关于谐振子运动若干问题的讨论

一维谐振子的本征值问题

摘要：一维谐振子的本征值问题属于定态问题。本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac算子代数解法和Schr?dinger波动力学解法。在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研究前沿课题之一。最后从Dirac算子代数中求解出a?的本征态即谐振子的相干态，并由降算符a?与升算符+a?、光子数n与相位φ的最小不确定关系得出相干态和压缩态。 关键词：量子力学、一维谐振子、Heisenberg矩阵力学、算子代数解法、Schr?dinger波动力学、一维半壁谐振子势阱（垒）、相干态、压缩态。 在量子力学中谐振子不仅是说明量子力学基本原理和方法的一个很好的例子，而且任何体系在平衡位置附近的小振动，例如:分子的振动，原子核辐射场及其他玻色场的振动等，在选择恰当的坐标后，常常可以分解为若干彼此独立的一维谐振子振动]1[.1925年Heisenberg发现矩阵力学，1926年Schr?dinger创立波动力学，同时，Dirac创立在数学上更为一般的理论.可包括矩阵及波动两种形式]2[.一维谐振子的能力本征值问题，在历史上首先为Heisenberg的矩阵力学解决，后来用算子代数的方法给出了极漂亮的解，一般的教材只给定了波动力学的解法]3[.自1963年，Glauber]4[等人提出谐振子相干态以后，相干态和压缩态以其特有的最小不确定性和超完备性备受人们的关注，被广泛应用于量子光5[-。 学等领域]13 一维谐振子的本征值问题属于定态问题。本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac算子代数解法和Schr?dinger波动力学解法。在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研究前沿课题之一。最后从Dirac算子代数中求解出a?的本征态即谐振子的相干态，并由降算符a?与升算符+a?、光子数n与相位φ的最小不确定关系得出相干态和压缩态。 1.矩阵力学解法 取自然平衡位置为坐标原点，并选原点为势能零点，则一维谐振子势V可表成

高中物理 7.1 行星的运动

7.1行星的运动 知识与技能 1．知道地心说和日心说的基本内容。 2．知道所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 3．知道所有行星的轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，且这个比值与行星的质量无关，但与太阳的质量有关。 4．理解人们对行星运动的认识过程是漫长复杂的，真理是来之不易的。 过程与方法 1．通过托勒密、哥白尼、第谷、开普勒等几位科学家对行星运动的不同认识，了解人类认识事物本质的曲折性并加深对行星运动的理解。 情感态度与价值观 1．澄清对天体运动神秘、模糊的认识，掌握人类认识自然规律的科学方法。 2．感悟科学是人类进步不竭的动力。 教学重点 1．理解和掌握开普勒行星运动定律，认识行星的运动。学好本节有利于对宇宙中行星的运动规律的认识，掌握人类认识自然规律的科学方法，并有利于对人造卫星的学习。 教学难点 1．对开普勒行星运动定律的理解和应用，通过本节的学习可以澄清人们对天体运动神秘、模糊的认识。 教学过程：略 新课教学 引入： 7．2太阳与行星间的引力 7．3万有引力定律 知识与技能 １．理解太阳与行星间存在引力 ２．能根据开普勒行星运动定律和牛顿第三定律推导出太阳与行星间的引力表达式

2 r Mm G F ３．理解万有引力定律的含义并会推导万有引力定律 ４．理解地面上物体所受的重力与天体间的引力是同一性质的力，即服从平方反比定律的万有引力 过程与方法 １．通过推导太阳与行星间的引力公式，体会逻辑推理在物理学中的重要性 ２．体会推导过程中的数量关系 情感态度与价值观 １．感受太阳与行星间的引力关系，从而体会大自然的奥秘 ２．通过学习认识和借鉴科学的实验方法，充实自己的头脑，更好地去认识世界，建立科 学的价值观 教学重点 １．根据开普勒行星运动定律和牛顿第三定律推导出太阳与行星间的引力公式，记住推导出的引力公式 ２．在研究具体问题时，如何选取参考系 ３．质点概念的理解 教学难点 １．太阳与行星间的引力公式推导过程 ２．什么情况下可以把物体看作质点 教具 多媒体视频 课时安排 １课时 教学过程 开普勒定律发现之后，人们便开始更深入的思考：行星为什么这样运动？ 这节课我们“追寻着牛顿的足迹”，用自己的手和脑，重新“发现”万有引力定律。 一． 太阳对行星的引力 为了简化问题，行星的轨道按圆来处理，请猜想太阳与行星的引力与什么因数有关 研究的问题中，只有太阳、行星，那么他们之间的引力可能与太阳的质量、行星的质量、他们之间的距离以及行星与太阳之间的媒介物有关，还可能与太阳与行星的形状、大小有关。太阳与行星的是否可以看作质点？太阳与行星之间是真空，对太阳与行星的引力

一维谐振子的本征值问题

一维谐振子的本征值问题 姜罗罗 赣南师范学院物理与电子信息科学系物理学专业2000级（2）班 摘要：一维谐振子的本征值问题属于定态问题。本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac算子代数解法和Schr?dinger波动力学解法。在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研究前沿课题之一。最后从Dirac算子代数中求解出a?的本征态即谐振子的相干态，并由降算符a?与升算符+a?、光子数n与相位φ的最小不确定关系得出相干态和压缩态。 关键词：量子力学、一维谐振子、Heisenberg矩阵力学、算子代数解法、Schr?dinger波动力学、一维半壁谐振子势阱（垒）、相干态、压缩态。 在量子力学中谐振子不仅是说明量子力学基本原理和方法的一个很好的例子，而且任何体系在平衡位置附近的小振动，例如:分子的振动，原子核辐射场及其他玻色场的振动等，在选择恰当的坐标后，常常可以分解为若干彼此独立的一维谐振子振动]1[.1925年Heisenberg发现矩阵力学，1926年Schr?dinger创立波动力学，同时，Dirac创立在数学上更为一般的理论.可包括矩阵及波动两种形式]2[.一维谐振子的能力本征值问题，在历史上首先为Heisenberg的矩阵力学解决，后来用算子代数的方法给出了极漂亮的解，一

般的教材只给定了波动力学的解法]3[.自1963年，Glauber ]4[等人提出谐振子相干态以后，相干态和压缩态以其特有的最小不确定性和超完备性备受人们的关注，被广泛应用于量子光学等领域]135[-。 一维谐振子的本征值问题属于定态问题。本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac 算子代数解法和Schr ?dinger 波动力学解法。在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研 究前沿课题之一。最后从Dirac 算子代数中求解出a ?的本征态即谐振子的相干态，并由降算符a ?与升算符+a ?、光子数n 与相位φ的最小不确定关系得出相干态和压缩态。 1.矩阵力学解法 V 可 表成 2 2 1kx V x = （１） k 为刻画简谐作用力强度的参数.设谐振子质量为μ，令 μ ωk = （２） 它是经典谐振子的自然频率，则一维谐振子的Hamilton 量可表为 图１．一维谐振子势 222?2 12??x p H μωμ+= (3) 在能量H ?表象中，由于

高中物理 行星的运动(教学设计)

行星的运动（教学设计） （一）教学目标： 1、知识目标：通过学习物理学史的知识，使学生了解地心说（托勒密）和日心说（哥白尼）分别以不同的参照物观察天体运动的观点；了解开普勒三定律的研究过程，知道三定律的内容。 2、能力目标：通过学生的阅读使学生知道开普勒对行星运动规律的描述。 3、教学方法：启发式综合教学法 4、情感目标：使学生在了解地心说和日心说的同时，也使学生懂得科学的道路并不是平坦的光明大道，也要通过斗争，甚至付出生命代价的。通过物理学史的学习激发学生学科学的热情。 （二）学情分析： 在此之前学生对行星运动的了解，只停留在看电视科普节目、地理课程介绍或阅读科普读物的科普层次上，对行星运动的两种学说和三条规律还很陌生。本节教学主要通过大量的史实向学生介绍行星运动的两种学说的来源，以及它们在矛盾中发展的最后结果。在此基础上，再向学生介绍开普勒三定律及三定律的研究范畴。 （三）教学思路： 1、通过大量历史资料使学生了解人类对力和运动的研究首先是从研究天体运动开始。 2、介绍两种学说——地心说与日心说，了解科学发现的艰辛。 3、最后引入开普勒三定律，使学生知道开普勒三定律的内容及研究范畴。 （四）教学流程：

1导入新课：在远古时期，人类生活中遇到如何测量时间、如何辨别方向等问题，从而引发人们观测太阳、月亮、行星和恒星等天体的运动，创造出了古代的历法，开始了早期的天文学研究。 （1）. 地心说与日心说 ①地心说 浩瀚的天空能引发人们无穷的遐想，古希腊的天文学家和哲学家对天体运动运动的研究鉴于当时的观测条件和认知水平，都只能从最简单的直观现象开始。从太阳、月亮、星星全都由东边升起西边落下，得到直接的感受就是地球应是宇宙的中心。从而构建出一幅简单而完美的群星绕地球做匀速圆周运动的地心说图景，这又恰好符合当时教会的教义，很快就被教会所利用。 地心说的主要观点：地球是宇宙的中心，且静止不动，一切行星围绕地球做圆周运动。 地心说的代表人物是古希腊的科学家和哲学家亚里士多德。 ②日心说 大约在公元前四～三世纪，希腊天文学家阿里斯塔克指出，地球和所有行星都是围绕太阳而转动的，地球还围绕自身的中心轴而旋转。他是人类历史上第一个提出有关太阳系结构的所谓日心说。波兰科学家哥白尼则在1543年出版的《天体运行论》书中，对日心说有了更为具体的论述和论证。 日心说的主要观点：太阳是宇宙的中心，且静止不动，一切行星都围绕太阳做圆周运动。 两种学说的长期斗争，一方面体现了科学旅途的艰辛，另一方面折射出科学家为科学献身的精神。 （2）开普勒三定律

第三章 谐振子

第三章 谐振子 一 内容提要 1 一维线性谐振子的能级与波函数 2221)(x x V μω= 2222 12??x p H μω+= ,3,2,1)2 1(=ω+=n n E n )()(222 1 x H e N x n x n n α-=ψ [其中 ! 2n N n n πα= μω = α ] 2 谐振子的升降算符 [1] 升降算符 )??(2?p i x a μω-μω=+ )??(21p i x μω-α= )??(2?p i x a μω+μω= )??(21p i x μω+α= 则 )??(2?++μω =a a x )??(2?+-μω-=a a i p [2] 升降算符的性质 11?++ψ+=ψn n n a 1?-ψ=ψn n n a 1]?,?[=+a a 二 例题讲解 1 一维谐振子如果考虑非谐振微扰项4 ' ?x H λ=，求体系能级的一级修正。 解：>+<μω λ>=<λ>==<+n a a n n x n n H n E n 42 4 ' ) 1()??()2(? 可以导出 )122(3)??(24++>=+<+n n n a a n 那么 = ) 1(n E )122()(4322++μω λn n 2 已知单摆在重力作用下能在竖直平面内摆动。求： [1] 小角度近似下，体系的能量本征值及归一化本征函数。 [2] 由于小角度近似而引起的体系基态能级的一级近似。 解：摆球平衡位置作为势能零点 摆球重力势能为 )cos 1(θ-==mgl mgh V （1） [1] 由公式 -θ+θ-=θ4 2! 41!211c o s （2）

经典力学与量子力学中的一维谐振子

经典力学与量子力学中的一维谐振子 物理与电子信息工程学院物理学 [摘要]一维谐振动是一种最简单的振动形式，许多复杂的运动都可分析为一维谐振动。本文以一维谐振子为研究对象，首先讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的运动方程和能量特征，然后分析坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系。 [关键词]谐振子经典力学量子力学运动方程能量分布 1 前言 所谓谐振，在运动学中就是简谐振动。一个劲度系数为k的轻质弹簧的一端固定，另一端固结一个可以自由运动的质量为m的物体，就构成一个弹簧振子[1]。该振子是在一个位置（即平衡位置）附近做往复运动。在这种振动形式下，物体受力的大小总是和它偏离平衡位置的距离成正比，并且受力方向总是指向平衡位置。这种情况即为一维谐振子。 一维谐振子在应用上有很大价值,因为经典力学告诉我们只要选择适当的坐标,任意粒子体系的微小振动都可以认为是一些相互独立的振子的运动的集合。普朗克在他的辐射理论中将辐射物质的中心当作一些谐振子,从而得到和实验相符合的结果。在分子光谱中,我们可以把分子的振动近似地当作谐振子的波函数。另外在量子场论中电磁场的问题也能归结成谐振子的形式。因此在量子力学中,谐振子问题的地位较经典物理中来得重要。应用线性谐振子模型可以解决许多量子力学中的实际问题。 本文将以一维谐振子为研究对象，首先分别讨论经典力学与量子力学中一维谐振子的运动方程和能量特征，然后讨论坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后分析经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系并简要讨论经典力学与量子力学的过渡问题。从而帮助我们更加深入的理解一维谐振子的物理实质，充分认识微观粒子的波粒二象性。

经典力学与量子力学中的一维谐振子

经典力学与量子力学中的一维谐振子 [摘要]一维谐振动是一种最简单的振动形式，许多复杂的运动都可分析为一维谐振动。本文以一维谐振子为研究对象，首先讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的运动方程和能量特征，然后分析坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系。 [关键词]谐振子经典力学量子力学运动方程能量分布 1 前言 所谓谐振，在运动学中就是简谐振动。一个劲度系数为k的轻质弹簧的一端固定，另一端固结一个可以自由运动的质量为m的物体，就构成一个弹簧振子[1]。该振子是在一个位置（即平衡位置）附近做往复运动。在这种振动形式下，物体受力的大小总是和它偏离平衡位置的距离成正比，并且受力方向总是指向平衡位置。这种情况即为一维谐振子。 一维谐振子在应用上有很大价值,因为经典力学告诉我们只要选择适当的坐标,任意粒子体系的微小振动都可以认为是一些相互独立的振子的运动的集合。普朗克在他的辐射理论中将辐射物质的中心当作一些谐振子,从而得到和实验相符合的结果。在分子光谱中,我们可以把分子的振动近似地当作谐振子的波函数。另外在量子场论中电磁场的问题也能归结成谐振子的形式。因此在量子力学中,谐振子问题的地位较经典物理中来得重要。应用线性谐振子模型可以解决许多量子力学中的实际问题。 本文将以一维谐振子为研究对象，首先分别讨论经典力学与量子力学中一维谐振子的运动方程和能量特征，然后讨论坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后分析经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系并简要讨论经典力学与量子力学的过渡问题。从而帮助我们更加深入的理解一维谐振子的物理实质，充分认识微观粒子的波粒二象性。 2 经典力学中的一维谐振子 在经典力学中基本方程以牛顿定律为基础，研究质点位移随时间变化的规

用Feynman传播函数求解一维谐振子的尝试

用Feynman传播函数求解一维谐振子的尝试 本文旨在结合《高等量子力学》课上关于Feynman传播函数的知识，以及参考侯伯元教授编著的《路径积分与量子物理导引》的知识，尝试用路径积分的方法来求解一维谐振子的问题。 直接引用课上推导的结果，Feynman传播子为： ()() 12 212 11 ,,exp 22 j j j j j j j x x m m x t x t i V x i εε πεε + ++ ?? ?? - ?? ?? ???? =-+O ?? ? ? ?? ???? ?? ?? ??（1）式子中，令1 j j t t ε+ ≡- ，并已采用自然单位制， 1 =。 式（1）中，有 ()() 2 1 2 j j j j x x m L t V x ε + - ?? ≡- ? ??（2）是拉氏量。考虑一维谐振子，其拉氏量为： 222 22 m m L x x ω =- （3）那么，Feynman传播子为 ()()() 12 22 212 11 ,,exp 222 j j j j j j x x m m D x x i x x i ω εεε πεε + ++ ?? ?? - ?? ?? ???? =--+O ?? ? ? ?? ???? ?? ?? ??（4）令 2 00 12, 222 m m a b ωε εε ?? ?? =-= ?? ? ?? ?? ?? 则，式（4）改写为： ()() {}() 1 2 22 10101 ,,exp2 2 j j j j j j m D x x i a x x b x x i εε πε +++ ???? =--?+O ??? ?? ??（5）而对于Feynman传播函数有， ()()() {} ,;,exp f i t F f f i i t D x t x t D x t i L t dt =?? ?? ?? （6）

在坐标表象中处理一维线性谐振子问题

初中物理 题目：在坐标表象中处理一维线性谐振子问题 作者单位：响水滩乡中心学校 作者姓名：宁国强 2012年9月28日

在坐标表象中处理一维线性谐振子问题 响水滩中心学校 宁国强 摘 要：本文阐述了在坐标表象中处理一维线性谐振子问题的方法和思路，阐述了一般表象的概念。 关键词：一维线性谐振子；坐标表象； 一、 能量本征值、本征函数的求解 取自然平衡位置为坐标原点,并选原点为势能零点,则一维线性谐振子的势能为 221()2V x x μω= （1） 其中μ是谐振子的质量，ω是经典谐振子的自然频率。一维谐振子的哈密顿函数为 222122 p H x μωμ=+ （2） 体系的能量本征方程（亦即不含时Schr ?dinger 方程）为 ()()222221?22d x x E x dx μωψψμ??-+= ??? h （3） 严格的谐振子势是一个无限深势阱（如图1所示），粒子只存在束缚态，即起波函数应满足以下条件： ()0x x ψ→∞ ???→ （4） 将方程（3）无量纲化，为此，令

x ξα==， α= λ=2E ω h （5） （3）式可改写为 () 2220d d ψλξψξ+-= （6） 这是一个变系数二阶常微分方程。为了求解它，我们先看ψ在ξ→±∞时的渐进行为。当ξ????很大时,λ与2ξ相比可以略去，因而在ξ→±∞ 时，方程(6)可近似表示为 2220d d ψξψξ -= （7） ξ→±∞时， 它的渐近解为2/2~e ξψ±。因为波函数的标准条件要求当ξ→±∞时ψ应为有限，所以2/2e ξψ:不满足边界条件(4)式，应弃之。波函数指数上只能取负号，即2/2e ξψ-:。方程(6)在ξ为有限处的 根据以上讨论，可令方程(6)在ξ为有限处的解有如下形式： ()()2 2Ae H ξψξξ-= （8） 式中A 为归一化系数，（8）代入(6)式，得 ()22210d H dH H d d ξλξξ -+-= （9） 用级数解法，即把H 展开成ξ的幂级数来求这个方程的解。这个级数必须只含有有限项，才能在ξ→±∞ 时使()ψξ为有限，而级数只含有限项的条件是λ 为奇数：21n λ=+，()0,1,2n =L L 。代入(5)中的第三式，可得一维线性谐振子的能级为 12n E n ω??=+ ?? ?h ， ()0,1,2n =L L （10） 因此，线性谐振子的能量只取分立值(如图2所示)，两相邻能级间的间隔为ωh ，这与普朗克关于能量是量子化的假设相符合。

人教版高中物理必修二[知识点整理及重点题型梳理] 行星的运动与万有引力定律 基础

人教版高中物理必修二 知识点梳理 重点题型（常考知识点）巩固练习 行星的运动、万有引力定律 【学习目标】 1．了解地心说与日心说． 2．明确开普勒三大定律，能应用开普勒三大定律分析问题． 3．理解万有引力定律的内容及使用条件. 【要点梳理】 要点一、地心说与日心说 要点诠释： 1．地心说 地球是宇宙的中心，并且静止不动，一切行星围绕地球做圆周运动． 公元2世纪的希腊天文学家托勒密使地心说发展和完善起来，由于地心说能解释一些天文现象，又符合人们的日常经验(例如我们看到太阳从东边升起，从西边落下，就认为太阳在绕地球运动)，同时地心说也符合宗教神学关于地球是宇宙中心的说法，所以得到教会的支持，统治和禁锢人们的思想达一千多年之久． 2．日心说 16世纪，波兰天文学家哥白尼(1473～1543年)根据天文观测的大量资料，经过长达40多年的天文观测和潜心研究，提出“日心体系”宇宙图景． 日心体系学说的基本论点有： (1)宇宙的中心是太阳，所有的行星都在绕太阳做匀速圆周运动． (2)地球是绕太阳旋转的普通行星，月球是绕地球旋转的卫星，它绕地球做匀速圆周运动，同时还跟地球一起绕太阳运动． (3)天穹不转动，因为地球每天自西向东自转一周，造成天体每天东升西落的现象． (4)与日地距离相比，其他恒星离地球都十分遥远，比日地间的距离大得多． 随着人们对天体运动的不断研究，发现地心说所描述的天体的运动不仅复杂而且问题很多．如果把地球从天体运动的中心位置移到一个普通的、绕太阳运动的行星的位置，换一个角度来考虑天体的运动，许多问题都可以解决，行星运动的描述也变得简单了．因此日心说逐渐被越来越多的人所接受，真理最终战胜了谬误． 注意：古代的两种学说都不完善，太阳、地球等天体都是运动的，鉴于当时自然科学的认识能力，日心说比地心说更先进，日心说能更完美地解释天体的运动．以后的观测事实表明，哥白尼日心体系学说有一定的优越性．但是，限于哥白尼时代科学发展的水平，哥白尼学说存在两大缺点：①把太阳当做宇宙的中心．实际上太阳仅是太阳系的中心天体，而不是宇宙的中心．②沿用了行星在圆形轨道上做匀速圆周运动的陈旧观念．实际上行星轨道是椭圆的，行星的运动也不是匀速的． 要点二、开普勒发现行星运动定律的历史过程 要点诠释： (1)丹麦天文学家第谷连续20年对行星的位置进行了精确的测量，积累了大量的数据．到1601年他逝世时，这些耗尽了他毕生心血获得的天文资料传给了他的助手德国人开普勒． (2)开普勒通过长时间的观察、记录、思考与计算，逐渐发现哥白尼把所有行星运动都看成是以太阳为

一维量子谐振子的概率分布

一维量子谐振子的概率分布 摘要：线性谐振子问题作为一种普遍的模型，所以在经典力学中和量子力学中都受到很大关注。并且谐振子包括很多类型，我们就先研究量子谐振子的问题。量子谐振子是很多复杂物理模型的基础，量子谐振子在前几个量子态时，概率密度与经典情况相差较多，随着量子数的增加，随之相似性也会增加。可以通过使用数学软件将量子谐振子的概率分布绘制成图像，从而得出一维量子谐振子的概率分布。 关键词：经典谐振子 一维量子谐振子 波函数 量子谐振子概率分布 1.引言： 谐振子的振动是一种很常见的物理模型，它在很多方面得到应用。谐振子大体可分为经典力学和量子力学两部分，谐振在运动学就是简谐振动，这样的振动是物体在某一位置附近往复偏离该振动中心位置，在这样的振动方式下，物体所受到的力的大小总是与它偏离平衡位置的大小成正比关系，并且物体总是受到指向平衡位置的力。谐振子具有周期运动的物理特征，一些复杂的物理基础可以运用谐振子运动来解决。 通过对经典谐振子的研究，得到经典谐振子的函数关系式。再利用量子力学中的不确定关系得到量子谐振子的能量最低点，即平衡位置，最后得到谐振子的波函数，从而得到了谐振子的概率。随着量子数的增加，利用软件Mathematica 绘制一维量子谐振子的概率分布。再和经典的线性谐振子来作比较，得到经典谐振子的关系。 2.经典一维谐振子： 首先让我们谐振子在物理中是非常常见的模型，我们很早就已经接触过 ，并且有了一定的了解。下面来讨论一维弹性力的一维简谐振子。例如：质量为m 的物体放在光滑的桌面上，在其水平的方向上受到一个弹簧作用，在某一位置处质点所受力的大小为零，则把这一点叫做平衡位置。弹簧的劲度系数为k ，物体m 在弹簧弹性力的作用下沿弹簧方向运动，作用于质点的力和质点距离平衡位置的位移成正比，这样受力的质点就是一个典型的一维简谐振子。大家都知道，质量为m 的质点在做简谐振动的过程中用x 来表示质点便偏移平衡位置的距离，也就是质点的位置，也是弹簧的伸长或压缩的量。当x 很小时，质点受力为F ，则力F 和x 之间的线性关系为kx F -=，并且可知弹簧的弹性力是线性回复力，弹簧振子

高中物理必修二6.1行星的运动_习题、答案

高一物理6-1-1 第六章第1节 行星的运动 习题 1.根据开普勒行星运动规律推论出下列结论中，哪个是错误的( ) A .人造地球卫星的轨道都是椭圆，地球在椭圆的一个焦点上 B .同一卫星在绕地球运动的不同轨道上运动，轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值都相同 C .不同卫星在绕地球运动的不同轨道上运动，轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值都相同 D .同一卫星绕不同行星运动，轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值都相等 2．银河系中有两颗行星环绕某恒星运转，从天文望远镜中观察它们的运转周期为27：1，则它们的轨道半长轴比是（ ） A. 3：1 B. 9：1 C. 27：1 D. 1：9 3．下列说法中符合开普勒对行星绕太阳运动的描述是( ) A .所有的行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动 B .行星绕太阳运动时，太阳在椭圆的一个焦点上 C .行星从近日点向远日点运动时，速率逐渐增大 D .离太阳越远的行星，公转周期越长 4. 已知木星绕太阳公转的周期是地球绕太阳公转周期的12倍。则木星绕太阳公转轨道的半长轴为地球公转轨道半长轴的 倍。 5．两个质量分别是m 1和m 2的行星，它们绕太阳运行的轨道半径分别等于R R 12和，则它们运行周期的比等于（ ） A ．3/221R R ?? ??? B . 3/212R R ?? ??? C . 12m m D . 21 m m 6. 我国的人造卫星围绕地球的运动，有近地点和远地点，由开普勒定律可知卫星在远地点运动速率比近地点运动的速率小，如果近地点距地心距离为R 1，远地点距地心距离为R 2，则该卫星在远地点运动速率和近地点运动的速率之比为（ ） A ．12R R B . 21R R C . D . 7．下面关于丹麦天文学家第谷，对行星的位置进行观察所记录的数据，说法正确的是 ( ) A ．这些数据在测量记录时误差相当大 B ．这些数据说明太阳绕地球运动 C ．这些数据与以行星绕太阳做匀速圆周运动为模型得到的结果相吻合 D ．这些数据与行星绕太阳做椭圆运动为模型得到的结果相吻合 8．某一人造卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球绕地球轨道半径的1／3，则此 卫星运行的周期大约是 ( ) A ．1～4天之间 B ．4～8天之间 C ．8～16天之间 D ．16～20天之间 9．关于行星绕太阳运动的下列说法中正确的是 ( ) A ．所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动 B ．行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的中心处 C ．离太阳越近的行星运动周期越长

高中物理选修3-1 [高一必修2物理行星的运动知识点整理]

高中物理选修3-1 [高一必修2物理行星的运动知识点整理] (一)科学家对行星运动规律的研究过程 思考1：在古代，人们对天体运动的认识有哪几种学说? 思考2：如何客观的评价这两种学说? 这两种学说都不完善，因为太阳，地球等天体都是运动的，太阳只是太阳系的中心天体，不是宇宙的中心。鉴于当时对自然科学的认识能力，日心说比地心说更先进，日心说更能完美的解释天体的运动。 思考3：之后的科学家做了哪些努力? 导师丹麦天文学家第谷(1546-1601)是富二代，喜欢观察星系，丹麦国王就把一个小岛给他，配上先进的望远镜观测。对行星进行了多年的观测记录，最后收了一个徒弟叫德国天文学家开普勒(1571-1630)用了20年的时间研究了他的导师丹麦天文学家第谷(1546-1601)的行星观测记录，发现如果假设行星的运动是匀速圆周运动，计算所得数据与观测数据至少有8分的角度误差。当时公认的第谷的观测误差不超过2分,开普勒想,这不容忽视的8分也许是因为人们认为行星绕太阳做匀速圆周运动所造成的.只有假设行星绕太阳运动的轨道不是圆,而是椭圆,才能解释这种差别.后来开普勒又仔细研究了第谷的观测资料,经过四年多的刻苦计算先后否定了19种设想,最后终于发现了天体运行的规律开普勒三大定律。 (二)开普勒三定律

思考1：开普勒第一定律的内容是?椭圆的焦点是什么?开普勒第一定律的意义是什么? 定义：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在所有椭圆的一个焦点上，也叫轨道定律。 开一意义： 1.第一定律解决了行星轨道问题,不是圆而是椭圆,行星与太阳的距离在不断变化,有时远离,有时靠近太阳,所以行星的运动就不是哥白尼在日心说中所提出的圆周运动. 2.太阳并不是位于椭圆中心,而是位于焦点处。 3.不同行星轨道不同,但所有轨道的焦点重合。 思考2：开普勒第二定律的内容是什么?远日点和近日点的速率大小如何? 也叫面积定律。对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积. 行星离太阳比较近时,速度比较快,离太阳比较远时,速度比较慢,即在近日点(线)速度大于远日点速度。 (重点难点)思考3：开普勒第三定律的内容是什么?这个比值取决于什么?怎样理解开普勒第三定律? 也叫周期定律。所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等. 注.比值k是一个对所有行星都相同的常量,与环绕天体无关,只与中心天体有关。 思考4：为了简化研究，在中学阶段的学习中，行星运动按什么运动来处理?这时候开普勒三大定律变为什么内容? 1.行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心 2.对于某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度(或线速度)不变，即行星做匀速圆周运动。

高中物理：行星的运动教案

7.1 行星的运动 ★新课标要求 （一）知识与技能 1、知道地心说和日心说的基本内容。 2、知道所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 3、知道所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，且这个比值与行星的质量无关，但与太阳的质量有关。 4、理解人们对行星运动的认识过程是漫长复杂的，真理是来之不易的。 （二）过程与方法 通过托勒密、哥白尼、第谷·布拉赫、开普勒等几位科学家对行星运动的不同认识，了解人类认识事物本质的曲折性并加深对行星运动的理解。 （三）情感、态度与价值观 1、澄清对天体运动神秘模糊的认识，掌握人类认识自然规律的科学方法。 2、感悟科学是人类进步不竭的动力。 ★教学重点 开普勒行星运动定律 ★教学难点 对开普勒行星运动定律的理解和应用 ★教学方法 教师启发、引导，学生自主阅读、思考，讨论、交流学习成果。 ★教学工具 计算机、投影仪等多媒体教学设备 ★教学过程 （一）引入新课 教师活动：在浩瀚的宇宙中有着无数大小不一、形态各异的天体。白天我们沐浴着太阳的光辉，夜晚，仰望苍穹，繁星闪烁，美丽的月亮把我们带入无限的遐想中。由这些天体所组成的宇宙始终是人们渴望了解又不断探索的领域。经成百上千年的探索，伟大的科学家们对它已经有了一些初步的了解。本节我们就共同来学习前人所探索到的行星的运动情况。 （二）进行新课 1、古人对天体运动的看法及发展过程 教师活动：引导学生阅读教材第一段，投影出示以下提纲： 1、古代人们对天体运动存在哪些看法? 2、什么是“地心说”，什么是“日心说”? 3、哪种学说占统治地位的时间较长? 4、两种学说争论的结果是什么? 学生活动：阅读课文，并从课文中找出相应的答案。学生代表发言。 1、在古代，人们对于天体的运动存在着地心说和日心说两种对立的看法。

一维量子谐振子几率密度图形的绘制

一维量子谐振子几率密度图形的绘制 钟瑞妍 （华南师范大学，物理与电信工程学院，物理三班，20082301059） 摘要：谐振子是一个重要的物理模型，体现了周期运动的基本特性,也是理解一系列复杂现象的物理基础。本文着重介绍运用科学计算与模拟平台完成一维量子谐振子几率密度的图形绘制，并把它与经典谐振子进行比较。 关键词：谐振子、几率密度、厄米多项式 一维线性谐振子模型在经典力学中和量子力学中都是一个倍受关注的问题，它的重要性在于自然界中广泛碰到简谐运动，常常可以作为研究复杂运动的初步近似。例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场振动等都可分解成若干彼此独立的一维简谐振动[1]。本文先根据薛定谔方法推导出谐振子的几率分布函数，再运用科学计算与模拟平台把几率分布函数绘制成几率分布曲线，这样可以在直观上加深对几率密度的理解。 1. 一维量子谐振子的几率密度分布 已知一维线性谐振子模型的薛定谔方程为 2222 2 ()022d u E x u dx ψωψ+-= 1.1 为方便计算，可以令 2,u E x ax ωξλω = == 。把他们带入式1.1可得 22 2 ()0d d ψλξψξ+-= 1.2 当ξ→±∞时，方程1.2可化为 22 2 0d d ψξψξ+= 1.3 它的解的形式应为22 e ξ± ，当ξ→±∞时，ψ应该为有限，因此方程1.2的通解为 2 2 ()()e H ξψξξ- = 1.4 把1.4代入1.2求导可得()H ξ满足下面方程 222(1)0d H dH H d d ξλξξ-+-= 1.5

采用级数解法，令 2 ()H a υυξξ∞ ==∑，代入1.5整理得 232026(2)(1)(1)(21)a a a a a υυξυυξλυλξ+++???++++???=-+???+-++??? 由于ξ的系数必须相等，有 2(21) (1)(2)a a υυ υλυυ+-+= ++ 1.6 要使 2 ()H a υυξξ∞ ==∑有限，λ必须满足21n λ=+（0,1,2,3n =???）故可得 1 ()0,1,22 E n n ω =+=??? 1.7 方程1.5的解为厄米多项式，满足递推公式： 11()2()2()0 n n n H H nH ξξξξ+--+= 1.8 其中01H =，12H ξ=。 方程1.2的解为 2 2 ()()n n n N e H ξψξξ- = 1.9 由归一化条件*()1 n n x dx ψψ∞ -∞ =? 可解出 1 2 1 22!n n a N n π?? ?= ? ?? 1.10 一维量子谐振子的几率密度为 2 2 22()() n n n N e H ξψξξ-= 1.11 2.经典谐振子的几率分布 经典谐振子满足振动方程 sin()x A t ω?=+ 2.1 其中A 为振幅，在x 到x+dx 之间的区域内找到粒子的几率W(x)dx 与粒子在此区域内停留的时间dt 成正比，即

高中物理 一行星的运动

第六章万有引力定律6—1行星的运动 教学要求 1知识目标：了解人类对天体运动认识的发展过程 ⑴了解地心说和日心说两种不同的观点。 ⑵知道开普勒对行星运动的描述——知道开普勒三定律。 2能力目标：善于换位思考，或从不同角度认识同一问题。 3德育目标： ⑴具有批判精神，敢于向权威挑战。 ⑵对真理的坚持精神和唯真求实的精神。 教学重点、难点 日心说的由来。 教学过程 一、引言 人类有史之初，就对宇宙充满无限的遐想，可以说人类对宇宙的探索对人类的智慧和人类自身的发展有着深远的影响。本章我们研究能够引领我们踏入探索宇宙大门的规律—万有引力定律。 今天，我们首先来了解人类对天体运动的认识过程。 150亿年前宇宙诞生；50亿年前太阳系诞生；500万年前生命诞生；500年前日心说诞生。 二、新课 1．古代人的几种宇宙模型： ⑴古希腊 ⑵古犹太：宇宙是一个封闭的大盒子或大帐篷，天是盒（蓬）盖，地是盒（蓬）底；圣地耶路撒冷位于盒（蓬）底的中央，日夜星辰悬挂在盖上。这就是宇宙帐篷说，它连大地球形的概念都没有。 ⑶古埃及 ⑷古印度 2．地心说和日心说： ⑴地心说：随着欧洲第一次学术复兴，亚里士多德和托勒密所代表的希腊宇宙论开始深入人心。特别是在托马斯?阿奎那将亚里士多德理论融入基督教神学之后，地球中心理论获得了正统的地位。地球居宇宙中心的思想被赋予了宗教意义：人类及其居所地球被置于上帝的怀抱之中，它沐浴着上帝的光辉，被圣恩所笼罩。上帝位处于宇宙的最外层，推动着宇宙的运行，注视着人类的一举一动。人生活在地球上，无比安稳，如同母腹中的胎儿，从母体吸收营养。整个宇宙全都以地球为中心，朝着人类的地球闪烁星光。 对托勒密体系的背叛，不仅是一种天文学上的变革，而且也是同亚里士多德物理学的决裂；不仅是一种天文学上的变革，而且也是对当时宗教情绪和精神生活方式的挑战。 ⑵日心说：尼古拉?哥白尼1473年2月19日生于波澜，18岁被送进波兰旧都克拉科夫大学学习医学，在那里产生了对天文学的浓厚兴趣。23岁时，来到了文艺复兴的策源地意大利，先后在波仑亚大学和帕多瓦大学攻读法律、医学和神学。波仑亚大学的天文学家德?诺瓦拉对哥白尼的影响极大，正是从他那里，哥白尼学到了天文观测技术以及希腊的天文学理论。对希腊自然哲学著作的系统钻研，给了他批判托勒密理论的勇气。1506年，他回到了阔别10年的祖国波兰，开始构思它的新宇宙体系。在哥白尼时代，由于航海事业的大发展，对于精确的天文历表的需要变得日益迫切。但是用以编制历表的托勒密理论越来越繁琐，人们开始关注天文学理论的变革，哥白尼也是在这个紧要关头提出了自己的革命性理论：如果把地球从天体运动的中心位置移到一个普通的、绕太阳运动的行星的位置，换一个角度来考虑

人教版高中物理必修二行星的运动教案

第1课时 7.1 行星的运动 ] 3、了解开普勒定律中的k 值的大小只与中心天体有关。 [过程与方法] 通过托勒密、哥白尼、第谷·布拉赫、开普勒等几位科学家对行星运动的研究过程，了解观察在认识行星运动规律中的作用，了解人类认识事物本质的曲折过程。 [情感、态度与价值观] 体会科学家实事就是、尊重客观事实、不迷信权威、敢于坚持真理和勇于探索的科学态度和科学精神。体会人类对自然界和谐的追求是科学研究的动力之一。 教学重点 理解和掌握开普勒行星运动定律，认识行星的运动．学好本节有利于对宇宙中行星的运动规律的认识，掌握人类认识自然规律的科学方法，并有利于对人造卫星的学习． 教学难点 对开普勒行星运动定律的理解和应用，通过本节的学习可以澄清人们对天体运动神秘、模糊的认识． [创设情景，引入新课] 多媒体演示：天体运动的图片浏览。 在浩瀚的宇宙中有无数大小不一、形态各异的天体，如月亮、地球、太阳、夜空中的星星……由这些天体组成的广袤无限的宇宙始终是我们渴望了解、不断探索的领域。人们对行星运动的认识过程是漫长复杂的，历史上有过不同的看法，科学家对此进行了不懈的探索，通过本节内容的学习，将使我们正确地认识行星的运动。 [合作交流，探究新知] 一、古代对行星运动规律的认识 问1：．古人对天体运动存在哪些看法? “地心说”和“日心说”． 问2．什么是“地心说”?什么是“日心说”’? ”地心说”认为地球是宇宙的中心，是静止不动的，大阳、月亮以及其他行星都绕地球运动， “日心说”则认为太阳是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动． “地心说’的代表人物：托勒密(古希腊)．“地心说’符合人们的直接经验，同时也符合势力强大的宗教神学关于地球是宇宙中心的认识，故地心说一度占据了统治地位． 问3：“日心说”战胜了“地心说”，请阅读第64页《人类对行星运动规律的认识》，找出“地心说”遭遇的尴尬和“日心说’的成功之处．

高中物理必修2行星的运动知识点归纳

高中物理必修2行星的运动知识点归纳 (一)科学家对行星运动规律的研究过程 思考1：在古代，人们对天体运动的认识有哪几种学说? 思考2：如何客观的评价这两种学说? 这两种学说都不完善，因为太阳，地球等天体都是运动的，太阳只是太阳系的中心天体，不是宇宙的中心。鉴于当时对自然科学的认识能力，日心说比地心说更先进，日心说更能完美的解释天体的运动。 思考3：之后的科学家做了哪些努力? 导师丹麦天文学家第谷(1546-1601)是富二代，喜欢观察星系，丹麦国王就把一个小岛给他，配上先进的望远镜观测。对行星进行了多年的观测记录，最后收了一个徒弟叫德国天文学家开普勒(1571-1630)用了20年的时间研究了他的导师丹麦天文学家第谷(1546-1601)的行星观测记录，发现如果假设行星的运动是匀速圆周运动，计算所得数据与观测数据至少有8分的角度误差。当时公认的第谷的观测误差不超过2分,开普勒想,这不容忽视的8分也许是因为人们认为行星绕太阳做匀速圆周运动所造成的.只有假设行星绕太阳运动的轨道不是圆,而是椭圆,才能解释这种差别.后来开普勒又仔细研究了第谷的观测资料,经过四年多的刻苦计算先后否定了19种设想,最后终于发现了天体运行的规律开普勒三大定律。 (二)开普勒三定律 思考1：开普勒第一定律的内容是?椭圆的焦点是什么?开普勒第一定律的意义是什么? 定义：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在所有椭圆的一个焦点上，也叫轨道定律。 开一意义：

1.第一定律解决了行星轨道问题,不是圆而是椭圆,行星与太阳的距离在不断变化,有时远离,有时靠近太阳,所以行星的运动就不是哥白尼在“日心说”中所提出的圆周运动. 2.太阳并不是位于椭圆中心,而是位于焦点处。 3.不同行星轨道不同,但所有轨道的焦点重合。 思考2：开普勒第二定律的内容是什么?远日点和近日点的速率大小如何? 也叫面积定律。对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积. 行星离太阳比较近时,速度比较快,离太阳比较远时,速度比较慢,即在近日点(线)速度大于远日点速度。 (重点难点)思考3：开普勒第三定律的内容是什么?这个比值取决于什么?怎样理解开普勒第三定律? 也叫周期定律。所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等. 注.比值k是一个对所有行星都相同的常量,与环绕天体无关,只与中心天体有关。 思考4：为了简化研究，在中学阶段的学习中，行星运动按什么运动来处理?这时候开普勒三大定律变为什么内容? 1.行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心 2.对于某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度(或线速度)不变，即行星做匀速圆周运动。 3.所有行星的轨道的半径的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。 思考5：使用开普勒三定律时需要注意什么?

2.4一维谐振子

§ 2.4 一维谐振子 一、能量本征方程 二、级数解法 三、本征值和本征波函数 平衡位置附近的微振动可近似认为是简谐振动。例如原子核内质子和中子的振动、原子和分子的振动、固体晶格离子的振动等。 一、能量本征方程 取振子的平衡位置为坐标原点 2222 2212?x m x m H ω+-=d d )()(212222 22x E x x m x m ψ=ψ????????+-ωd d 因为0min =V ，∞ →min out V ，所以∞<

能量本征值问题转化成如下定解问题 0)()()(222=ψ-+ψξξλξξd d )(lim =ψ±∞ →ξξ 下面会看到，束缚态条件要求λ只能取特定值 ,2,1,0,12=+=n n λ 这导致能量的量子化。 首先把上述方程转化成可以用级数求解的形式。考虑±∞→ξ的渐近解。这时系数为λ的项可以忽略，方程趋近于 02 22 =ψ-ψξξd d 渐近通解为 2 2 22e e ξξ-+≈ψB A ，（±∞→ξ） 但因2 2ξe 不满足束缚态的条件，所以渐近解取为 2 2~ξ-ψe 把波函数写成 )(2ξξu -=ψe

代入方程 0)(222=ψ-+ψξλξd d 后，求解ψ的问题则转化成求解u 的方程 )1(222=-+-u u u λξξξd d d d 这个方程称为Hermite 方程，可以用级数求解。 二、级数解法 在原点0=ξ附近，用幂级数 k k k a u ξξ∑∞ ==0 )( 代入Hermite 方程，得 0)1(2)1(0 11 22 =-+--∑∑∑∞ =-∞ =-∞ =k k k k k k k k k a ka a k k ξλξξξ 把前两项的求和序号改为从0开始 0)1(2)1)(2(0 2=-+-++∑∑∑∞ =∞ =∞ =+k k k k k k k k k a ka a k k ξλξξ 由此得到展开系数 k a 的递推关系 ,2,1,0,)1)(2() 1(22=++--= +k a k k k a k k λ