形式语言与自动机理论试题

形式语言与自动机理论试题

一、按要求完成下列填空

1.

给出集合{Φ,{Φ}}和集合{ε,0,00}的幂集 （2x4'）

(1) {Φ,{Φ},{{Φ}},{Φ,{Φ}}}

(2) {Φ,{ε},{0},{00},{ε,0},{ε,00},{0,00},{ε,0,00}}

2.

设∑={0,1},请给出∑上的下列语言的文法 （2x5'）

(1)所有包含子串01011的串 S →X01011Y

X →ε|0X|1X Y →ε|0Y|1Y

(2)所有既没有一对连续的0，也没有一对连续的1的串 A →ε|A ’|A ”

A’ →0|01|01A ’ A ” →1|10|10A ”

3.

构造识别下列语言的DFA 2x6'

(1) {x|x ∈{0，1}+且x 以0开头以1结尾}

（设置陷阱状态，当第一个字符为1时，进入陷阱状态）

1

S

1

1

0,10 (2) {x|x ∈{0，1}+且x 的第十个字符为1}

（设置一个陷阱状态，一旦发现x 的第十个字符为0，进入陷阱状态）

1S

0,1

0,10,10,10,110,0,10,10,10,1

0,1

二、判断（正确的写T ，错误的写F ） 5x2'

1.设1R 和2R 是集合{a,b,c,d,e}上的二元关系，则3231321)(R R R R R R R ?

( T )

任取(x.,y),其中x,y },,,,{e d c b a ∈，使得321)(),(R R R y x ∈。 )),(),((321R y z R R z x z ∈∧∈?? },,,,{e d c b a z ∈ )),(),(),((321R y z R z x R z x z ∈∧∈∧∈??

)),(),(()),(),((3231R y z R z x z R y z R z x z ∈∧∈?∧∈∧∈?? 3231),(),(R R y x R R y x ∈∧∈? 3231),(R R R R y x ∈?

2.对于任一非空集合A ，Φ?

A

2 ( T ) 3.文法G ：S A|AS A a|b|c|d|e|f|g 是RG ( F ) 4.3型语言

2型语言

1型语言

0型语言 ( T )

5.s （rs+s ）*r=rr *s （rr *s ）* ( F )

不成立，假设r,s 分别是表示语言R ，S 的正则表达式，例如当R={0}，S={1}, L(s(rs+s)*r)

是以1开头的字符串，而L(rr*s(rr*s)*)是以0开头的字符串.L(s(rs+s)*r) ≠ L(rr*s(rr*s)*) 所以s(rs+s)*r ≠ rr*s(rr*s)*,结论不成立

三、设文法G 的产生式集如下，试给出句子aaabbbccc 的至少两个不同的推导（12分）。 aSBC aBC S |→ ab

aB → bB →bb CB →BC bC →bc cC →cc

推导一： S=>aSBC

=>aaSBCBC =>aaaBCBCBC =>aaabCBCBC =>aaabBCCBC =>aaabbCCBC =>aaabbCBCC

=>aaabbBCCC =>aaabbbCCC =>aaabbbcCC =>aaabbbccC =>aaabbbccc

推导二：

S=>aSBC

=>aaSBCBC =>aaaBCBCBC

=>aaaBBCCBC =>aaaBBCBCC

=>aaabBCBCC

=>aaabbCBCC

=>aaabbBCCC =>aaabbbCCC =>aaabbbcCC

=>aaabbbccC

=>aaabbbccc

四、判断语言{n n n 010|n>=1}是否为RL ，如果是，请构造出它的有穷描述(FA,RG 或者RL ）；如果不是，请证明你的结论（12分）

解：设L={n

n n 010|n>=1}。假设L 是RL ，则它满足泵引理。不妨设N 是泵引理所指的仅依赖于 L 的正整数，取Z=N

N N 010 显然，Z ∈L 。

按照泵引理所述，必存在u ，v ，w 。由于|uv|<=N,并且|v|>=1，所以v 只可能是由0组成的非空串。不妨设v=k 0，k>=1 此时有u=j

k N --0 ，w=N

N j 010 从而有

uv i

w=N N j i k j

k N 010)0(0

-- 当i=2时，有uv 2w=N N k N 010+ 又因为k>=1,

所以 N+k>N 这就是说N N

k N 010+不属于L ，

这与泵引理矛盾。所以，L 不是RL 。

五、构造等价于下图所示DFA 的正则表达式。(12分)

答案(之一)：( 01+(1+00)((1+00*1)0)*((1+00*1)1) )* (ε+(1+00)((1+00*1)0)*00*)

S q 1

q 0 q 2 q 3

1 0

0 1

1 1

预处理：

去掉q3：去掉q1：

q1

q0

q2

q3

1

1 1 1

ε

ε

X

Y

ε

q1

q0

q2

1

1

1+00*1

ε

X

Y

ε

00*

q0

q2

1+00

(1+00*1)0

ε

X

Y

ε

00*

(1+00*1)1

01

去掉q 2：

去掉q 0：

六、设M=（{210,,q q q }，{0,1}，{0,1，B}，{δ}，0q ,B,{2q

}）,其中δ的定义如下： δ（0q

，0）=（0q ，0，R ） δ（0q ，1）=（1q ，1，R ） δ（1q ，0）=（1q ，0，R ） δ（1q

，B ）=（2q ，B ，R ）

请根据此定义，给出M 处理字符串00001000,10000的过程中ID 的变化。（10分） 解：处理输入串00001000的过程中经历的ID 变化序列如下：

0q

00001000

00q

0001000 000q

001000 0000q

01000 00000q

10000 000011q

0000

0000101q

00

00001001q

000010001q

00001000B 2q

处理输入串10000的过程中经历的ID 变化序列如下：

0q

10000

11q

00000 101q

000 1001q

00 10001q

0 100001q

10000B 2q

七、根据给定的NFA ，构造与之等价的DFA 。（14分） NFA M 的状态转移函数如下表

q 0

ε

X

Y

ε+(1+00)((1+00*1)0)*00*

01+(1+00)((1+00*1)0)*((1+00*1)1)

X

Y

(01+(1+00)((1+00*1)0)*((1+00*1)1))* (ε+(1+00)((1+00*1)0)*00*)

解答：

状态说明

状态

输入字符

1 2 开始状态

q0 [q0,q1] [q0,q2] [q0,q2] [q0,q1] [q0,q1,q3] [q0,q2] [q0,q2] [q0,q2] [q0,q1] [q0,q1,q2,q3] [q0,q1,q2]

[q0,q1,q2] [q0,q1,q3] [q0,q1,q2,q3] [q0,q1,q2] 终止状态 [q0,q1,q3] [q0,q1,q2,q3] [q0, q2,q3] [q0,q2] 终止状态 [q0,q2,q3]

[q0,q1,q2,q3]

[q0,q1,q2,q3]

[q0,q1, q2]

终止状态

[q0,q1,q2,q3] [q0,q1,q2,q3] [q0,q1,q2,q3] [q0,q1, q2]

q0

[q0,q1]

[q0,q2]

01,2

2

[q0,q1,q3][q0,q1,q2]

[q0,q2,q3]

[q0,q1,q2,q3]0,1

22

1,20

21

0,1

1

状态说明 状态

输入字符

1 2 开始状态

q0 {q0,q1} {q0,q2}

{q0,q2}

q1 {q3,q0}

{q2}

q2

{q3,q1}

{q2,q1} 终止状态 q3

{q3,q2} {q3 }

{ q0}

参 考 题 目

1、设},,,{c b a =∑，构造下列语言的文法。 (1) }0|{1≥=n b a L n

n

。

解答：)},|{},,{},({1S aSb S b a S G ε→=。 (2) }1,|{2≥=m n b a L m

n

。

解答：)},|,|,|{},,{},,,({2S b bB B a aA A B A S b a B A S G →→→=。

(3) }1|{3≥=n a b a L n

n n 。

解答：),},,{},,,({33S P b a B A S G = :3P S →aAB|aSAB BA →AB aB →ab bB →bb bA →ba aA →aa

(4) }1,,|{4≥=k m n a b a L k

m

n

。

解答：)},|,|,{},,{},,({4S b bB B a aA A ABA S b a A S G →→→=。

(5) },|{5+

∑∈∑∈=w a awa L 。

解答：)},|||||,{},,,{},,({5S c b a cW bW aW W aWa S c b a W S G →→=。

(6) },|{6+

∑∈=w x xwx L T 。

解答：),},,,{},,({66S P c b a W S G = :6P cWc bWb aWa S ||→ c b a cW bW aW W |||||→。

(7) },|{7+

∑∈==w w w w L T 。

解答：}},|||||{},,,{},,{{7S c b a cWc bWb aWa S c b a W S G →=。

(8) },|{8+

∑∈=w x w xx L T 。

解答：),},,,{},,,({88S P c b a X W S G = XW S P →:8

c b a cXc bXb aXa X |||||→ c b a cW bW aW W |||||→。

2、给定RG ：11111(,,,)G V T P S =，2222,2(,,)G V T P S =，试分别构造满足下列要求的RG G ，并证明你的结论。

12(1)()()()L G L G L G =

{}()

{}{}

{}

()()()()()()

1212121212

332111

*12122121111*2222 V V S V V G S V V T T P P P S P S S T S S S

S x L G S x

x L G L G L G L G x S S x x x x T x L G S x G P x L ωωωααεεεεεεω+++=??==→∈?→→→∈?=∈∈∈≠→=∈∈?∈解：

不妨假设，并且，令，，，其中，

且证明：

（1）设，则若，因为，，所以成立若，由产生式，不妨设，其中，则，因为的产生式包括，所以()()()()()()

()(){}

()()()(){}()()2121212****1212111122221321112121212*1312*2221 G x x x L G L G L G L G L G x L G L G x x x x T S x x T S x x P S S T S S x S x x x x L G L G L G L G x P S S S x x S S x x L G L G L G εωωωεααεε++++=∈?∈=∈?∈?≠→∈???∈?=→→?=→?∈，可知所以 （1）设，不妨设，其中，，，时，由中且，则所以，时，由中时，由，得所以()()()()()

212L G L G L G L G ?=综上，

12(2)()()()L G L G L G =

{}()

{}()()()()()()()()()()()1212121212

3312*

1211*12***312*111 V V S V V G S V V T T P P P S P S S S x L G L G x L G S x

G S x x L G L G L G L G x L G S x P S x S x S x x L G L G L G ααα=??==→→→∈∈??∈?∈????∈?解：

不妨假设，并且，令，，，其中，

或证明：

（1）设不妨设那么可知由构造方法可知，且即（2）设则，由知，或不妨设则，同理()()()()()()()()

21212 L G L G L G L G L G L G L G L G ??=则 所以

{}12(3)()(),(),L G L G a b L G a =其中，b 是两个不同的终极符号

{}()

{}{}

()()()

{}1212121212

3**322111

*212**112211********* (),() ()V V S V V G S V V T T P P P S P S aS bS T S S S

x L G S x S aS x a T S L G L G x a L G a b L G b L G ωωωωααωωωωωωωωωωω=??==→∈?→→∈?→=∈?∈∈=∈∈解：

不妨假设，并且，令，，，其中，

其中且证明：

（1）设则由产生式，不妨设则，则，所以同理{}{}{}{}(){}21212**1211221122*312121212,()()(),() (),()

()() (),() ()(),()a b L G L G L G a b L G x L G a b L G x a L G L G S S P S aS a L G a b L G L G L G L G a b L G ωωωωωωωωω?∈=∈∈?????=可得（2）设不妨设其中，即， 由中产生式 所以综上可得，

*1(4)()()L G L G =

解：

P={S →α|S1→α∈P1}∪{S →ε}∪{S →αS|S1→α∈P1} 证明略。

1(5)()()L G L G +=

解：

P={S →α|S1→α∈P1}∪{S →αS|S1→α∈P1} 证明略。

3、设文法G 有如下产生式： S →aB │bA

A →a │aS │bAA

B →b │bS │aBB

证明L(G)＝{ω│ω中含有相同个数的a 和b ，且ω非空}。

证：观察发现A 的产生式A →bAA 中的bA 可以用S 来代替，同样B 的产生式B →aBB 中的

aB 也可以用S 代替。这样原来的文法可以化为如下的形式： S →aB │bA

A →a │aS │SA

B →b │bS │SB

进一步地，可以把产生式A →aS 中的S 代换，把文法化为如下的形式： S →aB │bA

A →a │aa

B │abA │SA B →b │baB │bbA │SB 7．设DFA M=),,,,(0F q Q δ∑，证明：对于∑

=∈∈

?)),,((),(,,,*

y x q xy q Q q y x δδδ

注：采用归纳证明的思路

证明： (周期律 02282067) 首先对y 归纳，对任意x 来说，|y| = 0时，即y=ε

根据DFA 定义,),(q q =εδ)),,(()),,((),(),(y x q x q x q xy q δδεδδδδ===,故原式成立。

当|y| = n 时，假设原式成立，故当|y|= n+1时， 不妨设y = wa, |w| = n, |a| = 1

根据DFA 定义∑∈=a a x q xa q ),),,((),(δδδ，故

)

),,(()),,(()),),,((()),,((),(),(y x q wa x q a w x q a xw q xwa q xy q δδδδδδδδδδδ=====原式成立，

同理可证，对任意的y 来说，结论也是成立的。

综上所述，原式得证

*******************************************************************************

8．证明:对于任意的DFA M 1=(Q,Σ,δ,q 0,F 1) 存在DFA M 2=(Q,Σ,δ,q 0,F 2), 使得L(M 2)=Σ*—L （M 1）。 证明：（1）构造M 2。

设DFA M 1=(Q,Σ,δ,q 0,F 1) 取DFA M 2=(Q,Σ,δ,q 0,Q —F 1) （2）证明L(M 2)=Σ*—L （M 1） 对任意x ∈Σ*

x ∈ L(M 2)=Σ*—L （M 1）?δ(q,x)∈Q —F 1?δ（q,x ）∈Q 并且δ（q,x ）?F 1?x ∈Σ*并且x ?L(M 1)?x ∈Σ*—L （M 1）

10、构造识别下列语言的NFA

(1){{0,1}00}x x x +∈且中不含形如的子串

1

1

010

1

1

S

(2){{0,1}10110}x x x +

∈且中含形如的子串

1

1

1

0，1

0，1

(3){{0,1}}x x x +∈且中不含形如10110的子串

1011

0，1

0，1

(4){{0,1}10101}x x x +∈和的倒数第个字符是，且以结尾

0，1

1

0，1

0，1

0，1

0，10，100，1

10，1

(5){{0,1}01}x x x +∈且以开头以结尾

01

0，1

(6){{0,1}}x x x +∈且中至少含有两个1

S

0，1

1

1

0，1

0，1

0，1

*(7){{0,1}}

x x x ∈且如果以1结尾，则它的长度为偶数； 如果以0结尾，则它的长度为奇数

S

1

0，1

(8){{0,1}}x x x +∈且的首字符和尾字符相等

00，1

0，100

1

1

1

(9){,{0,1}}T x x x ωω+∈

0,1

00

11

0,1

11.根据给定的NFA ，构造与之等价的DFA . （1） NFA M 1 的状态转移函数如表3-9

状态说明

状态

输入字符

1 2 开始状态

q0 {q0,q1} {q0,q2}

{q0,q2}

q1 {q3,q0}

?

{q2}

q2 ?

{q3,q1}

{q2,q1} 终止状态 q3 {q3,q2} {q3 } { q0}

解答：

状态说明

状态

输入字符

1 2 开始状态

q0 [q0,q1] [q0,q2] [q0,q2] [q0,q1] [q0,q1,q3] [q0,q2] [q0,q2] [q0,q2] [q0,q1] [q0,q1,q2,q3] [q0,q1,q2]

[q0,q1,q2] [q0,q1,q3] [q0,q1,q2,q3] [q0,q1,q2] 终止状态 [q0,q1,q3] [q0,q1,q2,q3] [q0, q2,q3] [q0,q1,q2] 终止状态 [q0,q2,q3]

[q0,q1,q2,q3]

[q0,q1,q2,q3]

[q0, q2]

终止状态

[q0,q1,q2,q3] [q0,q1,q2,q3] [q0,q1,q2,q3] [q0,q1, q2]

q0

[q0,q1][q0,q2]

01,2

2

[q0,q1,q3][q0,q1,q2]

[q0,q2,q3]

[q0,q1,q2,q3]0,1

22

1,20

2

10,1

1

图3-9所示NFA 等价的DFA

13．试给出一个构造方法，对于任意的NFA ),,,,(10111F q Q M δ∑=，构造NFA

=2M ),,,,(2022F q Q δ∑，使得)()(1*2M L M L -=∑

注：转化成相应的DFA 进行处理，然后可参考第8题的思路

证明：

首先构造一个与NFA 1M 等价的DFA ，3M 根据定理3.1（P106），)()(13M L M L = 构造),],[,,,(30333F q Q M δ∑=其中

∑

∈?≠?==a Q p p p F p p p Q p p p p p p F Q m m m m Q ,}...,{},}...,{,}...,{|]...,{[,2211212121331φ }...{)},...({]...[)],...([111113m n m n p p a q q p p a q q =?=δδ

在此基础上2M ，,,3232δδ==Q Q }]...[|]...{[3112φ==F p p p p F m m 即取所有1M 确定化后不是终结状态的状态为2M 的终结状态。 为了证明)()(3*

2M L M L -=

∑

，我们在3M 的基础上=4M ),,,,(4044F q Q δ∑，其

中,,3434δδ==Q Q 44Q F =，即所有1M 确定化后的状态都为终结状态。显然

,)(*4∑=M L

),(2M L x ∈?则φδ≠20),(F x q ),(),(330M L x F x q ??≠?φδ 又因为

∈?∈?∈),(),(),(04030x q F x q Q x q δδδ,)(*4∑=M L 故∈x )(3*M L -∑，

故)()(3*

2M L M L -?

∑

同理容易证明)()(3*

2M L M L -?∑

故)()(3*

2M L M L -=

∑

，又因为)()(13M L M L =，故)()(1*2M L M L -=∑

可知，构造的2M 是符合要求的。

15．P129 15.(1)、（2）

（1）根据NFAM 3的状态转移函数，起始状态q 0的ε闭包为 ε-CLOSURE （q 0）={ q 0, q 2}。由此对以后每输入一个字符后得到的新状态再做ε闭包，得到下表： （陶文婧 02282085） 状态 0

1

{ q 0, q 2} { q 0, q 1，q 2} { q 0, q 1，q 2，q 3} { q 0, q 1，q 2} { q 0, q 1，q 2，q 3} { q 0, q 1，q 2，q 3} { q 0, q 1，q 2，q 3}

{ q 0, q 1，q 2，q 3}

{ q 0, q 1，q 2，q 3}

q 0={ q 0, q 2}，q 1={ q 0, q 1，q 2}，q 2={ q 0, q 1，q 2，q 3}，因为q 3为终止状态，所以q 2={ q 0, q 1，q 2，q 3}为终止状态

S

q 1

q 2

q 00

0，1

0，1

（2）用上述方法得 状态 0 1

{ q 1, q 3} { q 3，q 2} { q 0, q 1，q 2，q 3} { q 3，q 2} { q 3，q 2} { q 0, q 1，q 3} { q 0, q 1，q 2，q 3} { q 1，q 2，q 3} { q 0, q 1，q 2，q 3} { q 0, q 1，q 3} { q 1，q 2，q 3} { q 0, q 1，q 2，q 3} { q 1，q 2，q 3}

{ q 3，q 2}

{ q 0, q 1，q 2，q 3}

q 0={ q 1, q 3}，q 1={ q 3，q 2}，q 2={ q 0, q 1，q 2，q 3}，q 3={ q 0, q 1，q 3}，q 4={ q 1，q 2，q 3}因为各状态均含有终止状态，所以q 0, q 1，q 2，q 3,q 4均为终止状态

1

S

q 1

q 2

q 0

q 4

q 3

1

00

1

1

注：本题没有必要按照NFA 到DFA 转化的方法来做，而且从ε-NFA 到NFA 转化时状态没有必要改变，可以完全采用ε-NFA 中的状态

如（1）

状态0 1

q0(开始状态) { q0, q1，q2 q3} { q0, q1，q2，q3}

q1{ q0, q1，q2，q3} { q1，q2，q3}

q2{ q0, q1，q2，q3} {q1，q2，q3}

q3（终止状态）{ q0, q1，q2，q3} { q0, q1，q2，q3}

(2)

状态0 1

q0(开始状态) { q1 q2q3，} { q0, q1，q2，q3}

q1{ q2} { q1，q2}

q2{，q2，q3} { q0, q2，q3}

q3（终止状态）空{ q0 }

16、证明对于?的FA M1=(Q1,∑1,δ1,q01,F1)，FA M1=(Q2,∑2,δ2,q02,F2)，存在FA M，

使得L(M)= L(M1)∪L(M2)

证明：不妨设Q1 与Q2的交集为空

（1）构造M=（Q1∪Q2∪{ q0},∑,δ, q0,F）其中：

1）∑=∑1∪∑2 F= F1∪F2

2) δ(q0,ε)={ q01 ,q02} 对于? q∈Q1,a∈∑1δ(q, a)=δ1(q,a)

对于? q∈Q2,a∈∑2 ,δ(q, a)=δ2(q,a)

(1)证明：

1）首先证L(M1)∪L(M2)∈L(M)

设x ∈L(M1)∪L(M2)，从而有x ∈L(M1)或者x ∈L(M2)，当x ∈L(M1)时

δ1(q01,x)∈F1

由M的定义可得：

δ（q0,x）=δ（q0,εx）=δ(δ(q0,ε), x)=δ({q01 ,q02},x)=δ(q01 , x)∪δ(q02, x)

=δ1(q01 , x) ∪δ(q01 , x)∈F1∪δ(q01 , x) 即x∈L(M)

同理可证当x ∈L(M2)时x∈L(M)

故L(M1)∪L(M2)∈L(M)

2) 再证明L(M)∈L(M 1)∪L(M 2)

设x ∈L(M) 则δ（q 0,x ）∈F 由M 的定义：

δ（q 0,x ）=δ（q 0,εx ）=δ(δ(q 0,ε), x)=δ({q 01 ,q 02},x) =δ(q 01 , x)∪δ(q 02, x) 如果是δ(q 01 , x) 因为Q 1 与Q 2的交集为空 而且δ（q 0,x ）∈F F= F 1∪F 2 则 δ(q 01 , x)= δ1(q 01 , x)∈F 1 因此x ∈L(M 1)

如果是δ(q 02 , x) 因为Q 1 与Q 2的交集为空 而且δ（q 0,x ）∈F F= F 1∪F 2 则 δ(q 02 , x)= δ2(q 02 , x)∈F 1 因此x ∈L(M 2)

因此x ∈L(M 1)∪L(M 2) L(M)∈L(M 1)∪L(M 2)得证 因此L(M)= L(M 1)∪L(M 2)

17 证明：对于任意的FA ),,,,,(),,,,,(20222221011111F q Q FAM F q Q M δδ∑=∑=

))L(M L(M L(M)M,FA 21=使得存在.

证明：令 ,其中δ的定义为： 1) 对?q ∈Q 1-{f 1}，a ∈∑∪{ε} δ(q ，a)=δ1(q ，a)；

2) 对?q ∈Q 2-{f 2}，a ∈∑∪{ε} δ(q ，a)=δ2(q ，a)； 3) δ(f 1，ε)={q 02} 要证 ， 只需证明 ，

1. 证明

}){,,,,(20121f q Q Q M δ∑= )()()(21M L M L M

L =)()()(21M L M L M L ?)()()(21M L M L M L ?21221121),

()(),()(x x x M L x M L x M L M L x =∈∈∈使得并且从而有设}{),(),(),(),(,,,,,1201110111111f x q x q a q x q a Q q M Q x M ===∑∈∈?δδδδ故对时所以在定义

中的状态经过的状态全部都是的过程中在处理)

(}{),(),(),(),(,,,,,20122021222M L x f x q x q a q x q a Q q M Q x M ∈===∑∈∈?下面证明对时所以在定义

中的状态经过的状态全部都是的过程中在处理δδδδ)()()(21M L M L M L ?

2) 再证明

)

(

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,

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1

01

1

2

1

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2

1

01

01

M

L

x

f

x

q

x

q

x

f

x

f

x

f

x

x

q

x

x

q

x

x

q

x

q

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即得证

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ε

δ

δ

ε

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

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1

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2

2

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2

1

2

1

2

1

01

01

2

02

2

1

01

1

2

1

2

1

2

1

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1

2

01

2

01

2

1

f

x

q

f

x

q

f

x

q

f

x

q

f

x

q

x

f

x

f

x

x

q

x

q

f

q

M

x

f

q

M

f

f

q

f

f

f

M

M

q

M

f

x

q

M

L

x

M

L

M

L

M

L

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

∈

?

δ

δ

δ

δ

δ

ε

δ

δ

δ

δ

ε

δ

δ

说明

说明

其中

即

引导到状态

从状态

将

引导到状态

从状态

将

并且

使得

和后缀

的前缀

比存在

所以

移动

的必经

而且该移动是

出发的任何其他移动

不存在从

外

的移动

函数式

由于除了对应状态转移

先到

必须

要达到状态

的定义可知

由

启动的

是从

由于

即

设

2

12121212211()()(,

)()()()()()

()(M L M L M L M L M L M L M L M L x x x M L x M L x =?∈=∈∈综上所述故

从而这表明

******************************************************************************* （吴丹 02282090）

()()()()(){}()

()[]()()()()()[]()11110112202212121201121218.FA M Q q F FA M Q q F FA M L M L M L M FA DFA

M Q Q q q F a Q,q,p a q a p a .

x L M 12......1,x x x xk xi i k δδδδδδ∑∑?∑∑?∈∑∑∈????∈?=∈∈，，，，2，，2，，02证明：对于任意的＝，＝存在，使得＝。证明：不妨将这些看成取＝，，，，，对于，q,p ，＝，，，1设：则其中[]()()()()()()()()()()

()()()[]()()()()[]()()[]()()()

()()()

()()12121212121212

1212121q,p q ,p L M L M x L M L M L M L M L M 2x L M L M 12......1,q p q q,p p q,p L M x L M L M L M L M L M L M L xi xi xi xi x x x xk xi i k xi xi xi xi xi xi xi δδδδδδδδδ∑∑=????∴∈?∈?∈?=∈∈∑∑∴∈?∈?使得，，，从而可得设：则其中有，且，从而使得

，＝，；，＝，从而可得综合(1)(2)可得＝()2M FA DFA 。

又因为和具有等价性，所以原命题得证。

23.FA M 的移动函数定义如下: δ(q 0,3)={q 0} δ(q 0,1)={q 1} δ(q 1,0)={q 2} δ(q 1,1)={q 3} δ(q 2,0)={q 2} δ(q 3,1)={q 3}

其中,q 2,q 3为终态.

(1) M 是DFA 吗?为什么?

不是,因为并不是所有的状态,在接收一个字母表中的字符时会有一个状态与之对应.

(2) 画出相应的DFA 的状态转移图

3

1

q 0q 1

q 2

q 3

1

011

q 0,3

31,30,1,3

(3) 给出你所画出的DFA 的每个状态q 的set(q):set(q)={x|x ∈Σ*且δ(q 0,x)=q} set(q 0)={3*} set(q 1)={ 3*1} set(q 2)={ 3*100*} set(q 3)={ 3*111*}

set(q)={( 3*0|3*13|3*100*(1|3)|3*111*(0|3)) 0*1*3*}

(4) 求正则方法G,使L(G)=L(M) q 0→3 q 0|1 q 1 q 1→0 q 2|1 q 3 q 2→0|0 q 2 q 3→1|1 q 3

2.理解如下正则表达式，说明它们表示的语言

（1）(00+11)+表示的语言特征是0和1都各自成对出现

（2）(1+0)*0100+表示的语言特征是以010后接连续的0结尾 （3）(1+01+001)*(ε+0+00) 表示的语言特征是不含连续的3个0

（4）((0+1)(0+1))*+ ((0+1)(0+1)(0+1))* 表示所有长度为3n 或2m 的0，1串（n ≥0,m ≥0） （5）((0+1)(0+1))* ((0+1)(0+1)(0+1))* 表示所有长度为3n+2m 的0，1串（n ≥0,m ≥0） （6）00+11+（01+10）（00+11）*（10+01）表示的语言特征为长度为偶数n 的串.当n=2时，

是00或11的串。n ≥4时，是以01或10开头，中间的子串00或11成对出现，最后以10或01结尾的串