2009级wuhan多学时高数(二)期末试题与解答
2009级本科高等数学(二)期末试题与解答
A
(本科、理工类多学时)
一、选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
1.偏导数(,)x f x y 和(,)y f x y 在00(,)x y 处
连续是函数(,)f x y 在该点全微分存在的
( A ).
A.充分条件;
B. 必要条件;
C. 充要条件;
D.无关条件.
2.
222(,)x y x
I f x y d σ+≤=
??
二重积分,化为极坐标系下的二次积分为
( D ) A.2
2
2
(cos ,sin )d f r r dr
ππθθθ-
?
?; B. 2
2
2
(cos ,sin )d f r r rdr
ππθθθ-
?
?;
C.
2cos
2
2
(cos,sin)
d f r r dr
π
θ
π
θθθ
-
??
;
D.
2cos
2
2
(cos,sin)
d f r r rdr
π
θ
π
θθθ
-
??
. 3.现有一半圆弧构件
22
:2(0)
L x y x y +=≥,线密度为
22
(,)x y x y
ρ=+,则其质量为( B )
A.π
; B. 2π
; C.4π
;
D.8π
.
4
.
若
曲
面
∑
:2
2
2
2
a
z y x =++,
则
S d z y x ??
++∑
)(2
22=( C )
A. 4
a p ; B. 4
2a p ; C.
4
4a
p ; D.
4
6a p .
5
.已
知
函数2
2
(,)f x y xy x y
+=+,
则
(,)(,)
f x y f x y x y ??+??=( B )
A.22x y
+; B.22x -; C.22x y
-; D.22
x +.
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
6.直线
32
321
x y z
++
==
-与平面
22
x y z
+++=
的交点为(0,4,1)-.
7.幂级数
1
1
2
1
2n
n
n
x
n
-
+∞
-
=
∑
的收敛半径为
1
2
R=.
8.设
)
(x
f
是周期为
π
的周期函数,它
在区间(0,]π上定义为
2,(0)2
()1,()2
x x f x x x πππ?
<?=?
?+≤≤??,则)(x f 的傅立叶级数在π处收敛于2
1
2
π+ .
9.
(,)x
u
du f u v dv =??变换积分次序
(,)x
x
v
dv f u v du
?
? .
10.设空间立体Ω
所占闭区域为
1,0,
0x y z x y z ++≤≥≥≥,Ω
上任
一点的体密度是(,,)1x y z ρ=,则此空间立
体的质量为__1/6__.
三、试解下列各题(本大题共6小题,每小题8分,共48分)
11
.2
1
lim
x
y
xy
π
→
→
-
求
.
解:原式=212
2
l i
x
y
x y
xy
π
→
→
(3分)
=
2
01
lim
2 x
y x
π
→
→(6分)
=
4
π(8分)
12.已
知2
(,)arctan x y f x y e
=-
,
求(1,1)
x f ,(1,1)
y f . 解
:
22
2
1
(,)21x y
x x f x y xye
x y
=
?
-++ (3
分)
2
2
22
1
(,)
1
x y y
y
f x y x e
x y
=?-
++
(6分)
(1,1)2
6
x
f e
=-
,
(1,1)
6
y
f e
=-(8分)
13.设函数
(,
z z x y
=
由方程
22ln()0xz xyz xyz -+=确定,求
(
1
,1)dz
.
解:当
1x y ==
时,
1
z =
(2分)
令(,,)22ln()
F x y z xz xyz xyz =-+
,则
(1,1,1)1x
F =,
(1,1,1)1
y F =-,
(1,1,1)1z F =
(4分)
从
而
1x y z z =-=
(6分)
所以(1,1)
d z d x =-+
(8分)
14.设2
(,2)z f x y x y =-,其中f
具
有二阶连续偏导数,求2
z
x y ???.
解:
122z
xyf f x ?''=+?
(4分)
222111
12212222((2))(2)z
xf xy f x f f x f x y
?'''''''''=+?+?-+?+?-??
32111
122222(4)2xf x yf x xy f f '''''''=++-- (8分)
15
.
1
111
(1)
5()2n n
n n n n n n a x na x -∞
∞
-==-+∑∑设级数的收敛半径为,求的收敛半径
.
解:由题知:11lim 5n n n
a a +→∞=
所以11(1)11lim lim 5n n n n n n n a a n na n a ++→∞
→∞++=?=
从而
1
()n
n
n na x
∞
=∑的收敛半径为
15
R =.
(3分)
又11()
12lim 12
()2
n
n n →∞--=
-,则11
1(1)2
n n
n n x -∞-=-∑
的收敛半径
为22
R =. (6分)
所以111
(1)
()2n n n n n na x
-∞
-=-+∑
的收敛半径
12min(,)2R R R ==. (8分)
16
.
设
Ω
是
由
2
1x y +
-,
2
z =-,2z =所围的有界闭区域.试计算2
(1)I z dV
Ω
=-???.