利用函数性质巧求最值

文山州广南县珠街镇初级中学张仁德

【摘要】在初中数学中，最值问题是学习的重点，同时也是中考的重点，在实际生活中有着广泛的应用。本文通过几个例题，充分利用函数性质与大家一起探讨一次函数、二次函数和反比例函数的最值问题的求解策略，望能对同学们的学习有所帮助。

【关键词】函数性质最值

在初中数学中，最值问题是学习的重点，同时也是中考的重点，在实际生活中有着广泛的应用。本文通过几个例题，充分利用函数性质与大家一起探讨一次函数、二次函数和反比例函数的最值问题的求解策略，望能对同学们的学习有所帮助。

一、利用一次函数的性质来求最值问题

对于一般的一次函数，由于自变量的取值范围可以是全体实数，因此不存在最大最小值（简称“最值”），但在实际问题中，因题目中的自变量受到实际问题的限制，所以就有可能出现最大或最小值。求解这类问题除正确确定函数表达式外，利用自变量取值范围可以确定最大值或最小值。

例１、红星服装厂准备生产一批A 、B 两种型号的演出服，已知每小时生产A 型演出服比B 型演出服少2套，且生产18套A 型演出服与生产24套B 型演出服所用的时间相同。

（1）设该厂每小时可生产A 型演出服a 套，用含a 的代数式表示该厂生产24套B 型演出服所用的时间；求出a 的值。

（2）若该厂要在8小时之内（含8小时）先后生产A 、B 两种型号的演出服50套，且生产一套A 、B 两种型号的演出服可得利润分别为40元和30元，问应如何安排生产A 、B 两种型号的演出服的套数，才能使获得的总利润最大？最大的总利润是多少元？

解析：（１） ①224+a 或a

18 ②a

a 18224=+解得6=a （２）设生产A 型演出服x 套，依题意得

506≤-+x x ，解得42≤x 。W 利润＝()150010503040+=-+x x x W 利润是x 一次函数，利用一次函数的增减性

∵010 =k

∴W 随x 的增大而增大，

∵42≤x ，

∴当42=x 时，W 利润有最大值＝192015004210=+?

例２某房地产开发公司计划建A 、B 两种户型的住房共80套，该公司所筹

资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如下表：

(1)

(2)该公司如何建房获得利润最大?

(3)根据市场调查，每套B 型住房的售价不会改变，每套A 型住房的售价将会提高a 万元(a >0)，且所建的两种住房可全部售出，该公司又将如何建房获得利润最大?（注：利润=售价-成本）

分析：(1)设A 种户型的住房建x 套，则B 种户型的住房建(80-x )套，根据题意：该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，可列出两个不等式，解不等式组，即可求出x 的取值范围，进而确定x 的正整数值. (2)根据一次函数的增减性解决. (3)要应用分类讨论的数学思想.从而做到不重复不遗漏,注意思维的缜密性。

解析：(1)设A 种户型的住房建x 套，则B 种户型的住房建(80-x )套．

由题意知2090≤25x +28(80-x )≤2096

48≤x ≤50

∵ x 取非负整数， ∴x 为48，49，50．

∴ 有三种建房方案：

A 型48套，

B 型32套；A 型49套，B 型31套；A 型50套，B 型30套

(2)设该公司建房获得利润Ｗ(万元)．

由题意知Ｗ=5x +6(80-x )=480-x

∴ 当x =48时，Ｗ最大=432(万元)

即A 型住房48套，B 型住房32套获得利润最大

(3)由题意知Ｗ=(5+a )x +6(80-x )=480+(a -1)x