2000年大连理工数学分析试题及解答

2000年大连理工大学硕士生入学考试试题——数学分析

一、从以下的第一到第八题中选取6题解答，每题10分

1． 证明：1()f x x

=

于区间0(,1)δ（其中001δ<<）一致连续，但是于(0,1)内不一

致连续 证明：

01212(1)0,()[1]2

(2)1||()|()()|f x x x f x f x δδδδεδδε<=

利用定义，取，不存在为定值使得从而不难利用反证法得到第二个命题成立

2． 证明：若()[,]f x a b 于单调，则()[,]f x a b Riemann 于内可积

证明：

1101111111

1

11()...[,],m ax 0

(

m ax {()}m in {()})(()())(m ax{()()})

(m ax{()()})i i

i i

n i i i i i n

n

n

i i

i i i i x x x x x x i n

i i i i i n

f x a x x x b a b x x f x f x f x f x f x f x f x f x λλλλλλ---≤≤--≤≤≤≤≤≤==-≤≤?=<<<==-=→-=

-

<--∑∑不妨设单调递增，且：是的一个划分,

必然存在一个划分，使得11111

(m ax{()()})lim

(

m ax {()}m in {()})0i i

i i

i i i n

n

i x x x x x x i f x f x f x f x λ---≤≤?

≤≤≤≤=→--=∑（由于递增，使用二分法的思想，可以使得小于任何数）

所以，，所以可积

3． 证明：Dirichlet 函数：

0,()1,()x f x p

x q q ??

=?=??

为无理数有理数在所有无理点连续，在有理点间断， 证明：

0001000000()0

10[]1m in {||}1(,),|()|()0{,{}},()n N i Z

i i x f x i

N x n x x x f x N

x f x x y y f x εδδεεεε

+

≤≤∈=?>=+=-∈-+≤<≠∈为无理数，对于，,取，显然这样的存在

当所以，在无理点连续

为有理数，。不难找到趋近于的收敛子列：无理数这样显然不连续。

4． 证明：若()(,),(,)f x C a b a b ∈（指上的连续函数），且任意(,)(,)

a b αβ?，()0f x dx β

α

=?，那么()0f x ≡，(,)x a b ∈

证明：

002

000000000()(),(,),()0()()'()()02()0

(,)(,)()()()()(2)()02

2

x a b x x F x f t dt x a b F x F x f x F x f x f x x x x x x x f x f x f x f x dx f x δδ

δδδδδδ++-=

?∈==?≡>-+?∈-+>

?

>

=≠?

?

证明1：构造函数。

因为，可导而且，证明：反证法，不妨设那么，存在的一个小的邻域，使得。矛盾

5． 证明：1

(0,)0,[,)nx n ne δδ∞

-=+∞?>+∞∑于不一致收敛，但是对于于一致收敛

证明：

1

1

1

(1)1

01

(1)(1)0

(1)2

()()()(1)1(1)()11lim ()1()lim ()1(1)

(1)m

nx

m n m

nx

m n m

m x

n x

nx

m n n m x m x

m x

nx

m x

x

n m x m x

x

x

m m x

x

m A x ne

A x ne

e A x ne

n e e

e A x m e

e

m e

e e

m e

e

e A x A x e e -=-=----==--------=----→∞

→∞

=

?

=

?????

=

=+??

--=+

=+

--+

-?==

=

--∑∑∑

∑∑假设：2

12

1

[,),0,()ln(

),,|()()|(1)11

1(2)(0,),,()()

1

(1)

m m nx

m

x

m x

x

e

x N m N A x A x e m e

e

x m N A e

A x m

e e δ

δ

δεεε

δ

ε

--

-∈+∞?>?=?>-<-+-∈+∞?∈=

≠=--所以，一致收敛

所以，非一致收敛

6． 证明：

4

1sin ,0()0,0x x f x x

x ?≠?

=??=?

，在x=0处有连续的二阶导数

证明：

4

3432

230022001sin ,0()0,0111114sin cos ()4sin cos ,0'()()(0)1lim lim sin 0,00111112sin 4cos 2cos sin ,0"()'()'(0)1lim lim (4sin c 0x x x x x x f x x

x x x x x x x x x x x

f x f x f x x x x x x x x x x x x

f x f x f x x x x →→→→?≠?

=??=?

?+-=-≠??=?

-?===?-?---≠=-=--1os )0,0

"(0)"()0x x f f x x ????

?==??=存在，但是，不在连续

7． 利用重积分计算三个半长轴分别为a,b,c 的椭球体的体积

解：三种方法：

2

22

22

1)arcsin

2

212arcsin |

2

2(1)

c

c c

c

c c

a

x C

a

V a z

c ab dz

z ab c

π

++----+-=

+=

=-

==-

???

??

?

222

42

3

cos 2)sin ,[0,1],[0,2),[,]42(1)3

cos sin 3)sin sin ,[0,1],[0,2)cos c c

c c c c

c

c

dz abc

x ar y br r z c c z z z V abrd drdz ab ab dz abc

c

x ar y br r z cr ππθθθπθπ

π

πθ?

θ?θπ?

+-+++---=

=??

=∈=∈-??=?=

==-

=

=??

=∈∈??=??

??

??

?

1212

2

2

2

2

2

,[,]

2222sin 2sin sin 3

43

V abcr d drd abcr drd abc d abc π

π

π

ππππ??θ?π

??π??

π

++

+-∈-===

=???

??

?

8． 计算第二类曲面积分：xdydz ydzdx zdxdy ∑

++?，其中，

,,0,1,,x y z x y z x y z ∑>++=是三角形（），法方向按与轴成锐角为正。

解：（Gauss 定理） 123

1

2

3

1230,,0,10,,0,10,,0,1

132012

00

V

z x y x y y x z z x x y z y z xdydz ydzdx zdxdy dxdydz xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx zdxdy ∑+∑+∑+∑∑∑

∑∑∑=>+=∑=>+=∑=>+=?

++=

=

??++=???++=

??++=??++=??

??

??

??

：：：

二、从9-14题中选4题解答

9．假设122

2...lim ,lim 2

n

n n n a a na a a a n

→∞

→∞

+++==

证明：

证明：Stolz 公式 12121122

2

2

1

2...(2...(1))(2...)

lim

lim

(1)(1)lim

21

2

n

n n n n n n n a a na a a na n a a a na n

n n

n a a n +→∞

→∞

+→∞

++++++++++++=+-+==

+ 利用定义也可以做的

10．计算积分：22

xdy ydx

I x y

Γ

-=

+?

，其中，Γ为包含原点的一条分段光滑闭曲线，取正

方向。

证明：利用Green 公式，不过要注意去掉中间那个极点

1

1

1

12222

22

2

2

2

2

22

222

2

:(

)02cos sin sin cos xdy ydx

y x x y dxdy x y x y

x y

xdy ydx

x y

xdy ydx

d d d x y

π

ππ

θθθθθΓ-ΓΓ-ΓΓ

ΓΓ?

---=

+

=?+++-??=?+-?=

-=

?+?

??

?

?

?

?

单位圆周，方向为正方向

11.计算曲面积分333

S

I x dydz y dzdx z dxdy =

++??

，S 为椭球面

2222

2

2

1x y z a

b

c

+

+

=的外

侧。

证明：

333222

2

2

2

2

2

2

2

22222222

02

2

3()cos sin ,[0,1],[0,2)3(cos sin )3cos sin )3()2

S

V

V

c c I x dydz y dzdx z dxdy x y z dxdydz

x ar y br r z z I ab a r b r z rdrd dz

ab a r b r z rdrd dz

ab dr d πθθθπθθθθθθ-=

++=++=??

=∈∈??=?

=++=++=??

????????

222222

2

2

2

222

2

2

2

2

2

2

2

2

2

(cos sin )3()3()(1)3(1)4

3()16

223(22)

4

15

15

5

c

c c

c

c c c

c

z a b d ab z dz d a b ab z z dz ab z dz

c

c

ab a b c

ab ab a b c ππθθθθ

π

ππππ

----+++=-

+-

+=+=

++?

??

?

?

?

12．设1

1

()0,[1,1],()

1,1,2,3....n n n x C x d x n φφφ->∈-==?，对于任意的c>0，

()[1,][,1]n x c c φ--在一致收敛于0。证明：对于任意()[1,1]g x C ∈-：

lim ()()(0)n n g x x g φ→∞

=

证明：

0001

111

10,()[1,1],[,],()[(0),(0)]

()[1,][,1],,[1,][,1],|()|()()()()()()()()|()()||n n c c n n n n c

c

c n g x C c x c c g x g g x c c N n N x c c x g x x dx g x x dx g x x dx g x x dx

g x x dx g εεεφφεφφφφφε------?>∈-???∈-∈-+--??>∈--?<=

+

+

?

?

?

在一致收敛于0,此时，1

1

1()|(1)m ax{()}

|()()||()|(1)m ax{()}

((0))()()()((0))()|()1|2(1)c

n c

c

c

c c

n n n c

c

c

c n c

x dx c g x g x x dx g x dx c g x g x dx g x x dx g x dx

x dx c εφεεεφφεφφε------<-<<--<

<+-<-?

????

??综上所述，不难得到命题成立

13．证明：一个严格递增函数的间断点只能是第一类间断点

证明：首先，证明左右极限都存在。不妨先证明左极限存在。如果不存在，函数有

界，那么存在两个不同的子列，收敛于不同极限A

然后证明，左极限不等于右极限，否则，根据严格递增不难得到函数在该点是连续的，又和题目矛盾

从而命题成立

14．(,)(,)[,)()(,)f x y a b I y f x y dx ∞-∞

-∞∞?=

?

于连续，于[,)y a b ∈收敛，但是

(,)f x b d x ∞-∞

?

发散，证明，()[,)I y y a b ∈于非一致收敛

未完成！

Zhubin846152 朱斌