夫琅禾费单缝衍射光强分布MATLAB分析 毕业设计论文

毕业设计（论文）

摘要

衍射为人们所熟悉的现象，对于光的这种特殊现象在很多方面有着应用。

在光的衍射的基础上，介绍了什么是夫琅禾费衍射，几种实现夫琅禾费衍射的方法和原理及光强分布特点，以基尔霍夫积分定理为基础，利用衍射公式的近似对基尔霍夫衍射公式进行了推导，从理论上得出了夫琅禾费单缝衍射的光强公式，利用Matlab软件进行了光强分布的图样仿真，并用实验采集到的图样对理论和仿真的结论进行了验证，采用对观察屏上各点的光强进行计算的方法，对衍射条纹分析对比研究，重点研究了夫琅禾费单缝衍射光强分布以及衍射的条纹分析，计算结果与实验结果得到了很好的吻合。

关键词：夫琅禾费单缝衍射；光强分布；衍射条纹；对比分析

毕业设计（论文）

Abstract

Diffraction to people familiar with the phenomenon, the light of this unique phenomenon has applications in many areas.

In the diffraction of light on the basis of what is on the Fraunhofer diffraction, the realization of several Fraunhofer diffraction methods and principles and distribution of light intensity to Kirchhoff integral theorem based on the formula used diffraction Kirchhoff diffraction similar to the formula derived from the theory that the Fraunhofer single-slit diffraction of light formula, using the Matlab software Light simulation of the design and use of the images collected on theory Simulation and the conclusions were verified by on-screen to observe the strong points of light to the method of calculation, the diffraction fringes of comparative study, focused on the Fraunhofer single-slit diffraction intensity distribution and diffraction analysis of the fringe The results with the experimental results have been very good anastomosis.

Key words：Fraunhofer single-slit diffraction；light distribution；diffraction fringes ; comparative analysis

目录

第1章概述 (1)

1.1 光的衍射 (1)

1.2 研究的内容与目的 (2)

第2章夫琅禾费衍射原理 (3)

2.1 惠更斯—菲涅耳原理 (3)

2.2 夫琅禾费衍射 (4)

2.3 实现夫琅禾费衍射的几种方法 (5)

2.4 菲涅耳半波带分析法 (7)

2.5 夫琅禾费衍射光强图样特点 (10)

2.6 本章小结 (12)

第3章光强分布的推导 (13)

3.1 基尔霍夫积分定理 (13)

3.2 基尔霍夫衍射公式 (15)

3.3 基尔霍夫衍射公式的近似 (17)

3.4 夫琅禾费单缝衍射光强分布 (19)

3.5 本章小结 (20)

第4章条纹分析 (21)

4.1 理论分析 (21)

4.2 仿真分析 (23)

4.3 实验分析 (26)

4.4 对比分析 (28)

4.5 本章小结 (29)

结论 ...................................................................................... 错误！未定义书签。参考文献 . (30)

致谢 ...................................................................................... 错误！未定义书签。

第1章 概 述

1.1 光的衍射

1.1.1 衍射特点

光波遇到障碍物以后会或多或少地偏离几何光学传播定律的现象。几何光学表明，光在均匀媒质中按直线定律传播，光在两种媒质的分界面按反射定律和折射定律传播。但是，光是一种电磁波，当一束光通过有孔的屏障以后，其强度可以波及到按直线传播定律所划定的几何阴影区内，也使得几何照明区内出现某些暗斑或暗纹。

光的衍射是指光波在传播过程中遇到障碍物时，所发生的偏离直线传播的现象。光的衍射，也可以叫做光的绕射，即光可以绕过障碍物，传播到障碍物的几何阴影区域中，并在障碍物后的观察屏上呈现出光强的不均匀分布。通常将观察屏上的不均匀光强分布称为衍射图样。

(a) S

Σ K

Σ K

(b) S

图 1-1 光的衍射现象 如图1-1所示，让一个足够亮的点光源S 发出的光透过一个圆孔∑，照射到屏幕K 上，并且逐渐改变圆孔的大小，就会发现：当圆孔足够大时，在屏幕上看到一个均匀光斑，光斑的大小就是圆孔的几何投影，如图 1-1（a ）所示；随着圆孔逐渐减小，起初光斑也相应的变小，而后光斑开始模糊，并且在圆斑外面产生若干围绕圆斑的同心圆环，当使用单色光源时，这是一组明暗相见的同心环带，如图1-1（b ）所示，当使用白色光源时，这是一组色彩相间的彩色环带；此后再使

∑

S K K ∑

圆孔变小，光斑及圆环不跟着变小，反而会增大起来，这就是光的衍射现象。

1.1.2衍射与干涉的关系

干涉现象和衍射现象都是光具有波动性的重要特征，那么，它们有怎样的区别和联系呢，简单地说，干涉是若干光束的叠加，更确切地讲应该是，当参与叠加的各束光本身的传播行为可近似用几何光学直线传播的模型描写时，这个叠加问题是纯干涉问题；若参与叠加的各束光本身的传播明显地不符合几何光学模型，则应该说，对每一束而言都存在着衍射，而各束光之间则存在干涉联系。在一般问题中，干涉和衍射两者的作用是同时存在的。从本质上说，干涉和衍射都是波的相干叠加的结果，只是参与相干叠加的对象有所区别，干涉是有限几束光叠加，而衍射则是无穷多次波的相干叠加。其次，出现的干涉和衍射花样都是明暗相间的条纹，但在光强分布上有间距均匀与相对集中的不同。

1.1.3衍射的应用

光的衍射决定光学仪器的分辨本领；气体或液体中的大量悬浮粒子对光的散射，衍射也起重要的作用。衍射应用大致可以概括为以下四个方面：

1、光谱分析：如衍射光栅光谱仪。

2、结构分析:衍射图样对精细结构有一种相当敏感的“放大”作用,故而利用图样分析结构,如X射线结构学。

3、成像:在相干光成像系统中,引进两次衍射成像概念，由此发展成为空间滤波技术和光学信息处理。光瞳衍射导出成像仪器的分辨本领。

4、波阵面再现:一种全新的两步无透镜成像法，也称为波阵面再现术，这是

全息术原理中的重要一步。

1.2研究的内容与目的

通过衍射现象进一步了解夫琅禾费衍射，首先从原理出发，掌握夫琅禾费单缝衍射的原理，利用三角公式和积分处理,通过对光强的计算和对其分布特点的理论研究，从中找出光强分布规律，再利用matlab软件描绘出其光强分布，最后通过实验采集的图样进行验证，对比研究分析衍射条纹的特点。

第2章 夫琅禾费衍射原理

2.1 惠更斯—菲涅耳原理

最早成功地用波动理论解释衍射现象的是菲涅耳，他将惠更斯原理用光的干涉理论加以补充，并予以发展。

图 2-1 惠更斯原理

图

惠更斯原理是描述波动传播过程的一个重要原理，其主要内容是：如图

2-1所示的波源S ，在某一时刻所产生波的波阵面为

∑，则∑面上的每一点都可以看作是一个次波源，它们发出球面次波，其后某一时刻的波阵面'∑即是该时刻这些球面次波的包迹面，波阵面的法线面的法线方向就是该波的传播方向。惠更斯原理能够很好地解释光的直线传播，光的反射和折射方向，但不能说明衍射过程及其

S

强度分布。

菲涅耳在研究了光的干涉现象后，考虑到次波来自于同一光源，应该相干，因而波阵面'∑上每一点的光振动应该是在光源和该点之间任一波面上的各点发出的次波场叠加的结果。这就是惠更斯—菲涅耳原理。

利用惠更斯—菲涅耳原理可以解释衍射现象：在任意给定的时刻，任一波面上的点都起着次波波源的作用，它们各自发出球面次波，障碍物以外任意点上的光强分布，即是没有被阻挡的各个次波源发出的次波在该点相干叠加的结果。

根据惠更斯—菲涅耳原理，图2-2所示的一个单色光源S 对于空间任意点P 的作用，可以看作是S 和P 之间任一波面∑上各点发出的次波在P 点相干叠加的结果。假设波面∑上任意点Q 的光场复振幅为()Q E ~

，在Q 点取一个面元δd ，则δd 面元上的次波源对P 点光场的贡献为

()()()ikr e dE P CK E Q d r θσ= 式中，C 是比例系数；r QP =，()K θ称为倾斜因子，它是与元波面法线和P Q 的夹角θ（称为衍射角）有关的量，按照菲涅耳的假设：当0θ=时，K 有最大值；随着θ的增大，K 迅速减小；当/2θπ≥时K ＝0。因此，途中波面∑上只有ZZ '范围内的部分对P 点光振动有贡献。所以P 点的光场复振幅为

()()()i k r e E P C E Q K d r θσ∑

=?? (2-1) 这就是惠更斯－菲涅耳原理的数学表达式，称为惠更斯－菲涅耳公式。

当S 是点光源时，Q 点的光场复振幅为 ()ikR A E Q e R

= 式中，R 是光源到Q 点的距离。在这种情况下，)(~Q E 可以从积分号中提出来，但

是由于()K θ的具体形式未知，不可能由(2-1)式确切地确定()E

P 值。因此，从理论上来讲，这个原理是不够完善的。

2.2 夫琅禾费衍射

在无成像的衍射系统中，通常按光源、衍射屏、接收屏幕三者之间距离的远近而将衍射分为两类，一类是菲涅耳衍射，指的是光源和接收屏与衍射屏的距离均为有限远，或其中之一是有限远的情形；另一类是夫琅禾费衍射，指的是光源

和接收屏与衍射屏的距离均为无限远的情形。粗略地说，菲涅耳衍射是近场衍射，光源O ,观察屏E (或二者之一) 到衍射屏S 的距离为有限的衍射，如图2-3所示。 夫琅禾费衍射是远场衍射，光源O ,观察屏E 到衍射屏S 的距离均为无穷远的衍射，如图2-4所示。不过应当注意，在成像衍射系统中，像面的衍射场在一定条件下也是夫琅禾费衍射场，此时无论像面（接收屏位置）或光源位置，它们与衍射屏的距离都可以是很近的。当然，夫琅禾费衍射是菲涅耳衍射的一个特例，其衍射积分计算较为简单，实验上也不难实现，应用价值又很大，故它一直是衍射问题的研究重点。尤其是现代光学中傅里叶光学的兴起，赋予夫琅禾费衍射以新的重要意义。

图 2-3 菲涅耳衍射

图 2-4 夫琅禾费衍射 2.3 实现夫琅禾费衍射的几种方法

无论是在实验室中或者别的什么地方,都不可能将光源和衍射场放在无限远，实际接收夫琅禾费衍射的装置有以下四种：

1、焦面接收装置（以单缝衍射为例，下同）

把点光源S 放在凸透镜1L 的前焦平面上，在凸透镜2L 的后焦平面上接收衍射场，见图2-5。

O

图 2-6 远场接收装置

2、 远场接收装置

当满足远场条件时，狭缝前后也可以不用透镜，而直接获得夫琅禾费衍射图

样。远场条件是：① 光源离狭缝很远，即λ

ρ2

>>R ，其中，R 是光源到狭缝的距离，ρ为狭缝宽度的一半；② 接收场距狭缝足够远，即λ

ρ2

>>z ，其中，z 为衍射场距狭缝的距离。观察点P 在λ

ρ2

>>z 的条件下，只要求其满足傍轴条件即可，而这一般都是满足的。图2-6为远场接收光路，假设一束平行光垂直入射到狭缝上。

3、象面接收装置（一）

衍射屏处于透镜的后方，如图2-7所示。S 在光轴上，∑代表点光源的象面，S '为S 的象点。理论上已经证明了∑面上呈现的图样为夫琅禾费衍射图样，即屏上任一点P θ的复振幅与角度θ的函数关系符合夫琅禾费衍射的积分形式。

图 2-8 象面接收装置（二）

4、象面接收装置（二）

衍射屏处于透镜的前方，如图2-8所示。P θ'点是场点P θ的共轭点，S 也在光轴上。如果光路逆转自右向左，S '变为点光源，衍射屏便处于透镜的后方了，

'∑面

上的衍射图样就同象面接收装置（一）∑面上的情况，z '相应地取代z ，所以实际呈现在图2-8的∑面上的衍射图样可由物面上设想的共轭衍射图样导出，二者为物象关系。

2.4 菲涅耳半波带分析法

2.4.1 夫琅禾费单缝衍射的零级大点

图 2-9 单缝衍射的零级极大

1的宽度为a ，也就是说狭缝的两侧边A 与B 的距离a AB =。狭缝的长度垂直于图面。

把此狭缝的宽度a 分割成许多个（设为N 个）窄条，每个窄条的宽度都等于N a S /=?。当单色平行光的波阵面到达此狭缝中时，每个窄条可看成一个子波源，它向各个方向发出子波。

上述单缝后面放一个凸透镜，此透镜2L 的主轴垂直于单缝和屏，屏放在透镜

的焦平面位置。

从单缝发出的所有子波中、传播方向与主轴平行的光线，被透镜聚焦于主焦点F （即主轴与屏的交点）。从单缝中任一点发出的上述光线、经透镜到F 点的光程都相等，因此F 点成为这些子波干涉加强的最强点，称为零级极大点，如果S 是一条与狭缝平行的直线光源，则在0Q 处显出一条与狭缝平行的零级亮纹。

2.4.2 用菲涅耳半波带法说明单缝衍射

如图2-10所示，在零级极大点0Q 的旁边有一个干涉相消的第一级极小点1Q 。现在要分析此极小点1Q 应满足的条件。

图 2-10

单缝衍射的一级极小

设上述1

Q 点与透镜的光心C 的连线1CQ 与主轴成1β角。此1β角就是单缝发出无数子波中、被透镜会聚于1Q 点的那一组平行光线与主轴所成角度。此1β角称为此组平行光线的衍射角。此组平行光线的垂直平面1AD 与单缝AB 的夹角也等于此衍射角1β，即11β=∠BAD 。

上述衍射角为1β的平行光线，从1AD 垂直面中任一点经透镜到屏上1Q 点的光程都相等。因此，上述任何两条平行光线的光程差L ?，就等于它们从单缝AB 到垂直面1AD 的光程差。这一组光程差L ?中的最大光程差()1m L ?应是单缝两端B 与A 的光程差1BD 。

相消的结果。已知上述一组平行光线在屏上1Q 点形成第一级极小，也就是说，这

一组平行光线整体在1Q 点形成干涉相消。如果将这组平行光线平分成上下两个半

组，当这两组的平均光程差为半波长时，可达到整组干涉相消的结果。具体说来，可在单缝AB 的中点Φ作一垂直于图面的直线，将单缝平分成ΦA 与B Φ上下两部分，同时也将上述平行光线分成上下两组，这两组平行光线到达1Q 点的平均光程差、应等于半波长，即2λ

=?L ，于是这两组平行光线一对一对地在1Q 形成干涉相

消。根据上述分析，可将屏上1Q 点应满足的条件总结如下：

()()λλ

=?=?=?=22211L L BD m (2-2)

λβ==11s i n

a BD (2-3) 1110β

f t

g x Q Q == (2-4) 110x Q Q -=- (2-5) 此式的f 是透镜的焦距，1x 是以0Q 为原点的1Q 位置坐标。1x -是负一级极1Q -的坐标。1Q 与1Q -对称地分布在0Q 的两侧。

图 2-11 单缝衍射的二级极小

图2-11表示在一级极小1Q 旁边有二级极小2Q 。此2Q 点所对应的平行光线的衍射角21αα>，所对应的最大光程差为()122BD L BD m >?=。

按照2Q 点的特点，应将单缝平分成四个部分，即B B B A AA 1111=Φ=Φ=，并要求其中相邻两部分上述平行光线的平均光程差都等于半波长，即2λ

=?L 。因此，

从单缝中的1AA 与1A Φ两部分发出的上述平行光线在2Q 形成干涉相消；从1B Φ与B B 1两部分发出的平行光线也在2Q 形成干涉相消。因此，参照（2-2）至（2-5）式，可将此2Q 成为二级极小的条件总结如下：

()()λλ

224422=?=?=?=l L BD m

λβ2sin 22==a BD

2220

220x Q Q -=-

按上述例子可把夫琅禾费单缝衍射屏上各级极小1Q ±、2Q ±、3Q ±…的条件都写下来：

()()112m BD L k L k λ

=?=?= 1sin BD a k βλ==，10k Q Q x ftg β==

10k Q Q x

-=- 11,2

k = 如上所述菲涅耳提出的简单方法称为半波带法，具有如下特点：（1）将到达单缝的波阵面分割成面积相等的矩形窄条（窄条长度平行于狭缝），每个窄条称为一个波带，各个波带含有相同数目的子波源。（2）要求相邻波带发出的子波会聚到达屏上Q 点的平均光程差都等于半波长。（3）如果分割成的波带数恰为偶数2k 1，则此Q 点便是此单缝衍射的第k 1级极小位置。 2.5 夫琅禾费衍射光强图样特点

2.5.1 图样特点

观察点和光源与障碍物的距离有限，在计算光程和叠加后的光强等问题时，都难免遇到繁琐的数学运算。夫琅禾费在1821-1822年间研究了观察点和光源距障碍物都是无限远（平行光束）时的衍射现象。在这种情况下，计算衍射图样中光强的分布时，数学运算就比较简单。所谓光源在无限远，实际上就是把光源置于第一个透镜的焦平面上，得到平行光束；所谓观察点在无限远，实际上是在第二个透镜的焦平面上观察衍射图样，在使用光学仪器的多数情况中，光束总是要透过透镜的。因而经常会遇到这种衍射现象，而且由于透镜的会聚，衍射图样的光强将比菲涅耳衍射图样的光强大大增加。

图2-12为红光单狭缝衍射图样，其特点是在中央有一条特别明亮的亮条纹，两侧排列着一些强度较小的亮条纹，相邻亮条纹之间有一条暗条纹，如以相邻暗条纹之间的间隔作为亮条纹的宽度，则两侧的亮条纹是等宽的，而中央亮条纹的宽度为其他亮条纹的两倍。

图 2-12 红光单缝衍射图样

图2-13 单缝衍射光路 2.5.2 强度的计算

现在我们用惠更新-菲涅耳原理来解释上述现象。如图2-13所示。为了清楚起见，图中狭缝的宽度'BB 已经放大。平行光束垂直于缝的平面入射时，波面和缝平面重合（垂直于图面）。将缝的面积分为一组平行于缝长的窄带，从每一条这样的窄带发出次波。其振幅正比于窄带的宽度dx ，设光波的初位相为零，b 为缝'BB 的宽度，A 0，而宽度dx 的窄条上次波的振幅为b dx A 0，则狭缝处各窄带所发次波的振动可用下式表示：

00cos A dx dE t b ω=

这些次波都可认为是球面波，各自向前传播。现在，首先对其中沿图面与原入射方向成θ角（称为衍射角）的方向传播的所有各次波进行研究。在入射光束的平面波面BB’上各次波的位相都相等，通过透镜2L 后在焦平面FF 上的同一点P 处叠加。要计算P 点的合振幅，必须考虑到各次波的位相关系，这取决于由各窄带到P 点的光程如何。现在作平面BD 垂直于衍射方向'B D ，根据BD 面上各点的位相分布情况即可决定在P 点相遇的各次波的位相关系。我们知道，从平面BD 上各点沿衍射方向通过透镜而达到P 点的光程都相等。这就只要算出从平面'BB 到

平面BD 的各平行直线段之间的光程差就可以了。

MN 为沿着衍射角θ进行的任一条路程，令BM =x ，则sin MN x θ=，这就是从M 和从B 两点所发次波沿平行于MN 方向到达平面BD 时的光程差。得BD 面上N 点的光振动的表达式为

02cos(sin )A dx dE x t b πθωλ=-

或

2

(s i n )0i x t A d x d E e b πθωλ-=

其复振幅为： 2s i n 0i x A dx dE e b πθλ

= 为简化计算起见，上式中假设各次波到达P 点时有相同的振幅（不考虑振幅

宽（从x=0到x=b ）积分。最后可得沿着衍射角θ方向传播的所有次波在观察点P 叠加起来的合振幅：

sin(

sin )sin P b A A b πθλ

πθλ=

令(sin )/u b πθλ=，通常称(sin )/u u 为u 的sin c 函数，并写成sin cu ，故P 点的光强为 20sin P I I c u = (2-6)

2.5.3 衍射花样的光强分布

当光屏放置在透镜L 2的焦平面上时，屏上出现衍射花样，光强的分布可由（2-6）式决定。不同的衍射角θ对应于光屏上不同的观察点。首先来决定衍射花样中光强最大值和最小值的位置。即求出满足光强的一阶导数为零的那些点：

223sin 2sin (cos sin )()0d u u u u u du u u -==

由此得 s i n 0,u u t g u ==

分别解以上两式，可得出所有的极值点。

1、单缝衍射中央最大值的位置：

由0sin =u ，解得满足()0sin 00==λθπb u 的一些衍射方向，即0sin 0=θ (中

间最大值的位置)，也就是在焦点P 0处，200A I p =，光强为最大。这里，叠加的各

个次波位相差为零，所以振幅叠加互相加强。

2、单缝衍射最小值的位置：

由0sin =u ，解得满足()πθπk b u k k 2sin 2==的一些衍射方向，即

b

k k λθ=sin

()???±±±=3,2,1k （最小值位置） 时，A P 为零，屏上这些点是暗的。 2.6 本章小结

本章从惠更斯—菲涅耳原理出发解释了夫琅禾费衍射原理，介绍了4种可以在实验室中实现的夫琅禾费衍射的接收装置，通过菲涅耳半波带法说明了单缝衍射，并针对衍射图样的特点分析了夫琅禾费单缝衍射的光强分布特点。