极值最值
课题 导数的单调性、极值、最值（二）
课前检测
课堂学习
【抓基础】
学习目标：
1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(对多项式函数不超过三次)．
2.会用导数求函数的极大值、极小值.会求闭区间上函数的最大值、最小值．
3.会利用导数解决某些实际问题.
考点概述：
利用导数研究函数的单调性、极值是近几年高考的热点．选择题侧重于利用导数确定函数的单调性和极值．解答题侧重于导数与函数、解析几何、不等式、数列的综合应用，一般难度较大，属中高档题.
基础练习：
1.设函数()f x 在(0,)+∞内可导,且()x x f e x e =+,则=)1(/f ______________.
2.若曲线x kx y ln +=在点),1(k 处的切线平行于x 轴,则k=______.
3.已知函数)ln()(m x e x f x +-=.设0x =是()f x 的极值点,则m = .
4.已知函数f (x )＝x 3－3x 2
＋ax ＋2，曲线y ＝f (x )在点(0，2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2.则a= . 【明考向】
典例解析
例1 （选修1-1，P73，P77） 已知函数f(x)＝x 3＋ax 2
＋bx ＋c ，曲线y ＝f(x)在
点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝23
时，y ＝f(x)有极值． (1)求a ，b ，c 的值；
(2)求y ＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．
例2 若函数f(x)＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f(x)有极值－43
. (1)求函数f(x)的解析式；
(2)若关于x 的方程f(x)＝k 有三个零点，求实数k 的取值范围．
归纳：（方法、思路）
变式1 已知函数f(x)＝x 3＋mx 2＋(m ＋6)x ＋1既存在极大值又存在极小值，则实数
m 的取值范围为________．
变式2 [2014 江西] 设函数R m x
m x x f ∈+=,ln )(. (1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值；
(2)讨论函数g(x)＝f ′(x)－x 3
零点的个数.
反思：（数学思想、易错点）
【提能力】
1. 若曲线y ＝xln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是______．
2. 若函数y ＝x 3－2x 2＋mx ，当x ＝13
时，函数取得极大值，则m ＝________．
3. 已知函数f(x)＝x 3－ax 在区间(－∞，－2)与(2，＋∞)上是增函数，在(－2，2)
上是减函数，那么这个函数的极大值是________．
4.（选做）已知函数f(x)＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________．
课后作业 导数的单调性、极值、最值（二）
班级 学号 姓名
一．填空题
1．设R a ∈，若函数y ＝e x ＋ax ，R x ∈有大于零的极值点，则a 的取值范围为_______．
2．设函数y ＝a(x 3－x)的单调递减区间为???
?－33，33，则a 的取值范围是____________．
3．若函数f(x)＝x x 2＋a (a>0)在[1，＋∞)上的最大值为33
，则a 的值为________．
4．如果函数y ＝f(x)的图象如图所示，那么导函数y ＝f′(x)的图象可能是____________．
5．设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥43
， 则p 是q 的 条件.
6．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取极值10，则f (2)＝________.．
7．设函数f(x)＝ax 3－3x ＋1(x ∈R)，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则a
＝________.
8．已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋c ，其导函数f′(x)的图象如图，则函数
f(x)的极小值是__________．
二．解答题
9．已知函数f(x)＝13x 3－a ＋12
x 2＋bx ＋a(a ，b∈R)，且其导函数f′(x)的图象过原点． (1)当a ＝1时，求函数f(x)的图象在x ＝3处的切线方程；
(2)若存在x<0，使得f′(x)＝－9，求a 的最大值；
(3)当a>0时，求函数f(x)的零点个数．
10．已知f(x)＝2ax －b x ＋lnx 在x ＝1与x ＝12
处都取得极值． (1)求a ，b 值；
(2)若对x∈[14
，1]时f(x) 【高考地位】 导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试卷难度考查较大. 【方法点评】 类型一利用导数研究函数的极值 使用情景：一般函数类型 解题模板：第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ； 第二步求方程'()0f x =的根； 第三步 判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步 利用结论写出极值. 例1 已知函数x x x f ln 1 )(+= ，求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1，无极大值. 【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0f x =，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性，进而求出函数()f x 的极大值和极小值． 【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则(2)f 等于（ ） A ．11或18 B ．11 C ．18 D ．17或18 【答案】C 【解读】 试卷分析：b ax x x f ++='23)(2,???=+++=++∴1010232 a b a b a ???-==????=----=?114012232b a a a a b 或???=-=33 b a ．当???=-=3 3 b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值． 当? ??-==114b a 时， )1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ，0)(),1,3 11 (<'- ∈∴x f x ；0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意． 所 高中数学专题训练 导数的应用——极值与最值一、选择题 1．函数y＝ax3＋bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和1 3，则() A．a－2b＝0B．2a－b＝0 C．2a＋b＝0 D．a＋2b＝0 答案 D 解析y′＝3ax2＋2bx，据题意， 0、1 3是方程3ax 2＋2bx＝0的两根 ∴－2b 3a＝ 1 3，∴a＋2b＝0. 2．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝() A. 1 ln2B．－ 1 ln2 C．－ln2 D．ln2 答案 B 解析由y＝x·2x得y′＝2x＋x·2x·ln2 令y′＝0得2x(1＋x·ln2)＝0 ∵2x＞0，∴x＝－ 1 ln2 3．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则() A．0＜b＜1 B．b＜1 C．b＞0 D．b＜1 2 答案 A 解析f(x)在(0,1)内有极小值，则f′(x)＝3x2－3b在(0,1)上先负后正，∴f′(0)＝－3b＜0， ∴b＞0，f′(1)＝3－3b＞0，∴b＜1 综上，b的范围为0＜b＜1 4．连续函数f(x)的导函数为f′(x)，若(x＋1)·f′(x)>0，则下列结论中正确的是() A．x＝－1一定是函数f(x)的极大值点 B．x＝－1一定是函数f(x)的极小值点 C．x＝－1不是函数f(x)的极值点 D．x＝－1不一定是函数f(x)的极值点 答案 B 解析x>－1时，f′(x)>0 x<－1时，f′(x)<0 ∴连续函数f(x)在(－∞，－1)单减，在(－1，＋∞)单增，∴x＝－1为极小值点． 5．函数y ＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是( ) A ．－173 B ．－103 C ．－4 D ．－643 答案 A 解析 y ′＝x 2＋2x －3. 令y ′＝x 2＋2x －3＝0，x ＝－3或x ＝1为极值点． 当x ∈[0,1]时，y ′<0.当x ∈[1,2]时，y ′>0，所以当x ＝1时，函数取得极小值，也为最小值． ∴当x ＝1时，y min ＝－173. 6．函数f (x )的导函数f ′(x )的图象，如右图所示，则( ) A ．x ＝1是最小值点 B ．x ＝0是极小值点 C ．x ＝2是极小值点 D ．函数f (x )在(1,2)上单增 答案 C 解析 由导数图象可知，x ＝0，x ＝2为两极值点，x ＝0为极大值点，x ＝2为极小值点，选C. 7．已知函数f (x )＝12x 3－x 2－72x ，则f (－a 2)与f (－1)的大小关系为( ) A ．f (－a 2)≤f (－1) B ．f (－a 2) 求极值与最值的方法 1 引言 在当前的数学教育中，求初等函数的极值与最值占有比较重要的位置，由于其解法灵活，综合性强，能力要求高，故而解决这类问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用各种数学技能，灵活选择合理的解题方法。下面我们将要介绍多种求初等函数的极值和最值的方法。 2 求函数极值的方法 极值定义：设函数()f x 在0x 的某邻域内有定义，且对此邻域内任一点 x 0()x x ≠，均有0()()f x f x <，则称0()f x 是函数错误！未找到引用源。的一个极大值；同样如果对此邻域内任一点x 0()x x ≠，均有错误！未找到引用源。，则称0()f x 是函数错误！未找到引用源。的一个极小值。函数的极大值与极小值统称为函数的极值。使函数取得极值的点0x ，称为极值点。 2.1 求导法 判别方法一： 设()f x 在点0x 连续，在点错误！未找到引用源。的某一空心邻域内可导。当 x 由小增大经过错误！未找到引用源。时，如果： (1)'()f x 由正变负，那么0x 是极大值点； (2)错误！未找到引用源。由负变正，那么0x 是极小值点； (3)错误！未找到引用源。不变号，那么0x 不是极值点。 判别方法二： 设()f x 在点0x 处具有二阶导数,且'()0f x =,''()0f x =。 (1)如果''()0f x <，则()f x 在点0x 取得极大值； (2)如果''()0f x >，则()f x 在点0x 取得极小值。 判别方法三： 设()f x 在点0x 有n 阶导数，且0)()()(0)1(00===''='-x f x f x f n 0)(0)(≠x f n ，则： （1）当为偶数时，)(x f 在0x 取极值，有0)(0)( 导数中恒成立问题（最值问题） 恒成立问题是高考函数题中的重点问题，也是高中数学非常重要的一个模块，不管是小题，还是大题，常常以压轴题的形式出现。 知识储备（我个人喜欢将参数放左边，函数放右边） 先来简单的（也是最本质的）如分离变量后，()a f x ≥恒成立，则有max ()a f x ≥ ()a f x ≤恒成立，则有min ()a f x ≤ （若是存在性问题，那么最大变最小，最小变最大） 1.对于单变量的恒成立问题 如：化简后我们分析得到，对[],x a b ?∈，()0f x ≥恒成立，那么只需min ()0f x ≥ [],x a b ?∈，使得()0f x ≥，那么只需max ()0f x ≥ 2.对于双变量的恒成立问题 如：化简后我们分析得到，对[]12,,x x a b ?∈，12()()f x g x ≥，那么只需min max ()()f x g x ≥ 如：化简后我们分析得到，对[]1,x a b ?∈，[]2,x c d ?∈使12()()f x g x ≥，那么只需 min min ()()f x g x ≥ 如：化简后我们分析得到，[]1,x a b ?∈，[]2,x c d ∈使12()()f x g x ≥，那么只需max min ()()f x g x ≥ 还有一些情况了，这里不一一列举，总之一句话（双变量的存在性与恒成立问题，都是先处理一个变量，再处理另一个变量） 3.对于带绝对值的恒成立问题，我们往往先根据函数的单调性，去掉绝对值，再转变成恒成立问题（201 4.03苏锡常镇一模那题特别典型） 今天呢，我会花很多时间来讲解一道二次函数，因为二次函数是最本质的，（甚至我提出这样一个观点，所有导数的题目95%归根结底就是带参数二次函数在已知定义域上根的讨论，3%是 ax b +与3ax b +这种形式根的讨论，2%是观察法得到零点，零点通常是1 1,,e e 之类） ，所以如果我们真正弄清楚了二次函数，那么对于千变万化的导数题，我们还会畏惧吗。 那么我们先从一道练习题说起 一．二次函数型（通常方法是讨论对称轴，根据图像求最值） 例题1.已知()f x =R ，求a 的取值范围 思考：① 引入定义域（非R ） ②参数在二次项，就需考虑是否为0 ③引入高次（3次，4次，1 x ，ln x ，x e 等等） ④引入2a ，3a 等项（导致不能分离变量） 【高考地位】 导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大. 【方法点评】 类型一 利用导数研究函数的极值 使用情景：一般函数类型 解题模板：第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ； 第二步 求方程'()0f x =的根； 第三步 判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步 利用结论写出极值. 例1 已知函数x x x f ln 1 )(+= ，求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1，无极大值. 【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0f x =，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性，进而求出函数()f x 的极大值和极小值． 【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则(2)f 等于（ ） A ．11或18 B ．11 C ．18 D ．17或18 【答案】C 【解析】 试题分析：b ax x x f ++='23)(2,???=+++=++∴1010232 a b a b a ???-==????=----=?114012232b a a a a b 或???=-=33 b a ．当???=-=3 3 b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值． 当???-==11 4b a 时， )1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ，0)(),1,3 11 (<'- ∈∴x f x ；0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意． 所以???-==114b a ．181622168)2(=+-+=∴f ．故选C ． 考点：函数的单调性与极值． 【变式演练2】设函数()21 ln 2 f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为 （ ） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,+∞ D ．()(),10,-∞-+∞U 【答案】B 【解析】 考点：函数的极值． 【变式演练3】函数x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-=在)4,0(上无极值，则=m _____. 【答案】3 【解析】 试题分析：因为x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-= ， 所以()()2'()(1)2(1)21f x x m x m x x m =-++-=--+，由()'0f x =得2x =或1x m =-，又因为 三、知识新授 （一）函数极值的概念 （二）函数极值的求法：（1）考虑函数的定义域并求f'(x); （2）解方程f'(x)=0，得方程的根x (可能不止一个） （3）如果在x 0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x )是 极大值；反之，那么f(x ）是极大值 题型一图像问题 1、函数() f x的导函数图象如下图所示，则函数() f x在图示区间上（） （第二题图） A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点 2、函数() f x的定义域为开区间() a b ，，导函数() f x '在() a b ，内的图象如图所示，则函数() f x在 开区间() a b ，内有极小值点（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3、若函数2 () f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数() f x '的图象可能为（） D. C. B. A. 4、设() f x '是函数() f x的导函数，() y f x ' =的图象如下图所示，则() y f x =的图象可能是（） C. A. 5、 已知函数 () f x 的导函数 () f x '的图象如右图所示，那么函数()f x 的图象最有可能的是（ ） -1 1 f '(x ) y x O 6、()f x '是()f x 的导函数，()f x '的图象如图所示，则()f x 的图象只可能是（ ） 2x O 22D. C. B. A. O x O x x O x y 7、如果函数 () y f x =的图象如图，那么导函数()y f x '=的图象可能是（ ） y y y x x x y x D C A x y y=f(x) 二元函数的极值与最值 二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点，现对二元函数的极值与最值的求法总结如下： 1．二元函数的无条件极值 (1) 二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得。对于不可导点，难以判断是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。 (2)二元函数取得极值的必要条件： 设),(y x f z =在点),(00y x 处可微分且在点),(00y x 处有极值，则0),('00=y x f x ，0),('00=y x f y ，即),(00y x 是驻点。 (3) 二元函数取得极值的充分条件：设),(y x f z =在),(00y x 的某个领域内有连续上二阶偏导数，且=),('00y x f x 0),('00=y x f y ，令A y x f xx =),('00， B y x f xy =),('00，C y x f yy =),('00，则 当02<-AC B 且 A<0时，f ),(00y x 为极大值； 当02<-AC B 且A>0，f ),(00y x 为极小值； 02 >-AC B 时，),(00y x 不是极值点。 注意： 当B 2－AC = 0时，函数z = f (x , y )在点),(00y x 可能有极值，也可能没有极值，需另行讨论 例1 求函数z = x 3 + y 2 －2xy 的极值． 【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值. 【解】先求函数的一、二阶偏导数： y x x z 232 -=??， x y y z 22-=??． x x z 62 2 =??, 22 -=???y x z , 2 2 2 =??y z ． 再求函数的驻点．令x z ??= 0，y z ??= 0，得方程组???=-=-. 022,0232x y y x 求得驻点(0，0)、），（3 2 32． 利用定理2对驻点进行讨论： 导数在研究函数中的应用 知识梳理 一 函数的单调性 1、利用导数的符号判断函数的单调性： 一般地，设函数在某个区间可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数；如果在某区间内恒有，则为常数； 2、对于可导函数来说，是在某个区间上为增函数的充分非必要条件，是在某个区间上为减函数的充分非必要条件。 3、利用导数判断函数单调性的步骤： ①求函数f (x )的导数f ′(x ). ②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间. 4、已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则；若函数单调递减，则”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解． 二 函数极大值、极小值 1、极大值：如果是函数f(x)在某个开区间上的最大值点，即不等式 对一切 成立，就说函数f(x)在处取到极大值，并称为函数f(x)的一个极大值点，为f(x) 的一个极大值。 2、极小值：如果是函数f(x)在某个开区间上的最小值点，即不等式 对一切 成立，就说函数f(x)在处取到极小值，并称为函数f(x)的一个极小值点，为f(x) 的一个极小值。 3、极大值与极小值统称为极值 ，极大值点与极小值点统称为极值点；若，则叫做函数f(x)的驻点；可导函数的极值点必为驻点，但驻点不一定是极值点。 4、判别f (c )是极大、极小值的方法:若满足，且在c 的两侧的导数异号，则c 是的极值点，是极值，并且如果在c 两侧满足“左正右负”，则c 是的极大值点，是极大值；如果在c 两侧满足“左负右正”，则c 是的极小值点，是极小值 5、求可导函数f (x )的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) (2)求f(x)的驻点，即求方程f ′(x )=0的根 (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x )在这个根处无极值 三 函数的最大值和最小值 在区间[a ，b]上连续的函数f 在[a ，b]上必有最大值与最小值。求闭区间上连续的函数的最大值和最小值的思想方法和步骤： )(x f y ='f )(x 0>)(x f 'f 0)( 函数的极值和最值 【考纲要求】 1.掌握函数极值的定义。 2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件. 3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值 4.会求给定闭区间上函数的最值。 【知识网络】 【考点梳理】 要点一、函数的极值 函数的极值的定义 一般地，设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义， （1）若对于0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作 )(0x f y =极大值； （2）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f >，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作 )(0x f y =极小值. 极大值与极小值统称极值. 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 要点诠释： 求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '； ③求方程0)(='x f 的根； ④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点二、函数的最值 1.函数的最大值与最小值定理 若函数()y f x =在闭区间],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上必有最大值和最小值；在开区间),(b a 内连 函数的极值和最值 函数在闭区间上的最大值和最小值 函数的极值 函数极值的定义 函数极值点条件 求函数极值 续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值.如1 ()(0)f x x x = >. 要点诠释： ①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。 ②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。 2.通过导数求函数最值的的基本步骤： 若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下： （1）求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '； （2）求方程0)(='x f 在),(b a 内的根； （3）求在),(b a 内使0)(='x f 的所有点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ，)(b f ； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值，最小者为函数 ()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值. 【典型例题】 类型一：利用导数解决函数的极值等问题 例1.已知函数.,33)(23R m x x mx x f ∈-+=若函数1)(-=x x f 在处取得极值，试求m 的值，并求 )(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程； 【解析】2'()363,.f x mx x m R =+-∈ 因为1)(-=x x f 在处取得极值 所以'(1)3630f m -=--= 所以3m =。 又(1)3,'(1)12f f == 所以)(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程312(1)y x -=- 即1290x y --=. 举一反三： 【变式1】设a 为实数，函数()22,x f x e x a x =-+∈R ． (1)求()f x 的单调区间与极值； 高考数学专题：导数应用-极值最值问题一、选择题 1．函数y＝ax3＋bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和1 3，则() A．a－2b＝0B．2a－b＝0 C．2a＋b＝0 D．a＋2b＝0 答案 D 解析y′＝3ax2＋2bx，据题意， 0、1 3是方程3ax 2＋2bx＝0的两根 ∴－2b 3a＝ 1 3，∴a＋2b＝0. 2．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝() A. 1 ln2B．－ 1 ln2 C．－ln2 D．ln2 答案 B 解析由y＝x·2x得y′＝2x＋x·2x·ln2 令y′＝0得2x(1＋x·ln2)＝0 ∵2x＞0，∴x＝－ 1 ln2 3．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则() A．0＜b＜1 B．b＜1 C．b＞0 D．b＜1 2 答案 A 解析f(x)在(0,1)内有极小值，则f′(x)＝3x2－3b在(0,1)上先负后正，∴f′(0)＝－3b＜0， ∴b＞0，f′(1)＝3－3b＞0，∴b＜1 综上，b的范围为0＜b＜1 4．连续函数f(x)的导函数为f′(x)，若(x＋1)·f′(x)>0，则下列结论中正确的是() A．x＝－1一定是函数f(x)的极大值点 B．x＝－1一定是函数f(x)的极小值点 C．x＝－1不是函数f(x)的极值点 D．x＝－1不一定是函数f(x)的极值点 答案 B 解析x>－1时，f′(x)>0 x<－1时，f′(x)<0 ∴连续函数f(x)在(－∞，－1)单减，在(－1，＋∞)单增，∴x＝－1为极小值点． 5．函数y＝x3 3＋x 2－3x－4在[0,2]上的最小值是() A．－17 3B．－ 10 3 函数极值与最值研究 摘要：在实际问题中, 往往会遇到一元函数.二元函数，以及二元以上的多元函数的最值问题和极值问题等诸多函数常见问题。求一元函数的极值，主要方法有:均值等式法，配方法，求导法等。求一元函数的最值，主要方法有:函数的单调性法，配方法，判别式法，复数法，导数法，换元法等。求二元函数极值，主要方法有：条件极值拉格朗日乘数法，偏导数法等。求二元函数最值，主要方法有:均值不等式法，换元法，偏导数法等。对于多元函数，由于自变量个数的增加, 从而使该问题更具复杂性，求多元函数极值方法主要有：条件极值拉格朗日法, 等，对于多元函数最值问题与一元函数类似可以用极值来求函数的最值问题.主要方法有：向量法，均值不等式法，换元法，消元法，柯西不等式法，数形结合法等， 关键词：函数，极值，最值，极值点,方法技巧． Abstract: in practical problems,often encounter a unary function. The function of two variables, and multiplefunctions of two yuan more than the most value questionand extremum problems and many other functions of common problems. Extremum seeking a binary function,the main methods are: inequality extremum method,distribution method, derivation etc.. The value for theelement function, the main methods are: monotone method, function method, the discriminant method,complex method, derivative method, substitution methodetc.. For two yuan value function, the main methods are:conditional extremum of Lagrange multiplier method etc..Ask two yuan to the value function, the main methods are:mean inequality method, substitution method, partial derivative method etc.. For multivariate function, due to the increased number of 导数在研究函数中的应用 知识梳理 一 函数的单调性 1、利用导数的符号判断函数的单调性： 一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，如果'f )(x 0>，则)(x f 为增函数；如果'f 0)( 三、知识新授 (一) 函数极值的概念 (二) 函数极值的求法：(1)考虑函数的定义域并求f(x); (2) 解方程f(x)=O ，得方程的根X o (可能不止一个) (3) 如果在x o 附近的左侧f(x)>0,右侧f(x)<0,那么f(x o )是 极大值；反之，那么f(x o )是极大值 题型一图像问题 1、函数f(x)的导函数图象如下图所示，贝U 函数 f(x)在图示区间上( 2、函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f(x)在(a , b)内的图象如图所示，贝U 函数f(x)在 开区间(a ,b)内有极小值点 ( A ?无极大值点，有四个极小值点 C ?有两个极大值点，两个极小值点 B ?有三个极大值点，两个极小值点 D ?有四个极大值点，无极小值点 A . 1个 .3个 D . 4个 B . 2 个 C 2 A. B. C. D. 5、已知函数f x的导函数f x的图象如右图所示，那么函数f x的图象最有可能的是（） f °）是f（x）的导函 数, f（x）的图象只可能是（ ） f（X）的图象如图所示， 则 f（X）的图象可能是（ ） x的图象如图，那么导函数y 7、如果函数y &如图所示是函数y f(x)的导函数y f (x)图象，则下列哪一个判断可 能是正确的( A .在区间(2 ,0)内y f(x)为增函数 B .在区间(0 ,3)内y f(x)为减函数 C .在区间(4 ,)内y f(x)为增函数 D .当x 2时y f (x)有极小值 9、如果函数y f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判 断: ①函数y f(x)在区间3, 1内单调递增; ②函数y f(x)在区间1,3内单调递减； 2 ③函数y f(x)在区间(4 , 5)内单调递增； ④当x 2时，函数y f(x)有极小值； ⑤当x 1时，函数y f(x)有极大值； 则上述判断中正确的是 ____________ . 11、己知函数f x ax c，其导数f(X)的图象如图所示，贝U函数f x的极小值是( A . a b c B . 8a 4b c C . 3a 2b D . c 1 10、函数f(x) x3x22的图象大致是() A B C D 第3章导数的应用 函数的极值与最值 【教学目的】：1?理解函数的极值的概念； 2.掌握求函数的极值的方法； 3.了解最大值和最小值的定义； 4.掌握求函数的最值的方法； 5.会求简单实际问题中的最值。 【教学重点】： 1.函数极值的第一充分条件，第二充分条件； 2.导数不存在情况下极值的判定； 3.函数最值的求解方法； 4.函数的最值的应用。 【教学难点】： 1.导数不器在情况下极值的判定； 2.区分函数的驻点、拐点、极值点以及最值点； 3.区分极值点与极值，最值点与最值； 4.函数的最值的应用。 【教学时数】：2学时 【教学过程】： 3. 3.1函数的极值 从图3-7可以看出，函数y = /(x)在点勺、心处的函数值儿、儿 比它们近旁各点的函数值都大； 在点河、些、入处的函数值儿、 儿、儿比它们近旁各点的函数值 都小，因此，给出函数极值的如 下定义： 一般地，设函数y = /(x) 在旺 的某邻域内有定义，若对于?邻域内不同于厲的所有x，均有/(x) < /(“),则称/(儿)是函数y = f(x)的一个极大值，心称为极大值点；若对于耳邻域内不同于％的所有x,均 有f(x) > /(x0),则称/g)是函数y = /(x)的一个极小值，?称为极小值点. 函数的极大值与极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点. 注意可导函数的极值点必是它的驻点，但反过来是不成立的，即可导函数的驻点不一定是它的极值点. 极值的第一充分矗件设函数y = /(x)在点心的邻域内可导且广凤)=0,则 (1)如果当x取兀左侧邻近的值时，广(心)>0；当x取心右侧邻近的值时, /V0）＜0，则;为函数y = /（x）的极大值点，/（%）为极大值； 函数的极值和最值 考纲要求】 1.掌握函数极值的定义。 2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件. 3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值 4.会求给定闭区间上函数的最值。 知识网络】 【考点梳理】 要点一、函数的极值 函数的极值的定义 一般地，设函数f (x) 在点x= x0及其附近有定义， (1)若对于x0附近的所有点，都有f(x)f(x0)，则f(x0)是函数f (x)的一个极大值，记作y极大值= f (x0) ； (2 )若对x0附近的所有点，都有f (x) f(x0)，则f(x0)是函数f(x) 的一个极小值，记作y极小值= f (x0). 极大值与极小值统称极值. 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 要点诠释： 求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数f(x) ； ③求方程f(x)=0的根； ④检查f'(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则 f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点二、函数的最值 1.函数的最大值与最小值定理 若函数y= f(x)在闭区间［a,b］上连续，则f(x)在［a,b］上必有最大值和最小值；在开区间(a,b)内连续的函数f (x)不一定有最大值与最小值.如f(x)=1(x0). x 要点诠释： ①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。 ②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。 2.通过导数求函数最值的的基本步骤： 若函数y= f (x)在闭区间［a,b］有定义，在开区间(a,b)内有导数，则求函数y = f(x)在［a,b］上的最大值和最小值的步骤如下： (1)求函数f (x)在(a,b)内的导数f(x)； (2)求方程f(x)=0在(a,b) 内的根； (3)求在(a,b)内使f(x) = 0的所有点的函数值和f (x)在闭区间端点处的函数值f(a)，f(b)； (4)比较上面所求的值，其中最大者为函数y = f (x)在闭区间［a,b］上的最大值，最小者为函数y = f (x)在闭区间［a,b］上的最小值. 【典型例题】 类型一：利用导数解决函数的极值等问题 例 1.已知函数f(x)=mx3+3x2-3x,m R.若函数f (x)在x = -1处取得极值，试求m的值，并求f (x)在点M(1, f (1))处的切线方程； 【解析】f '(x) = 3mx2+6x -3,m R. 因为f (x)在x = -1处取得极值 所以f'(-1)=3m-6-3=0 所以m=3。 又f (1)= 3, f '(1)= 12 所以f (x)在点M (1, f (1))处的切线方程y -3 =12(x -1) 即12x-y-9=0. 举一反三： 【变式1】设a为实数，函数f (x)=e x -2x+2a,x R． (1)求f( x) 的单调区间与极值； (2)求证：当a ln2-1且x0时，e x x2-2ax+1． 解析】(1)由f(x)=e x-2x+2a,x R知f(x)=e x -2,x R． 令f(x) = 0 ，得x = ln 2 ．于是当x变化时，f(x), f (x)的变化情况如下表： 高考数学导数与函数的极值、最值 最新考纲了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次). 知识梳理 1.函数的极值与导数 (1)判断f(x0)是极值的方法 一般地，当函数f(x)在点x0处连续且f′(x0)＝0， ①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧f′(x)≤0，右侧f′(x)≥0，那么f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤 ①求f′(x)； ②求方程f′(x)＝0的根； ③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值. 2.函数的最值与导数 (1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. (2)设函数f(x)在[a，b]上连续且在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f(x)在(a，b)内的极值； ②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.() (2)函数的极大值不一定比极小值大.() (3)对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0点为极值点的充要条件.( ) (4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( ) 解析 (1)函数在某区间上或定义域内的极大值不唯一.(3)x 0为f (x )的极值点的充要条件是f ′(x 0)＝0，且x 0两侧导数符号异号. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2.函数f (x )＝－x 3＋3x ＋1有( ) A.极小值－1，极大值1 B.极小值－2，极大值3 C.极小值－2，极大值2 D.极小值－1，极大值3 解析 因为f (x )＝－x 3＋3x ＋1，故有y ′＝－3x 2＋3，令y ′＝－3x 2＋3＝0，解得x ＝±1， 于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： 答案 D 3.(选修2－2P32A4改编)如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 由题意知在x ＝－1处f ′(－1)＝0，且其左右两侧导数符号为左负右正. 答案 A 4.函数y ＝2x 3－2x 2在区间[－1，2]上的最大值是________. 解析 y ′＝6x 2－4x ，令y ′＝0，得x ＝0或x ＝23. ∵f (－1)＝－4，f (0)＝0，f ? ???? 23＝－827，f (2)＝8, 所以最大值为8. 答案 8 5.函数f (x )＝ln x －ax 在x ＝1处有极值，则常数a ＝________. 二元函数的极值与最值解读 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 二元函数的极值与最值 二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点,现对二元函数的极值与最值的求法总结如下: １．二元函数的无条件极值 (1） 二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得。对于不可导点，难以判断是否是极值点;对于驻点可用极值的充分条件判定。 （2）二元函数取得极值的必要条件： 设),(y x f z =在点),(00y x 处可微分且在点),(00y x 处有极值，则0),('00=y x f x ,0),('00=y x f y ,即),(00y x 是驻点。 (3） 二元函数取得极值的充分条件：设),(y x f z =在),(00y x 的某个领域内有连续上二阶偏导数，且=),('00y x f x 0),('00=y x f y ,令A y x f xx =),('00， B y x f xy =),('00， C y x f yy =),('00，则 当02<-AC B 且 A<0时，f ),(00y x 为极大值; 当02<-AC B 且A>0,f ),(00y x 为极小值； 02>-AC B 时,),(00y x 不是极值点。 注意: 当B 2－AC = ０时，函数z = f （ｘ, ｙ)在点),(00y x 可能有极值,也可能没有极值，需另行讨论 例1 求函数ｚ = x 3 + y ２ -２ｘy 的极值． 【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点,先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值. 【解】先求函数的一、二阶偏导数: y x x z 232 -=??,x y y z 22-=??.x x z 622=??， 22-=???y x z , 22 2=??y z . 再求函数的驻点.令x z ??= 0，y z ??= 0，得方程组???=-=-.022,0232x y y x 求得驻点(0，０)、），（3 2 32. 利用定理2对驻点进行讨论：导数与函数极值、最值问题
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