2017年重点高中自主招生适应性考试数学试题(1)

2017年重点高中自主招生适应性考试数学试题

满分：120分 时间：90分钟

一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）

1．当1＜a ＜2时，代数式︱a －2︱+︱1－a ︱的值是 （ ▲ ）

A ．－1

B ．－3

C ． 1

D ．3

2．已知b a ,为实数，且1=ab ，设11+++=b b a a M ，1

111+++=b a N ，则N M ,的大小关系是 （ ▲ ）

A ．N M >

B ．N M =

C ．N M <

D ．无法确定

3. 化简y

x y x y x -+-2

2的结果是 （ ▲ ） A . y x + B .x y - C . y x - D . y x --

4．已知()0332

=++++m y x x 中，y 为负数，则m 的取值范围是 （ ▲ ） A . m ＞9 B . m ＜9 C . m ＞9- D . m ＜9-

5. 如图是一张简易活动餐桌,现测得OA=OB=30cm ， OC=OD=50cm ，现要求桌面离地面的高度为40cm ，那么两条桌腿的张角∠COD 的大小应为 ( ▲ )

A ．100°

B ．120°

C ．135°

D ．150°

6． 某市按以下标准收取水费：用水不超过20吨，按每吨1．2元收费，超 过

20 吨则超过部分按每吨1．5元收费．某家庭五月份的水费是平均每吨1．25元， 那么这个家庭五月份应交水费 （ ▲ ）

A ．20元

B ．24元

C ．30元

D ．36元

7．如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为4的正方形内任意移动，则

在该正方形内，这张圆形纸片“能接触到的部分”的面积是 （ ▲ ）

A .π-4

B . π

C . π+12

D . 415π+

8．已知一元二次方程x 2＋bx －3＝0的一根为－3，在二次函数y ＝x 2＋bx －3的图象上有三点

????－45，y 1、????－54，y 2、???

?16，y 3，则y 1、y 2、y 3的大小关系是 ( ▲ ) A ． y 1

9．已知20112012)322()223(-+=a ，则与a 最接近的整数是 ( ▲ )

A .6-

B .5-

C . 5

D . 6

10. 若不等式组??

???>>-a x x 1312的解为2>x ，则函数81)26(2+--=x x a y 图象与x 轴的交点情况是

( ▲ )

A ．相交于两点

B ．没有交点

C ．相交于一点

D ．没有交点或相交于一点

二、填空（本题有6个小题，每小题4分，共24分）

11．分解因式 a a 64163+-= ▲ ．

12．已知4个数据：4-，2，a ，b ，其中a ，b 是方程2220x x k +-=的两个根，则这4个数据

的平均数是 ▲ ． .

13. 已知31=-x x ，则代数式221x

x += ▲ . 14． 已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3，则直角三角形的面积为 ▲ . 15. 已知a 、b 是一元二次方程012=-+x x 的两个根,则b a b a +++2222=___▲ .

16．如图所示的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：

(1)b 2－4ac >0； (2)0<+-c b a ； (3)2a －b <0； (4)a ＋b ＋c <0.

你认为其中正确的有 ▲ （写出你认为正确的所有 信息的序号）.

三、解答题（本题有7小题，共66分）

17.（本题满分6分）

如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ， °90D ∠=， 4CD =,ACB D ∠=∠，3

2tan =∠B ， 求梯形ABCD 的面积.

18. （本题满分10分） 已知一次函数13

1+-=x y 和二次函数

22+-=x x y （

1）在同一坐标系中作出两个函数的图象；

（2）写出二次函数的顶点坐标及与其x 轴的交点坐标；（3）根据图象写出满足>++-322x x 13

1+-x 的x

19. （本题满分8分）

A O

B

C

D （1）已知正数y x ,满足21234222

2=+-+y xy x y x ，且x y a =，求a 的值． （2）化简代数式()()

3112131122+++-?-+-+a a a a a a a ，再根据（1）中求得的a 代入求值．

20．（本题满分8分）

如图，一次函数y ＝k 1x ＋b 的图象经过A （0，－2），B （1，0）两点，与反比例函数x

k y 2= 的图象在第一象限内的交点为M ，若△OBM 的面积为2．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）在x 轴上找出点P 的坐标，使AM ⊥MP ．

21．(本题满分10分)

如图，C 为以AB 为直径的⊙O 上一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为点D ．

（1）求证：AC 平分∠BAD ；

（2）过点O 作线段AC 的垂线OE ，垂足为点E (尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；

（3）若CD ＝4，AC ＝45，求垂线段OE 的长．

22．(本题满分12分)

已知二次函数)0(222

2≠--=m m mx x y 的图像与x 轴交于A 、B

两点，它的顶点在以

AB 为直径的圆上.

（1）证明：A 、B 是x 轴上两个不同的交点；

（2）求二次函数的解析式；

（3）设以AB 为直径的圆与y 轴交于C ，D ，求弦CD 的长.

23．(本小题满分12分)

矩形OABC 在直角坐标系中的位置如图所示，A 、C 两点的坐标分别为(6,0)A 、(0,3)C ，直线34

y x =与BC 边相交于点D . (1) 若抛物线2(0)y ax bx a =+≠经过D 、A 两点，试确定此抛物线的表达式；

(2) 若以点A 为圆心的⊙A 与直线OD 相切，试求⊙A 的半径；

(3) 设(1)中抛物线的对称轴与直线OD 交于点M ，在对称轴上是否存在点Q ，以Q 、O 、

M 为顶点的三角形与OCD ?相似，若存在,试求出符合条件的Q 点的坐标；若不存在，试说明理由.