中考数学热点题型――规律探索篇

中考数学热点题型――规律探索篇

新课程标准要求学生，能够初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识.为适应新的教学理念及社会和谐发展的需要，兼具双重性质考试的中考，既要考查三基，又要考查数学应用能力，考查和测试继续学习和深造的潜在的能力，即学习潜力，为高一级学校输送合格的新生.近几年来出现了颇具新意的观察探索归纳猜想类型题，以数学概念及数学思想方法为载体，考查潜能的创新题脱颖而出.为了方便同学们搞好后期的中考复习，现以2007年全国部分省市的中考试题为例说明如下：

一、从数的运算中探索规律

例1（广西河池课改试题）古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，……，叫做三角形数，根据它的规律，则第100个三角形数与第98个三角形数的差为＿＿＿.

分析观察这一组数有以下特征：1＝1

2

(12+1)，3＝

1

2

(22+2)，6＝

1

2

(32+3)，10＝

1 2(42+4)，15＝

1

2

(52+5)，21＝

1

2

(62+6)，……由此可以猜想第100个三角形数和第98个三

角形数的大小，即可求解.

解因为1＝1

2

(12+1)，3＝

1

2

(22+2)，6＝

1

2

(32+3)，10＝

1

2

(42+4)，15＝

1

2

(52+5)，21

＝1

2

(62+6)，……，

所以第98个这样的三角形数是

1

2

(982+98)，第100个这样的三角形数是

1

2

(1002+100)，即第100个三角形数与第98个三角形数的差为

1

2

(1002+100)－

1

2

(982+98)＝

1

2

(1002－

982+100－98)＝1

2

(198×2+2)＝199.故应填199.

说明同学们通过求解这道中考题，感觉一定不错吧！在数学解题中，只要我们认真地去分析题目的本质特征，找到其中隐藏的规律，求解起来还是十分地方便快捷.

二、从式的运算中探索规律

例2（杭州市）给定下面一列分式：

3

x

y

，－

5

2

x

y

，

7

3

x

y

，－

9

4

x

y

，…，（其中x≠0）

（1）把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？

（2）根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第7个分式.

分析（1）后一个分式除以前面一个分式其结果都是负的，并且是一个恒定的代数式，（2）观察已知的一列分式可知分式的分母的指数依次增加1，分子的指数是分母指数的2倍加1，并且分母的指数是偶数的分式带有“－”号.

解（1）因为－

5

2

x

y

÷

3

x

y

＝

7

3

x

y

÷(－

5

2

x

y

)＝－

9

4

x

y

÷(－

7

3

x

y

)＝…＝－

2

x

y

，

所以任意一个分式除以前面一个分式的规律是恒等于－

2

x

y

.

（2）因为已知的一列分式可知分式的分母的指数依次增加1，分子的指数是分母指数

的2倍加1，并且分母的指数是偶数的分式带有“－”号，所以第7个分式应该是15

7x y

. 说明 求解此类中考试题除了要利用基础知识外，还要认真地分析每一个式子的特点，及时地发现、归纳出一般规律.

三、从图形特征中探索规律

例3（温州市）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两上数的和.现以这组数中的各个数作为正方形的长度构造如图1正方形：

再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个正方形拼成如下矩形并记为①、②、③、④.相应矩形的周长如下表和如图2所示：

若按此规律继续作矩形，则序号为⑩的矩形周长是＿＿＿.

分析 由数据1，1，2，3，5，8，13，…的规律可知矩形①、②、③、④、……的相应的长分别为2＝1+1，3＝1+2，5＝2+3，8＝3+5，…，89＝34+55，144＝55+89，233＝89+144，…，相应的宽分别为1，1+1，1+2，2+3，3+5，…，21+34，34+55，55+89，….由此可以获解.

解 依题意，得序号为⑩的矩形的宽为34+55＝89，长为55+89＝

144，所以号为⑩的矩形周长是(89+144)×2＝233×

2＝466.故应填上466.

说明 求解本题的关键一要正确理解1，

1，2，3，5，8，13，…的规律，二是以这组数中的各个数作为正方形的长度构造正方形的意义，三是要弄清楚分别依次从左到右取2个、3个、4

个、5个正方形拼成矩形的长和宽分别是多少.

四、从图案中探索规律

例4（乐山市）认真观察图3①的4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：

① ② 图3 11231511211321④

③②①图2 11235...

图1

（1）请写出这四个图案都具有的两个共同特征.

特征1：______；特征2：______.

（2）请在图3②中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征.

分析 通过观察每一个图案的特征可以发现：它们既是轴对称图案，又是中心对称图案，并且面积相等，都等于4个单位等等.由此可以再仿照设计很多的图案.

解（1）特征1：都是轴对称图形；特征2：都是中心对称图形；特征3：这些图形的面积都等于4个单位面积；等等.（2）满足条件的图形有很多，即答案不惟一.如，如图4所示.

说明 本题是一道开放型试题，求解时只要符合题意即可，另外，在平时的学习生活中一定留意身边的各种形状的图案，这样才能在具体求解问题时如鱼得水，一蹴而就.

五、从阅读理解中探索规律

例5（乐山市）如图5，在直角坐标系中，已知点P 0的坐标为(1，0)，将线段OP 0 按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP 0的2倍，得到线段OP 1；又将线段OP 1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP 1的2倍，得到线段OP 2；如此下去，得到线段OP 3，OP 4，…，OP n （n 为正整数）

（1）求点OP 6的坐标；

（2）求△P 5OP 6的面积；

（3）我们规定：把点P n (x n ，y n )(n ＝0，1，2，3，…)的横坐标x n 、纵坐标y n 都取绝对值后得到的新坐标(n x ，n y )称之为点P n 的“绝对坐标”.根据图中点P n 的分布规律，请你猜想点P n 的“绝对坐标”，并写出来.

分析 先从中探索出一般规律，然后再进一步求解.

解（1）根据旋转规律，点P 6落在y 轴的负半轴，而点P n 到坐标原点的距离始终等于前一个点到原点距离的2倍，故其坐标为P 6(0，26)，即P 6(0，64).（2）由已知可得，△P 0OP 1∽△P 1OP 2∽…∽△P n －1OP n ，设P 1(x 1，y 1)，则y 1＝2sin45°

所以S △P 0OP 1＝12

×1

＝2.又因为61OP OP ＝32，所以5601

P OP P OP S S △△＝2321?? ???＝1024，即S △P 5OP 6＝1024

×2＝

（3）由题意知，OP 0旋转8次之后回到x 轴正半轴，在这8次中，点P n 分别落在坐标象限的平分线上或x 轴或y 轴上，但各点绝对坐标的横、纵坐标均为非负数，因此，点P n 的坐标可分三类情况：令旋转次数为n . ①当n ＝8k 或n ＝8k +4时（其中k 为自然数），点P n 落在x 轴上，此时，点P n 的绝对坐标为(2n ，0)；②当n ＝8k +1或n ＝8k +3或n ＝8k +5或n ＝8k +7时（其中k 为自然数），点P n 落在各象限的平分线上，此时，点P n 的绝对坐标为

×2n

，2

×2n )，即(2n －

2n －

；③当n ＝8k +2或n ＝8k +6时（其中k 为自然数），点P n 落在y 轴上，此时，点P n 的绝对坐标为(0，2n

).

图4

说明本题中定义的绝对坐标问题是我们没有见过的，但通过说明，对照图形，我们还

5

综上所言，规律探索试题一般是根据已知条件或所提供的若干个特例，通过观察、类比、归纳，提示和发现题目所蕴含的本质规律与特征的一类探索性问题.求解时，只要能根据已知条件或特例中发现规律即可简捷解答.