之比为3∶4∶5 D.三内角之比为3∶4∶5 6.已知直角三角形两边的长分别为3和4，则此三角形的周长为（ ） A ．12 B ．7＋7 C ．12或7＋7 D ．以上都不对 7.将一根24 cm 的筷子置于底面直径为15 cm ，高为8 cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h cm ，则h 的取值范围是（ ） A ．h ≤17 B ．h ≥8 C ．15≤h ≤16 D ．7≤h ≤16 8.在直角坐标系中,将点（－2,3）关于原点的对称点向左平移2个单位长度得到的点的坐标是（ ） A .（4, －3） B .（－4, 3） C .（0, －3） D .（0, 3） 9.在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （4，5），B （1，2），C （4，2）， 将△ABC 向左平移5个单位长度后，A 的对应点A 1的坐标是（ ） A ．（0，5） B ．（－1，5） C ．（9，5） D ．（－1，0） 10.平面直角坐标系中，过点（-2，3）的直线l 经过第一、二、三象限，若点（0，a ），（-1， b ） ，（c ，-1）都在直线l 上，则下列判断正确的是（ ） A . b a < B . 3 初中数学竟赛辅导资料(1) 数的整除（一） 甲内容提要： 如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除. ①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。 如 1001 100－2＝98（能被7整除） 又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100－1＝99（能11整除） 又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除） 乙例题 例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。 求x,y 解：x,y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y=6. ∵328＋92x ＝567，∴x=3 例2己知五位数x 1234能被12整除， 求X 解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除， 当1＋2＋3＋4＋X 能被3整除时，x=2，5，8 4能被4整除时，X＝0，4，8 当末两位X ∴X＝8 例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数 解：五位数字都不相同的最小五位数是10234， 但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行 调整末两位数为30，41，52，63，均可， ∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。 丙练习 1分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积） ①593②1859③1287④3276⑤10101⑥10296 987能被3整除，那么a=_______________ 2若四位数a 12X能被11整除，那么X＝__________- 3若五位数34 35m能被25整除 4当m=_________时，5 9610能被7整除 5当n=__________时，n 6能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________ 7能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是_________ 88个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152， ⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）： 6________,8__________,9_________,11__________ 9从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，能被3整除但不是5的倍数的共______个。 10由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3整除的数共有几个？为什么？ 1234能被15整除，试求A的值。 11己知五位数A 12求能被9整除且各位数字都不相同的最小五位数。 13在十进制中，各位数码是0或1，并能被225整除的最小正整数是＿＿＿＿（1989年全国初中联赛题） 一、精心填一填（本题共10题，每题3分，共30分） 1. 函数 y= JT 万中，字母 a的取值范围是______________ 2. 如图1, 3. 计算: 4、写出一个图象经过点（-1,-1）,且不经过第一象限的函数表达式 5. 已知点P1 （a-1 , 5）和P2 （2, b-1 ）关于x轴对称，则（a+b）2005的值为 6. 如图2,A ABC中边AB的垂直平分线分别交BC AB于点D、E, AE=3cm △ ADC?勺周长为9cm 则厶ABC 的周 长是 ________________ 7. 如图3, AE= AF, AB= AC, / A= 60°,/ B= 24°，则/ BOC= ___________ . 8. 如图4,在厶ABC中，AB=AC / A=36°, BD CE分别为/ ABC与/ ACB的角平分线，且相交于点F,贝U 图中的等腰三角形有个。 9 ?如果用四则运算的加、减、除法定义一种新的运算，对于任意实数 11 12 19*31 = 10?如图5所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上0, 1, 2, 应的数 与数轴上的数一1所对应的点重合， 将与圆周上的数字 __________ 重合. /戴尊7 * J) 八年级（上）数学竞赛试卷 考试时间：100分钟总分：100分 /仁/ 2,由AAS判定△ ABD^A ACD则需添加的条件 20072-2006 X 2008= 3 ?先让圆周上数字0所对那 么数轴上的数一2007 再让数轴按逆时针方向绕在该圆上, 、相信你一定能选对！ 下列各式成立的是 （a-b+c=a- a-b-c=a- 已知一次函数（A） x> 0 11. A C 12. (b+c) (b+c) （本题 共 ） B 6题，每题 图5 3分，共18分） .a+b-c=a- (b-c ) .a-b+c-d= (a+c) - (b-d ) y=kx+b的图象(如图6),当y v0时，x的取值范围是( ) (B) x v 0 (C) x v 1 ( D) x> 1 图3 八年级（上）数学竞赛试卷 考试时间：100分钟 总分：100分 一、精心填一填（本题共10题，每题3分，共30分） 1.函数 a 的取值范围是_____________、 2.如图1，∠1=∠2，由AAS 判定△ABD ≌△ACD ，则需添加的条件是____________. 3．计算：20072-2006×2008=_________ 图1 图2 4、写出一个图象经过点(-1,-1),且不经过．．．第一象限的函数表达式 5．已知点P 1（ a-1，5）和P 2（2，b-1）关于x 轴对称，则（a+b ） 2005 的值为 ． 6．如图2，△ABC 中边AB 的垂直平分线分别交BC 、AB 于点D 、E ，AE=3cm ，△ADC?的周长为9cm ，则△ABC 的周长是＿＿＿＿＿＿＿ 7.如图3，AE ＝AF ，AB ＝AC ，∠A ＝60°，∠B ＝24°，则∠BOC ＝__________. 8、如图4，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 、CE 分别为∠ABC 与∠ACB 的角平分线，且相交于点F ，则图中的等腰三角形有 个。 9．如果用四则运算的加、减、除法定义一种新的运算，对于任意实数x 、y 有 y x y x y x -+= * 则 ()()31*191211**= 10．如图5所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上0，1，2，3．先让圆周上数字0所对 应的数与数轴上的数－1所对应的点重合，再让数轴按逆时针方向绕在该圆上，那么数轴上的数－2007将与圆周上的数字_________重合． F E D A C B 图 5 图4 二、相信你一定能选对！（本题共6题，每题3分，共18分） 11．下列各式成立的是（ ） A ．a-b+c=a-（b+c ） B ．a+b-c=a-（b-c ） C ．a-b-c=a-（b+c ） D ．a-b+c-d=（a+c ）-（b-d ） 12．已知一次函数y=kx+b 的图象（如图6），当y ＜0时，x 的取值范围是（ ） （A ）x ＞0 （B ）x ＜0 （C ）x ＜1 （D ）x ＞1 A B C D 12 A E B O F C 图3 第一篇 一元一次方程的讨论 第一部分 基本方法 1. 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。 例如：方程 2x ＋6＝0， x （x －1）=0, |x |=6, 0x =0, 0x =2的解 分别是： x =－3, x =0或x =1, x =±6, 所有的数，无解。 2. 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax =b 后， 讨论它的解：当a ≠0时，有唯一的解 x =a b ； 当a =0且b ≠0时，无解； 当a =0且b ＝0时，有无数多解。（∵不论x 取什么值，0x ＝0都成立） 3. 求方程ax =b (a ≠0)的整数解、正整数解、正数解 当a ｜b 时，方程有整数解； 当a ｜b ，且a 、b 同号时，方程有正整数解； 当a 、b 同号时，方程的解是正数。 综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax =b 第二部分 典例精析 例1 a 取什么值时，方程a (a －2)x =4(a －2) ①有唯一的解？②无解？ ③有无数多解？④是正数解？ 例2 k取什么整数值时，方程①k(x+1)=k－2（x－2）的解是整数？②（1－x）k=6的解是负整数？ 例3己知方程a(x－2)=b(x+1)－2a无解。问a和b应满足什么关系？ 例4a、b取什么值时，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解？ 第三部分典题精练 1. 根据方程的解的定义，写出下列方程的解： ① (x +1)=0, ②x 2 =9, ③|x |=9， ④|x |=－3, ⑤3x +1=3x －1, ⑥x +2=2+x 2. 关于x 的方程ax =x +2无解，那么a __________ 3. 在方程a (a －3)x =a 中， 当a 取值为＿＿＿＿时，有唯一的解； 当a ＿＿＿时无解； 当a ＿＿＿＿＿时,有无数多解； 当a ＿＿＿＿时,解是负数。 4. k 取什么整数值时，下列等式中的x 是整数？ ① x = k 4 ②x =16-k ③x =k k 32+ ④x =123+-k k 5. k 取什么值时，方程x －k =6x 的解是 ①正数？ ②是非负数？ 6. m 取什么值时，方程3（m +x ）=2m －1的解 ①是零？ ②是正数？ 7. 己知方程 2 2 1463+= +-a x 的根是正数，那么a 、b 应满足什么关系？2019-2020年八年级上数学竞赛试题
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