2017年985高校自主招生数学模拟试卷及参考答案

2017 年985高校自主招生 数学模拟试卷

{ M A T H E M A T I C S }

姓名： 学号： （2017年6月）

{本卷满分：150 分 考试时间：120 分钟}

一、填空题（共10小题，每题9分，计90分）．

1. 已知平面上三个不同的单位向量 满足2

1

=?=?，若为平面内的

++的最大值为 ． 2. 将各位数字和为10的全体正整数按自小到大的顺序排成一个数列{}n a ，若

2017=n a ，则=n ．

3. 正四面体的四个面上分别写着2、0、1、6．将四个这样的正四面体同时掷

于桌面上，与桌面接触的四个面上的四个数的乘积能被4整除的概率为 ．

4. 在平面直角坐标系xOy 中，给定三点??

?

??340，A ，()01，

-B ，()01，C ，点P 到直线BC 的距离是该点到直线AB ，AC 距离的等比中项．若直线L 经过ABC ?的内心（设为点D ），且与P 点的轨迹恰好有3个公共点，则L 的斜率k 的取值范围是 ． 5. ()

2016

1x +的展开式中不能被7整除的系数的个数为 ．

6. ABC ?中，1==AC AB ．则其内切圆半径r 的最大值是 ．

7. 已知()???≥-<-=0

10 22x x x x x f ，，

，方程()()0

42121222=----+-+ax x x f x x f 有三个实根321x x x <<，若()12232x x x x -=-，则实数=a ．

8. 如图，正方体1111D C B A ABCD -在平面α的上

方，点O 是线段11C A 的中点，直线OA 与平面α所成角为

3

π

．当正方体1111D C B A ABCD -绕OA 旋转一周时，则平面DC D C 11与平面α所成角的正弦值的取值范围是 ． 9. 四个半径为1的球彼此相切，三个在地板上，

第四个在它们上面，一个边长为S 的四面体的面与这些球都相切，则S 的值为 ．

第8题

10. 已知正实数λ，使得对任意三个复数{}1 ,,221<∈∈z z z z z C ，若

1230z z z ++=，则22122331123||||z z z z z z z z z λ+++<，则λ的最小值

是 ．

二、解答题（共3小题，11题16分，12题20分，13题24分，计60分）．

11. 已知数列{}n a 满足n n n a a a 331

1≤≤+，*∈N n ，11=a ．

⑴ 若22=a ，x a =3，94=a ，求x 的取值范围；

⑵ 设{}n a 是公比为q 的等比数列，n n a a a S +???++=21，若n n n S S S 331

1≤≤+，

*∈N n ，求q 的取值范围．

⑶ 若k a a a ，，

，???21成等差数列，且100021=+???++k a a a ，求正整数k 的最大值，以及k 取最大值时相应数列k a a a ，，

，???21的公差．

12. 证明：若αcos 是有理数，且存在有理数q ，使得παq =，则

????

??

±±=2110cos ，，α．

13. 已知0>a ．()()44212ln +-++=x ae ax x x f ． ⑴ 当1=a 时，求()x f 的最大值；

⑵ 判断函数()x f 零点的个数，并说明理由．

2017 年985高校自主招生 数学模拟试卷（参考答案）

[ MATHEMATICS Examination paper reference answer ]

{本卷满分：150 分 考试时间：120 分钟}

一、填空题（共10小题，每题9分，计90分）． 1 考点：向量，三角变换 {难度：★★☆☆☆}

答案：21

2 考点：分类计数 {难度：★☆☆☆☆}{ 2017年全国高中数学联赛江西预赛 }

答案：120

3 考点：概率 {难度：★★☆☆☆}

答案：256

247

4 考点：直线与曲线（圆，双曲线），轨迹方程，分类讨论思想 {难度：★★★☆☆}

答案：11

5 考点：由一般到特殊，二项式，组合 {难度：★★★☆☆}

答案：84

6 考点：最值（代数式），三角代换 {难度：★★☆☆☆}

答案：

2

11

55-

7 考点：直线与曲线（圆，双曲线），分段函数，绝对值 {难度：★★★☆☆}

{ 2017年浙江省高中数学竞赛 }

答案：

2

3

17- （右见参考函数图像）

8 考点：立体几何（线，面），三射线定理 {难度：★★★☆☆}

答案：??

?

?

??+-126103126103，

9 考点：立体几何（球） {难度：★★★☆☆}

{ 第29届国际数学奥林匹克（ IMO ）预选题 }

答案：622+

10 考点：虚数，（集合），最大模原理 {难度：★★★★☆}

{ 2016年第57届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试（CMO ） }

答案：1

分析：由连续性，问题等价于条件、结论都是≤的情况。

在高等数学中有最大模原理，解析函数在自变量在边界时达到最大模。

所以，容易想到当22122331123||||z z z z z z z z z +++最大时，123,,z z z 至少有两个在边界，即满足||1z =，

而22122331123||||z z z z z z z z z +++=2232122331123|()|||i i z z z z z z e z z z e θθ+++，

故不妨设1212||||1,Re Re 0,z z z z x ====≥则32z x =-，1

0,2x ≤≤

所以2222224122331123|||||14||2|14161z z z z z z z z z x x x x +++=-+=-+≤， 所以min 1λ= 下面设法证明之。

不妨设123,,z z z 中3z 的模最大，

因为3||1z ≤，将每个数都乘以1

3z --代替原来的数，则左边更大，此时31z =-，

因为1230z z z ++=，设12,1,,,0z x yi z x yi x y R y =+=--∈≥，则0x 1≤≤，

代入化简得f =左边=22222222(2xy-y)(1)()x x y x x y +-+-+-+， 先固定x ，得'228()y f y x x y =-+，所 以'y f 先负后正，f 先减后增，在两端最大，

当0y =时，2211

2()122f x x =--+≤，当y 最大时，12||,||z z 至少一个为1，

不妨设2||1z =，以下同前面分析，即旋转为1z 在x 轴负半轴上， 设1(01)z x x =-≤≤，则左边222(1)1x x =-+≤，所以min 1λ=。

二、解答题（共3小题，11题16分，12题20分，13题24分，计60分）．11考点：数列性质与求和{难度：★★★☆☆}

(16分) [可能有多种解法

．．．．．]

．．．．．．．，酌情给分

，又

，由，对

S

，∴

S，成立．

，，

，S

，且

，所以，

1000=k

．12

{ 2016年江苏省奥林匹克数学夏令营测试卷 }

(20分) [可能有多种解法

．．．．．]

．．．．．．．，酌情给分

分析与解如下：

13考点：导数，零点{难度：★★★☆☆}

(24分) [可能有多种解法

．．．．．]

．．．．．．．，酌情给分

严．禁．盗．版．