泰勒公式及其在解题中的应用
毕业设计（论文）
题目：泰勒公式及其在解题中的应用Title: Taylor formula and its application in solving problems
学院：理学院
专业：信息与计算科学
姓名：罗书云
学号：08102209
指导教师：蔡奇嵘
二零一二年六月
摘要
泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，它的理论方法已成为研究函数极限和估计误差等方面的不可或缺的工具，它集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算方面有着得天独厚的优势，利用它可以将复杂问题简单化，可以将非线性问题化为线性问题，并且能满足相当高的精确度要求。它是微积分中值定理的推广，亦是应用高阶导数研究函数性态的重要工具。泰勒公式在微积分的各个领域都有着重要的应用，而且泰勒公式“化繁为简”的功能在数学领域的研究方面也起到了很大的作用。文章除了介绍了带佩亚诺型余项和拉格朗日型余项的泰勒公式在常用的近似计算、求极限、不等式的证明、判断函数极值上作求解证明外，特别地，对泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断、级数和广义积分敛散性判断、行列式计算等问题的应用上做了详细系统的介绍，并且本文讨论了一种新的证明泰勒公式的方法，进一步将泰勒公式推广到更一般的形式。
关键词：泰勒公式；佩亚诺型余项；拉格朗日型余项；应用
ABSTRACT
Taylor's formula is an important part of mathematical analysis, the theory has become an indispensable tool of the research function limits and estimation error, which embodies the essence of calculus "approximation method", It have an unique advantage in the approximate calculation, it also can make complex issues into simplistic, non-linear problem into a linear problem, and can meet the very high accuracy requirements. It is the promotion of the mean value theorem in calculus, is also an important tool for the application of higher order derivatives of the functional state. Taylor formula in the calculus of the various fields have important applications, and the Taylor formula for complex simple "function in the mathematical field of research has played a significant role. This article in addition introdution Peano remainder and Lagrange remainder term of Taylor formula commonly used in approximate calculation, the limit inequality proof to determine the function extremum for solving prove, in particular, A detailed introduction of the Taylor formula in the application of the function bump and the inflection point judgment, the judgment of convergence and divergence of series and generalized integral, determinant calculation, and the article discusses a new method to prove that the Taylor formula, further Taylor formula to the more general form.
Keywords: Taylor formula; Peano more than; Lagrange remainder; application
东华理工大学毕业设计（论文）目录
目录
1. 绪论 (1)
1.1综述 (1)
1.2泰勒公式的研究背景 (2)
1.3泰勒公式的研究意义 (2)
1.4泰勒公式的研究目的 (2)
1.5本论文所做的工作 (3)
1.6本论文的基本思路与采用的方法 (3)
2. 泰勒公式 (4)
2.1泰勒公式的建立 (4)
2.2泰勒公式的定义 (6)
2.2.1 带有佩亚诺(Peano)型余项的泰勒公式 (6)
2.2.2 带有拉格朗日(Lagrange)型余项的泰勒公式 (7)
3. 泰勒公式的新证明及其推广 (8)
3.1罗尔中值定理的两种推广形式 (8)
3.2泰勒公式的新证明 (10)
3.3泰勒公式的推广 (11)
4. 泰勒公式在解题中的应用 (15)
4.1利用泰勒公式求近似值 (15)
4.2利用泰勒公式求极限 (16)
4.3泰勒公式在判断级数和广义积分的敛散性中的应用 (17)
4.3.1 判断级数的敛散性 (17)
4.3.2 判断广义积分的敛散性 (18)
4.4泰勒公式在判别函数的极值中的应用 (19)
4.5泰勒公式在不等式证明中的应用 (20)
4.6泰勒公式在判断函数凹凸性及拐点中的应用 (22)
4.6.1 判断函数凹凸性 (23)
4.6.2 判别函数拐点 (24)
4.7泰勒公式在行列式计算方面的应用 (25)
结论及展望 (27)
致谢 (28)
参考文献 (29)
东华理工大学毕业设计（论文） 绪论
1. 绪 论
1.1 综述
十七世纪中叶，随着近代微积分的蓬勃发展，极限作为数学中的一个概念也就被明确地提了出来。但是最初提出的极限概念是含糊不清的，相关的许多理论常常难以自圆其说，甚至自相矛盾。极限理论的确立使得数学中出现了暂时混乱的局面，直到十九世纪才有了改善，首次给出极限严格定义的是捷克斯洛伐克的数学家贝尔纳·波尔查诺，但对他来说有点遗憾的是，他的数学著作多半没有受到他同时代的人的重视，他的许多成果等到后来才被人们重新发现，但是此时功劳已经被别人抢占。1820年，法国著名数学家柯西深度研究了极限定义，并创造性地用极限理论把微积分学中的定理加以严格的全面的证明。但柯西的极限定义中应用了描述性的语言“无限的趋近” “随意小”这些词汇，使得计算不够精确。在这一点上后来德国数学家魏尔斯特拉斯先生给出了精确的“δε-”方法，并且获得了圆满的解决。至此，极限概念和极限理论才被完全地确定了下来。
由于近代微积分的蓬勃发展以及函数的极限的重要地位，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒、笛卡尔、费马、巴罗、沃利斯等人作出了具有代表性的工作，于是泰勒公式应运而生了。泰勒公式的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算方面有着得天独厚的优势，利用它可以将复杂问题简单化，可以将非线性问题化为线性问题，并且能满足相当高的精确度要求，泰勒公式在微积分的各个领域都有着重要的应用。泰勒公式是18世纪英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的。泰勒将函数展开成级数从而得到了泰勒公式。对于一般函数)(x f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式
n n n x x x f n x x x f x x x f x f x T ))((!
1))((''!21))((')()(00)(200000-++-+-+= 称为函数)(x f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数)(x f 在点0x 上存在直至n 阶的导数，则有
))(()()(0n n x x x T x f -+=ο
即
))(())((!
1))((''!21))((')()(000)(200000n n n x x x x x f n x x x f x x x f x f x f -+-++-+-+=ο
称为)(x f 在点0x 处泰勒公式。
众所周知， 泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断级数和广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。
1.2 泰勒公式的研究背景
在数学史上，泰勒公式起源于牛顿插值的有限差分法。1715年泰勒出版的《增量法及其逆》一书中载有现在微积分教程中以他名字命名的一元函数的幂级数展开公式，当时是他通过对格雷戈里—牛顿插值公式求极限而得到的。但是他的成果被同时代的很多人所忽视，直到1755年，欧拉把泰勒级数应用于他的“微分学”时才认识到其价值，后来拉格朗日用带余项的级数作为其函数理论的基础，从而进一步确认了泰勒级数的重要地位，泰勒也以函数的泰勒展开而闻名于后世。
泰勒公式在数值微积分中起着非常重要的作用，泰勒公式“化繁为简”的功能在数学研究方面也发挥了很大的作用。关于泰勒公式的应用，已有许多专家学者对它产生了浓厚的兴趣，它们对某些具体的题目作出了具体的解法，如证明不等式、求极限、判断函数凹凸性和敛散性、判别函数的极值、判断函数凹凸性及拐点、求渐近线、界的估和近似值的计算等等。
虽然泰勒公式应用到各个数学领域很多，但同样也还有很多方面学者很少提及，因此在泰勒公式及其在解题中的应用方面我们有研究的必要，并且有着相当大的空间。
1.3 泰勒公式的研究意义
泰勒公式是一元微积分的一个基本理论，不仅在理论上占有重要地位，同时在近似计算、极限计算、函数性质的研究等方面也有重要应用，并且也是研究分析数学的不可或缺的工具。
由于很多函数都能用泰勒公式来表示，并且研究函数近似值式和判断级数收敛性的问题又要借助于泰勒公式。因此泰勒公式在数学实际应用中也是一种非常重要的应用工具，我们必须掌握它，以便更好更方便的研究一些复杂的函数、解决更多实际的数学问题。
1.4 泰勒公式的研究目的
探索泰勒公式及其应用的新方法，借助泰勒公式的广泛应用，将泰勒公式的知识
东华理工大学毕业设计（论文）绪论
应用到数学解题的各个方面和领域中去，得出泰勒公式在数学各方面的应用和解求方法的简便性。
1.5 本论文所作的工作
由于泰勒公式在数学领域里的重要性，本论文将简单介绍泰勒公式及其各类型余项的泰勒公式展开式，简单讨论带有佩亚诺余项和带有拉格朗日余项的泰勒公式及其一些基本的在解题中应用的实际方法，同时也讨论了一种新的证明泰勒公式的方法，并将其作了进一步的推广。
1.6 本论文的基本思路与采用的方法
将带有佩亚诺型余项和带有拉格朗日余项的泰勒公式应用到求极限、行列式、函数极值、近似值等实际的数学问题中去，通过分析比较得出最简捷的解题方法。
东华理工大学毕业设计（论文） 泰勒公式
2. 泰勒公式
2.1 泰勒公式的建立
在研究函数的局部性态及对其进行计算时，往往由于函数的表达式比较复杂，给研究和计算带来了很大的困难，于是就提出一种想法：能否用一个计算简便而又能高度逼近的函数来代替原来复杂的的函数呢？而在所有的函数中最简单、最好算的莫过于多项式函数。因此为了更好更方便的研究一些复杂的函数自然而然地就会考虑到在局部范围内能否用多项式函数来逼近所研究的函数。如果能，那么这个多项式要如何给出呢？
在学习导数和微分概念时，若函数)(x f 在0x 处可导，则有
)(x f =)(0x f +))((00'x x x f -+)(0x x -ο
即在点0x 附近，用一次多项式)(0x f +))((00'x x x f -逼近函数)(x f ，但是在很多场合用一次多项式逼近函数是不够的，往往需要用二次或二次以上的多项式去逼近函数并要求误差为))((0n x x -ο。
因此现在需要解决的问题是：①如何提高精度？②如何估计误差？
令=)(01x P )(0x f +))((00'x x x f -为x 的一次多项式，其特点是：
)()(001x f x p =
)()(0'0'1x f x p =
为此我们考察任意n 次多项式)(x p n ，要求:
),()(),()(0'0'00x f x p x f x p n n == …,)()(00)(x f x p n n n =
令
n n n x x a x x a x x a a x p )()()()(0202010-++-+-+=
逐次求它在点0x 处的各阶导数，得到
=)('x p n 10021)()(2--++-+n n x x na x x a a
东华理工大学毕业设计（论文） 泰勒公式
=)("x p n 20)()1(!22---++n n x x a n n a
………
=)()(x p n n n a n !
=0a )()(00x f x p n =，)()(0'0'1x f x p a n
==， )(!21)(!210"0"2x f x p a n ==，…，)(!
1)(!10)(0)(x f n x p n a n n n n == 故
n n n x x x f n x x x f x x x f x f x p ))((!
1))((!21))((')()(00)(200"000-++-+-+= 接下来将要对余项进行估计，令)()()(x p x f x R n n -=为余项，则有
=)(0x R n 0)()('0)(0===x R x R n n n
=-+10)()(n n x x x R 0)()()(100---+n n n x x x R x R =n
n x n R ))(1()(01'1-+ξξ(0x <1ξ = 0)(2)1()()(00)()(--+-x n x R R n n n n n n ξξ =)!1()()1(++n R n n ξ (0x <ξ =-+10) ()(n n x x x R )!1()()1(++n R n n ξ(0x <ξ )1(0)1()()! 1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ(0x <ξ 10)!1()(+-+≤n n x x n M x R ))(()(0n n x x x R -=∴ο （0x x →） 所以有 +-+-+=200"000))((! 21))((')()(x x x f x x x f x f x f ))(())((!1000)(n n n x x x x x f n -+-+ο 上式即为)(x f 在0x 处的n 阶泰勒公式。 2.2 泰勒公式的定义 泰勒公式按其不同的的余项分可为两类，一类是定性的，一类是定量的，它们的本质相同，但性质各异。 定性的余项为佩亚诺型余项0(())n o x x -，仅表示余项是0()n x x -，即当)(0x x →时高阶的无穷小。 定量的余项为拉格朗日型余项10)1()()! 1()(++-+n n x x n f ξ（ξ也可以写成00()x x x θ+-，010<<θ），定量的余项一般用于对逼近误差进行具体的计算或估计。 2.2.1 带有佩亚诺(Peano)型余项的泰勒公式 定理2.1 若函数()f x 在点0x 的某邻域存在直至n 阶导数, 则对此邻域内的点 x 有 n n x x x f n x x x f x x x f x f x f ))((!1))((!21))((')()(00)(200"000-++-+-+= ))((0n x x -+ο (2-1) 其中，))(()(0n n x x x R -=ο称佩亚诺余项，(2-1)式称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式。 东华理工大学毕业设计（论文） 泰勒公式 当00x =时, )()0(! 1)0(!21)0(')0()()(2"n n n x x f n x f x f f x f ο+++++= (2-2) (2-2)式称为（带佩亚诺余项的）麦克劳林(Maclaurin )公式。 2.2.2 带有拉格朗日(Lagrange)型余项的泰勒公式 定理2.2 若函数()f x 在[b a ,]上存在直至n 阶连续导数, 在（b a ,）内存在直至（n +1）阶导数，则对任意给定的],[,0b a x x ∈，至少存在一点ξ∈（b a ,），使得 n n x x x f n x x x f x x x f x f x f ))((! 1))((!21))((')()(00)(200"000-++-+-+= 10)1())(()! 1(1++-++n n x x f n ξ (2-3) 其中，10)1())(()! 1(1)(++-+=n n n x x f n x R ξ称为拉格朗日余项，(2-3)式称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式。 当00x =时， 1)1()(2")()! 1(1)0(!1)0(!21)0(')0()(++++++++=n n n n x x f n x f n x f x f f x f θ (2-4) 其中)(00x x x -+=θξ，10<<θ，(2-4)式称为（带拉格朗日余项的）麦克劳林公式。 注意到当n =0 时，有 ))(()()(00'0x x x f x f x f -=- 此式即为拉格朗日中值公式，所以，泰勒定理可以看作是拉格朗日中值定理的推广。 东华理工大学毕业设计（论文） 泰勒公式的新证明及其推广 3. 泰勒公式的新证明及其推广 定理3.1 设函数()f x 在)(0x U 内存在直至（n +1）阶连续导数,那么对任意给定 的)(00x U x ∈，有 )())((! 1))((''!21))((')()(00)(200000x R x x x f n x x x f x x x f x f x f n n n +-++-+-+= 这里)(x R n 称为()f x 在0x 的n 次泰勒余项，简称泰勒余项，当)(x R n =))((0n x x -ο时称为佩亚诺余项，)(x R n =10)1())(()! 1(1++-+n n x x f n ξ时称为拉格朗日余项，其中ξ在0x 与x 之间。本文首先探寻得到了罗尔中值定理的两种推广形式，然后利用它得到了一种新的证明泰勒公式的方法，并且对泰勒公式作了进一步的推广。 3.1 罗尔中值定理的两种推广形式 引理3.1 假设函数()f x 满足： （1）在[b a ,]上存在直至n 阶连续导数； （2）在（b a ,）内存在直至（n +1）阶导数； （3）)()(b f a f =，并且0)()()()('''====a f a f a f n ； 那么在（b a ,）内至少存在一点t ,使得0)()1(=+t f n 。 证：在条件（3）中仅就)()(b f a f =，并且0)()()()('''====a f a f a f n 的情形给出证明, 而后一情形可类似地证明。 由假设可知在)(x f 在[b a ,] 上连续且可导, 且)()(b f a f =, 依罗尔定理可知道在（b a ,）内至少存在一点1ξ,使得0)(1'=ξf ,注意到)('x f 在[b a ,] 上也连续且可 东华理工大学毕业设计（论文） 泰勒公式的新证明及其推广 导,0)(')(1'==ξf a f , 再依罗尔定理知在（1,ξa ）内至少存在一点2ξ,使得)(''2ξf =0，再结合假设条件,反复使用罗尔定理（n -2）次, 可得)()(x f n 在[n a ξ,]上连续,在（n a ξ,）内可导, 且)()(a f n =)()(n n f ξ=0， 故知在（n a ξ,）内至少存在一点t ,使得0)()1(=+t f n 。 引理3.2 假设函数()f x 满足： （1）在[b a ,]上存在直至n 阶连续导数； （2）在（b a ,）内存在直至（n +1）阶导数； （3）)()(b f a f =，并且0)()()()('''====a f a f a f n ； 那么对任意常数λ，在（b a ,）内至少存在一点t ,使得)()1(t f n ++0)(=t f n λ。 证：由假设可类似引理3.1前面部分的证明, 连续n 次使用罗尔定理则可知在 （b a ,） 内至少存在一点n ξ, 使得)()(n n f ξ=0。 于是对任何常数λ, 函数x n e x f x H λ)()()(=在[n a ξ,]上连续，在（n a ξ,）内可导, 且0)()(==n H a H ξ,依罗尔定理可知在（b a ,）内至少存在一点t ,使得0)('=t H ，注意到在（n a ξ,）内， =)('x H x n e x f λ)()1(++x n e x f λλ)()(=[)()1(x f n ++)()(x f n λ]x e λ 从而有 [)()1(t f n ++)()(t f n λ]t e λ=0 即 )()1(t f n ++)()(t f n λ=0 显然引理3.1是引理3.2的一种特殊情形（0=λ）。 3.2 泰勒公式的新证明 已知泰勒公式：设函数()f x 在)(0x U 内存在直至（n +1）阶连续导数,那么对任意的)(00 x U x ∈，有 +-+-+=200"000))((! 21))((')()(x x x f x x x f x f x f )())((! 100)(x R x x x f n n n n +-+ (3-1) 这里)(x R n =10)1())(()! 1(1++-+n n x x f n ξ，其中ξ在0x 与x 之间。 证：由假设知对任意的)(00x U x ∈，不妨设 +-+-+=200"000))((! 21))((')()(x x x f x x x f x f x f 1000)()())((! 1+-+-+n n n x x k x x x f n (3-2) 那么有 n n x t x f n x t x f x t x f x f t f t F ))((!1))((!21))((')()()(00)(200"000--------= 10)(+--n x t k 在[x x ,0](或者[0,x x ])上存在直到（n +1）阶连续导数，且注意到(3-2)式，有 0)()(0==x F x F 并且 东华理工大学毕业设计（论文） 泰勒公式的新证明及其推广 )('0x F === )(''0x F )(0)(x F n = 0 依据引理3.1可知存在ξ，使得0)()1(=+ξn F ，其中ξ在0x 与x 之间，而 )!1()()()1()1(+-=++n k t f t F n n 故有 0)!1()()()1()1(=+-=++n k f F n n ξξ 所以k = )()!1(1)1(ξ++n f n ,代入(3-2)中即可知结论成立。 3.3 泰勒公式的推广 定理3.2 设)(x f ，)(x g 在)(0x U 内存在直至（n +1）阶连续导数，且 )('0x g =)(''0x g = …=)(0)(x g n =0 ，0)()1(≠+x g n ，)(00 x U x ∈， 那么对任意的)(00x U x ∈有 +-+-+=2 00"000))((!21 ))((')()(x x x f x x x f x f x f )())((!100)(x R x x x f n n n n +-+ (3-3) 这里)]()([)() ()(0)1() 1(x g x g g f x R n n n -=++ξξ，ξ在0x 与x 之间。 证：由假设可知对任意的)(00x U x ∈，都有 )()(x g k -)(0)(x g k ≠ （k =0,1,2, …,n ） 为避免与引理3.1矛盾，假设 +-+-+=200"000))((! 21))((')()(x x x f x x x f x f x f )]()([))((! 1000)(x g x g k x x x f n n n -+-+ （3-4） 那么由假设知 ------=200"000))((! 21))((')()()(x t x f x t x f x f t f t F )]()([))((! 1000)(x g t g k x t x f n n n ---- 在[x x ,0](或者[0,x x ])上存在直到（n +1）阶连续导数,且 0)()(0==x F x F 并且 )('0x F === )(''0x F )(0)(x F n = 0 依据引理3.1可知存在ξ，使得0)()1(=+ξn F ，其中ξ在0x 与x 之间，注意到 )()()()1()1()1(t kg t f t F n n n +++-= 结合0)()1(≠+ξn g ，则有) ()()1()1(ξξ++=n n g f k ，代入（3-4）式即可知定理3.2成立。 显然当)1(0)()(+-=n x x x g 时，由于 )(0x g =0，)!1()()1(+=+n x g n 东华理工大学毕业设计（论文） 泰勒公式的新证明及其推广 故定理3.1仅是定理3.2中)1(0)()(+-=n x x x g 的情形。 定理3.3 设)(x f ，)(x g 在)(0x U 内存在直至（n +1）阶连续导数，且 )('0x g =)(''0x g = …=)(0)(x g n =0 若对常数λ有 0)()1(≠+x g n ，且0)()()()1(≠++x g x g n n λ，)(00 x U x ∈ 那么对任意的)(00 x U x ∈有)())((! 1))((!21))((')()(00)(200"000x R x x x f n x x x f x x x f x f x f n n n +-++-+-+= 这里)]()([) ()()]()([)()(0)()1(0)()()1(x g x g g g x f f f x R n n n n n n -+-+=++ξλξξλξ ，ξ在0x 与x 之间。 证：由假设可知对任意的)(00x U x ∈，都有0)()1(≠+x g n ，从而可知有 )()(x g k -)(0)(x g k ≠ 0（k =0,1,2, …, n ） 为避免与引理3.1矛盾，设当)(00x U x ∈时 +-+-+=200"000))((! 21))((')()(x x x f x x x f x f x f )]()([))((! 1000)(x g x g k x x x f n n n -+-+ (3-5) 那么由假设知 ------=200"000))((! 21))((')()()(x t x f x t x f x f t f t F )]()([))((! 1000)(x g t g k x t x f n n n ---- 在[x x ,0](或者[0,x x ])上存在直到（n +1）阶连续导数,且 0)()(0==x F x F 并且 )('0x F === )(''0x F )(0)(x F n = 0 依据引理3.2可知对常数λ，存在ξ，使得 0)()()()1(=++ξλξn n F F （ξ在0x 与x 之间） （3-6） 而 )()()()1()1()1(t kg t f t F n n n +++-= )()()()()()(t kg t f t F n n n -= 由（3-6）式有 0)]()()([)()()(0)()()1()1(=--+-++ξξλξξn n n n n kg x f f kg f 即 ) ()()]()([)()()1(0)()()1(ξλξξλξn n n n n g g x f f f k +-+=++ （0)()()()1(≠++ξλξn n g g ） 代入（3-5）即可知定理3.3成立，显然定理3.2是定理3.3中0=λ时的情形。 东华理工大学毕业设计（论文） 泰勒公式在解题中的应用 4. 泰勒公式在解题中的应用 4.1 利用泰勒公式求近似值 当要求的算式不能得出它的准确值时，即只能求出近似值时，这时泰勒公式是解决这种问题的一个好方法。 例1 计算e 准确到910-。 解：利用 12)!1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ （10<<θ） 当1=x 时有 )! 1(!1!2111++++++=n e n e θ 故)! 1(3)!1()1(+<+=n n e R n θ，显然当n =12时，可得718281828.2≈e 。 例2 计算ln 1.1准确到510-。 解：由 1 1 132)1))(1()1()1(32)1ln(++-++-+-+++-=+n n n n n x n x n x x x x x θ (0<θ<1,x > -1) 要计算ln 1.1 = ln (1+0.1),可取0x =0.1，为了使误差不超过0.00001,则 11 11111.0) 1(1.0)1)(1(1.0)1)(1()1(++++++<+<++<++-n n n n n n n n x n x n x θθ 00001.01.01≤∴+n ，解得4≥n 。 因此，取n =4,有 ≈-+-≈4 )1.0(3)1.0(2)1.0(1.01.1ln 4 320.095308 4.2 利用泰勒公式求极限 对于待定型的极限问题，一般可以利用洛比达法则来求解，但是，对于一些求导比较繁琐，计算复杂，特别是要多次使用洛比达法则的情况，利用泰勒公式求极限会简单很多。利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并且采用带佩亚诺型余项的泰勒公式。当极限式为分式时，一般要求分子和分母展成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限。 例3 求极限 x e x x x x o x 22 2 sin )(cos 1122lim -+-+→ 。 解：此题若采用洛必达法则求解, 则十分麻烦, 因而采用下述解法： 由泰勒公式知 )(!2) 12 1 (21211)1(14422122x x x x x ο+-++=+=+ )(!21cos 2 2 x x x ο+-= )(1222x x e x ο++= 又因为当0→x 时， sin 2x ≈2x ∴原式 = lim 0→x 22224422 )(1!21)(81 21 112x x x x x x x x ??????+---??????+-+-+οο = lim 0→x )(2 3)(814444 x x x x οο+-+ = -12 1 。 例 4 用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式，求极限 x x x x x 30sin cos sin lim -→ 。 解：当0→x 时，sin x 3≈3x ，由泰勒公式知 )(!3sin 33 x x x x ο+-= )(!2cos 33 x x x x x ο+-= 摘要：泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，是一种非常重要的数学工具。它集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用。本文通过对泰勒公式的证明方法进行介绍，归纳整理其在求极限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用，从而进一步加深对泰勒公式的认识。 关键词：泰勒公式，佩亚诺余项，拉格朗日余项，验证，应用 绪论 随着近代微积分的发展，许多数学家都致力于相关问题的研究，尤其是泰勒，麦克劳林、费马等人作出了具有代表性的工作。泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的。泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到 n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式 () 2 0000000()()() ()()()()(),1! 2! ! n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+ -+ -++ - 称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有 0()()(()),n n f x T x x x ο=+- 即() 2 00000000()() ()()()()()()(()).2! ! n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+ -++ -+- 称为泰勒公式. 众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，且有很高的精确度，在微积分的各个方面都有重要的应用。它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。 一．摘要 (3) 前言 (3) 二、泰勒公式极其极其证明........................ (3) （一）带有皮亚诺型余项的泰勒公式 (3) （二）带有拉格朗日型余项的泰勒公式 (4) （三）带有柯西型余项的泰勒公式 (5) （四）积分型泰勒公式 (6) （五）二元函数的泰勒公式 (7) 三、泰勒公式的若干应用 (8) （一）利用泰勒公式求极限 (8) （二）利用泰勒公式求高阶导数 (9) （三）利用泰勒公式判断敛散性 (10) （四）利用泰勒公式证明中值定理 (12) （五）利用泰勒公式证明不等式 (13) （六）利用泰勒公式求近似和值误差估计 (15) （七）利用泰勒公式研究函数的极值 (16) 四、我对泰勒公式的认识 (16) 参考文献 (17) 英文翻译 (17) Taylor 公式的证明及应用 【摘要】数学中的著名的公式都是一古典的数学问题，它们在数学，化学与物理领域都有很广泛的运用。在现代数学中Taylor 公式有着重要地位，它对计算极限，敛散性的判断，不等式的证明、中值问题及高阶导的计算以及近似值的计算等方面都有很大的作用。在本文中，我将谈到关于公式的几种形式及其证明方法并对以上几个方面进一步的运用，和我对几者之间的一些联系和差异的看法。并通过具体事例进行具体的说明相关运用方法 【关键词】泰勒公式 佩亚诺余项 拉格朗日余项 极限 级数 1、常见Taylor 公式定义及其证明 我们通常所见的Taylor 公式有皮亚诺型、拉格朗日型、柯西型与积分型，还有常用的二元函数的Taylor 公式和高阶函数的Taylor 公式。 定义：设函数存在n 阶导数，由这些导数构成n 次多项式，称为函数在该点处的泰勒多项式各项系数称为泰勒系数。 1.1首先是带皮亚诺型余项的Taylor 公式： 若函数f 在点0x 存在且有n 阶导数，则有0()()(())n n f x T x x x =+ο-即 "' 200000() ()()()()()2! f x f x f x f x x x x x =+-+-+? ()00() ()! n n f x x x n +-0(())n x x +ο-. (2) 其中()n T x 是由这些导数构造的一个n 次多项式， "()' 2 0000000()()()()()()()()2!! n n n f x f x T x f x f x x x x x x x n =+-+-+?+- （3） 称为函数f 在点0x 处的Taylor 多项式，()n T x 的各项系数 ()0() !k f x k (1,2,,)k n =?称为Taylor 系数。从上易知()f x 与其Taylor 多项式()n T x 在点0x 有相同的函数值和相同 泰勒公式的证明及其应用 数学与应用数学专业胡心愿 [摘要]泰勒公式的相关理论是函数逼近论的基础。本文主要探索的是泰勒公式的一些证明方法，并对不同的证明方法进行相应的比较分析，在此基础上讨论泰勒公式在证明不等式、求函数极限、求近似值、求行列式的值、讨论了函数的凹凸性，判别拐点，判断级数敛散性等方面的应用.本文还针对多元函数的泰勒公式的推导和应用做了简单的论述. [关键词]泰勒公式；不等式；应用； Proof of Taylor's Formula and Its Application Mathematics and Appliced Mathematics Major HU Xin-yuan Abstract: The theory about Taylor's Formula is the basic content of Approximation Theory . What this paper explores is some methods that proof the Taylor's Formula, and the paper analyse and compare them. On that basis, the paper discuss the application of Taylor's Formula in some respects，such as Inequality proof, functional limit, approximate value, determinant value, convexity-concavity of function, the decision of inflection point, divergence of the series.The paper explore the derivation of Taylor's Formula of the function of many variables and its application. Key words:Taylor's Formula;inequality;application 泰勒公式及其应用 摘要 文章简要介绍了泰勒公式的证明及其推导过程，详细讨论了泰勒公式在最优化理论领域的应用，分别讨论了泰勒公式在理论证明和算法设计上面的应用，并用简单的算例加以说明。 关键词：泰勒公式，最优化理论，应用 一、泰勒公式 1.1 一元泰勒公式 若函数)(x f 在含有x 的开区间),(b a 内有直到1+n 阶的导数，则当函数在此区间内时，可展开为一个关于)(0x x -的多项式和一个余项的和： 1 0)1(00)(200000)()! 1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-''+-'+=n n n n x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 其中=)(x R n 10)1()()! 1()(++-+n n x x n f ξ ξ在x 和0x 之间的一个数，该余项)(x R n 为拉格朗日余项。 1.1.1 泰勒公式的推导过程 我们知道α+-'+=))(()()(000x x x f x f x f ，其在近似计算中往往不够精确，于是我们需要一个能够精确计算的而且能估计出误差的多项式： n n x x a x x a x x a a x p )()()()(0202010-++-+-+= 来近似表达函数)(x f ； 设多项式)(x p 满足)()()()(),()(0)(0)(0000x f x p x f x p x f x p n n ='='= 因此可以得出n a a a 10,.显然，00)(a x p =，所以)(00x f a =；10)(a x p ='，所以 )(01x f a '=；20!2)(a x p =''，所以 ! 2)(02x f a ''=n n a n x p !)(0)(=，所以有!)(0)(n x f a n n = 所以，n n x x n x f x x x f x x x f x f x p )(! )()(!2)())(()()(00)(200000-++-''+-'+= 1.1.2 泰勒公式余项的证明 我们利用柯西中值定理来推出泰勒公式的余项（拉格朗日余项）： 设)()()(x p x f x R n -= 于是有0)()()(000=-=x p x f x R n 所以有0)()()()(0)(000===''='=x R x R x R x R n n n n n 根据柯西中值定理可得： n n n n n n n x n R x x x R x R x x x R ))(1()(0)()()()()(011)1(00)1(0-+'=---=-++ξξ 1ξ是在x 和0x 之间的一个数； 对上式再次使用柯西中值定理，可得： 泰勒公式及其应用 数学学院数学与应用数学专业 2009级杨立 指导教师吴春 摘要:泰勒公式以一种逼近的思想成为数学分析中的一个重要知识，在分析和研究数学问题中有着重要的作用。本文研究了利用泰勒公式证明微分中值定理，求函数的极限，进行近似计算，求函数的高阶导数和偏导数等方面的应用，恰当的运用泰勒公式能够给我们的解题带来极大的方便。 关键词：泰勒公式；微分中值定理；极限；高阶导数；偏导数 Abstract:Taylor formula is an important knowledge of mathematics analysis in an approximation of the thought, and it plays an important role in the analysis and study of mathematical problems. This paper studies the application of the Taylor formula in proving differential mean value theorem, the limit of function, approximate calculation, the application of high order derivative for function and partial derivative, and using Taylor formula appropriate can bring great convenience to our problem. Keywords:Taylor formula; approximate calculation; limit; higher derivative; partial derivative 引言 泰勒公式最早是以泰勒级数的形式出现在泰勒1715年出版的著作《增量及其逆》中，但在该书中却没有给出具体的证明，直到19世纪由柯西给出了现在的形式及其严格的证明。泰勒公式是一种逼近的思想，集中体现了逼近法的精髓，可以将有理分式函数﹑无理函数和初等超越函数等复杂函数用简单的多项 《泰勒公式及其应用》的开题报告 《泰勒公式的验证及其应用》的 关键词：泰勒公式的验证数学开题报告范文中国开题报告 1．本课题的目的及研究意义 目的：泰勒公式集中体现了微积分、逼近法的精髓，在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用。泰勒公式是非常重要的数学工具，现对泰勒公式的证明方法进行介绍，并归纳整理了其在求极限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用。 研究意义：在初等函数中，多项式是最简单的函数，因为多项式函数的的运算只有加、减、乘三种运算。如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数以一种“逼近”的思想，用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义。对泰勒公式的研究就是为了解决上述问题的。 2．本课题的研究现状 数学计算中泰勒公式有广泛的应用，需要选取点将原式进行泰勒展开，如何选取使得泰勒展开后，计算的结果在误差允许的范围内，并且使计算尽量简单、明了。泰勒公式是一元微积分的一个重要内容，不仅在理论上有重要的地位，而且在近似计算、极限计算、函数性质的研究方面也有重要的应用。对于泰勒公式在高等代数中的应用，还在研究中。 3．本课题的研究内容 对泰勒公式的证明方法进行介绍，并归纳整理了其在求极 限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用。 本课题将从以下几个方面展开研究： 一、介绍泰勒公式及其证明方法 二、利用泰勒公式求极限、证明不等式、判断级数的敛散性、证明根的唯一存在性、判断函数的极值、求初等函数的幂级数展开式、进行近似计算、求高阶导数在某些点的数值、求行列式的值。 三、结论。 4．本课题的实行方案、进度及预期效果 实行方案： 1.对泰勒公式的证明方法进行归纳； 2.灵活运用公式来解决极限、级数敛散性等问题； 3.研究实际数学问题中有关泰勒公式应用题目，寻求解决问题的途径。 实行进度： 研究时间为第8 学期，研究周期为9周。 1．前期准备阶段： 收集有关信息进行分析、归类，筛选有价值的信息，确定研究主题；制定课题计划，学习理论。 2．研究阶段：2010年12月— 2011 年4 月 3．第一阶段：初期（2010年12月1日- 2011年3月15 日） 第二阶段：中期（2011年3月16 日- 2011年4月15日）第三阶段：结题（2011年4月16日- 2011年4月30日） 题目泰勒公式的证明及推广应用 一、选题背景和意义 在初等函数中，多项式是最简单的函数。因为多项式函数的运算只有加、减、 乘三种运算。如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义。 通过对数学分析的学习，我感觉到泰勒公式是高等数学中的重要内容，在各个 领域有着广泛的应用，例如在函数值估测及近似计算，用多项式逼近函数，求函数的极限和定积分不等式、等式的证明，求函数在某点的高阶导数值等方面。 除此以外，泰勒公式及泰勒级数的应用，往往能峰回路转，使问题变得简单易解。 二、国内外研究现状、发展动态 本人以1999—2010十一年为时间范围，以“泰勒公式”、“泰勒公式的应用”为关键词，在中国知网以及万方数据等数据库中共搜索到30余篇文章，发现国内外对泰勒公式的其研究进展主要分配在以下领域： 一、带不同型余项泰勒公式的证明； 二、泰勒公式的应用举例。 三、研究内容及可行性分析 在高等数学中，泰勒公式占有重要的地位，并以各种形式出现而贯穿全部内容，因此掌握好泰勒公式是学习高等数学的关键一环。本论文将主要研究泰勒公式的证明及其在其他方面的应用。 本文将通过对泰勒公式的探讨，给出了泰勒公式在其它方面的应用，,显现出泰勒公式的应用之广泛。希望其研究结果在求极限等问题时可以提供一些方法的参考，也同时能给相关学科研究人员在解决比较复杂的不定式极限问题时能有一定的思路指导。 接下来我将分两方面的应用来阐述本次论文的主要内容。 一、带不同型余项泰勒公式的证明： 本次证明将涉及到三种不同余项的泰勒公式的证明，即： 1.带皮亚诺余项的泰勒公式； 2.带拉格朗日余项的泰勒公式； 3.带积分型余项的泰勒公式； 二、泰勒公式的应用： 本次论文将涉及到泰勒公式在以下七个方面的应用： 1、泰勒公式在极限计算中的应用； 在函数极限运算中,不定式极限的计算始终为我们所注意,因为这是比较困难的一类问题。计算不定式极限我们常常使用洛必达法则或者洛必达法则与等价无穷小结合使用。但对于有些未定式极限问题若采用泰勒公式求解,会更简单明了。我将在论文中就例题进行探讨。 2、泰勒公式在判定级数及广义积分敛散性中的应用； 目录 摘要 (1) 英文摘要 (2) 第一章绪论 (3) 第二章泰勒公式 (5) 1.1泰勒公式的意义 (5) 1.2泰勒公式余项的类型 (5) 1.3泰勒公式 (6) 第三章泰勒公式的实际应用 (7) 2.1利用泰勒公式求极限 (7) 2.2利用泰勒公式进行近似计算 (8) 2.3在不等式证明中的应用 (9) 2.4泰勒公式在外推上的应用 (10) 2.5求曲线的渐近线方程 (11) 2.6泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用 (13) 2.7在广义积分敛散性中的应用 (14) 2.8泰勒公式在关于界的估计 (15) 2.9泰勒公式展开的唯一性问题 (15) 结束语 (16) 致谢 (17) 参考文献 (18) 第一章 绪论 近代微积分的蓬勃发展，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒，笛卡尔，费马，巴罗，沃利斯等人作出了具有代表性的工作.泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的.泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式 ()20000000()()()()()()()(),1!2!! n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+-+-++- 称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()(()),n n f x T x x x ο=+-即 ()200000000()()()()()()()()(()).2!! n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-++-+- 称为泰勒公式. 众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用. 泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证 附件 7 论文（设计）管理表一 昌吉学院本科毕业论文（设计）开题报告 论文（设计）题目 浅谈泰勒公式及其应用 系（院） 数学系 专业班级 数学与应用数学 B1002 学科 理学 学生 姓名 马尚红 指导教师 姓名 马园媛 学号 1025809043 职称 讲师 一、选题的根据 （ 1、内容包括：选题的来源及意义，国内外研究状况，本选题的研究目标、内容创新点及主 要参考文献等。 2、撰写要求： 宋体、小四号 。） 1. 选题的来源及意义 泰勒公式是数学分析中非常重要的内容， 是一个用函数在某点的信息描述其附近 取值的公式。如果函数足够光滑的话， 在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下， 泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中值。 泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。 泰勒公式的初 衷是用多项 式来近似表示函数在某点周围的情况。比如说，指数函数 e x 在x 0的 附近可以用以 2 3 n 下多项式来近似地表示： e x 1 x x x x 称为指数函数在 0处的 n 阶泰勒 2! 3! n! 展开公式。这个公式只对 0附近的 x 有用， x 离 0越远，这个公式就越不准确。实际 函数值和多项式的偏差称为泰勒公式的余项。对于一般的函数，泰勒公式的系数的选 择依赖于函数在一点的各阶导数值，这个想法的原由可以由微分的定义开始。微分是 函数在一点附近的最佳线性近似： f a h f a f ' a h o h ，其中 o h 是比 h 高 阶 的无穷小。 也就是说 f a h f a f ' a h,或 f x f a f ' a x a .注意到 f x 和 f ' a x a 在a 处的零阶导数和 一阶导数都相同。对足够光滑的函数，如果一个 多 项式在 a 处的前 n 次导数值都与函数在 a 处的前 n 次导数值重合，那么这个多项 式应 该能很好地近似描述函数在 a 附近的情况。对于多元函数，也有类似的泰勒公式。设 a,r 是欧几里得空间 RN 中的开球， f 是定义在 a,r 的闭包上的实值函数，并在 每一点都存在所有的 n 1次偏导数。这时的泰勒公式为：对所有， f x 1 f a x a x x a ，其中的 是多重指标 0 ! x n 1 泰勒公式也是大学数学中的一个重要知识， 由此本文将总结几种泰勒公式的证明 及其应用。其泰勒公式在近似计算，求极限，判断函数凸凹性等方面的应用，除此之 外，它还可应用于行列式，证明不等式，判断无穷级数、无穷积分的收敛性，求函数 导数的中值估计、求曲面的渐进线方程，高阶求导等等。 2. 国内外研究状况 其中的余项也满足不等式：对所有 n 1的 满足 x 本科生毕业设计（论文） （ 2014届） 设计（论文）题目泰勒公式及其在解题中应用 作者周立泉 分院理工分院用数学1001班 指导教师（职称）徐华（讲师） 专业班级数学与应用数学） 论文字数 8000 论文完成时间 2014年4月3日 杭州师范大学钱江学院教学部制 泰勒公式及其在解题中应用 数学与应用数学1001班周立泉指导教师徐华 摘要：泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，它的基础思想是运用多项式来逼近一个已知函数，而该多项式的系数由给定的函数的各阶导数决定．本文主要归纳了其在证明不等式、等式，求极限，求近似值等各方面的应用． 关键词：泰勒公式;数学分析;导数 Taylor Formula and Its Application in Solving Problem Mathematics and Applied Mathematics class 1001 ZhouLiQuan Instructor: XuHua Abstract：Taylor's formula is an important equation of mathematical analysis, it is the basic idea is to use polynomial approximation to a known function, and the polynomial coefficients given by the derivatives of the function determined. This paper describes the method to prove the Taylor formula,summarized in inequalities, find the limit,the approximate value and the other applications. Keyword:Taylor's formula;Mathematical analysis; derivative. Tayloy 公式的唯一性证明 作者：卢晓峰 1. 引理：设0 lim ()0x x g x →=，()g x 在0x 的某邻域内可导，且()g x ' 在0x 处连续。若0()(())n g x x x ο=-，则10()(())n g x x x ο-'=-。 证明： 00001 11 00 000 ()()()()() () lim lim lim lim lim ()()()()()n n n n n x x x x x x x x x x g x g x g x x x g x g x g x x x x x x x x x x x ---→→→→→-''-===------又 0()(())n g x x x ο=-，0 0lim ()()0x x g x g x →== ∴0 0() lim 0()n x x g x x x →=-；0 00 ()lim 0()n x x g x x x →=- ∴0 1 0()lim 0() n x x g x x x -→'=-，即1 0()(())n g x x x ο-'=-。 2. 唯一性证明： ()f x 在0x 处存在n 阶导，设0()()(())n n f x P x x x ο=+-<1>。（其中() n P x 为n 次多项式） 设<1>式中0(())()n x x g x ο-=。易证：()g x 满足引理的条件。 ∴10()(())n g x x x ο-'=-，20()(())n g x x x ο-''=-， ，(1)0()()n g x x x ο-=-。 ∴ ()()() n f x P x g x '''=+， ()()() n f x P x g x ''''''=+， ， (1)(1)(1)()()()n n n n f x P x g x ---=+<2> 对<2>中的所有等式，均取0x x →的极限，则有： 00()()n f x P x ''=，00()()n f x P x ''''=， ，(1)(1)00()()n n n f x P x --= 又 泰勒公式及其应用 摘要 文章简要介绍了泰勒公式的证明及其推导过程，详细讨论了泰勒公式在最优化理论领域的应用，分别讨论了泰勒公式在理论证明和算法设计上面的应用，并用简单的算例加以说明。 关键词：泰勒公式，最优化理论，应用 一、泰勒公式 1.1 一元泰勒公式 若函数)(x f 在含有x 的开区间),(b a 内有直到1+n 阶的导数，则当函数在此区间内时，可展开为一个关于)(0x x -的多项式和一个余项的和： 1 0)1(00)(200000)()!1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-''+-'+=n n n n x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 其中=)(x R n 10)1()()!1() (++-+n n x x n f ξ ξ在x 和0x 之间的一个数， 该余项)(x R n 为拉格朗日余项。 1.1.1 泰勒公式的推导过程 我们知道α+-'+=))(()()(000x x x f x f x f ，其在近似计算中往往不够精确，于是我们需要一个能够精确计算的而且能估计出误差的多项式： n n x x a x x a x x a a x p )()()()(0202010-++-+-+= 来近似表达函数)(x f ； 设多项式)(x p 满足)()()()(),()(0)(0)(0000x f x p x f x p x f x p n n ='='= 因此可以得出n a a a 10,.显然，00)(a x p =，所以)(00x f a =；10)(a x p ='，所以 )(01x f a '=；20!2)(a x p =''，所以 !2)(02x f a ''= n n a n x p !)(0) (=，所以有! )(0)(n x f a n n = 所以，n n x x n x f x x x f x x x f x f x p )(! )()(!2)())(()()(00)(2 00000-++-''+ -'+= 1.1.2 泰勒公式余项的证明 我们利用柯西中值定理来推出泰勒公式的余项（拉格朗日余项）： 设)()()(x p x f x R n -= 于是有0)()()(000=-=x p x f x R n 所以有0)()()()(0) (000===''='=x R x R x R x R n n n n n 根据柯西中值定理可得： n n n n n n n x n R x x x R x R x x x R ))(1()(0)()()()()(011)1(00)1(0-+'=---=-++ξξ 1ξ是在x 和0x 之间的一个数； 对上式再次使用柯西中值定理，可得： 泰勒公式 定理（peano 余项型，洛必达法则法证明） 若()0()n f x 存在, 则0()x x ?∈ ， 0()(,)n f x T x x =+()0()n x x - . ()200000000()()(,)()()()()()2!! n n n f x f x T x x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++- . 0(,)n T x x 叫做f 在0x 的n 次泰勒多项式，也叫f 在0x 的n 次密切（ “切线”）. 证法 洛必达法则法的分析. 按照洛必达法则往证0()()lim 0()n n x a f x T x x x →-=-即可. 记()()()n n R x f x T x =-，0()()n n Q x x x =-， 注意到 (1)()000()()()0n n n n n R x R x R x -==== ， (1)00()()0n n n Q x Q x -=== ，()0()!n n Q x n = ()0()n f x 存在，意味着(1)()n f x -在0()U x 内还可导.允许()0lim ()0n x a n R x Q x →?? ???反复使用洛必达法则1n -次. 证明 连续1n -次使用洛必达法则，得 (1)(1)()()00lim lim ()0()0n n n n x a x a n n R x R x Q x Q x --→→????= ? ?????不断添入0，使结论成为两个函数值之差的比. (1)(1)()0000()()()()lim (1)2() n n n x a f x f x f x x x n n x x --→---=-- (1)(1)()000()()1lim ()0!n n n x a f x f x f x n x x --→??-=-= ?-?? . 注1 即使函数能表成()00()(,)()n n f x P x x x x =+- ，0(,)n P x x 不一定是泰勒多项式. 如1()(),n f x x D x n N ++=∈，由100()()lim lim 0n n n x x f x x D x x x +→→==，故()()(0)n f x x x =→ . 虽然能写成()2()0000n n f x x x x x =+++++ ，但是，根据海因定理，1()()n f x x D x += ，n N +∈仅在0点仅1阶可导(0)0f '=（0的邻域内()f x '无定义）. 故2()0000n n p x x x x =++++ 并不是()f x 在0处的泰勒多项式. 注2 若f 能表成()00()(,)()n n f x P x x x x =+- ，则多项式0(,)n P x x 是唯一的 （不论可导性）. 因为 若 () 00()(,)()n n f x P x x x x =+- ()20102000()()()()n n n a a x x a x x a x x x x =+-+-++-+- （1） 则由（1） 00lim ()x x f x a →=， 反代入（1）式又得 0010 ()lim x x f x a a x x →-=-， 反代入（1）式又得 0010220()[()]lim ()x x f x a a x x a x x →-+-=- 泰勒公式及其应用 佟梅 (渤海大学数学系辽宁锦州121000 中国) 摘要：数学是一门很重要的学科，许多的数学家研究出了各种定理、公式，并且都证实了它们的正确性，应用这些定理公式解决了许多疑难问题，泰勒公式就是其一。泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，它在解决分析中的问题时应用广泛、灵活，也是解决各种数学问题的一个强有力的工具之一，本文对泰勒公式进行了简单的介绍，重点介绍了它的各种应用，作了一个较系统和规律性的分析综述。首先，介绍了泰勒定理及其几种表示形式的泰勒公式，在后面的应用中会应用到。其次，就是本文的重点——泰勒公式的应用，介绍了九个方面，主要包括：研究级数和广义积分的敛散性、利用泰勒公式求极限、近似计算和误差估计、确定和比较无穷小的阶、证明不等式等等，通过许多的例题分析，体现出了泰勒公式在解决数学问题时的重要性和简洁性。 关键词：泰勒公式，极限，误差估计，敛散性，不等式。 Taylor’s formula and its application Tong Mei (Department of Mathematics Bohai University，Liaoning Jinzhou 121000 China) Abstract:Mathematics is a very important discipline. Many mathematicians studied all kinds of theorem and formula, proved their correctness, and applied them to solve a number of difficult problems. Taylor formula is one of them.Taylor’s formula is a important formula in mathematical analysis. It can be used widely and conveniently to solve the problems in analysis. In addition, it is one of powerful tools to solve all kinds of mathematics problems. This article provides a simple introdu ction to Taylor’s formula, emphasizes its various applications, and makes a systematic and inerratic analysis summary. Firstly, this article introduces the Taylor theorem and some Taylor’s formula of different _expression forms, which will be applied later. Next, it is the emphasis of this article -- the application of Taylor’s formula. Here nine aspects are introduced: studying the convergence and divergence of series and the improper integral, using the Taylor’s formnla to calculate limit, the approximate calculation and error estimate, determining and comparing the order of infinitesimals, the application in theorem proof, proving inequality, and so on. Through many example analysis, the importance and conciseness of Taylor’s formula in solving mathematic s questions are well illustrated. Key Words: Taylor’s formula; limit; error estimate ;convergent or divergent; inequality. 第2章 预备知识 前面一章我们介绍了一下泰勒和他的成就，那他的主要杰作泰勒公式究竟在数学中有多大的用处呢？那么从这一章开始我们就要来学习一下所谓的泰勒公式，首先来了解一下它是在什么样的背景下产生的． 给定一个函数)(x f 在点0x 处可微，则有： )()()()(000x x x f x f x x f ?+?'+=?+ο 这样当1< 泰勒公式的几种证明法及其应用 -毕业论文 【标题】泰勒公式的几种证明法及其应用 【作者】张廷兵 【关键词】泰勒公式构造函数法数学归纳法柯西中值定理应用【指导老师】陈波涛 【专业】数学与应用数学 【正文】 1引言 泰勒公式在分析和研究数学问题方面有着重要的应用。但是它的证明大多数是重复运用柯西中值定理来推导，这给初学者从理解到接受有一定的困难。为了给不同层次的学习者理解和接受泰勒公式提供方便。本文研究不同的证明方法，给学习者提供了选择的余地。归根结底，使学习者更好运用泰勒公式，为此就对泰勒公式的应用及技巧的总结。 2 带佩亚诺型余项泰勒公式的证明方法 在初等函数中，最简单的函数就是多项式，对于数值计算和理论分析都很方便。如果将一类复杂的函数用多项式来近似表示出来，其误差又能满足一定的要求。那么，我们就可以表示出此函数。若函数是n次多项式 令 .于是 对任意一个函数，只要函数在a点存在n阶导数，我们就可以写出一个相应的多项式 称为函数在a点的n次泰勒多项式，那么n次泰勒多项式与函数在在点a 的邻域上有什么联系呢,下面的定理回答了这个问题( 定理1[1] 若函数在a点存在n阶导数 ,则 其中 ,则上式就为在a点的泰勒公式, 为泰勒公式的余项. 2.1方法一 证明:将上式改为 ，有 分子是函数 ,分母是函数 .应用n-1次柯西中值定理[2] 其中 其中 其中 (至此已应用了n-1次柯西定理) 当根据右导数定义,有 同法可证: 于是 , 表示余项是佩亚诺型. 证毕. 2.2方法二 证明在的一个邻域内有一阶导数，则存在且在处连续,即有则由极限与无穷小量的关系有: ( 是无穷小量), 又 则 (2—1) 从(2—1)式推出: 比较无穷小量与 = = (因为二阶可导) 又由极限与无穷小量的关系有: 将上边代入(2—1)式: 设 .则在处有阶导数,且设当时仍有: + (2—2) 从(2—2)中推出 比较与 : 泰勒公式及其应用 [摘 要] 文章简要介绍了泰勒公式及其几个常见函数的展开式,针对泰勒公式的应用讨论了九个问题， 即应用泰勒公式求极限，证明不等式，判断级数的敛散性，证明根的唯一存在性,判断函数的极值,求初等函数的幂级数展开式,进行近似计算,求高阶导数在某些点的数值,求行列式的值. [关键词] 泰勒公式；极限；不等式；敛散性；根的唯一存在性；极值;展开式;近似计算;行列式. １ 引言 泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明. ２ 预备知识 定义2.1]1[ 若函数f 在0x 存在n 阶导数,则有 '''200000()() ()()()()1!2! f x f x f x f x x x x x =+-+-+ ()000() ()(())! n n n f x x x o x x n +-+- （1） 这里))((0n x x o -为佩亚诺型余项,称(1)f 在点0x 的泰勒公式. 当0x =0时,（1）式变成)(! )0(!2)0(!1)0()0()()(2'''n n n x o x n f x f x f f x f +++++= ,称此式 为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式. 定义2.2]2[ 若函数 f 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则 ''()' 2 0000000()()()()()()()...()()2!! n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n =+-+-++-+ , （2）这里 ()n R x 为拉格朗日余项(1)10() ()()(1)! n n n f R x x x n ξ++=++,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f 在0x 的泰勒 公式. 当0x =0时,（2）式变成''()' 2(0)(0)()(0)(0)...()2!! n n n f f f x f f x x x R x n =+++++ 称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式. 常见函数的展开式： 12)! 1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ . )()! 12()1(!5!3sin 221 253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x . 24622cos 1(1)()2!4!6!(2)! n n n x x x x x o x n =-+-++-+ . )(1 )1(32)1ln(11 32++++-+-+-=+n n n x o n x x x x x . )(111 2n n x o x x x x +++++=- +-+ +=+2 ! 2)1(1)1(x m m mx x m . 定理 2.1]3[(介值定理) 设函数 f 在闭区间 ],[b a 上连续,且 )()(b f a f ≠,若0μ为介于 )(a f 与)(b f 之间的任何实数,则至少存在一点0x ),(b a ∈,使得泰勒公式的证明及应用
泰勒公式的证明及应用(1)
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