2011届高考数学解题思想方法-换元法

二、换元法

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过

变形才能发现。例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t>0），而变为熟悉的一

元二次不等式求解和指数方程的问题。

三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝x＋1-x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sin2

α，α∈[0,π

2

]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该

是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。

均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S

2

＋t，y＝

S

2

－t等等。

我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中

的t>0和α∈[0,π

2

]。

Ⅰ、再现性题组：

1.y＝sinx2cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。

2.设f(x2＋1)＝log

a

(4－x4) （a>1），则f(x)的值域是_______________。

3.已知数列{a

n }中，a

1

＝－1，a

n+1

2a

n

＝a

n+1

－a

n

，则数列通项a

n

＝___________。[来

源:https://www.360docs.net/doc/c09770206.html,]

4.设实数x、y满足x2＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。

5.方程13

13

+

+

-x

x

＝3的解是_______________。

6.不等式log

2(2x－1) 2log

2

(2x+1－2)〈2的解集是_______________。

【简解】1小题：设sinx+cosx ＝t ∈[－2,2]，则y ＝t 2

2

＋t －12，对称轴t ＝－1，

当t ＝2，y max ＝1

2

＋2；[来源:Z*xx*https://www.360docs.net/doc/c09770206.html,]

2小题：设x 2

＋1＝t (t ≥1)，则f(t)＝log a [-(t-1)2

＋4]，所以值域为(－∞,log a 4]；[来源:学。科。网] 3小题：已知变形为

11

a n +－

1a n ＝－1,设b n ＝1

a n

，则b 1＝－1,b n ＝－1＋(n －1)(-1)＝－n ，所以a n ＝－

1n

； 4小题：设x ＋y ＝k ，则x 2

－2kx ＋1＝0, △＝4k 2

－4≥0,所以k ≥1或k ≤－1； 5小题：设3x

＝y ，则3y 2

＋2y －1＝0,解得y ＝

1

3

，所以x ＝－1； 6小题：设log 2(2x

－1)＝y ，则y(y ＋1)<2，解得－2

4

,log 23)。 Ⅱ、示范性题组：

例1. 实数x 、y 满足4x 2

－5xy ＋4y 2

＝5 （ ①式） ，设S ＝x 2

＋y 2

，求1S m a x

＋

1S min

的值。（93年全国高中数学联赛题）

【分析】 由S ＝x 2＋y 2联想到cos 2α＋sin 2

α＝1,于是进行三角换元，设

x S y S ==??

???cos sin α

α

代入①式求S max 和S min 的值。 【解】设x S y S ==?????cos sin αα

代入①式得： 4S －5S 2sin αcos α＝5 [来源:学科网ZXXK]

解得 S ＝

10

852-sin α

；

∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 ∴

1013≤1085-sin α≤103

∴

1S max

＋

1S min

＝

310＋1310＝1610＝8

5

此种解法后面求S 最大值和最小值，还可由sin2α＝810

S S

-的有界性而求，即解不等式：|

810

S S

-|≤1。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。

【另解】由S＝x2＋y2，设x2＝S

2

＋t，y2＝

S

2

－t，t∈[－

S

2

，

S

2

]，

则xy＝±S

t

2

2

4

－代入①式得：4S±5

S

t

2

2

4

－=5，

移项平方整理得 100t2+39S2－160S＋100＝0 。

∴ 39S2－160S＋100≤0 解得：10

13

≤S≤

10

3

∴

1

S

max

＋

1

S

min

＝

3

10

＋

13

10

＝

16

10

＝

8

5

【注】此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件S＝x2＋y2与三角公式cos2α＋sin2α＝1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式S＝x2＋y2而按照均值换元的思路，设x2＝S

2

＋t、y2＝S

2

－t，减少了元的个数，问题且容易求解。另外，还用到了求值域的几种方法：有界法、不等式性质法、分离参数法。

和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量x、y时，可以设x

＝a＋b，y＝a－b，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。本题设x＝a＋b，y＝a

－b，代入①式整理得3a2＋13b2＝5 ，求得a2∈[0,5

3

]，所以S＝(a－b)2＋(a＋b)2＝2(a2

＋b2)＝10

13

＋

20

13

a2∈[

10

13

,

10

3

]，再求

1

S

max

＋

1

S

min

的值。

例2．△ABC的三个内角A、B、C满足：A＋C＝2B，1

cos A ＋

1

cos C

＝－

2

cos B

，求cos

A C

-

2

的值。（96年全国理）

【分析】由已知“A＋C＝2B”和“三角形内角和等于180°”的性质，可得

A C

B

+=

?

?

?

120

60

°

＝°

；

由“A＋C＝120°”进行均值换元，则设

A

C

＝°α

＝°－α

60

60

+

?

?

?

，再代入可求cosα即cos

A C

-

2

。

【解】由△ABC中已知A＋C＝2B，可得

A C

B

+=

?

?

?

120

60

°

＝°

,

由A＋C＝120°，设

A

C

＝°α

＝°－α

60

60

+

?

?

?

，代入已知等式得：

1 cos A ＋

1

cos C

＝

1

60

cos()

?+α

＋

1

60

cos()

?-α

＝

1

1

2

3

2

cos sin

αα

-

＋1

1 2

3

2

cos sin

αα

+

＝

cos

cos sin

α

αα

1

4

3

4

22

-

＝

cos

cos

α

α2

3

4

-

＝－22,

解得：cosα＝

2

2

，即：cos

A C

-

2

＝

2

2

。

【另解】由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。所以

1

cos A

＋

1

cos C

＝－

2

cos B

＝－22，设

1

cos A

＝－2＋m，

1

cos C

＝－2－m ，

所以cosA＝

1

2

-+m

，cosC＝

1

2

--m

，两式分别相加、相减得：

cosA＋cosC＝2cos A C

+

2

cos

A C

-

2

＝cos

A C

-

2

＝

22

2

2

m-

，

cosA－cosC＝－2sin A C

+

2

sin

A C

-

2

＝－3sin

A C

-

2

＝

2

2

2

m

m-

，

即：sin A C

-

2

＝－

2

32

2

m

m

()

-

，＝－

22

2

2

m-

，代入sin2

A C

-

2

＋cos2

A C

-

2

＝1整理得：

3m4－16m－12＝0,解出m2＝6，代入cos A C

-

2

＝

22

2

2

m-

＝

2

2

。

【注】本题两种解法由“A＋C＝120°”、“

1

cos A

＋

1

cos C

＝－22”分别进行均值换

元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的运用相当熟练。假如未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：由A＋C＝2B，

得A＋C＝120°，B＝60°。所以

1

cos A

＋

1

cos C

＝－

2

cos B

＝－22，即cosA＋cosC＝－

22cosAcosC，和积互化得：

2cos A C

+

2

cos

A C

-

2

＝－2[cos(A+C)＋cos(A-C)，即cos

A C

-

2

＝

2

2

－2cos(A-C)

＝

2

2

－2(2cos2

A C

-

2

－1)，整理得：42cos2

A C

-

2

＋2cos

A C

-

2

－32＝0,

解得：cos A C

-

2

＝

2

2

例3. 设a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx2cosx－2a2的最大值和最小值。

【解】设sinx＋cosx＝t，则t∈[-2,2]，由(sinx＋

cosx)2＝1＋2sinx2cosx得：sinx2cosx＝t21 2 -

∴ f(x)＝g(t)＝－1

2

(t－2a)2＋

1

2

（a>0），t∈[-2,2]

t＝-2时，取最小值：－2a2－22a－1 2

当2a≥2时，t＝2，取最大值：－2a2＋22a－1

2

；[来源:https://www.360docs.net/doc/c09770206.html,]

当0<2a≤2时，t＝2a，取最大值：1

2

。

∴ f(x)的最小值为－2a2－22a－1

2

，最大值为

1

2

2

2

222

1

2

2

2

2

()

()

<<

-+-≥

?

?

??

?

?

?

a

a a a

。

【注】此题属于局部换元法，设sinx＋cosx＝t后，抓住sinx＋cosx与sinx2cosx的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。

换元过程中一定要注意新的参数的范围（t∈[-2,2]）与sinx＋cosx对应，否则将会出错。本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。

一般地，在遇到题目已知和未知中含有sinx与cosx的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为f(sinx±cosx，si nxcsox)，经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。

例4. 设对所于有实数x，不等式x2log

241

()

a

a

+

＋2x log

2

2

1

a

a+

＋log

2

()

a

a

+1

4

2

2

>0恒

成立，求a的取值范围。（87年全国理）

y

, ,

－22 x

【分析】不等式中log 241()a a +、 log 221a a +、log 2()a a

+142

2

三项有何联系？进行对数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。

【解】 设log 2

21a a +＝t ，则log 241()a a +＝log 2812()a a +＝3＋log 2a a

+12＝3－

log 221a a +＝3－t ，log 2()a a

+142

2

＝2log 2a a +12＝－2t ， 代入后原不等式简化为（3－t ）x 2

＋2tx －2t>0，它对一切实数x 恒成立，所以：

304830

2

->=+-???306或 ∴ t<0即log 221a

a +<0 0<

21

a

a +<1，解得0

元，关键是发现已知不等式中log 241()a a +、 log 221a a +、log 2()a a +142

2

三项之间的联系。

在解决不等式恒成立问题时，使用了“判别式法”。另外，本题还要求对数运算十分熟练。一

般地，解指数与对数的不等式、方程，有可能使用局部换元法，换元时也可能要对所给的已知条件进行适当变形，发现它们的联系而实施换元，这是我们思考解法时要注意的一点。

例5. 已知sin θx ＝cos θy ，且c o s 22θx ＋sin 22

θ

y

＝10322()x y + (②式)，求x y 的值。 【解】 设sin θx ＝cos θy

＝k ，则sin θ＝kx ，cos θ＝ky ，且sin 2θ＋cos 2θ＝k 2(x 2+y 2

)

＝1,代入②式得： k y x 222＋k x y

222＝10

322()x y +＝1032k 即：y x 22＋x y 22＝103 设x y

22＝t ，则t ＋1t ＝103 , 解得：t ＝3或1

3 ∴x y ＝±3或±33[来源:学。

科。网Z 。X 。X 。K]

【另解】 由x y ＝sin cos θθ＝tg θ，将等式②两边同时除以cos 22

θ

x

，再表示成含tg θ的式子：1＋tg 4

θ＝()()110311

2

2+?

+

tg tg θθ

＝103

tg 2θ，设tg 2θ＝t ，则3t 2

—10t ＋3＝0，[来源:https://www.360docs.net/doc/c09770206.html,]

∴t＝3或1

3

，解得

x

y

＝±3或±

3

3

。

【注】第一种解法由sinθ

x

＝

cosθ

y

而进行等量代换，进行换元，减少了变量的个数。

第二种解法将已知变形为x

y

＝

sin

cos

θ

θ

，不难发现进行结果为tgθ，再进行换元和变形。两种

解法要求代数变形比较熟练。在解高次方程时，都使用了换元法使方程次数降低。

例6. 实数x、y满足()

x-1

9

2

＋

()

y+1

16

2

＝1，若x＋y－k>0恒成立，求k的范围。

【分析】由已知条件()

x-1

9

2

＋

()

y+1

16

2

＝1，可以发现它与a2＋b2＝1有相似之处，于

是实施三角换元。

【解】由()

x-1

9

2

＋

()

y+1

16

2

＝1，设

x-1

3

＝cosθ，

y+1

4

＝sinθ，

即：

x

y

=+

=-+

?

?

?

13

14

cos

sin

θ

θ

代入不等式x＋y－k>0得：[来源:学_科_网Z_X_X_K]

3cosθ＋4sinθ－k>0，即k<3cosθ＋4sinθ＝5sin(θ+ψ)

所以k<-5时不等式恒成立。

【注】本题进行三角换元，将代数问题（或者是解析几何问题）化为了含参三角不等式恒成立的问题，再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题，从而求出参数范围。一般地，在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时，经常使用“三角换元法”。

本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法：在平面直角坐标系，不等式ax＋by ＋c>0 (a>0)所表示的区域为直线ax＋by＋c＝0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分。此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终

位于平面上x＋y－k>0的区域。即当直线x＋y－k＝0

在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相切

时，方程组

16191144

22

()()

x y

x y k

-++=

+-=

?

?

?

有相等的一组

实数解，消元后由△＝0可求得k＝－3,所以k<-3时原不等式恒成立。

Ⅲ、巩固性题组：

1.已知f(x3)＝lgx (x>0)，则f(4)的值为_____。y

x

x＋y－k>0

A. 2lg2

B.1

3lg2 C. 2

3

lg2 D. 2

3

lg4

2.函数y＝(x＋1)4＋2的单调增区间是______。[来源:Z。xx。https://www.360docs.net/doc/c09770206.html,]

A. [-2,+∞)

B. [-1,+∞) D. (-∞,+∞)

C. (-∞,-1]

3.设等差数列{a

n }的公差d＝1

2

，且S

100

＝145，则a

1

＋a

3

＋a

5

＋……＋a

99

的值为_____。

A. 85

B. 72.5

C. 60

D. 52.5

4.已知x2＋4y2＝4x，则x＋y的范围是_________________。

5.已知a≥0，b≥0，a＋b＝1，则a+1

2＋b+1

2

的范围是____________。

6.不等式x>ax＋3

2

的解集是(4,b)，则a＝________，b＝_______。

7.函数y＝2x＋x+1的值域是________________。[来源:学科网]

8.在等比数列{a

n }中，a

1

＋a

2

＋…＋a

10

＝2，a

11

＋a

12

＋…＋a

30

＝12，求a

31

＋a

32

＋…

＋a

60

。

9.实数m在什么范围内取值，对任意实数x，不

等式si n2x＋2mcosx＋4m－1<0恒成立。10.已知矩形ABCD，顶点C(4,4)，A点在曲线

x2＋y2＝2 (x>0,y>0)上移动，且AB、AD始终平行x轴、y轴，求矩形ABCD的最小面积。y D C

A B

O x