江门市2017届普通高中高三调研测试(文数)
江门市2017届普通高中高三调研测试
数学（文科）
本试卷4页，23题，满分150分，测试用时120分钟。
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号等考生信息填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．已知集合，则集合中所含元素的个数是A．16 B．9 C．7 D．5
2．在复平面内，M、N两点对应的复数分别为、，则
A．B．C．D．5
3．已知向量、满足、，则
A．1 B．2 C．D．
4．已知等差数列满足，，则
A．2016 B．2017 C．2018 D．2019
5．若，，则
A．B．C．D．
6．在平面直角坐标系中，直线：与圆：的位置关系是
A．相离B．相切C．直线与圆相交但不经过圆心D．直线经过圆心7．已知、是实数，则“”是“”的
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．非充分非必要条件
8．一个长方体的棱长分别为1、2、2，它的顶点都在同一个球面上，这个球的体积为A．B．C．D．
9．设函数(，)的最小正周期为，且
，则
A．在单调递减B．在单调递减
C．在单调递增D．在单调递增
10．若、满足约束条件，则的最大值为
A．4 B．6 C．8 D．10
11．已知双曲线两渐近线的夹角满足，焦点到渐近线的距离
，则该双曲线的焦距为
A．B．或C．或D．以上都不是
12．对于函数，有如下三个命题：
①的单调递减区间为()
②的值域为
③若，则方程内有3个不相等的实根
其中，真命题的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~ 第23题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．已知命题：，的个位数字等于3．则命题：．
14．经过点的抛物线的切线方程
为．
15．如图，是棱长均为1的正四棱锥，顶点
在平面内的正投影为点，点在平面
内的正投影为点，则．
16．已知是偶函数．则：⑴；
⑵的解集为．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
在数列中，，，．
（Ⅰ）设，求证：数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的前项和．
18．（本小题满分12分）
如图，在中，内角所对的边分别是，，．
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若的面积为，求．
19．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱中，三条棱两两互相垂直，且
，分别是的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求到的距离．
20．（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系中，椭圆：()的离心率为, 椭
圆的顶点四边形的面积为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过椭圆内一点的直线与椭圆
交于两点，若，求直线的方程．
21．（本小题满分12分）
已知函数(其中，为自然对数的底数，)．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求函数的极值；
（Ⅲ）是否存在整数，使得
对任意的，恒成立（*）
若存在，写出一个整数，并证明（*）；若不存在，说明理由．
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。22．（本小题满分10分）
某人在静水中游泳的速度为千米/时，他现在水流速度为千米/时的河中游泳．（Ⅰ）如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？（Ⅱ）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？
23．（本小题满分10分）
如图，某农场要修建3个形状、大小相同且平行排列的矩形养鱼塘，每个面积为10 000平方米．鱼塘前面要留4米宽的运料通道，其余各边为2米宽的堤埂，问每个鱼塘的长、宽各为多少米时占地面积最少？
数学（文科）参考答案
一、选择题CDBB ACDB AACC
二、填空题⒔，的个位数字不等于3（基本表达“”与“的个位数字不等于3”各2分，字母一致表达完整1分）
⒕；⒖
⒗⑴；……2分⑵……3分(端点各1分，格式1分)
三、解答题
17.解：⑴……1分
……5分（每个等号1分，其他方法参照给分）
为以1为首项，以
4为公比的等比数列 (6)
分
⑵，
……8分
……9分
……10分
18.解：⑴
，……1分
51
sin sin sin()
126422224
C
πππ
==+=?+=……3分
由正弦定理
sin A sin
a c
C
=……4分，
2
……5分
解得1
c=分
⑵由已知……7分，即……8分
解答……9分
由余弦定理得，2222cos b a c ac B =+-……10分
1
4922372
=+-???
=……11分，解得b =分 19.解：⑴连接
、，由已知可得
1111BC 2,3CC C E AE AC EF FC ======……2分
22221111FC =EF +EC AC =AE +EC ∴22，，……4分 11EF EC AE EC ∴⊥⊥，，
……5分 EF AE AEF EF AE=E ?? 又、面，，……6分
故
……7分
⑵方法1：由已知得 22AF =EF +AE EF AE ∴∴⊥2，……8分 由（1）知
，则
设求到的距离为d ，由等体积法
11F-AEC C FAE V V -=……9分
111111AE C E d=AE EF C E 3232????
∴???????? ? ?????
……10分 1111
d=3232??∴??? ??分
∴，即到
……12分
方法2：113C E AE EF FC ===……8分 222
22
EF +AE =
+==AE EF AE ∴∴⊥2
，
，……9分22
2
221
11
EF +C E ==+=3=C F EF C E ∴∴⊥2
，
……10分 11C E AE AEF C E AE=E ?? 又、面，，
EF AEC EF F AEC ∴⊥∴11面，即为点到面的距离，
……11分
到
……12分
20.解：⑴2
221,,;2,12c e a b c a c b a
?=
==+∴=?= 分 1
S =2222
a b ab c ??=∴== 顶点四边形……2分
1,2,c b a ∴==……3分
即椭圆E 的标准方程是
22
143
x y +=……4分 ⑵设()()1122M ,,N ,,x y x y 由
可知P 为MN 的中点……5分
当直线l 的斜率不存在时，由椭圆的对称性可知交线段的中点在x 轴上，与P （1，1）矛盾……6分; 故直线l 的斜率存在设为k 。
方法一：（点差法）把()()1122M ,,N ,x y x y 代入椭圆的标准方程是 22
143
x y +=得： 2211143x y +=，22
22143
x y +=，……7分 两式相减得
()()()()12121212+-+-04
3
x x x x y y y y +=，……8分
()MN P 1,1 的中点为 ，1212+=2+=2x x y y ∴，，……9分 代入得
()12122--023y y x x +=，……10分1212-3,-4
y y k x x ∴==-……11分
即直线l 的方程为3
1(1),4
y x -=-
-即3x+4y-7=0. 经检验l 代入C 消元后的方程的0?>，符合题意，故直线的方程为3x+4y-7=0. ……12分
方法二：设直线l 的方程为1k(1),y x -=-联立方程得
2
2
1k(1),143y x x y -=-???+=??
……7分 消去y 得
()2
2
23+48(1)4(1)120k x
k k x k +-+--=……8分
12MN P 11+=2x x ∴ 中点为（，），
……9分 P 1 （，1） 在椭圆内部，故0?> ，由韦达定理可得：
122
8(1)+=-=23+4k k x x k -∴……10分 解得3
,4k =-……11分
即直线l 的方程为3
1(1),4
y x -=--即3x+4y-7=0.……12分
21.解：⑴1
'()'()ln 1,3
f x f e x =
++ ……1分
，
……2分
⑵由⑴知()ln f x x x x =+，（x>0)，'()2ln f x x =+，……3分
令21
'()2ln =0,f x x e
=+，即lnx=-2,即x=
……4分 令21'()2ln 0,,()f x x f x e ??
=+>∈+∞
???
，即lnx>-2,即x 递增，……5分 令21'()2ln 00,
,()f x x f x e ??
=+<∈ ??
?
，即lnx<-2,即x 递减，……6分 ()2222111
1()=2f x f e e e
e ??∴=+?-=- ???极小 ，无极大值。……7分
⑶①当k=1时，命题成立……8分。证明如下：
对任意的，即恒成立
令()ln 1g x x x =+，
'()ln 1,g x x =+令1
'()1ln =0,g x x e
=+，即lnx=-1,即x=……9分;
令1'()1ln 0,,()g x x g x e ??=+>∈+∞ ???
，即lnx>-1,即x 递增，……10分;
令1'()1ln 00,,()g x x g x e ??=+<∈ ???
，即lnx<-1,即x 递减，……11分;
()111()()=1110g x g x g e e e ??
∴==+?-=-> ???
min 极小……12分;
②当k=2时，命题成立……8分。证明如下：
对任意的，即恒成立
令()ln -2g x x x x =+，'()ln ,g x x =令'()ln =01,g x x =，即x=……9分;
令()'()ln 01,,()g x x g x =>∈+∞，即x 递增，……10分;
令()'()ln 00,1,()g x x g x =<∈，即x 递减，……11分;
()()()=1-10+210g x g x g ∴==+=>min 极小……12分;
③当k=3时，命题成立……8分。证明如下：
对任意的
，
即恒成立
令()ln -23g x x x x =+，'()ln -1,g x x =令'()ln -1=0e,g x x =，即x=……9分
令()'()ln -10,,()g x x e g x =>∈+∞，即x 递增，……10分;
令()'()ln -100,e ,()g x x g x =<∈，即x 递减，……11分;
()()()=e 2+330g x g x g e e e ∴==-=->min 极小……12分
（说明：k=1,k=2,k=3只要对其中一种都是满分。）
22.解：⑴如图①，由于V 实＝V 水＋V 人，∴|V 实|＝
(km ／h)……2分
又，∴θ＝60°……4分
∴他必须沿与河岸成60°角的方向前进，实际前进速度的大小为8km ／h ……5分
⑵如图②，解直角三角形可得|v 实|＝
(km ／h)……7分
又……9分
∴他必须沿与水流方向成90°+θ (锐角θ满足
，或
，等)
方向航行，实际前进速度的大小为
(km ／h)……10分
23.解：设每个鱼塘的宽为x 米，且x ＞0……1分
则AB=3x+8，AD=+6，则总面积y=（3x+8）（
+6）……3分
=30048+
+18x≥30048+2
=32448……7分
当且仅当18x=
，即x=
时，等号成立，此时
=150……9分
即鱼塘的长为150米，宽为
米时，占地面积最少为32448平方米……10分