天津市南开中学2018-2019学年高三下学期第五次月考数学试卷(理科) Word版含解析
2018-2019学年天津市南开中学高三（下）第五次月考数学试卷（理
科）
最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。温馨提示：多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。高考保持心平气和，不要紧张，像对待平时考试一样去做题，做完检查一下题目，不要直接交卷，检查下有没有错的地方，然后耐心等待考试结束。
一、选择题：
1．i 是虚数单位，复数
=（ ）
A ．1﹣i
B ．﹣1+i
C ． +i
D ．﹣+i
2．变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=x +3y 的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
3．设p ：x 2﹣3x +2＞0，q ：
＞0，则p 是q （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．函数f （x ）=log 0.5（x 2﹣4）的单调减区间为（ ）
A ．（﹣∞，0）
B ．（0，+∞）
C ．（﹣∞，﹣2）
D ．（2，+∞）
5．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为（ ）
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S k ﹣1=﹣3，S k =0，S k +1=4，则k=（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=2，点P为△ABC内一点，若∠BPC=90°，PB=1，则PA=（）
A．4﹣B．C．D．1
8．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，
=μ，若?=1，?=﹣，则λ+μ=（）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．
9．如图，向边长为1的正方形内随机的投点，所投的点落在由y=x2和y=x围成的封闭图形的概率为．
10．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是．
11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，且双曲线
的一个焦点在抛物线y2=20x的准线上，则双曲线的方程为．
12．在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点，若△AOB
是等边三角形，则a的值为．
13．（几何证明选做题）
如图，弦AB与CD相交于⊙O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P．已知PD=2DA=2，则PE=．
14．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．设函数f（x）=cos2x+sin2（x+）．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈[﹣，）时，求f（x）的取值范围．
16．现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得
0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手
每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．
（Ⅰ）求该射手恰好命中一次得的概率；
（Ⅱ）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX．
17．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，H为BC中点，且FH⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BFC=90°，AB=2，EF=1．
（Ⅰ）求证：FH∥平面EDB；
（Ⅱ）求二面角B﹣DE﹣C的大小；
（Ⅲ）求四面体B﹣DEF的体积．
18．如图，椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离
为，不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求△APB面积取最大值时直线l的方程．
=a2S n+a1，其中a2≠0．
19．设数列{a n}的前n项和S n满足S n
+1
（Ⅰ）求证：{a n}是首项为1的等比数列；
（Ⅱ）若数列{b n}的前n项和为T n=n2+2n，求数列{a n?b n}的前n项和；
（Ⅲ）若a2＞﹣1，求证：S n≤（a1+a n），并给出等号成立的条件．
20．已知a，b是实数，函数f（x）=x3+ax，g（x）=x2+bx，f′（x）和g′（x）是f（x），g（x）的导函数，若f′（x）g′（x）≥0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性一致．
（Ⅰ）讨论f（x）的极值；
（Ⅱ）设a＞0，若函数f（x）和g（x）在区间[﹣2，+∞）上单调性一致，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）设a＜0，且a≠b，若函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a﹣b|的最大值．
2015-2016学年天津市南开中学高三（下）第五次月考数
学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：
1．i是虚数单位，复数=（）
A．1﹣i B．﹣1+i C． +i D．﹣+i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：=，
故选：C．
2．变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】简单线性规划．
【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x+3y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可．
【解答】解：变量x，y满足约束条件，画出图形：
目标函数z=x+3y经过点A（1，1），
z在点A处有最小值：z=1+3×1=4，
故选：C．