,2121(),2,2121(
22a
a F a a E ---； (3) 当2
2
>
a 时，方程②表示的是椭圆，故存在合乎题意的两个定点，即为椭圆的两个焦点：) )2
1(2
1,0(,))2
1(2
1,0(22---+a a F a a E ．
10. 解：（I ）因为AB 边所在直线的方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直， 所以直线AD 的斜率为3-． 又因为点(11)T -，在直线AD 上， 所以AD 边所在直线的方程为13(1)y x -=-+即320x y ++=．
（II ）由36032=0x y x y --=??
++?
，
解得点A 的坐标为(02)-，，
因为矩形ABCD 两条对角线的交点为(20)M ，． 所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心．
又AM ==
从而矩形ABCD 外接圆的方程为2
2
(2)8x y -+=．
（III ）因为动圆P 过点N ，所以PN 是该圆的半径，又因为动圆P 与圆M 外切，
所以PM PN =+
即PM PN -=
故点P 的轨迹是以M N ，
为焦点，实轴长为的双曲线的左支．
因为实半轴长a =
2c =
．所以虚半轴长b =
从而动圆P
的圆心的轨迹方程为22
1(22
x y x -=≤．
11. 解：（1）设切点A 、B 坐标分别为22
01110(,)(,)(()x x x x x x ≠和，
∴切线AP 的方程为：;022
00=--x y x x
切线BP 的方程为：;022
11=--x y x x
解得P 点的坐标为：101
0,2
x x y x x x P P =+=
所以△APB 的重心G 的坐标为 P P
G x x x x x =++=3
10
， 22
2201010101014(),3333
P p
P G x y y y y x x x x x x x x y -+++++-====
所以2
43G G p x y y +-=，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：
).24(3
1
,02)43(22+-==-+--x x y x y x 即
（2）方法1：因为2
201000111111
(,),(
,),(,).4244
x x FA x x FP x x FB x x +=-=-=-
由于P 点在抛物线外，则.0||≠
∴2010010012111
()()2444cos ,||||||1
||x x x x x x x x FP FA AFP FP FA FP FP x +?+--+
?∠=
== 同理有2011011012111
()()2444cos ,||||||1
||x x x x x x x x FP FB BFP FP FB FP FP x +?+--+
?∠=
==+ ∴∠AFP=∠PFB.
方法2：①当,0,0,,0000101==≠=y x x x x x 则不妨设由于时所以P 点坐标为
)0,2
(
1x ，则P 点到直线AF 的距离为：
,41
41:;2||1
2111x x x y BF x d -=-=的方程而直线
即.04
1
)41(1121=+
--x y x x x 所以P 点到直线BF
的距离为：22111
111221
||11|()|()||42124x x x x x x d x -++=
==+ 所以d 1=d 2，即得∠AFP=∠PFB.
②当001≠x x 时，直线AF 的方程：20200001
1114(0),()0,4044
x y x x x x y x x -
-=---+=-即 直线BF 的方程：212111111114(0),()0,4044
x y x x x x y x x --=---+=-即 所以P 点到直线AF 的距离为：
2
2201010010001120
111|()()||)()
||24124x x x x x x x x x x x d x +---++-==
=+ 同理可得到P 点到直线BF 的距离2
|
|012x x d -=，因此由d 1=d 2，可得到∠AFP=∠PFB.
12. （Ⅰ）证法一：设点P 的坐标为).,(y x
由P ),(y x 在椭圆上，得
.
)()()(||22222
2
2
2
1x a c
a x a
b b
c x y c x F +=-++=++= 由0,>+-≥+-≥a c x a
c
a a x 知，所以 .||1x a c a F +=
证法二：设点P 的坐标为).,(y x 记,||,||2211r F r F ==
则.)(,)(222221y c x r y c x r ++=++=
由.||,4,211222121x a c a r F cx r r a r r +
===-=+得 证法三：设点P 的坐标为).,(y x 椭圆的左准线方程为.0=+x a
c
a
由椭圆第二定义得a c c
a x F =+|
|||2
1，即.||||||2
1x a c a c a x a c F +=+=
由0,>+-≥+
-≥a c x a c a a x 知，所以.||1x a
c a P F +=
（Ⅱ）解法一：设点T 的坐标为).,(y x
当0||=时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上. 当|0||0|2≠≠TF PT 且时，由02=?TF PT ，得2TF PT ⊥. 又||||2PF =，所以T 为线段F 2Q 的中点. 在△QF 1F 2中，a F ==
||2
1
||1，所以有.222a y x =+ 综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.2
2
2
a y x =+
解法二：设点T 的坐标为).,(y x 当0||=时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上. 当|0||0|2≠≠TF PT 且时，由02=?TF PT ，得2TF PT ⊥.
又||||2PF =，所以T 为线段F 2Q 的中点.
设点Q 的坐标为（y x '',），则???
???
?'=+'=.
2,2y y c x x 因此???='-='.2,2y y c x x ① 由a Q F 2||1=得.4)(2
22a y c x ='++' ② 将①代入②，可得.2
2
2
a y x =+
综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.2
2
2
a y x =+
（Ⅲ）解法一：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是
?????=?=+.||22
1,
2
022
020b y c a y x 由③得a y ≤||0，由④得.||20c b y =
所以，当c
b a 2≥时，存在点M ，使S=2b ； 当c
b a 2
<时，不存在满足条件的点M
当c
b a 2
≥时，),(),,(002001y x c MF y x c MF --=---=，
由2
222022021b c a y c x MF MF =-=+-=?，
212121cos ||||MF F MF MF MF ∠?=?，
③ ④
22121sin ||||2
1
b MF F MF MF S =∠?=
，得.2tan 21=∠MF F 解法二：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是
?????=?=+.||22
1,
2
022020b y c a y x
由④得.||20c b y = 上式代入③得.0))((22242
20≥+-=-=c b a c b a c
b a x 于是，当c
b a 2≥时，存在点M ，使S=2b ；
当c
b a 2
<时，不存在满足条件的点M
当c b a 2
≥时，记c
x y k k c x y k k M F M F -==+==00
200121
,，
由,2||21a F F <知?<∠9021MF F ，所以.2|1|tan 2
1212
1=+-=∠k k k k MF F
13. 解：抛物线的焦点坐标为（1，0），当直线l 不垂直于x 轴时，设方程为y =k （x －1），
代入y 2
=4x ，
得k 2x 2－x （2k 2+4）+k 2
=0. 设l 方程与抛物线相交于两点， ∴k ≠0.设点A 、B 的坐标分别为（x 1，y 1）、（x 2，y 2），
根据韦达定理，有x 1+x 2=2
2)2(2k
k +，从而y 1+y 2=k （x 1+x 2－2）=k 4. 设△AOB 的重心为G （x ，y ），
x =3
021x x ++=32+234
k ，
y =3021y y ++=k
34，
∴y 2=34x －9
8.当l 垂直于x 轴时，A 、B 的坐标分别为（1，2）和（1，－2）， △AOB 的重心G （32，0），也适合y 2=34x －9
8， 因此所求轨迹C 的方程为y 2=34x －9
8.
14. 解：设点(,)M x y ，点M 到圆C 的切线的切点为P ，则 ||||MP MQ λ=
||MP ==||MQ =③ ④ 则
消去k ，得x =
32+34（4
3
y ）2，
∴
=整理，得：
2
2
2
2
2
2
(1)(1)4(14)0x y x λλλλ-+--++=
∴ 动点M 的轨迹方程为2
2
2
2
2
2
(1)(1)4(14)0x y x λλλλ-+--++= 当1λ=时，它表示直线450x -=
当1λ≠时，它的方程为2222
222
213()1(1)x y λλλλ+-+=--
2
|1|
λ-为半径的圆。 【拓展提高参考答案】
1. 解法一 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x ,y ) (x ≠0) 直线AB 的方程为x =my +a
由OM ⊥AB ，得m =－y
x
由y 2
=4px 及x =my +a ，消去x ,得y 2
－4p my －4pa =0
所以y 1y 2=－4pa , x 1x 2=2
2122
()(4)
y y a p = 所以，由OA ⊥OB ，得x 1x 2 =－y 1y 2 所以2
44a pa a p =?= 故x =my +4p ,用m =－
y x
代入，得x 2+y 2
－4px =0(x ≠0) 故动点M 的轨迹方程为x 2
+y 2
－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点
则OB 的方程为1
y x k
=-
，代入y 2=4px 得2(2,2)B pk pk -
由OM ⊥AB ，得
M 既在以OA 为直径的圆 22
2220p p x y x y k k
+-
-=……①上， 又在以OB 为直径的圆 2
2
2
220x y pk x pky +-+=……②上（O 点除外）， ①2
k ?+②得 x 2
+y 2
－4px =0(x ≠0)
故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2
－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，
去掉坐标原点
2.解：如图所示，以AB 所在直线为x 轴，以AB 中点为原点建立直角坐标系。 若这样界线存在，如图设点M 为此曲线上任一点，则由题义得：
BM PB AM PA +=+，即
100150-=-=-PA PB MB MA 50=
M 点∴的轨迹为以A 、B 为焦点的双曲线的右支（在矩形ABCD 内部的一段）
。 方程为：15775
6252
2=-y x ()25≥x （在矩形ABCD 内部的一段）。
求轨迹方程的几种常用方法
求轨迹方程的几种常用方法 求轨迹的方程，是学习解析几何的基础，求轨迹的方程常用的方法主要有： 1直接法： 若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生关系，这时，设曲线上动点坐标为( x, y )后，就可根据命题中的已知条件，研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有x,y 的关系式。从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称作直接法。 例1 ：在直角△ ABC中，斜边是定长2a (a 0)，求直角顶点C的轨迹方程。 解：由于未给定坐标系，为此，首先建立直角坐标系，取AB所在的直线为X轴，AB的中点0为坐 标原点，过0与AB垂直的直线为y轴(如图).则有A ( a,0), B (a,0)。 设动点C为(x, y), ??? | AC |2 |BC |2 |AB|2, a)2y2]2h(x a)2y2]24a2, 即x2 由于C点到达A、B位置时直角三角形ABC不存在，轨迹中应除去A、B两点, 故所求方程为x2y2a2( x a )。 2?代入法(或利用相关点法)： 即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解，就得到原动点的轨迹。 例2 :已知一条长为6的线段两端点A、B分别在x、y轴上滑动，点M在线段AB上，且AM : MB 1:2，求动点M的轨迹方程。 解：设 A (a,0) , B (0, b), M (x, y), 一方面，. 另一方面, 36 , M分AB的比为 1 , 2
评注：本例中，由于 M 点的坐标随着 A 、B 的变化而变化，因而动点 M 的坐标(x, y)可以用A 、B 点 的坐标来表示，而点 M 又满足已知条件，从而得到 M 的轨迹方程。此外，与上例一样，求曲线的方程时， 要充分注意化简过程是否完全同解变形，还要考虑曲线上的一些特殊点。 3.几何法： 求动点轨迹问题时，动点的几何特征与平面几何中的定理及有关平面几何知识有着直接或间接的联 系，且利用平面几何的知识得到包含已知量和动点坐标的等式，化简后就可以得到动点的轨迹方程，这种 求轨迹方程的方法称作几何法。 求动点P 的轨迹方程。 解：设P (x, y)，由题 APO BPO ，由三角形角平分线定理有 L P A | ^A 0-1 |PB| |BO| ..(x 6)2 y 2 3 3 , (x 2)2 y 2 整理得x 2 y 2 6x 0,当x 0时，y 0, P 和O 重合，无 意义，??? x 0, 又易知P 落在x 轴上时，除线段AB 以外的任何点均有 APO BPO 00 , ? y 0 ( x 6或x 2)也满足要求。 综上，轨迹方程为 x 2 y 2 6x 0 ( x 0)或y 0 (x 6或x 2 )。 评注：本例利用平面几何的知识(三角形的角平分线定理进行解题) ，方便了求轨迹的方程。 4.参数法： 有时很难直接找出动点的横、纵坐标之间关系。如果借助中间量(参数) 联系，然后再从所求式子中消去参数，这便可得动点的轨迹方程。 0 -b _2_ 1 - -b 3 a x 2 b 3y ②代入①得: 3 2 2 (評(3y) 2 36，即一 16 例3 :如图，已知两定点 A ( 6,0 ), B ( 2,0 ), O 为原点，动点 P 与线段AO 、BO 所张的角相等, ，使(x, y)之间的关系建立起
第四十讲曲线和方程(轨迹问题)(文)
名师作业练全能 第四十讲 曲线和方程（轨迹问题）（文） 班级 __________ 姓名____________ 考号 ____________ 日期 ___________ 得分____________ 括号内.） 1. 设线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，且|AB|= 5, oM = |O ）A +-5OB , 则点M 的轨迹方程为 2 2 x y , A — + ——=1 9 + 4 2 2 C z + 乞=1 C. 25+ 9 答案：A 2. 方程 x （x? + — 4） = 0 与 x + （x? + y — 4）2 = 0 表示的曲线是（ ） A .都表示一条直线与一个圆 B .前者是两个点，后者是一条直线和一个圆 C .都表示两个点 D .前者是一条直线和一个圆，后者是两个点 解析：x(x 2 + y 2— 4)= 0? x = 0 或 x 2 + y 2= 4; x 2 + (x 2 + y 2 — 4)2= 0? x = 0 且 x 2 + y 2 — 4 = 0. 答案：D 3. 设动点P 在直线x = 1上，O 为坐标原点，以 0P 为直角边、点 0为直角顶点作等 腰Rt △ OPQ ，则动点 Q 的轨迹是（ ） 2 2 r y X ’ B.勺 + = 1 9 4 2 2 D .2I +討 i 解析: 如图，设 M(x 、 (x , y)= |(X O ,O) +1(0, 3 x = |x o y o )，则 2 y =|y o y o =fy 由 |AB|= 5,得 2 !|x/+ gy)= 52 化简得；+ x o =1
数学百大经典例题-曲线和方程
典型例题一 例1 如果命题“坐标满足方程()0=y x f ，的点都在曲线C 上”不正确，那么以下正确的命题是 （A ）曲线C 上的点的坐标都满足方程()0=y x f ，． （B ）坐标满足方程()0=y x f ，的点有些在C 上，有些不在C 上． （C ）坐标满足方程()0=y x f ，的点都不在曲线C 上． （D ）一定有不在曲线C 上的点，其坐标满足方程()0=y x f ，． 分析：原命题是错误的，即坐标满足方程()0=y x f ，的点不一定都在曲线C 上，易知答案为D ． 典型例题二 例2 说明过点)1,5(-P 且平行于x 轴的直线l 和方程1=y 所代表的曲线之间的关系． 分析：“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可．其中“曲线上的点的坐标都是方程0),(=y x f 的解”，即纯粹性；“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，即完备性．这是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则． 解：如下图所示，过点P 且平行于x 轴的直线l 的方程为1-=y ，因而在直线l 上的点的坐标都满足1=y ，所以直线l 上的点都在方程1=y 表示的曲线上．但是以1=y 这个方程的解为坐标的点不会都在直线l 上，因此方程1=y 不是直线l 的方程，直线l 只是方程1=y 所表示曲线的一部分． 说明：本题中曲线上的每一点都满足方程，即满足纯粹性，但以方程的解为坐标的点不都在曲线上，即不满足完备性． 典型例题三 例3 说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程x y =所表示的直线之间的关系． 分析：该题应该抓住“纯粹性”和“完备性”来进行分析． 解：方程x y =所表示的曲线上每一个点都满足到坐标轴距离相等．但是“到坐标轴距离相等的点的轨迹”上的点不都满足方程x y =，例如点)3,3(-到两坐标轴的距离均为3，但它不满足方程x y =．因此不能说方程x y =就是所有到坐标轴距离相等的点的轨迹方程，到坐标轴距离相等的点的轨迹也不能说是方程x y =所表示的轨迹．
曲线与方程(轨迹方程)
高二数学第二章曲线与方程学案 学习目标： 1、理解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义； 2、掌握求曲线的方程的方法及一般步骤； 学习重点：理解曲线和方程的概念，掌握求曲线的方程的方法及一般步骤； 学习难点：曲线和方程概念的理解； 学习过程： 完成教学目标1：理解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义； 新授知识：曲线的方程与方程的曲线的概念 一般地，在直角坐标系中，如果其曲线C 上的点与一个二元方程f (x ,y )=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点； 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线. 例1、判断下列结论的正误并说明理由 （1）过点A （3，0）且垂直于x 轴的直线为x=3 ； （2）到x 轴距离为2的点的轨迹方程为y=2 ； （3）到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1 ； 练习：1、到两坐标轴距离相等的点组成的直线方程是0=-y x 吗？ 2、已知等腰三角形三个顶点的坐标是)3,0(A ，)0,2(-B ，)0,2(C ，中线O AO (为原点）的 方程是0=x 吗？为什么？ 3、若曲线C 上的点的坐标满足方程(,)0f x y =，则下列说法正确的是（ ） A.曲线C 的方程是(,)0f x y = B.方程(,)0f x y =的曲线是C C.坐标不满足方程(,)0f x y =的点都不在曲线C 上 D.坐标满足方程(,)0f x y =的点都在曲线C 上 例2、已知方程252 2=+by ax 的曲线经过点)3 5,0(A 和点)1,1(B ，求a 、b 的值。 练习：已知方程 2 2 25x y +=表示的曲线C 经过点)A m ，求m 的值。 完成教学目标2：掌握求曲线的方程的方法及一般步骤； 类型一：待定系数法求轨迹方程（设出标准方程，根据题意求出a ，b ，p ） 例1：已知A,B,C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆的中心O ， 且0=?,||2||=,求椭圆的方程。 练习：已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．求椭圆C 的标准方程； 类型二：直接法求轨迹方程（根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，即把这种关系“翻译”成含x ,y 的等式就得到曲线的轨迹方程了。注意：是否应该建立适当的坐标系） 例2：已知点Ｆ（１，０），直线ｌ：x ＝－１，Ｐ为平面上的动点，过点Ｐ作直线ｌ的垂线，垂 足为点Ｑ，且FQ FP QF QP ?=?,求动点Ｐ的轨迹Ｃ的方程； **练习：已知动点M 到定点A （1,0）与到定直线l ：x=3的距离之和等于4，求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？
高考数学重点难点3函数与方程思想大全
重点难点36 函数方程思想 函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多.函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决. ●重点难点磁场 1.（★★★★★）关于x的不等式2?32x–3x+a2–a–3＞0，当0≤x≤1时恒成立，则实数a的取值范围为. 2.（★★★★★）对于函数f(x)，若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点.已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0) （1）若a=1,b=–2时，求f(x)的不动点； （2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围； （3）在（2）的条件下，若y=f(x)图象上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B关于直线y=kx+ 对称，求b的最小值. ●案例探究 ［例1］已知函数f(x)=logm (1)若f(x)的定义域为［α，β］，（β＞α＞0），判断f(x)在定义域上的增减性，并加以说明； (2)当0＜m＜1时，使f(x)的值域为［logm［m(β–1)］，logm［m(α–1)］］的定义域区间为［α,β］(β＞α＞0)是否存在？请说明理由. 命题意图：本题重在考查函数的性质，方程思想的应用.属★★★★级题目. 知识依托：函数单调性的定义判断法；单调性的应用；方程根的分布；解不等式组. 错解分析：第(1)问中考生易忽视“α＞3”这一关键隐性条件；第(2)问中转化出的方程，不能认清其根的实质特点，为两大于3的根. 技巧与方法：本题巧就巧在采用了等价转化的方法，借助函数方程思想，巧妙解题. 解：（1）x＜–3或x＞3. ∵f(x)定义域为［α,β］,∴α＞3 设β≥x1＞x2≥α，有 当0＜m＜1时，f(x)为减函数，当m＞1时，f(x)为增函数. （2）若f(x)在［α,β］上的值域为［logmm(β–1),logmm(α–1)］ ∵0＜m＜1, f(x)为减函数. ∴ 即 即α,β为方程mx2+(2m–1)x–3(m–1)=0的大于3的两个根 ∴∴0＜m＜ 故当0＜m＜时，满足题意条件的m存在. ［例2］已知函数f(x)=x2–(m+1)x+m(m∈R) (1)若tanA,tanB是方程f(x)+4=0的两个实根，A、B是锐角三角形ABC的两个内角.求证：m≥5; (2)对任意实数α,恒有f(2+cosα)≤0，证明m≥3; (3)在(2)的条件下，若函数f(sinα)的最大值是8，求m. 命题意图：本题考查函数、方程与三角函数的相互应用；不等式法求参数的范围.属
求曲线轨迹方程的五种方法
求曲线轨迹方程的五种方法 一、直接法 如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知 识推出等量关系，求方程时可用直接法。 例1长为2a的线段AB的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，求AB 中点P的轨迹方程。 /解：设点P的坐标为（x, y），\ 则A（2x，0），B（0，2y），由|AB|=2a 得\、（2x 0）2（0 2y）2=2a 化简得x2+y2=a，即为所求轨迹方程 点评：本题中存在几何等式|AB|=2a，故可用直接法解之。 二、定义法 如果能够确立动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程，这种方法称为定义法。 例2动点P到直线x+4=0的距离减去它到M （2, 0）的距离之 差等于2,则点P的轨迹是（） A、直线 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线 解法一：由题意，动点P到点M （2，0）的距离等于这点到直 线x=-2的距离，因此动点P的轨迹是抛物线，故选D。 解法二：设P点坐标为（x，y），则/ |x+4|- （x 2）2 y2=2
当x > -4 时，x+4- （x 2）2 y2=2 化简得
当时，y2=8x 当x V -4 时，-X-4- .. （x 2）2 y2=2 无解 所以P点轨迹是抛物线y2=8x 点评：解法一与解法二分别用定义法和直接法求轨迹方程，明显, 解法一优于后一种解法，对于有些求轨迹方程的题目，若能采用定义法，则优先采用定义法，它能大量地简化计算。 三、代入法 如果轨迹点P（x，y）依赖于另一动点Q（a, b）,而Q（a, b）又在某已知曲线上，则可先列出关于x、y、a、b的方程组，利用x、y表示出a、b，把a、b代入已知曲线方程便得动点P的轨迹方程，此法称为代入法。 2 2 例3 P 在以F1、F2为焦点的双曲线16七1上运动，则厶F1F2P 、k2 (x2 y2) ? . x2 y2=12 ??? k (x2+y2) =12,又点M在已知圆上， ??? 13k2x2+13k2y2-15kx-36ky=0 由上述两式消去x2+y2得 5x+12y-52=0 点评：用参数法求轨迹，设参尽量要少，消参较易。 五、交轨法 若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交点方程，
求曲线轨迹方程的常用方法
求曲线轨迹方程的常用 方法 Hessen was revised in January 2021
高考数学专题：求曲线轨迹方程的常用方法 张昕 陕西省潼关县潼关高级中学 714399 求曲线的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查考生对曲线的定义、性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力.因此要分析轨迹的动点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的形式建立等式.其常见方法如下： （1）直接法：直接法就是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程，这种求轨迹方程的方法就称为直接法，直接法求轨迹经常要联系平面图形的性质. （2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解.这种求轨迹方程的方法称为定义法，利用定 义法求方程要善于抓住曲线的定义特征. （3）代入法：根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程.这就叫代入法.
（4） 参数法：若动点的坐标（x ，y ）中的x ，y 分别随另一变量的 变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，消去参数来求轨迹方程. （5） 几何法：根据曲线的某种几何性质和特征，通过推理列出等式 求轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做几何法. （6） 交轨法：在求动点轨迹方程时，经常遇到求两动曲线的交点轨 迹方程问题，我们列出两动曲线的方程再设法消去曲线中的参数即可得到交点的轨迹方程. 典型例题示范讲解： 设圆C ：22(1)1x y -+=，过原点作圆的弦0A ，求OA 中点B 的轨迹方程. 【解】：法一：（直接法） 如图，设B （x ，y ），由题得2OB +2BC =2OC , 即x 2+y 2 +［22(1)x y -+］=1 即OA 中点B 的轨迹方程为2211()24 x y -+=（x ≠0）. 法二：（定义法） 设B （x ，y ），如上图，因为B 是OA 的中点
求曲线轨迹方程专题(2)
轨 迹 方 程 问 题 常见的有六种求轨迹方程的方法： ①待定系数法：由几何量确定轨迹方程； ②定义法：根据曲线的定义，求轨迹方程； ③直接法：给出某些条件（几何、三角或向量表达式等）求轨迹方程； ④“代入法”求轨迹方程； ⑥参数法（包括解决中点弦问题的点差法）求轨迹方程． ⑤“交轨法”求轨迹方程； 1．直接法求轨迹方程．给出某种条件：平面几何、三角函数、解析几何、向量形式等．求解程序：①设动点P 的坐标为P(x ，y)；②按题目的条件写出关系式；③整合关系式；④注明范围． 例1．设m R ∈,在平面直角坐标系中,已知向量(,1)a mx y =+,向量(,1)b x y =-,a b ⊥，动点 (,)M x y 的轨迹为E ．求轨迹E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状； 解：因为a b ⊥,(,1)a mx y =+,(,1)b x y =-，所以a ·b ＝2210mx y +-=， 即 221mx y +=． 当m ＝0时，方程表示两条直线：1±=y ； 当1m =时，方程表示的是圆：221x y +=； 当m ＞0且1≠m 时，方程表示的是椭圆； 当m ＜0时,方程表示的是双曲线． 2．根据圆锥曲线的定义，求轨迹方程
P M N 例2．如图,圆O 1与圆O 2的半径都是1,O 1O 2=4,过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点） ，使得PM =试建立适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹方程. 解：如图，以直线12O O 为x 轴，线段12O O 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则两圆心 分 别 为 12(2,0),(2,0) O O -．设 (,) P x y ， 则，同理 222(2)1PN x y =-+-．2222211(2)1PM O P O M x y =-=++- ∵PM =， ∴2222(2)12[(2)1]x y x y ++-=-+-， 即221230x x y -++=，即22(6)33x y -+=． 这就是动点P 的轨迹方程． 注：动圆圆心轨迹问题 ①动圆与两外离定圆均外切(含相交)；②动圆过定点且定圆外切；③动圆过定点且定直线相切；④动圆与两定圆一个外切，一个内切；⑤动圆过定点且定圆相切． 3．参数法求轨迹方程： 例3．动圆P 过点A (0,1)且与直线y=-1相切，O 是坐标原点，动圆P 的圆心轨迹是曲线C. （1）求曲线C 的方程； （2）过A 作直线l 交曲线C 于,D E 两点，求弦DE 的中点M 的轨迹方程； （3）在（2）中求ODE ?的重心G 的轨迹方程。 解：(1)点P 到点A 的距离等于点P 到直线y= -1的距离，故点P 的轨迹C 是以点A 为焦点，直线y=-1为准线的抛物线，所以曲线C 的方程 x 2=4y. 2222 A , 1 4440,+=4,(+)2, 1, 2 1 2()1,1.2221l x y x x kx k x k y x x k y y x y =====+=?=?+=+?=+? 1122212122 (2)设M(x,y),D(x ,y ),E(x ,y ),依题意知过的直线的斜率存在，设该直线的方程为：y=kx+1 与联立，消整理得：--则x x 则x x kx+1=2k 2k 即，消去得：即为所求的方程k 另解：（2）
高三数学集体备课记录函数与方程
高三数学集体备课记录 函数与方程 集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-
高三数学（理）集体备课记录
实施教学过程 一、 考点知识自主梳理 1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝ f (x )(x ∈D )的零点． (2)几个等价关系 方程f (x )＝0有实数根?函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点?函数y ＝ f (x )有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并 且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存 在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个 c 也就是方程f (x )＝0的根． 2．二分法 对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )· f (b )<0的函数y ＝f (x )，通 过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点 逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 3．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与零点的关系
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点．( ) (2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图象连续不断)，则f (a )·f (b )<0.( ) (3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．( ) (4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在b 2－4ac <0时没有零点．( ) (5)若函数f (x )在(a ，b )上单调且f (a )·f (b )<0，则函数f (x )在[a ，b ] 上有且只有一个零点．( ) 二、考点突破与题型探究 题型一 函数零点的确定 命题点1 函数零点所在的区间 例 1 已知函数f (x )＝ln x －? ?? ??12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 命题点2 函数零点个数的判断 例2 (1)函数f (x )＝??? x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是 ． (2)若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时， f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－lo g 3|x |的零点个数是( )
高二数学教案 曲线与方程
曲线和方程 教学目标 1.使学生了解曲线的点集与方程的解集之间的关系，从而掌握“曲线的方程”与“方程的曲线”这两个概念. 2.使学生掌握证明已知曲线C的方程是f(x,y)=0的方法和步骤. 3.通过曲线和方程概念的知识形成过程，培养学生合情推理能力、数学交流能力、探索能力，确立“数形结合”的思想方法，并进一步提高逻辑思维能力. 教学重点与难点 对“曲线的方程”、“方程的曲线”定个中两个关系的理解. 教学过程 师：解析几何重要内容之一是利用代数方法来研究几何中曲线的问题.即通过建立坐标系，利用平面内点和有序实数对之间一一对应关系，建立曲线的方程，并通过对方程的讨论来研究曲线的几何性质.为此，在第二章“圆锥曲线”的第一节，先建立曲线和方程的关系. 这里，先看上堂课后留的两个思考题.(板书) 例1 (1)画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线l，并写出其方程. (2)画出函数y=2x2(-1≤x≤2)的图象C. (选择二位学生自制的计算机软盘或投影片，请二位学生各自操作，展示在投影仪上.取较好的解答定格，如图2-1.)
师：这二位同学解答很好.请大家对照直线l及方程，对照抛物线的一倍分C及方程，谈谈符合某种条件的点的集合L和C分别与其方程是怎样地联系起来的？(鼓励学生观察、联想，进行数学交流.学生讨论后选其两个回答，再口述一遍.) 生甲：如果M(x0,y0)是l上的任意一点，它到两个坐标轴的距离一定相等，因此x0=y0，那么它的坐标(x0,y0)是方程x-y=0的解；反过来，如果(x0,y0)是方程x-y=0的解，即x0,y0，那么以这个解为坐标的点到两坐标轴的距离相等，它一定在这条平分线l上.为此把直线l与方程x-y=0密切地联系了起来. 生乙：如果点M(x0,y0)是C上的点，那么(x0,y0)一定是y=2x2的解；反过来，如果(x0,y0)是方程y=2x2的解，那么以它为坐标的点一定在C上. 师：学生甲的回答清楚地说明了直线l完整地表示方程x-y=0，而方程x-y=0完整地表示了直线l.但学生乙的回答是否完满，请同学们思考，发表见解，并用最短的语言写在投影片上.(老师巡视后选一张投影展示定格.) 学生乙的回答忽略了-1≤x≤2，从而点集C与方程y=2x2的解的集合G无法建立一一对应关系. 师：请这位同学进一步阐明自己的见解. 生：就本题而言，如(3，18)∈G，但P(3，18)∈C.方程漏掉了制约条件-1≤x≤2.为此正确的理解是：如果点M(x0,y0)是C上的点，那么(x0,y0)一定是y=2x2(-1≤x≤2)的解；反过来，如果(x0,y0)是方程y=2x2(-1≤x≤2)的解，那么以它的坐标为点一定在C上. 师：这样的见解才确切地反映了点集C与方程y=2x2(-1≤x≤2)的解集G是一一对应的.从而，抛物线的一部分C完整地表示了方程y=2x2(-1≤x≤2)，而方程 y=2x2(-1≤x≤2)完整地表示了C.现在我们来考虑以下这个问题：点集C还是抛物线
圆锥曲线轨迹方程问题
圆锥曲线轨迹方程问题 纵观近几年高考轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高， 主要注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度.有的学生看到就头疼的题目. 分析原因除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没 有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理。圆锥曲线问题是 ft东卷高 考压轴大题，解题的关键往往是第一问能否求出轨迹方程。 圆锥曲线问题轨迹方程，解答题中以待定系数法为多，一旦变换考法，往往会造成学生 心理负担，为了更好的解决这一问题，本专题针对轨迹方程的常见考法做出了系统总结。 一、考法解法 命题特点分析 求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题之一,求符合某种条件的动点轨迹方程,其 实质就是利用题设中的已知条件,用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系问题，解决这类 问题不但对圆锥曲线的定义、性质等基础知识要熟练掌握，还要利用各种数学思想方法，同 时具备一定的推理能力和运算能力。 高考考查轨迹问题通常是以下两类：一类是容易题，以定义法、相关点法、待定系数法等为主，另一类是高难度的纯轨迹问题，综合考查各种方法.“轨迹”、“方程”要区分求轨 迹方程，求得方程就可以了；若是求轨迹，求得方程还不够，还应指出方程所表示的曲线类型 （定形、定位、定量）.处理轨迹问题成败在于：对各种方法的领悟与解题经验的积累.所以在处 理轨迹问题时，一定要善于根据题目的特点选择恰当的方法，确定轨迹的范围是处理轨迹问 题的难点，也是学生容易出现错误的地方，在确定轨迹范围时，应注意以下几个方面：①准确理 解题意，挖掘隐含条件；②列式不改变题意，并且要全面考虑各种情形；③推理要严密，方程化简要 等价；④消参时要保持范围的等价性；⑤数形结合，查“漏”补“缺”。在处理轨迹问题时，要特别注意运用平面几何知识，其作用主要有：①题中没有给出明显的条件式时，可帮助列式；② 简化条件式； ③转化化归。 解题方法荟萃
人教新课标版数学高二 选修2-1练习 2.1.2曲线与方程求曲线的方程
课时跟踪检测（六）曲线与方程求曲线的方程 层级一学业水平达标 1．已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)() A．在直线l上，但不在曲线C上 B．在直线l上，也在曲线C上 C．不在直线l上，也不在曲线C上 D．不在直线l上，但在曲线C上 解析：选B将点M(2,1)的坐标代入方程知M∈l，M∈C． 2．方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线() A．关于x轴对称B．关于y轴对称 C．关于原点对称D．关于x－y＝0对称 解析：选C同时以－x代替x，以－y代替y，方程不变，所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称． 3．方程x＋|y－1|＝0表示的曲线是() 解析：选B方程x＋|y－1|＝0可化为|y－1|＝－x≥0，则x≤0，因此选B． 4．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|MN|·|MP|＋MN·NP ＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为() A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝4x D．y2＝－4x 解析：选B设点P的坐标为(x，y)，则MN＝(4,0)，MP＝(x＋2，y)，NP＝(x－2，y)， ∴|MN|＝4，|MP|＝(x＋2)2＋y2，MN·NP＝4(x－2)． 根据已知条件得4 (x＋2)2＋y2＝4(2－x)． 整理得y2＝－8x．∴点P的轨迹方程为y2＝－8x．
5．已知A (－1,0)，B (2,4)，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是( ) A ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋16＝0 B ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0 C ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y ＋24＝0 D ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y －24＝0 解析：选B 由两点式，得直线AB 的方程是 y －0 4－0＝x ＋12＋1 ，即4x －3y ＋4＝0， 线段AB 的长度|AB |＝(2＋1)2＋42＝5． 设C 的坐标为(x ，y )， 则1 2×5×|4x －3y ＋4|5 ＝10， 即4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0． 6．方程x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋12＝0表示的图形为________． 解析：对方程左边配方得(x －2)2＋2(y ＋2)2＝0． ∵(x －2)2≥0,2(y ＋2)2≥0， ∴????? (x －2)2＝0，2(y ＋2)2 ＝0，解得????? x ＝2，y ＝－2. 从而方程表示的图形是一个点(2，－2)． 答案：一个点(2，－2) 7．已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 满足PM ·PN ＝12，则点P 的轨迹方程为________________． 解析：设P (x ，y )，则PM ＝(－2－x ，－y )，PN ＝(2－x ，－y )． 于是PM · PN ＝(－2－x )(2－x )＋y 2＝12， 化简得x 2＋y 2＝16，此即为所求点P 的轨迹方程． 答案：x 2＋y 2＝16 8．已知点A (0，－1)，当点B 在曲线y ＝2x 2＋1上运动时，线段AB 的中点M 的轨迹方程是________________． 解析：设M (x ，y )，B (x 0，y 0)，则y 0＝2x 20 ＋1．
圆锥曲线之轨迹问题例题习题(精品)
专题：圆 锥 曲 线 之 轨 迹 问 题 一、临阵磨枪 1.直接法（五部法）：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只须把这种关系“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程。这种求轨迹的方法称之为直接法。 2.定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义），则可根据定义直接求出动点的轨迹方程。 3.坐标转移法（代入法）：有些问题中，其动点满足的条件不便于等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法坐标转移法，也称相关点法或代入法。 4.参数法：有时求动点应满足的几何条件不易求出，也无明显的相关点，但却较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间等）的制约，即动点坐标(,)x y 中的,x y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以把这个变量设为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法，如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参变量即可。 5.交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常可通过解方程组得出交点含参数的坐标，再消去参数得出所求轨迹方程，此种方法称为交轨法。 二、小试牛刀 1.已知M （-3,0），N （3,0）6=-PN PM ,则动点P 的轨迹方程为 析： MN PM PN =- ∴点P 的轨迹一定是线段MN 的延长线。 故所求轨迹方程是 0(3)y x =≥ 2.已知圆O 的方程为22 2 =+y x ，圆O '的方程为01082 2 =+-+x y x ，由动点P 向两圆所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程为 析：∵圆O 与圆O '外切于点M(2,0) ∴两圆的内公切线上的点向两圆所引的切线长都相等， 故动点P 的轨迹就是两圆的内公切线，其方程为2x = 3.已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x ，M 是椭圆上一动点，1F 为椭圆的左焦点，则线段1 MF 的中点P 的轨迹方程为 析：设P (,)x y 00(,)M x y 又1(,0)F c - 由中点坐标公式可得：
圆锥曲线之轨迹方程的求法
圆锥曲线之轨迹方程的求法（一） （制卷：周芳明） 【复习目标】 □1. 了解曲线与方程的对应关系，掌握求曲线方程的一般步骤； □2. 会用直接法、定义法、相关点法（坐标代换法）求方程。 【基础练习】 1．到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是( ) A ．y x = B ．||y x = C ．22y x = D ．220x y += 2．已知点(,)P x y 4，则动点P 的轨迹是 ( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．两条射线 D ．以上都不对 3．设定点1(0,3)F -、2(0,3)F ，动点P 满足条件129(0)PF PF a a a +=+>，则点P 的轨迹( ) A ．椭圆 B ．线段 C. 不存在 D ．椭圆或线段 4．动点P 与定点(1,0)A -、(1,0)B 的连线的斜率之积为1-，则P 点的轨迹方程为______________. 【例题精选】 一、直接法求曲线方程 根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简。即把这种关系“翻译”成含x ,y 的等式就得到曲线的轨迹方程了。 例1．已知ABC ?中，2,AB BC m AC ==，试求A 点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形. 练习：已知两点M （-1，0）、N （1，0），且点P 使MP MN ，PM PN ，NM NP 成公差小于零的等差数列。点P 的轨迹是什么曲线？
二定义法 若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程。 例1．⊙C ：22(3)16x y ++=内部一点(3,0)A 与圆周上动点Q 连线AQ 的中垂线交CQ 于P ，求点P 的轨迹方程. 例2．设动点(,)(0)P x y x ≥到定点1(,0)2F 的距离比它到y 轴的距离大12 。记点P 的轨迹为 曲线C 求点P 的轨迹方程； 练习．若动圆与圆1)2(:2 21=++y x C 相外切，且与直线1=x 相切，则动圆圆心轨迹方程是 . 三代入法 有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的。如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法。这种方法是一种极常用的方法，连续好几年高考都考查。 例1、已知定点A ( 3, 0 )，P 是圆x 2 + y 2 = 1上的动点，∠AOP 的平分线交AP 于M ， 求M 点的轨迹。
求曲线轨迹方程的五种方法
求曲线轨迹方程的五种 方法 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-
求曲线轨迹方程的五种方法 一、直接法 如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，求方程时可用直接法。 例1 长为2a的线段AB的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程。 解：设点P的坐标为（x，y）， 则A（2x，0），B（0，2y），由|AB|=2a得 2) 2 x- 2(y + -=2a 2 0( )0 化简得x2+y2=a，即为所求轨迹方程 点评：本题中存在几何等式|AB|=2a，故可用直接法解之。 二、定义法 如果能够确立动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程，这种方法称为定义法。 例2 动点P到直线x+4=0的距离减去它到M（2，0）的距离之差等于2，则点P的轨迹是（） A、直线 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线 解法一：由题意，动点P到点M（2，0）的距离等于这点到直线x=-2的距离，因此动点P的轨迹是抛物线，故选D。 解法二：设P点坐标为（x，y），则 |x+4|-2 2 -=2 x+ (y )2
当x ≥-4时，x+4-22)2(y x +-=2化简得 当时，y 2=8x 当x ＜-4时，-x-4-22)2(y x +-=2无解 所以P 点轨迹是抛物线y 2=8x 点评：解法一与解法二分别用定义法和直接法求轨迹方程，明显，解法一优于后一种解法，对于有些求轨迹方程的题目，若能采用定义法，则优先采用定义法，它能大量地简化计算。 三、 代入法 如果轨迹点P （x ，y ）依赖于另一动点Q （a ，b ），而Q （a ，b ）又在某已知曲线上，则可先列出关于x 、y 、a 、b 的方程组，利用x 、y 表示出a 、b ，把a 、b 代入已知曲线方程便得动点P 的轨迹方程，此法称为代入法。 例3 P 在以F 1、F 2为焦点的双曲线19 1622=-y x 上运动，则△F 1F 2P 的重心G 的轨迹方程是 。 解：设P （x 0，y 0），G （x ，y ），则有 ??? ????++=+-=)00(31)4(3100y y x x x 即???==y y x x 3300，代入 191622=-y x 得19 91692 2=-y x 即116 922 =-y x 由于G 不在F 1F 2上，所以y ≠0
高二数学 求曲线的方程
课题：求曲线的方程 教学目标：(1)能叙述求曲线方程的一般步骤,并能根据所给条件,选择适当的坐标系,求出曲线的方程。 (2)在问题解决过程中,培养学生发散性思维和转化、归 纳、数形结合等数学思想方法，提高分析、解决问题能力。 (3)在问题解决过程中,培养学生积极探索和团结协作的 科学精神。 教学重点：求曲线方程的基本方法和步骤。 教学难点：由已知条件求曲线的方程。 教学方法：启发式。 教学手段：运用多媒体技术和实物投影仪。 教学过程： 举出实例（放录象剪辑）： (1)鸟类迁徙 (2)鱼群洄游 (3)行星运动 (4)卫星发射 (5)导弹攻击 (6)台风移动 思考：(1)这些现象有何共同之处? (2)是否有必要研究这些现象？(揭示研究物体运动轨迹的 意义。) 揭示课题：求曲线的方程 引例：在南沙群岛中，甲岛与乙岛相距8海里，一艘军舰在海面上巡逻。巡逻过程中，从军舰上看甲、乙两岛，保持视角为直角。你能否为军舰巡逻的路线写一个方程？ 分析：如果把甲、乙两岛和军舰看成三个点的话，甲、乙两岛是两个定点，而军舰则是一个动点。动点的运动具有一定的规律。 猜测: 军舰巡逻的路线是什么轨迹？ (电脑演示军舰巡逻的动画效果。) 问题：如何利用动点运动的规律求出其运动轨迹方程？(引而不发) 例1．设A、B两点的坐标是(-1，-1)、(3，7)，求线段AB的垂直平分线的方程。 (先请学生利用所学知识求直线方程。) 思考：(1)如果把这条垂直平分线看成是动点运动的轨迹，那么，这条垂直平分线上任意一点应该满足怎样的几何条件?
(2)几何条件能否转化为代数方程? 用什么方法进行转 化? (3)用新方法求得的直线方程，是否符合要求？为什么？ (提示：方程与曲线构成对应关系，必须满足什么条件？) (学生回答时，教师边规范语言表达边板书。) 解题反思：你能否归纳一下求曲线方程的一般步骤? (1)设点----用(x,y)表示曲线上的任意一点M的坐标; (2)寻找条件----写出适合条件P的点M的集合P＝{ M |p(M)}; (3)列出方程----用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)＝0; (4)化简----化方程f(x,y)＝0为最简形式; (5)证明----证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。 例2．已知点C到直线L的距离为4，若动点P到点C和直线L 的距离相等，求动点P的轨迹方程。 思考：(1)与例1相比，有什么显著的不同点? (2) 你准备如何建立坐标系? 为什么？ (3) 比较所求轨迹方程是否有区别? 从中得到什么体会? (根据思考题，在独立思考、相互交流讨论的基础上，教师 适时点拨，学生自主解决。) 解题反思： (1) 没有确定的坐标系时，要求方程首先必须建立坐标 系； (2) 坐标系选取得适当,可以使运算简单,所得到的方程 也较简单； (3) 同一条曲线,在不同的坐标系中一般会有不同的方 程。 根据例2的求解过程，请学生对求曲线方程的一般步骤进行充实： (1)改为:“建系设点----建立适当的直角坐标系, 用(x,y)表示 曲线上的任意一点M的坐标;” 阅读教材：第52—53页。
曲线的方程和轨迹问题
曲线的方程和轨迹问题 【考纲要求】 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系. 【基础知识】 1、“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义 在直角坐标系中，如果曲线C 上的点与一个二元方程0),(=y x f 的实数解建立了如下关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解（纯粹性）；（2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上（完备性）。那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。 2、求简单的曲线方程的一般步骤 （1）建立直角坐标系：利用垂直性和对称性建立适当的坐标系； （2）设点：用有序实数对),(y x 表示曲线上任意一点M 的坐标（不要把其它的点的坐标设 成),(y x ）； （3）列式：用坐标表示条件)(M P ,列出方程0),(=y x f ； （4）化简：化方程0),(=y x f 为最简形式； （5）检验：检验某些特殊点是否满足题意，把不满足的点排除，把满足的点补充上来。 3、求简单的曲线方程的主要方法：轨迹四法 待代直参 （1）待定系数法：通过对已知条件的分析，发现动点满足某个圆锥曲线的定义，然后设出曲线的方程，求出其中的待定系数。 （2）代入法：如果点M 的运动是由于点P 的运动引起的，可以先用点M 的坐标表示点P 的坐标，然后代入点P 满足的方程，即得动点M 的轨迹方程。 （3）直接法：直接把已知的方程和条件化简即得动点的轨迹方程。 （4）参数法：动点(,)M x y 的运动主要是由于某个参数?的变化引起的，可以选参、设 参，然后用这个参数表示动点的坐标，即() () x f y g ??=?? =?，再消参。 4、轨迹和轨迹方程 轨迹和轨迹方程是两个不同的概念，轨迹包含轨迹方程和对轨迹方程表示的曲线的简单特征的描述，而求轨迹方程只求那个方程即可，不需描述曲线的特征。 【例题精讲】 例1 如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，421=O O ，过动点P 分别作圆1O 、圆2O 的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得PN PM 2=．试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程． 解：以21O O 的中点O 为原点，21O O 所在的
