北京大学数学物理方法(上)课件_3 复变积分

数学物理方法综合试题及答案

复变函数与积分变换 综合试题（一） 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设cos z i =，则（ ） A ． Im 0z = B ．Re z π= C ．0z = D ．argz π= 2．复数3(cos ,sin )55z i ππ =--的三角表示式为（ ） A ．443(cos ,sin )55i ππ- B ．443(cos ,sin )55i ππ- C ．44 3(cos ,sin )55i ππ D ．44 3(cos ,sin )55 i ππ-- 3．设C 为正向圆周|z|=1，则积分 ?c z dz ||等于（ ） A ．0 B ．2πi C ．2π D ．－2π 4．设函数()0 z f z e d ζζζ= ? ，则()f z 等于（ ） A ．1++z z e ze B ．1-+z z e ze C ．1-+-z z e ze D ．1+-z z e ze 解答： 5．1z =-是函数 4 1) (z z cot +π的（ ） A ． 3阶极点 B ．4阶极点 C ．5阶极点 D ．6阶极点 6．下列映射中，把角形域0arg 4 z π << 保角映射成单位圆内部|w|<1的为（ ） A ．4411z w z +=- B ．44-11z w z =+ C ．44z i w z i -=+ D ．44z i w z i +=- 7. 线性变换[]i i z z i z a e z i z i z a θω---= =-++- ( ） A.将上半平面Im z >0映射为上半平面Im ω>0 B.将上半平面Im z >0映射为单位圆|ω|<1 C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0 D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<1 8.若()(,)(,)f z u x y iv x y =+在Z 平面上解析，(,)(cos sin )x v x y e y y x y =+，则(,)u x y = （ ） A.(cos sin )y e y y x y -) B.(cos sin )x e x y x y -

北京大学

北京大学 中国第二届世界史研究生精品课程班 招生简章 一、宗旨 中国的快速崛起要求我们加强世界历史学科建设，这是国内知识界和教育界人士正在增加的共识。大家切身感受到，中国的快速崛起是一个世界性现象，也是一个历史现象。改变着世界秩序，也改写着世界历史。无论是其产生的正面效应，还是面临的严峻挑战，对中国和世界来说都是一些前所未见的问题，需要从事基础学科研究的学者做出根本性回答。以研究人类历史发展进程和大国兴衰规律为己任的世界历史学科，应该回答这样的问题。但是，由于各种原因，中国世界历史教学和研究，已经严重落后于发达国家，越来越不适应中国国际地位快速提高的时代要求。因此，有计划培养中国新一代世界历史学者，成为当务之急。 国务院学位办公室从2003年开始，大力推出研究生教育创新工程，面向全国高校研究生举办“世界历史研究生精品课程班”，为完成这个任务提供了重要契机。作为中国世界历史学科重镇的北京大学历史学系，积极响应有关号召，在2003年成功举办“中国第一届世界历史研究生精品课程班”，在社会上引起较大反响，对有关高校的世界历史教学和科研，起了良好的推动作用。我系会商北京大学研究生院等单位，决定在今年暑假期间举办“中国第二届世界历史研究生精品课程班”，欢迎全国高等院校研究生报名参加。 二、特点 （1）本课程班授课教授质量高：将在继承我国世界史人才培养优良传统，注重基本理论、基础知识和基本素质培养之基础上，强调教学内容的前沿性、科学性和国际性。依托北京高校和科研机构雄厚的研究力量，并邀请全国和欧美国家的著名教授前来授课。

（2）本课程班创新点多：教育观念创新：开门办学，邀集海内外一流教授，培育全国最优秀研究生，注意招收“西、少、边”地区院校研究生；教育体制创新：打破师生单位所有制，实现教育资源共享；教学内容创新：安排成组重点专题，方便学生在比较的视野中深化思考；授课方法创新：用最短时间把有关专题的前沿和精髓介绍给学生，并为学生留出时间和授课教授进行切磋。 （3）本课程班学员在学习期间，可以利用北京大学图书馆和北京大学历史学系图书和信息资源。 （4）本课程班欢迎旁听，不收取费用。 三、授课计划 本届课程班开设“美国历史与国际关系研究”和“欧洲研究与史学理论”两组专题，每个专题14讲，共计28讲，每讲4个小时，有关主持人和主讲教授如下： 第一组专题：“美国历史与国际关系研究”（主持人：美国宾州印第安纳大学历史系王希教授） 王希——美国宾州印第安纳大学历史系教授、北京大学长江学者、北京大学 历史学系兼职教授（8讲） 1、“20世纪60年代以来美国史学的发展”(Trends and Challenges of the Study of American History since 1960s) 2、“人民主权” 思想的英国起源与美国的建立”(The English Origins of “Popular Sovereignty” and the Founding of Ameri can Republic) 3、“斯科特案与美国公民资格的种族化”(The Dred Scott Case and the Racialization of American Citizenship) 4、“美国内战与美国人历史记忆的政治”(The Civil War and the Politics of Americans’ Historical Memories) 5、“自由主义在美国历史中的转型”(Liberalism and Its Transformations in American History) 6、“美国历史上的国家建设”(1) (国家制度) (State-building in American History) 7、“美国历史上的国家建设”(2) (公民队伍与核心价值观) (Nation-building in American History) 8、“在全球化时代对美国史研究和教学的重新思考”(Rethinking the Study and Teaching of America in Global Perspective) 何顺果——北京大学历史学系教授（1讲，下同） “美利坚文明的历史起源” 资中筠——中国社会科学院美国研究所研究员、前所长

数学物理方法期末考试规范标准答案

天津工业大学（2009—2010学年第一学期） 《数学物理方法》(A)试卷解答2009.12 理学院) 特别提示：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息,若写在其它处视为作弊。本试卷共有四道大题,请认真核对后做答,若有疑问请与监考教师联系。 一 填空题(每题3分,共10小题) 1. 复数 i e +1 的指数式为：i ee ； 三角形式为：)1sin 1(cos i e + . 2. 以复数 0z 为圆心，以任意小正实数ε 为半径作一圆，则圆内所有点的集合称为0z 点的 邻域 . 3. 函数在一点可导与解析是 不等价的 (什么关系？). 4. 给出矢量场旋度的散度值，即=????f ? 0 . 5. 一般说来，在区域内，只要有一个简单的闭合曲线其内有不属 ------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线--------------------------------------- 学院 专业班 学号 姓名 装订线 装订线 装订线

于该区域的点，这样的区域称为 复通区域 . 6. 若函数)(z f 在某点0z 不可导，而在0z 的任意小邻域内除0z 外处处可导，则称0z 为)(z f 的 孤立奇点 . 7. δ函数的挑选性为 ? ∞ ∞ -=-)()()(00t f d t f ττδτ. 8. 在数学上，定解条件是指 边界条件 和 初始条件 . 9. 常见的三种类型的数学物理方程分别为 波动方程 、 输运方程 和 稳定场方程 . 10. 写出l 阶勒让德方程: 0)1(2)1(222 =Θ++Θ -Θ-l l dx d x dx d x . 二 计算题(每小题7分，共6小题) 1. )(z 的实部xy y x y x u +-=22),(，求该解析函数

高等代数-北京大学第三版--北京大学精品课程

第一学期第一次课 第一章 代数学的经典课题 §1 若干准备知识 1.1.1 代数系统的概念 一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，则称这样的一个体系为一个代数系统。 1.1.2 数域的定义 定义（数域） 设K 是某些复数所组成的集合。如果K 中至少包含两个不同的复数，且K 对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对K 内任意两个数a 、b （a 可以等于b ），必有 K b a b K ab K b a ∈≠∈∈±/0时，，且当，，则称K 为一个数域。 例1.1 典型的数域举例： 复数域C ；实数域R ；有理数域Q ；Gauss 数域：Q (i) = {b a +i |b a ,∈Q }，其中i =1-。 命题 任意数域K 都包括有理数域Q 。 证明 设K 为任意一个数域。由定义可知，存在一个元素0≠∈a K a ，且。于是 K a a K a a ∈= ∈-=10， 。 进而∈?m Z 0>, K m ∈+??++=111。 最后，∈?n m ,Z 0>， K n m ∈，K n m n m ∈-=-0。这就证明了Q ?K 。证毕。 1.1.3 集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念 定义(集合的交、并、差) 设S 是集合，A 与B 的公共元素所组成的集合成为A 与B 的交集，记作B A ?；把A 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为A 与B 的并集，记做B A ?；从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A 与B 的差集，记做B A \。 定义（集合的映射） 设A 、B 为集合。如果存在法则f ，使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定的元素（记做)(a f ），则称f 是A 到B 的一个映射，记为 ). (, :a f a B A f α→ 如果B b a f ∈=)(，则b 称为a 在f 下的像，a 称为b 在f 下的原像。A 的所有元素在f 下的像构成的B 的子集称为A 在f 下的像，记做)(A f ，即{}A a a f A f ∈=|)()(。 若,'A a a ∈≠?都有),'()(a f a f ≠ 则称f 为单射。若 ,B b ∈?都存在A a ∈，使得b a f =)(，则称f 为满射。如果f 既是单射又是满射，则称f 为双射，或称一一对应。 1.1.4 求和号与求积号 1．求和号与乘积号的定义. 为了把加法和乘法表达得更简练，我们引进求和号和乘积号。 设给定某个数域K 上n 个数n a a a ,,,21Λ，我们使用如下记号：

数学物理方法第二次作业答案解析

第七章 数学物理定解问题 1．研究均匀杆的纵振动。已知0=x 端是自由的，则该端的边界条件为 __。 2．研究细杆的热传导，若细杆的0=x 端保持绝热，则该端的边界条件为 。 3．弹性杆原长为l ，一端固定，另一端被拉离平衡位置b 而静止，放手任其振动，将其平衡位置选在x 轴上，则其边界条件为 00,0x x l u u ==== 。 4．一根长为l 的均匀弦，两端0x =和x l =固定，弦中力为0T 。在x h =点，以横向力0F 拉弦，达到稳定后放手任其振动，该定解问题的边界条件为___ f (0)=0,f (l )=0; _____。 5、下列方程是波动方程的是 D 。 A 2tt xx u a u f =+； B 2 t xx u a u f =+； C 2t xx u a u =； D 2tt x u a u =。 6、泛定方程20tt xx u a u -=要构成定解问题，则应有的初始条件个数为 B 。 A 1个； B 2个； C 3个； D 4个。 7．“一根长为l 两端固定的弦，用手把它的中 点朝横向拨开距离h ，（如图〈1〉所示）然后放 手任其振动。”该物理问题的初始条件为( D )。 A ．?????∈-∈==] ,2[),(2]2,0[,2l l x x l l h l x x l h u o t B ．???? ?====00 t t t u h u C ．h u t ==0 D ．???????=???? ?∈-∈===0 ],2[),(2]2,0[,200t t t u l l x x l l h l x x l h u 8．“线密度为ρ，长为l 的均匀弦，两端固定，开始时静止，后由于在点)0(00l x x <<受谐变 u x h 2 /l 0 u 图〈1〉

数学物理方法习题解答(完整版)

数学物理方法习题解答 一、复变函数部分习题解答 第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。 证明：令Re z u iv =+。Re z x =，,0u x v ∴==。 1u x ?=?，0v y ?=?， u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。 证明：令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。 所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。 ()00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。 或：()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z z z z ??==??】

3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。 证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??， 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-； 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。 但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0，则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上

【最最最最最新】数学物理方法试卷(附答案)

福师大物理系《数学物理方法》B 课程考试题 一、简答题（共70分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一？（6分） 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。 无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类？如何判别？（6分） 在挖去孤立奇点Zo而形成的环域上的解析函数F（z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo称为函数F（z）的可去奇点，极点及本性奇点。 判别方法：洛朗级数展开法 A，先找出函数f(z)的奇点； B，把函数在的环域作洛朗展开 1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点； 3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性？（6分） 1，定解问题有解；2，其解是唯一的；3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题的适定性。 4、什么是解析函数？其特征有哪些？（6分） 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1）在区域内处处可导且有任意阶导数. 2） () () ? ? ? = = 2 1 , , C y x v C y x u 这两曲线族在区域上正交。 3）()y x u,和()y x v,都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数) 4）在边界上达最大值。 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类？波动方程属于其中的哪种类型？（6分）

数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出)(x δ挑选性的表达式（6分） ()()()()()()?????????=-==-???∞ ∞∞-∞∞ -)()()(00000R f dv R r r f f dx x x f x f dx x x x f δδδ 6、写出复数2 31i +的三角形式和指数形式（8分） 三角形式：()3sin 3cos 231cos sin 2 321isin cos 222ππ? ?ρ??ρi i i +=++=+=+ 指数形式：由三角形式得： 313πρπ?i e z === 7、求函数 2)2)(1(--z z z 在奇点的留数（8分） 解： 奇点：一阶奇点z=1；二阶奇点：z=2 1)2)(1()1(lim Re 21)1(=????? ?---=→z z z z sf z

北京大学中级无机化学答案

无机化学习题参考答案(II) 第一章 1.4．解： （1）H 2O 2 2C （2）S 2O 32 3v C （3）N 2O (N N O 方式) v C ∞ （4）Hg 2Cl 2 h D ∞ （5）H 2C=C=CH 2 2d D （6）UOF 4 C 5v （7）BF 4 d T （8）SClF 5 4v C （9）反-Pt(NH 3)2Cl 2 2h D （10）PtCl 3(C 2H 4) 2v C 1．B(CH 3)3和BCl 3相比，哪一个的Lewis 酸性强，为什么？ 一般来说，CH 3为推电子基团，Cl 为吸电子基团，因此的Lewis 酸性强。 （BCl 3易水解；B(CH 3)3不溶于水，在空气中易燃） 2．BH 3和BF 3都可和(CH 3)2NPF 2生成加合物，在一种加合物中，B 原子和N 相连，另一种则和P 相连，绘出两种结构式，并说明形成两种结构的原因。 P F F H 3C CH 3 N P F F H 3C CH 3 N B B H 3F 3 (该题可参考史启桢等翻译的"无机化学",作者Shriver 等,由高教社出版, 其中关于热力学酸度参数的部分，p.190-191; 或者该书的英文原版第5章的相关内容) 3. 无水AlCl 3可作为傅-克烷基化反应的催化剂, 而吸水后则失效, 原因何在? 配位饱和（6配位），失去Lewis 酸性 4. 吸水后失效 的AlCl 3有什么方法可以脱水? 因为Al 3+是典型的硬酸，与氧的亲合力很强，因此实验室不能在HCl ，NH 4Cl ，SOCl 2等气氛下加热脱水。（只能加强热生成 Al 2O 3后，用高温下用加C 和Cl 2用还原氯化法制备，这就不是脱水方法了）。 第二章

数学物理方法复习资料及参考答案(一)

数学物理方法复习资料及参考答案（一） 一、填空题： 1. 复数 i i -+11用三角式可表示为 （主辐角[)π2,0）。 2. 已知幂级数∑∞ =0 k k k z a 和∑∞ =0 k k k z b 的收敛半径分别是1R 和2R ，则幂级数()∑∞ =±0 k k k k z b a 的收敛半径 为： 。 3. 勒让德多项式()l P x 的模l N = ()0,1,2,l = 。 4. 在00=z 的邻域上，z e z f 1)(=展开的洛朗级数为： 。 5. 函数2)2)(1()(--=z z z z f 的留数)1(resf ＝ 。 6. 求解无限长弦的自由振动，设弦的初始位移为)(x ?，初始速度为)(/x a ?-， =),(t x u 。 7. 在00=z 的邻域上，z z f sin )(=的泰勒级数为： 。 8. 幂级数()∑ ∞ =-1 1k k i z k 的收敛圆： 。 9. 数理方程中的定解条件包括三大类 初始条件 、 和 衔接条件 。 10. 在本征值问题()() ()'''120 12--+=-1<<±1?? ? x y xy y x y λ有限 中，方程 ()'''120 2--+=x y xy y λ称为__ _ _ __微分方程，该本征值问题的本征值 λn = ___ _ ，相应本征函数是 y x n ()= __________，其中n = ___ _ ____， 该本征函数称为______ __ _，写出它的表达式(至少一种)：___________ _____。 二、简答题： 1、孤立奇点分为几类？如何判别？ 2、简述施图姆－刘维尔本征值问题的共同性质。 三、基础题： 1、计算实变函数定积分()() 2 2 2 2 94x dx I x x ∞= ++? 2、已知解析函数()f z 的实部2 33),(xy x y x u -=，0)0(=f ，求虚部和这个解析函数。 3、设)0()(>=-ββt e t f ，证明t e d t ββ πωω βω-∞ = +? 2cos 0 2 2 4、试证递推公式

数学物理方法习题及解答

2. 试解方程：()0,04 4 >=+a a z 44424400000 ,0,1,2,3 ,,,,i k i i z a a e z ae k ae z i i πππ π ωωωωω+=-=====--若令则 1．计算： （1） i i i i 524321-+ -+ （2） y = （3） 求复数2 12?? + ? ??? 的实部u 和虚部v 、模r 与幅角θ (1) 原式= ()()()12342531081052 916 2525255 i i i i i i +?+-?+-++=+=-+-- （2） 3 32( )10205 2(0,1,2,3,4)k i e k ππ+==原式 (3) 2 223 221cos sin cos sin ,3333212u v 1,2k ,k 0,1,2,223 i i i e r π πππππ θπ??==+=+==- ?????=-===+=±±L 原式所以：， 3．试证下列函数在z 平面上解析,并分别求其导数. (1)()()y i y y ie y y y x e x x sin cos sin cos ++- 3.

()()()()()()()()cos sin ,cos sin ,cos sin cos ,sin sin cos ,cos sin sin sin ,cos sin cos ,,,x x x x x x x x u e x y y y v e y y x y u e x y y y e y x u e x y y y y y v e y y x y e y y x v e y y y x y y u v u v x y y x u v z f z u iv z u f z =-=+?=-+??=---??=++??=-+?????==-????=+?'= ?证明：所以：。 由于在平面上可微 所以在平面上解析。()()()cos sin cos cos sin sin .x x x x v i e x y y y e y i e y y x y e y x x ?+=-++++? 由下列条件求解析函数()iv u z f += (),1,22i i f xy y x u +-=+-= 解： ()()()()()()()222222222212,2,21 2,2,,,2112, 2211 1,0,1,1,, 221112. 222u v x y v xy y x x y v u v y x y x x x x x c x y x f z x y xy i xy y x c f i i x y c c f z x y xy i xy x y ??????==+∴=++?????''=+=-=-+∴=-=-+?????=-+++-+ ??? =-+==+==? ?=-++-++ ?? ?而即所以由知带入上式，则则解析函数 2. ()21,3,,.i i i i i i e ++试求

物理书籍整理

科普： 《定性与半定量物理学》赵凯华 《边缘奇迹：相变和临界现象》于渌 《QED: A Strange Theory about Light and Matter》Feynman 《大宇之形》丘成桐 《Gauge Fields, Knots and Gravity》Baez 《趣味力学》别莱利曼 《趣味刚体力学》刘延柱（小书，挺有意思） 考研习题集用超星图书里的那本清华大学编写的普通物理学考研辅导教材(大约这个名字) 数学分析： 书目： 《数学分析教程》常庚哲 《数学分析新讲》张筑生 《数学分析》卓里奇 《数学分析八讲》辛钦 《数学分析讲义》陈天权 《数学分析习题课讲义》谢惠民等 《数学分析习题集》北大版？ 《特殊函数概论》王竹溪 线性代数Linear Algebra 内容：行列式、矩阵代数、线性方程组、线性空间、线性变换、欧几里得空间、n元实二次型等。 书目： 《高等代数简明教程》蓝以中 《Linear Algebra and Its Applications》Gilbert Strang 《Linear Algebra and Its Applications》Peter D. Lax 《Linear Algebra and Its Applications》David C. Lay 力学Mechanics 先修课程：高等数学 内容：质点运动学、质点动力学、动量定理和动量守恒定律、功和能及碰撞问题、角动量、刚体力学、固体的弹性、振动、波动和声、流体力学、相对论简介。 书目： 《力学》赵凯华 《力学》舒幼生 《经典力学》朗道 《An Introduction To Mechanics》Daniel Kleppner、Robert Kolenkow 狭义相对论：《狭义相对论》刘辽 《The Principle of Relativity》Einstein 广义相对论：《Einstein Gravity in a Nutshell》Zee 《Spacetime and Geometry》Carroll

数学物理方法习题解答(完整版)

数学物理方法习题解答 一、复变函数部分习题解答 第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。 证明：令Re z u iv =+。Re z x =，,0u x v ∴==。 1u x ?=?，0v y ?=?， u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。 证明：令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。 所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。 ()00 00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。 或：()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z z z z ??==??】

3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。 证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??， 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-； 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。 但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0，则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上

【最新】数学物理方法试卷(全答案)

嘉应学院物理系《数学物理方法》B 课程考试题 一、简答题（共70分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一？（6分） 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。 无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类？如何判别？（6分） 在挖去孤立奇点Zo而形成的环域上的解析函数F（z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo称为函数F（z）的可去奇点，极点及本性奇点。 判别方法：洛朗级数展开法 A，先找出函数f(z)的奇点； B，把函数在的环域作洛朗展开 1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点； 3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性？（6分） 1，定解问题有解；2，其解是唯一的；3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题的适定性。 4、什么是解析函数？其特征有哪些？（6分） 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1）在区域内处处可导且有任意阶导数. 2） () () ? ? ? = = 2 1 , , C y x v C y x u 这两曲线族在区域上正交。 3）()y x u,和()y x v,都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数) 4）在边界上达最大值。 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类？波动方程属于其中的哪种类型？（6分）

数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出)(x δ挑选性的表达式（6分） ()()()()()()?????????=-==-???∞ ∞∞-∞∞-) ()()(00000R f dv R r r f f dx x x f x f dx x x x f δδδ 6、写出复数 2 3 1i +的三角形式和指数形式（8分） 三角形式：()3 sin 3 cos 2 3 1cos sin 2 32 1isin cos 2 2 2 π π ??ρ??ρi i i +=++=+= + 指数形式：由三角形式得：3 1 3 πρπ?i e z === 7、求函数2 ) 2)(1(--z z z 在奇点的留数（8分） 解： 奇点：一阶奇点z=1；二阶奇点：z=2 1)2)(1()1(lim Re 21)1(=????? ?---=→z z z z sf z

数学物理方法复习资料及参考答案(二)

数学物理方法复习资料及参考答案（二） 一、选择题： 1. 函数()f x 以0z 为中心的Taylor 展开的系数公式为：（ ） A ξξ ξπd z f i k C c k ?-= )()(20 B ! ) (0) (k z f C k k = C ξξ ξπd z f i C c k k ?+-= 1 0) ()(21 D ξξ ξπd z f i k C c k k ?+-=1 0) ()(2 2. ?=-l dz a z )(（ ） (其中l 表示以为a 中心ρ为半径的周围)。 A i ?π B i C i ?-π D 0 3. 非齐次边界条件)(),(0 t u t u l x x νμ====，转化为齐次边界条件的方法： （ ） A )()(t B x t A + B x t A )( C )(t B D x t B x t A )()(2+ 4. )(t f 是定义在半无界区间),0(∞上的函数，?? ?<<<=) (0 ) 0()(t T T t h t f 在边界条件0)0(='f 下，把)(t f 展为实数形式傅立叶积分：（ ） A w h 1 2π B w wT h cos 2π C w wT h sin 2π D w wT h cos 12-π 5. 齐次边界条件0,00 ====l x x x u u 的本征值和本征函数：（ ） A ),3,2,1,0(cos )(,22 2 ===n l x n C x X l n n n n ππλ B ),3,2,1(sin )(,2 2 2 === n l x n C x X l n n n n ππλ C ),3,2,1,0()21(cos )(,)2 1(22 2 =+ =+= n l x n C x X l n n n n ππλ D ),3,2,1,0()21(sin )(,)21(22 2 =+ =+ = n l x n C x X l n n n n ππ λ 6. 若集合是（ ），则该集合是区域。 A 开集 B 连通开集 C 连通闭集 D 连通集 7. 设a 是)(z f 的可去奇点，则有：（ ） A lim () Z a f Z →存在且有限 B li m () Z a f Z →不存在

数学物理方法习题2及答案

1. 计算221z dz z z --? 的值，Г为包含圆周|z|=1在内的任何正向简单曲线。 解：我们知道，函数221z z z --在复平面内除z=0和z=1两个奇点外是处处解析的。由于Г是包含圆周|z|=1在内的任何正向简单闭曲线，因此它也包含这两个奇点。在Г内作两个互不包含也互不相交的正向圆周C1与C2，C1只包含奇点z=0，C2只包含奇点z=1。那么根据复合闭路定理得： 221z dz z z --? =22122121c c z z dz dz z z z z --+--?? 1122 111111c c c c dz dz dz dz z z z z =+++--???? =02204i i i πππ+++= 2. 求积分0 cos i z zdz ?的值。 解：函数cos z z 在圈平面内解析，容易求得它有一个原函数为sin cos z z z +.所以 00111cos [sin cos ]sin cos 1 1122 i i z zdz z z z i i i e e e e i e i ---=+=+--+=+-=-? 3..试沿区域i 1ln(1)Im()0,Re()0||1,1z z z z dz z +≥≥=+? 内的圆弧计算积分的值。 解：函数ln(1)1z z ++在所设区域内解析，它的一个原函数为21ln (1),2 z +所以 i 222112222ln(1)11ln (1)|[ln (1)ln 2]122 11ln 2ln 22243ln 2ln 2.3288 i z dz z i z i i πππ+=+=+-+????=+-?? ??????? =--+? 4．求下列积分（沿圆周正向）的值： 1）||41sin 2i z z dz z π=? ； 2）||4 12z 13z dz z =+-? （+）； 解：由柯西积分公式得： ||4 1sin 2i z z dz z π=? =0sin |0z z ==； ||4||4 ||12221226z 1313z z z dz dz dz i i i z z z πππ==+=?+?=+-+-??? （+）= 5..求下列积分的值。其中C 为正向圆周：|z|=r>1. 1) 5cos (1)c z dz z π-? 2) 22.(1)z c e dz z +?

北京大学中级无机化学答案下

无机化学习题参考答案(II) 第6章习题 6.1 CH 3Al CH 3 CH 3 CH 3Al H 3C H 3C Al Me Me Me Me Me Me Me Me Me 3c －2e 桥键 空间位阻大，形成单体 6.3 (1) Si(CH 3)4 P b (CH 3)4 热分解较难 热分解较易 因为Si －C 键较强 Pb －C 键较弱 (2) Li 4(CH 3)4 B(CH 3)3 Si(CH 3)4 Si(CH 3)3Cl Lewis 酸性 B(CH 3)3 > Li 4(CH 3)4 > Si(CH 3)3Cl >Si(CH 3)4 单体 多聚 错误较多。Li 4(CH 3)4多聚体缓和了缺电子性。 (3) N(CH 3)3和As(CH 3)3 Lewis 碱性： 对H +等硬酸，N(CH 3)3 > As(CH 3)3 ∵N 的电负性较大 对有机金属化合物等软酸，As(CH 3)3 > N(CH 3)3 ∵As 比N 软，与软酸的结合能力强。 错误较多。对于Lewis 酸碱，可根据物质的性质分为软性和硬性，因而在比较酸碱性时也需要分类进行对比。 6.5 V(CO)6 17e 不符合18e 规则

Cr(CO)6 18e Fe(CO)5 18e Ni(CO)4 18e Mn(7e)，Tc(7e)，Re(7e)，Co(9e)，Rh(9e)，Ir(9e)，价电子数均为单数，要满足18e 构型，不可能为单核羰基化合物 6.6 CO 和d 区金属成键时，金属次外层轨道上有参与成键d 电子作为价电子，可以反馈到CO 的π*轨道上，而BF 3等p 区元素则没有价电子形成反馈键，因此不能与CO 形成稳定化合物。 6.7 -6V(CO)， + 6M n (C O )， 6C r (C O ) 反馈电子多 反馈电子最少 反馈电子越多，CO 的π*越强，C －O 越弱 ∴ CO 的振动频率+-666 Mn(CO)>Cr(CO)>V(CO) 6.9 由IR 吸收峰，推测其有端羰基，边桥羰基和面桥羰基 M 1－CO M 2－CO M 3－CO 平均每个Co 周围的价电子总数为18。 化学式为：Co 3(μ1-CO)6(μ2-CO)3(μ3-CO)- CO CO CO Co Co Co CO CO CO CO CO OC OC - *6.10 错误较多。许多学生从化学环境上分析，而不是根据对称性（点群）分析。 Cis －Mo(CO)4(P(OPh)3)2为C 2v 点群，前一个图，3个吸收峰 trans －Mo(CO)4[P(OPh)3]2为D 4h 点群，对称性高，1个吸收峰 具体推导如下： 11 (4022)24A = +++= 21 (4022)04A =+--=

数学物理方法知识点归纳

第一章 复述和复变函数 1.5连续 若函数)(x f 在0z 的领域内（包括0z 本身）已经单值确定，并且 )()(0lim z f z f z z =→， 则称f(z)在0z 点连续。 1.6导数 若函数在一点的导数存在，则称函数在该点可导。 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的导数存在的条件 (i) x u ??、y u ??、x v ??、y v ??在点不仅存在而且连续。 (ii)C-R 条件在该点成立。C-R 条件为 ???? ?? ???-=????=??y y x u x y x v y y x v x y x u ),(),(),(),( 1.7解析 若函数不仅在一点是可导的，而且在该点的领域内点点是可导的，则称该点是解析的。 解析的必要条件：函数f(z)=u+iv 在点z 的领域内(i) x u ??、y u ??、x v ??、y v ??存在。 (ii)C-R 条件在该点成立。 解析的充分条件：函数f(z)=u+iv 在领域内(i) x u ??、y u ??、x v ??、y v ??不仅存在而且连续。 (ii)C-R 条件在该点成立。 1.8解析函数和调和函数的关系 拉普拉斯方程的解都是调和函数： 22x u ??+2 2y u ??=0 ①由此可见解析函数的实部和虚部都是调和函数。但是任意的两个调和函数作为虚实两部形成的函数不一定是解析函数，因为它们不一定满足C —R 条件。 ②当知道f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中的u(x,y)时，如何求v(x,y)? 通过C —R 条件列微分方程 第二章 复变函数的积分 2.2解析函数的积分 柯西定理：若函数f(z)在单连区域D 内是解析的，则对于所有在这个区域内而且在两个公共端点A 与B 的那些曲线来讲，积分 ?B A dz z f )(的值均相等。 柯西定理推论：若函数f(z)在单连区域D 内解析，则它沿D 内任一围线的积分都等于零。 ?=C dz z f 0)( 二连区域的柯西定理：若f(z)在二连区域D 解析，边界连续，则f(z)沿外境界线(逆时针方向)的积分等于f(z)沿内境界线(逆时针方向)的积分。 n+1连区域柯西定理： ???? ΓΓΓΓ+++=n i i i e dz z f dz z f dz z f dz z f )(....)()()(2 1 推论：在f(z)的解析区域中，围线连续变形时，积分值不变。 2.3柯西公式 若f(z)在单连有界区域D 内解析，在闭区域D 的边界连续，则对于区域D 的任何一个内点a ，有?Γ -= dz a z z f i a f ) (21)(π其中Γ是境 界线。 2.5柯西导数公式 ξξξπd z f i n z f C n n ?+-= 1)() () (2!)( 第三章 级数 3.2复变函数项级数 外尔斯特拉斯定理：如果级数 ∑∞ =0 )(k k z u 在境 界Γ上一致收敛，那么 (i)这个级数在区域内部也收敛，其值为F(z) (ii)由它们的m 阶导数组成的级数