复变函数练习题及答案

复变函数卷答案与评分标准

一、填空题：

1．叙述区域内解析函数的四个等价定理。

定理1 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件：

（1）(,)u x y ，(,)v x y 在D 内可微，

（2）(,)u x y ，(,)v x y 满足C R -条件。（3分）

定理2 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件：

（1）,,,x y x y u u v v 在D 内连续，

（2）(,)u x y ，(,)v x y 满足C R -条件。（3分）

定理3 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件：()f z 在区域D 内连续，若闭曲线C 及内部包含于D ，则()0C f z dz =? 。（3分）

定理4 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件：()f z 在区域D 内每一点a ，都能展成x a -的幂级数。（3分）

2．叙述刘维尔定理：复平面上的有界整函数必为常数。（3分）

3、方程2z e i =+的解为：11ln 5arctan 222

i k i π++，其中k 为整数。（3分） 4、设()2010sin z f z z

+=，则()0Re z s f z ==2010。（3分） 二、验证计算题（共16分）。

1、验证()22,2u x y x y x =-+为复平面上的调和函数，并求一满足条件

()12f i i =-+的解析函数()()(),,f z u x y iv x y =+。

（8分） 解：（1）22u x x ?=+?，222u x ?=?；2u y y ?=-?，222u y

?=-?。 由于22220u u y x

??+=??，所以(,)u x y 为复平面上的调和函数。（4分） （2）因为()f z 为解析函数，则(),u x y 与(),v x y 满足C.-R.方程，则有

22v u x y x

??==+??，所以(,)2222()v x y x dy xy y C x =+=++? 2,v u y x y

??=-=??又2()v y C x x ?'=+? ，所以 ()0C x '=，即()C x 为常数。 所以22()2(22)f z x y x xy y C i =-++++。（8分）

由于()12f i i =-+，所以0C =。即()222()2222f z x y x xy y i z z =-+++=+。 （8分）

2、方程201020092920092109100z z z -++=在单位圆1z <内有几个根？为什么？（8分）

解：有29个根，因为在圆周1z =上，20102009292009102109z

z z -+<，由儒歇定理知 在1z <由201020092920092109100z z z -++=有29个根。（8分）

三、计算题（每题6分，共18分，用复变函数论的方法，并指出计算的理论根据）。

1、()()2434

12z z dz z z =+--?。

解：原式=2211213434(1)(2)(1)(2)z z z z dz dz z z z z -=-=+++----??

2342701z z i z π=??'+?? ?=+= ? ?-????

（6分） 2．2054cos d π

θθ

-? 解：原式=1(21)(2)z i dz z z =--? （3分）12

222(2)3

z i i z ππ==?=-。（6分） 3．2220(1)(9)

x dx x x +∞

++? 解：原式=2

2212(1)(9)

x dx x x +∞-∞++? （1分）

2

22Im 0

Re (1)(9)k k z a a z i s z z π=>=++∑ （3分） 22

223()(9)(1)(3)z i z i z z i z i z z z i π==??=+ ? ?++++?

?（5分） 8π

=。（6分）

四、罗朗级数与奇点（15分）

1、设()()()1

23f z z z =--，试求

（1）()f z 在圆环23z <<内的罗郎展式；（5分）

（2）()f z 在3z =为中心的去心邻域内的罗郎展式，并指出收敛圆环。（5分） 解：（1）111111()2323113f z z z z z z

-=-=?-?----（2分） 0011233n n n n z z z ∞∞==-????=- ? ?????

∑∑（5分） 1100

123n n n n n n z z ∞∞

--+==-=?+-?∑∑

1

110123n n n n n n z z ∞---+==-∞

-=?+-?∑∑ 23z <<

（2）1111()32313

f z z z z z =-=----+-（2分） ()0

11(3)3n n n z z ∞==--?--∑ 31z -<。（5分） 2、试判断函数()631

11cos 2z z --在奇点0z =的类型。（5分） 解由于61218

3

cos 12246!z z z z =-+-+ ，（2分） 所以 61218

21cos 2246!

z z z z --=-++ （3分）

因此 0z =为函数4

2

1

1cos 2z z --的12级极点。（5分）

五、求一分式线性变换()f z ω=将上半平面()0Im z >共形映射成单位圆

1ω<使得()20f i =，()20f i '>。

（10分） 解：由题意知

(2)0,(2)f i f i =-=∞ ，(0)1f =（3分） 所以可设2()2i z i f z e z i θ

ω-==+， （5分）求导得24()(2)i ie f z z i θ

'=+。由于(2)04i ie f i θ-'=>，所以122

k θππ=

+。此处 k 是整数。 因此2()2z i f z i z i ω-==+。（10分） 六、证明题：

1、设()f z 在区域D 内解析；（2）在D 内一点a 处有()()0k f a =，1,2,3,,k =???，则()f z 在区域D 内必为常数。

证明：设a 到区域D 的边界的距离为12d 。由于()f z 在区域D 内解析，1z a d D -

()0()()()()!

n n n f a f z z a f a n ∞==?-=∑ 即()f z 在1z a d -<内为常数。（5分）

设b 为区域D 内任意一点，设连接a 和b 的包含与区域D 内的折线的分点依次为12,,n a b b b b == ，设折线到区域D 的边界的距离为22d ，令12min{,}d d d =。考虑折线2ab ，在折线2ab 上依次取分点122,,m a b ξξξ== ，使得相邻两分点间的距离小于d ，作圆:,1,2,k k C z d k m ξ-<= 。由于()f z 在z a d -<内为常数，由唯一性定理知()f z 在2z d ξ-<内为常数，同样可得，()f z 在3z d ξ-<内为常数，于是可得知()f z 在2z b d -<内为常数，类似地考虑折线231,,n b b b b - ，可得()f z 在b 的某领域内为常数，

即有()()f b f a =。由b 的任意性知()f z 在区域D 内为常数。第二步只要讲出由唯一性定理得到结论即可。（10分）

2、如果函数()f z 在单位圆1z <内解析，并且满足条件()00f =，且对于单位圆1z <内的任意点z 有()1f z <，则在单位圆1z <内恒有()f z z ≤，且有()01f '≤。

证明：由题意可得

()23123f z c z c z c z =+++??? 1z <

令

()()2123f z z c c z c z z

?==+++??? 1z < 由()z ?的构造知()z ?在1z <内解析，且()()100c f ?'==。

考虑()z ?在去心单位圆01z <<内任意一点0z 处的值，取r 满足1z r <<，由最大模定理，有()()()01max max z r z r f z z z z r

??==≤=≤；令1r →，得()01z ?≤。 所以()()001f ?'=≤。

当0z =时，显然有()000f =≤。

当01z <<时，有()()1f z z z

?=≤，即()f z z ≤。 综上所述，即在单位圆1z <内恒有()f z z ≤，且有()01f '≤。证毕。