2016年北京市海淀区高三一模文科数学试卷含答案

海淀区高三年级2015-2016 学年度第二学期期中练习

数学试卷（文科） 2016.4

本试卷共4 页，150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项．

1．已知集合A ＝{}|23x z x ∈-≤<，B ＝{}|21x x -≤<，则A B ＝（ ）

A ．{}2,1,0--

B ．{}2,1,0,1--

C ．{}|21x x -<<

D ．{}|21x x -≤<

2、已知向量(1,),(,9)a t b t == ，若a b

，则t ＝（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

3．某程序的框图如图所示，若输入的z ＝i （其中i 为虚数单位），则输出的S 值为（ ）

A ．－1

B ．1

C ．－I

D ．i

4．若x ，y 满足20

400

x y x y y -+≥??

+-≤??≥?

，则12z x y =+的最大值为（ ）

A ．

52 B ．3 C ．7

2

D ．4 5．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（ ）

A ．

3 B ．2 C ．3 D ．3

6、已知点P 00(,)x y 在抛物线W ：2

4y x =上，且点P 到W 的准线的距离与点P 到x 轴的距离相等，则0x 的值为（ ） A ．

12 B ．1 C ．3

2

D ．2 7．已知函数sin(),0()cos(),0

x a x f x x b x +≤?=?

+>?，则“4π

α=”是“函数()f x 是偶函数“的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是（ ）

A ．甲只能承担第四项工作

B ．乙不能承担第二项工作

C ．丙可以不承担第三项工作

D ．获得的效益值总和为78

二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分．

9．函数y =

_________

10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24n S n n =-，则21a a -＝_______．

11．已知l 为双曲线C ：22221x y a b

-=的一条渐近线，其倾斜角为4π

，且C 的右焦点为（2,0），

点C 的右顶点为_________，则C 的方程为_______．

12．在1

331,222

这三个数中，最小的数是_______．

13．已知函数()sin(2)f x x ?=+，若5(

)()21212

f f π

π

--=，则函数()f x 的单调增区间为_________

14．给定正整数k ≥2，若从正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的8个顶点中任取k 个顶点，组成一个集合M ＝{}12,,,k X X X ，均满足,,,i j s t X X M X X M ?∈?∈，使得直线i j s t X X X X ⊥，则k 的所有可能取值是_________

三、解答题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13 分） 在△ABC 中，∠C ＝

23

π

，6a =． （Ⅰ）若c ＝14，求sinA 的值；

（Ⅱ）若△ABC 的面积为3c 的值． 16．（本小题满分13 分）

已知数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，满足210S a +=，312a =。 （I ）求数列{}n a 的通项公式；

（II ）是否存在正整数n ，使得n S ＞2016？若存在，求出符合条件的n 的最小值；若不存在，说明理由。 17．（本小题满分14 分）

如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点M ，N 分别为线段PB ，PC 上的点，MN ⊥PB ． （Ⅰ）求证： 平面PBC ⊥平面PAB ；

（Ⅱ）求证：当点M 不与点P ，B 重合时，M N ∥平面ABCD ； （Ⅲ）当AB ＝3，PA ＝4时，求点A 到直线MN 距离的最小值。

18．（本小题满分13 分） 一所学校计划举办“国学”系列讲座。由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从某班选出10人参加活动，在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示。

（I ）根据这10名同学的测试成绩，分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩；

（II ）这10名同学中男生和女生的国学素养测试成绩的方差分别为21s ，22s ，试比较21s 与2

2

s 的大小（只需直接写出结果）；

（III ）若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率。（注：成绩大于等于75分为优良）

19．（本小题满分14 分）

已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，椭圆C 与y 轴交于A ， B 两点，且｜

AB ｜＝2．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设点P 是椭圆C 上的一个动点，且直线PA ，PB 与直线x ＝4分别交于M ， N 两点．是否存在点P 使得以MN 为直径的圆经过点（2,0）？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，说明理由。 20．（本小题满分13 分） 已知函数f (x) ＝

1x

x

e - （Ⅰ）求曲线y =

f (x)在点（0，f （0））处的切线方程； （Ⅱ）求函数f (x)的零点和极值；

（Ⅲ）若对任意12,[,)x x a ∈+∞，都有1221

()()e

f x f x -≥-

成立，求实数a 的最小值。

海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案

数学（文科） 2016.4

阅卷须知:

1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）

二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）

说明：1.第9题,学生写成 1x ≥的不扣分 2.第13题写成开区间 5ππ

(π,π),1212

k k k -++∈Z 的不扣分, 没有写k ∈Z 的,扣1分 3. 第14题有错写的，则不给分

只要写出7或8中之一的就给1分，两个都写出，没有其它错误的情况之下给1分 写出5，6中之一的给2分，两个都写出，且没有错误的情况之下给4分

三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15.解：(Ⅰ) 方法一： 在ABC ?中，因为

sin sin a c A C

=，

即6sin A =

所以sin 14

A =

. 方法二：过点B 作线段AC 延长线的垂线，垂足为D

因为2π3BCA ∠=

，所以π3

BCD ∠= 在Rt BDC ?中，3

33BD BC =

=在Rt ABD ?中，33

sin 14

BD A AB ==

（Ⅱ）方法一： 因为1

sin 2

ABC S a b C ?=

???.

所以162b =

?，解得2b =. 又因为2222cos c a b a b C =+-??. 所以2

1

436226()2

c =+-???-,

所以c ==方法二：过点A 作线段BC 延长线的垂线，垂足为D 因为2π3ACB ∠=

, 所以π

3

ACD ∠=.

又因为1

2

ABC S BC AD ?=

??,

即1

62

AD =

?? ,

所以1AD CD ==.

在Rt ABD ?中，222AB BD AD =+. 所以52213AB ==16.解：

(Ⅰ) 设数列{}n a 的公比为q ， 因为210S a +=，所以1120a a q +=. 因为10,a ≠所以2,q =- 又因为23112a a q ==， 所以13a =,

所以13(2)n n a -=?-（或写成3

(2)2

n n a =-

?-）

说明：这里的 公式都单独有分，即如果结果是错的，但是通项公式或者下面的前n 项和公式正确写出的，都给2分

(Ⅱ)因为31(2)1(2)1(2)

n n n S ???--??

=

=----.

令2016n S >, 即1(2)2016n

-->，整理得(2)2015n

-<-

. 当n 为偶数时，原不等式无解；

当n 为奇数时，原不等式等价于22015n >，解得11n ≥， 所以满足2016n S >的正整数n 的最小值为11. 17解：（Ⅰ）证明：在正方形ABCD 中，AB BC ⊥. 因为PA ⊥平面ABCD ，BC ?平面ABCD ，所以PA BC ⊥. 又AB PA A = ，,AB PA ?平面PAB ， 所以BC ⊥平面PAB .

因为BC ?平面PBC , 所以平面PBC ⊥平面PAB .

（Ⅱ）证明：

由（Ⅰ）知, BC ⊥平面PAB ，PB ?平面PAB ，所以BC PB ⊥. 在PBC ?中，BC PB ⊥，MN PB ⊥， 所以//MN BC ， 又BC ?平面ABCD ，MN ?平面ABCD ， 所以MN //平面ABCD .

（Ⅲ）解：因为//MN BC , 所以MN ⊥平面PAB ， 而AM ?平面PAB ，所以MN ⊥AM ， 所以AM 的长就是点A 到MN 的距离， 而点M 在线段PB 上

所以A 到直线MN 距离的最小值就是A 到线段PB 的距离， 在Rt PAB ?中，3,4,AB PA ==所以A 到直线MN 的最小值为12

5

. 18.解:

（Ⅰ）设这10名同学中男女生的平均成绩分别为12,x x . 则164767778

73.754

x +++=

=

2567976708887766

x ++++++==

（Ⅱ）女生国学素养测试成绩的方差大于男生国学素养成绩的方差. （Ⅲ）设“两名同学的成绩均为优良”为事件A ， 男生按成绩由低到高依次编号为1234,,,a a a a ， 女生按成绩由低到高依次编号为123456,,,,,b b b b b b ，

则从10名学生中随机选取一男一女两名同学共有24种取法

11(,)a b ，12(,)a b ，13(,)a b ，14(,)a b ，15(,)a b ，16(,)a b ， 21(,)a b ，22(,)a b ，23(,)a b ，24(,)a b ，25(,)a b ，26(,)a b ， 31(,)a b ，32(,)a b ，33(,)a b ，34(,)a b ，35(,)a b ，36(,)a b ， 41(,)a b ，42(,)a b ，43(,)a b ，44(,)a b ，45(,)a b ，46(,)a b ，

其中两名同学均为优良的取法有12种取法

23(,)a b ，24(,)a b ，25(,)a b ，26(,)a b ，

33(,)a b ，34(,)a b ，35(,)a b ，36(,)a b ，42(,)a b ，43(,)a b ，44(,)a b ，45(,)a b ，46(,)a b

所以121

()242

P A =

=， 即两名同学成绩均为优良的概率为12

. 19. 解：

（Ⅰ）由已知2AB =，得知22b =，1b =,

又因为离心率为

32

，所以32c a =.

因为222

a b c =+，所以2,a =

所以椭圆C 的标准方程为2

214

x y +=.

（Ⅱ）解法一：假设存在. 设00(,) (4,) (4,)P x y M m N n 由已知可得(0,1) (0,1)A B -， 所以AP 的直线方程为00

1

1y y x x -=

+， BP 的直线方程为00

1

1y y x x +=

-， 令4x =，分别可得004(1)1y m x -=

+，00

4(1)

1y n x +=-，

所以0

8

2MN m n x =-=-

， 线段MN 的中点0

4(4,

)y x ， 若以MN 为直径的圆经过点(2,0)， 则222000

44

(42)(

0)(1)y x x -+-=-, 因为点P 在椭圆上，所以2

20014x y +=，代入化简得0

810x -=，

所以08x =， 而[]022x ∈-，，矛盾， 所以这样的点P 不存在.

解法二：

假设存在，记(20)D ，

. 设00(,) (4,) (4,)P x y M m N n 由已知可得(0,1) (0,1)A B -， 所以AP 的直线方程为00

1

1y y x x -=

+， BP 的直线方程为00

1

1y y x x +=

-， 令4x =，分别可得004(1)1y m x -=

+，00

4(1)

1y n x +=-， 所以 004(1)(4,

1),y M x -+00

4(1)(41)y N x +-， 因为MN

为

直

径

，

所

以

DM DM ?=

所以

DM DN ?=

0000

4(1)4(1)

(2,

1)(2,1)0y y x x -++?-=

所以 22002

016(4)40y x DM DN x --?=+= 因为点P 在椭圆上，所以220014

x y +=， 代入得到222

0000022

0048840x x x x x DM DN x x -+--?=+

== 所以 08x =，这与 0[2,2]x ∈-矛盾 所以不存在

法三 ：

假设存在，记(20)D ，

, (40)H ， 设00(,) (4,) (4,)P x y M m N n 由已知可得(0,1) (0,1)A B -， 所以AP 的直线方程为00

1

1y y x x -=

+， BP 的直线方程为00

1

1y y x x +=

-， 令4x =，分别可得004(1)1y m x -=

+，00

4(1)

1y n x +=-， 所以 004(1)(4,

1),y M x -+00

4(1)(41)y N x +-， 因为DH MN ⊥, 所以2DH HN HM =? 所以 4=0000

4(1)4(1)

|

1||1|y y x x -++?- 所以220002

0161684=||y x x x -+-因为点P 在椭圆上，所以2

20014

x y +=， 代入得到0

854|

|x x -=, 解得08x =或089

x =

当08x =时，这与 0[2,2]x ∈-矛盾 当08

9

x =

时，点,M N 在x 轴同侧，矛盾

所以不存在

20.解：（Ⅰ）因为2

'()e x

x f x -=， 所以'(0)2f =-.

因为(0)1f =，所以曲线()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为210x y +-=. （Ⅱ）令1()0e

x x

f x -=

=，解得1x =， 所以()f x 的零点为1x =. 由2

'()0e

x x f x -=

=解得2x =， 则'()f x 及()f x 的情况如下：

x

(,2)-∞

2 (2,)+∞

'()f x -

0 +

()f x

极小值

2

1e -

所以函数()f x 在2x = 时,取得极小值2

1e - （Ⅲ）法一：

当1x >时，1()0e x x

f x -=

<. 当1x <时，1()0e

x x

f x -=>.

若1a ≤，由（Ⅱ）可知()f x 的最小值为(2)f ，()f x 的最大值为()f a ，所以“对任意

12,[,)x x a ∈+∞，有1221()()e f x f x -≥-

恒成立”等价于21(2)()e

f f a -≥- 即22

111

e a a e e --

-≥-

， 解得1a ≥.

所以a 的最小值为1. 法二：

当1x >时，1()0e x

x

f x -=

<.

当1x <时，1()0e

x x

f x -=

>. 且由（Ⅱ）可知，()f x 的最小值为2

1

(2)e f =-

， 若1a <，令122,[,1)x x a =∈，则12,[,)x x a ∈+∞ 而121121

()()()0()(2)e

f x f x f x f x f -<--=<=，不符合要求， 所以1a ≥.

当1a =时，12,[1,)x x ?∈+∞,12()0,()0f x f x ≤≤ 所以12121

()()()0(2)e

f x f x f x f -≥-≥=-，即1a =满足要求， 综上，a 的最小值为1.

法三：

当1x >时，1()0e x x

f x -=

<. 当1x <时，1()0e

x x

f x -=>.

且由（Ⅱ）可知，()f x 的最小值为2

1

(2)e f =-， 若2[,)a ∈+∞，即2a ≤时， 令12,x =则任取2[,)x a ∈+∞, 有122222

11

()()(2)()()e e

f x f x f f x f x -=-=-

-≥- 所以2()0f x ≤对2[,)x a ∈+∞成立，

所以必有21x ≥成立，所以[,)[1,)a +∞?++∞，即1a ≥. 而当1a =时，12,[1,)x x ?∈+∞,12()0,()0f x f x ≤≤ 所以1212

1

()()()0(2)e f x f x f x f -≥-≥=-

，即1a =满足要求， 而当2a ≥时，求出的a 的值，显然大于1， 综上，a 的最小值为1.