2017年高考一轮复习教案—第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数

第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数

三角函数的概念

(1)了解任意角、弧度制的概念，能正确进行弧度与角度的互化．

(2)会判断三角函数值的符号．

(3)理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．

知识点一 角的有关概念

(1)从运动的角度看，可分为正角、负角和零角． (2)从终边位置来看，可分为象限角和轴线角．

(3)若α与β角的终边相同，则β用α表示为β＝α＋2k π(k ∈Z )．

易误提醒 (1)不少同学往往容易把“小于90°的角”等同于“锐角”，把“0°～90°的角”等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是{α|0°<α<90°}，第一象限角的集合为{α|2k π<α<2k π＋π

2

，k ∈Z }． (2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等．

[自测练习]

1．若α＝k ·360°＋θ，β＝m ·360°－θ(k ，m ∈Z )，则角α与β的终边的位置关系是( ) A ．重合 B ．关于原点对称 C ．关于x 轴对称

D ．关于y 轴对称

解析：角α与θ终边相同，β与－θ终边相同． 又角θ与－θ的终边关于x 轴对称． ∴角α与β的终边关于x 轴对称． 答案：C

知识点二 弧度的概念与公式 在半径为r 的圆中

易误提醒 角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.

[自测练习]

2．弧长为3π，圆心角为3

4

π的扇形半径为________，面积为________．

解析：弧长l ＝3π，圆心角α＝34π，由弧长公式l ＝|α|·r ，得r ＝l |α|＝3π34π＝4，面积S ＝1

2

lr

＝6π.

答案：4 6π

知识点三 任意角的三角函数

有向线段MP 为正弦线

有向线段OM 为余弦线

有向线段AT 为正切线

易误提醒 三角函数的定义中，当P (u ，ν)是单位圆上的点时有sin α＝ν，cos α＝u ，tan α＝νu ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝νr ，cos α＝u r ，tan α＝νu

. [自测练习]

3．若sin α<0且tan α>0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角

D ．第四象限角

解析：由sin α<0，得α在第三、四象限或y 轴非正半轴上，又tan α>0，∴α在第三象限． 答案：C

4．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255

，则y ＝________.

解析：由三角函数的定义，sin θ＝y

16＋y 2

， 又sin θ＝－25

5<0，

∴y <0且

y 16＋y 2

＝－25

5，

解之得y ＝－8. 答案：－8

考点一 角的集合表示及象限角的判断|

1．(2015·东城期末)若角α满足α＝2k π3＋π

6(k ∈Z )，则α的终边一定在( )

A ．第一象限或第二象限或第三象限

B ．第一象限或第二象限或第四象限

C ．第一象限或第二象限或x 轴非正半轴上

D ．第一象限或第二象限或y 轴非正半轴上 解析：由α＝2k π3＋π

6，k ∈Z ，

当k ＝0时，α＝π

6

，终边在第一象限．

当k ＝1时，α＝2π3＋π6＝5π

6

，终边在第二象限．

当k ＝－1时，α＝－2π3＋π6＝－π

2，终边在y 轴的非正半轴上，故选D.

答案：D

2．已知sin α>0，cos α<0，则1

2α所在的象限是( )

A ．第一象限

B ．第三象限

C ．第一或第三象限

D ．第二或第四象限

解析：因为sin α>0，cos α<0，所以α为第二象限角，即π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ，则π

4＋

k π<12α<π2＋k π，k ∈Z .当k 为偶数时，12α为第一象限角；当k 为奇数时，1

2α为第三象限角，故选C.

答案：C

3．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°有相同终边的角可表示为： β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )， 则令－720°≤45°＋k ×360°<0°，

得－765°≤k ×360°<－45°，解得－765360≤k <－45360，

从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°

解决终边相同的角的集合的两个方法

(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角．

(2)利用终边相同的角的集合S ＝{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α所在的象限．

考点二 三角函数的定义|

已知角α的终边在直线y ＝－3x 上， 求10sin α＋3

cos α

的值．

[解] 设α终边上任一点为P (k ，－3k )， 则r ＝k 2＋(－3k )2＝10|k |.

当k >0时，r ＝10k ， ∴sin α＝

－3k 10k ＝－310，1cos α

＝10k

k ＝10，

∴10sin α＋3

cos α＝－310＋310＝0；

当k <0时，r ＝－10k ， ∴sin α＝－3k －10k ＝3

10，

1cos α＝－10k k ＝－10， ∴10sin α＋3cos α＝310－310＝0.

综上，10sin α＋

3

cos α

＝0.

用定义法求三角函数值的两种情况

(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．

(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．

1．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝2

4

x ，则x ＝( ) A. 3 B ．±3 C ．－ 2

D ．－ 3

解析：依题意得cos α＝x x 2

＋5＝2

4

x <0，由此解得x ＝－3，选D. 答案：D

考点三 扇形的弧长及面积公式|

(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．

(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？ [解] (1)设圆心角是θ，半径是r ，

则?????

2r ＋rθ＝1012θ·r 2＝4??????

r ＝1，θ＝8(舍)，?????

r ＝4，θ＝12

，

故扇形圆心角为1

2

.

(2)设圆心角是θ，半径是r ， 则2r ＋rθ＝40.

S ＝12θ·r 2＝12r (40－2r )＝r (20－r ) ＝－(r －10)2＋100 ≤100，

当且仅当r ＝10时，S max ＝100，θ＝2. 所以当r ＝10，θ＝2时，扇形面积最大．

弧度制应用的两个关注点

(1)弧度制下l ＝|α|·r ，S ＝12lr ，此时α为弧度．在角度制下，弧长l ＝n πr 180，扇形面积S

＝n πr 2

360

，此时n 为角度，它们之间有着必然的联系． (2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形．

2．已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．4 B ．2 C ．8

D ．1

解析：设半径为r ，圆心角的弧度数为θ， 由S ＝12θr 2，∴8＝1

2×θ×4，∴θ＝4.

答案：A

9.数形结合思想在三角函数中的应用

【典例】 (1)满足cos α≤－1

2

的角α的集合为________．

(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于C (2,1)时，OP →

的坐标为________．

[思路点拨] (1)利用三角函数线可直观清晰地得出角α的范围．

(2)点P 转动的弧长是本题的关键，可在圆中作三角形寻找P 点坐标和三角形边长的关系．

[解析] (1)作直线x ＝－1

2交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，

则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为

????

??α??

2k π＋23π≤α≤2k π＋4

3π，k ∈Z .

(2)如图所示，

过圆心C 作x 轴的垂线，垂足为A ，过P 作x 轴的垂线与过C 作y 轴的垂线交于点B .因为圆心移动的距离为2，所以劣弧P A ＝2，即圆心角∠PCA ＝2，则∠PCB ＝2－π

2

，

所以|PB |＝sin ????2－π

2＝－cos2， |CB |＝cos ????2－π

2＝sin2， 所以x P ＝2－|CB |＝2－sin2， y P ＝1＋|PB |＝1－cos2， 所以OP →

＝(2－sin2,1－cos2)．

[答案] (1)????

??α??

2k π＋23π≤α≤2k π＋4

3π，k ∈Z (2)(2－sin2,1－cos2)

[思想点评] (1)利用三角函数线解三角不等式要在单位圆中先作出临界情况，然后观察适合条件的角的位置；

(2)解决和旋转有关的问题要抓住旋转过程中角的变化，结合弧长公式、三角函数定义寻找关系．

[跟踪练习] 函数y ＝ln(sin x －3

2

)的定义域为________． 解析：(1)∵sin x >

32，作直线y ＝3

2

交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为

???

x ???

??

2k π＋π3

答案：?

???2k π＋π3，2k π＋2π

3(k ∈Z )

A 组 考点能力演练

1．已知MP 、OM 、AT 分别为角θ????π4<θ<π

2的正弦线、余弦线、正切线，则一定有( ) A ．MP

D ．OM

解析：如图所示，MP 、OM 、AT 分别为角θ????π4<θ<π

2的正弦线、余弦线、正切线，由于π4<θ<π

2，所以OM

故可得OM

答案：D

2．已知sin α<0，cos α<0，则角α的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限

D ．第四象限

解析：由sin α<0得角α的终边在第三或第四象限，由cos α<0得角α的终边在第二或第三象限，所以满足sin α<0，cos α<0的角α的终边在第三象限，故选C.

答案：C

3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin2 C.2

sin1

D ．2sin1

解析：由题设，圆弧的半径r ＝1

sin1，

∴圆心角所对的弧长l ＝2r ＝2sin1

. 答案：C

4．若x ∈(0,2π)，则sin x >1

2

的必要不充分条件是( )

A.π6

B.π

6

D.π3

解析：本题考查三角函数的性质与充分必要条件．依题意，由sin x >12，x ∈(0,2π)得知

π

612，如取π6

2.

因此，sin x >12的必要不充分条件是π

6

答案：B

5．点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动7π

3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为( )

A.????－12，32

B.?

???

－

32，－12 C.????－12

，－32

D.?

??

?－

32，12 解析：设点A (－1,0)，点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动7π

3弧长到达点Q ，

则∠AOQ ＝7π3－2π＝π3(O 为坐标原点)，所以∠xOQ ＝2π3，cos 2π3＝－12，sin 2π3＝3

2，所以点

Q 的坐标为???

?－12，3

2.

答案：A

6．如果角θ的终边经过点?

??

?

－

32，12，那么tan θ的值是________． 解析：由定义知tan θ＝12

－3

2＝－3

3.

答案：－

33

7．已知角α(0≤α<2π)的终边过点P ????sin 2π3

，cos 2π

3，则α＝________. 解析：本题考查了三角函数值的概念及同角三角函数的关系问题．由已知条件sin 2π

3>0，

cos 2π3<0可得角α的终边在第四象限，又由tan α＝cos

2π3sin 2π3

＝－33(0≤α<2π)可得α＝11π

6

.

答案：11π6

8．(2016·成都一诊)在直角坐标系xOy 中，已知任意角θ以坐标原点O 为顶点，以x 轴

的非负半轴为始边，若其终边经过点P (x 0，y 0)，且|OP |＝r (r >0)，定义：sicos θ＝y 0－x 0

r ，称

“sicos θ”为“θ的正余弦函数”，若sicos θ＝0，则sin ?

???2θ－π

3＝________. 解析：因为sicos θ＝0，所以y 0＝x 0，所以θ的终边在直线y ＝x 上，所以当θ＝2k π＋π

4，

k ∈Z 时，sin ????2θ－π3＝sin ????4k π＋π2－π3＝cos π3＝12

； 当θ＝2k π＋5π

4，k ∈Z 时，sin ????2θ－π3 ＝sin ????4k π＋5π2－π3＝cos π3＝1

2. 综上得sin ????2θ－π3＝1

2. 答案：1

2

9．已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6， (1)求 AB 的长；

(2)求 AB 所在弓形的面积． 解：(1)∵α＝120°＝

2π

3

，r ＝6， ∴ AB 的长l ＝2π

3×6＝4π.

(2)∵S 扇形OAB ＝12lr ＝1

2×4π×6＝12π，

S △ABO ＝12r 2·sin 2π3＝12×62×3

2＝93，

∴S 弓形＝S 扇形OAB －S △ABO ＝12π－9 3.

10．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ的值． 解：∵θ的终边过点(x ，－1)(x ≠0)， ∴tan θ＝－1

x ，

又tan θ＝－x ， ∴x 2＝1，∴x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－

22，cos θ＝2

2

， 因此sin θ＋cos θ＝0； 当x ＝－1时，sin θ＝－

22，cos θ＝－2

2

， 因此sin θ＋cos θ＝－ 2.

综上sin θ＋cos θ＝0或－ 2.

B 组 高考题型专练

1．(2011·高考课标全国卷)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )

A ．－45

B ．－35

C.35

D.45

解析：∵角θ的终边在直线y ＝2x 上， ∴tan θ＝2.

则cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－3

5. 答案：B

2．(2012·高考安徽卷改编)在平面直角坐标系中，点O (0,0)，P (6,8)，将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转3π2

后得向量OQ →，则点OQ →

的坐标是( )

A ．(8，－6)

B ．(－8，－6)

C ．(－6,8)

D ．(－6，－8)

解析：|OP |＝10，且设∠xOP ＝θ， ∴cos θ＝610＝35，sin θ＝4

5

.

设OQ →

＝(x ，y )，则x ＝10cos ????θ＋3π2＝10sin θ＝8， y ＝10sin ????θ＋3π

2＝－10cos θ＝－6. 答案：A

3．(2014·高考大纲卷)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.4

5 B.3

5 C ．－35

D ．－45

解析：cos α＝－4

(－4)2＋32

＝－4

5.

答案：D

4．(2014·高考新课标全国卷Ⅰ)若tan α>0，则( ) A ．sin2α>0 B ．cos α>0 C ．sin α>0

D ．cos2α>0

解析：tan α>0，知sin α，cos α同号，

∴sin2α＝2sinαcosα>0. 答案：A