第2章.数据收集和整理

第二章统计数据的收集与整理

一、数据收集和预处理

1. 主要来源渠道

直接的调查和科学试验；

间接调查或试验的数据。

2. 数据采集的基本要求

准确性，及时性，完整性，系统性

3. 数据收集的方法

普遍调查，重点调查，典型调查，抽样调查，网络调查

幻灯片5

二、数据的类型

1. 数值型或定量数据(Quantitative data)

由数量数据量记录

⑴不连续性变数（间断性变数、离散变数）

计数方法

两个相邻的整数间不容许带小数的数值存在

数值型数据

⑵连续性变数

度量、称量、量测方法

两个相邻的整数间容许带小数的数值存在

2. 非数值型或定性数据(Qualitative data)

定类数据，不区分顺序

定序数据，有顺序

第二节数据的整理和显示

一、基本概念

● 1. 总体与样本（Population and Sample）

●总体：根据研究目的所确定的研究的全体对象。构成总体的每个成员称为个体。

●总体的两个特征：

● (1) 个体间有变异性（不齐性）；

● (2) 总体的容量一般较大，对总体的每个成员进行调查（普查）耗时耗

●力，不切实际。

●如何克服？

●解决办法：采用随机抽样的办法。通过从总体中随机抽样获得一定数量的样本，

然后通过对样本的分析来推断原始总体的情况。

●样本：总体的一部分。

样本内包含的个体的数目称为样本容量（Sample Size）。样本容量常记为n；总体容量常记为N。

● 2. 随机抽样（Random Sampling）

●抽得的样本必须对总体有代表性，随机抽样是实现代表性的常用方法。

●随机抽样：总体中的每个个体都有同等的机会被抽取组成样本。

●放回式抽样（sampling with replacement）

●非放回式抽样（ sampling without replacement ）

如何实现随机抽样？一般用随机数字表！

注意：在本课程中，样本除特殊说明外，均指随机样本！

●例：如何从2000名学生中获得n=20的随机样本？

●解：首先将2000名学生编号：1，2，3， (2000)

●采用随机数字表获得20个处于1～2000之间的随机数：随机从表中选

取一点，然后以每四位数字为一节连续读下去：0411 1828 8634 2331 7247 3230 0032 0768 1024 …………

选出位于1～2000的数：411，1828，32，768，1024，…，满20个数为止。这20个数对应的学生就是一个随机样本。

二、数据的整理

● 1. 连续性变数

●定义：

●用测量手段得到的数量性状资料，即用度、量、衡等计量工具直接测定的数量性状

资料。其数据是长度、容积、重量等来表示。

●例如：身高、产奶量、体重、绵羊剪毛量等。这类数据通常是非整数，数据的变异是

连续的。

频数表编制步骤：

(1) 求数据的极差；

极差是全部数据中的最大值与最小值之差；

(2) 划分组段；

确定组数；确定组距；

(3) 确定各组的上下限

(4) 统计各组段内的数据频数

例：以120头母羊的体重资料（数据见表1）

为例，绘制频数表和频数直方图

表1 120母羊的体重资料（单位：kg）

53 50 51 57 56 51 48 46 62 51 61 56 62 58 46

48 46 50 54 56 40 53 51 57 54 59 52 47 57 59

54 50 52 54 62 50 50 53 51 54 56 50 52 50 52

43 53 48 50 60 58 52 64 50 47 37 52 46 45 42

53 58 47 50 50 45 55 62 51 50 43 53 42 56 54

45 56 54 65 61 47 52 49 49 51 45 52 54 48 57

45 53 54 57 54 54 45 44 52 50 52 52 55 50 54

43 57 56 54 49 55 50 48 46 56 45 45 51 46 49

解：通过以下步骤进行：

（1）从原始数据中找出最大值和最小值，并求出极差

max＝65，min＝37，极差R＝max－min＝65－37＝28

（2）决定划分组数。一般来说，50～100个数分为7～10组。

因为本题中n=120，所以初步确定组数为10组。

（3）根据极差与组数确定组距和组限。

组距＝极差/组数＝28/10＝2.8≈3 （组距一般取整数）

组限就是依据原始数据用来分组的每组的上下限，它的确定根据最小值和组距进行。

组限组界组中值频数频率

37

40

43

。。。

64

组限组界组中值频数频率

37～39

40～42

43～45

。。。

64～66

（4）在频数表中列出组界和中值。

由于测量精度的原因，第一组（组限为37～39）实际代表从36.5kg到39.5kg的所有数据，因为连续型数据一般是小数，这里只是因为测量精度以及记录的方便以整数表示出来。

例如，真实值为39.3公斤的数据会四舍五入成39公斤被记录，它会被包括在第一组内。

36.5～39.5称为组界，表示组的实际界限。

组限组界组中值频数频率

37～39 36.5～39.5 38

40～42 39.5～42.5 41

43～45 42.5～45.5 44

。。。。。。。。。

64～66 63.5～66.5 65

（5）统计每组频数，完成频数表。

组限组界组中值频数频率

37～39 36.5～39.5 38 1 0.008

40～42 39.5～42.5 41 3 0.025

43～45 42.5～45.5 44 12 0.100

46～48 45.5～48.5 47 15 0.125

49～51 48.5～51.5 50 27 0.225

52～54 51.5～54.5 53 31 0.258

55～57 54.5～57.5 56 17 0.142

58～60 57.5～60.5 59 6 0.050

61～63 60.5～63.5 62 6 0.050

64～66 63.5～66.5 65 2 0.017

连续型数据频数直方图的绘制：

首先得到频数表，然后以组界为横坐标，以频数为纵坐标作直方图。

注意：（1）连续型直方图方条间没有间隙，因为它以组界为方条的底部坐标

（2）但方条的标识可以用组限标出，如上图，为了直观的需要。

2. 间断性变数资料的整理(基本过程）

由记录不同类别个体的数目所得到的数据。

各个观测值只能以整数表示，在相邻的整数间不得有带小数的数值出现。 例如：猪的产仔数、鸡的产蛋数、鱼的尾数等。 例： 以50枚受精蛋孵化出雏鸡的天数（数据 见表2）为例，绘制频数表和频数图

表2 50枚受精种蛋孵化出雏鸡的天数

21 20 20 21 23 22 22 22 21 22 20 23 22 23 22 19 22 23 24 22 19 22 21 21 21 22 22 24 22 21 21 22 22 23 22 22 21 22 22 23 22 23 22 22 22 23 23 22 21 22

解：小鸡出壳的天数在19～24天范围内变动，有6个不同的观测值。以 各个不同观测值分组，共分为6组，开始建立频数（率）表： 组值（孵化天数）

频数计算

频数 频率 19 2 0.04 20 3 0.06 21 10 0.20 22 24 0.48 23 9 0.18 24 2 0.04 总计

50

1.00

从表中我们可以迅速而直观地看出：

孵化天数大多集中在21～23天，以22天的最多，孵化天数较短（19～20天）和较长（24天）的都较少 幻灯片22

频数（率）图是频数（率）的图形表示：

5101520

253019

20

212223

24

孵化天数

频数

注意：离散型数据频数图上方条间一般有间隙 第三节 样本的几个特征数

定量地研究样本数据，主要关注四个特征：

(1) 数据的集中性（以哪点为中心集中分布）： 以平均数衡量

(2) 数据的变异性（数据间相互差异程度）： 以标准差或变异系数衡量

(3) 数据分布的对称性：以偏斜度衡量 (4) 数据分布的陡峭性：以峭度衡量 一、平均数

平均数主要包括有算术平均数（以后简称为平均数）、中位数、众数等。

● 1. 算术平均数 （arithmetic mean)

● 算术平均数是指资料中各观测值的总和除以观测值个数所得的商。记作 ； ● 算术平均数的计算根据样本的大小以及分组情况分为：直接法和加权法。

幻灯片25

（1）直接法：主要用于未经分组资料平均数的计算。此时样本含量往往较小，如n ≤30。

为：

，那么样本平均数个观测值：设样本包含x x x x n n ,,,21

n

x

n

x

n

x x x x n

i i n

∑∑=

=

+++==意义明确时简写为

1

21

例一，某种公牛站测得10头成年公牛的体重分别为500，520，535，560，585，600，480，510，505，490（kg ），求其平均体重。

)

( 5.52810

5285 10

490535520500kg n

x x ==++++=

=∑ 解：

幻灯片26

● （2）加权法：主要用于样本含量大且已经分组的资料（或称频数资料）平均数的计算。 ● 在获得频数分布表的基础上采用加权法计算平均数，计算公式为：

∑

∑

===

++++++=k i i

k

i i i k

k

k f x f f f f x f x f x f x 1

1212211

－分组数

组的频数－第为组值）（离散型数据时，组的组中值－第这里， k i f x i x i i i

组中值：每一组的两个组限的平均值 幻灯片27

● 例：120头母羊体重资料的频数表，计算这个样本的平均数。

）

（＝＝＋＋＋＋＋＋解：kg 6.51120

6195

23165241338110

1

10

1 ???=

=

∑∑==i i

i i

i f

x

f x

幻灯片28

● 2. 中位数 （median)

● 定义：将样本内所有观测值从小到大排列，位于中间的那个 值，称为中位数。 ● 中位数的计算方法：首先将样本从小到大排列

● （1）样本容量n 为奇数时，中位数即为位于中间位置的数

（2）样本容量n 为偶数时，中位数是位于中间位置上的两个数的平均值 幻灯片29

例：求下面两个样本的中位数

（1）7只家兔从发病到死亡的日期分别为4，15，12，8，8，6，10

（2）某犬场发生瘟热，观察得10只仔犬从发现症状到死亡的天数分别为7，8，8，8，11，12，12，13，14，14 幻灯片30

● 3. 众数 （mode)

● 样本中出现次数最多的那个值或对于分组资料而言频数最多那组的组中值，称为众数。 ● 例如，（1）中众数为8，（2）中众数为8。

● 4. 算术平均数、中位数和众数的比较

● 算术平均数优于中位数和众数因而被广泛使用；

中位数和众数在描述分布极不对称的数据的平均数时有 一定的优势。 幻灯片31

二、标准差 ● 定义

● 标准差（standard deviation ）用于衡量一个样本数据的变异程度。

● 假设有一样本A ：1，4，5，5，10，如何衡量数据间的变异程度？相对于另一平均

数同样为5的样本B ：4，5，5，5，6，样本A 的变异程度明显大，如何定量地说明？ ● 讨论

● 离差间接地反映了数据间变异的一些信息，因为一个数据间差异很小的样本，每个数

的离差必然很小 ● 首先会想到加和。但是因为 ∑

-x)

(x =0，所以不能作为指标。离均差平方和似乎是

一个合理的能够综合各个离均差的指标

● 但由于离均差平方和常随样本的大小而改变，为了消除样本大小的影响，应将离均差平

方和除以样本容量n 。严格的统计学证明显示（课本57页）：离均差平方和除以n-1时性质最好。 ●

幻灯片33

。

样本方差表示，称为以用本数据间的变异程度可所以经过上述讨论，样1

)( 1

2

2--=

∑=n x x

S n

i i

(**)

1 2

11

2-???

??-=

∑∑==n n x x s n i i n

i i 下公式

在实际计算时，常用如

幻灯片34

● 1. 标准差的计算

● (1)非频数资料的计算方法

● 例四，计算10只辽宁绒山羊产绒量：450，450，500，500，500，550，550，550，600，

650（g ）的标准差。 第一种方法：直接法

第二种方法：编码法

具体做法：选取一个常数c ，数值上接近平均数；然后将原始数据减去c ，再计算标准差。这里我们选择c ＝500 x ’ x ’2 －50 2500 －50 2500 0 0 0 0 0 0 50 2500 50 2500 50 2500 100 10000 150 22500 300 45000

1

1010)(2

2

--=

∑∑x x s 24

.639

9000450009

10)300(450002

=-=

-

=

24

.639360009

2809000

2845000910)5300(28450002

==

-=-

=1

1010)(2

2--=

∑∑x x s

幻灯片36

(2) 已分组资料（频数资料）标准差的计算

1

1

)

(1

1

2

11

21

1

2

-?

?? ??-=

--=

∑∑∑∑

∑∑======k

i i

k

i i

k i i i k

i i i k

i i

k

i i i

f

f x f x f f

x x f

s

为样本容量。

为组数，即为组值），为组中值（离散型数据为各组频数，这里，∑=n f k x f i i i

）。

就变成公式（分组资料，此公式也，则已分组资料变成非＝：如果每个注意*1i f

幻灯片37

例五，120头母羊体重资料的频数表，计算这个样本的标准差。 组限 组界 组中值 频数 频率 37～39 36.5～39.5 38 1 0.008 40～42 39.5～42.5 41 3 0.025 43～45 42.5～45.5 44 12 0.100 46～48 45.5～48.5 47 15 0.125 49～51 48.5～51.5 50 27 0.225 52～54 51.5～54.5 53 31 0.258 55～57 54.5～57.5 56 17 0.142 58～60 57.5～60.5 59 6 0.050 61～63 60.5～63.5 62 6 0.050 64～66 63.5～66.5

65

2

0.017

组中值xi 频数fi fixi fixi2 38 1 38 1444 41 3 123 5043 44 12 528 23232 47 15 705 33135 50 27 1350 67500 53 31 1643 87079 56 17 952 53312 59

6

354

20886

1

1

1

2

11

2-?

?? ??-=

∑∑∑∑

====k

i i

k

i i

k i i i k

i i i f

f x f x f s 967

.271120120)6195(3231452

=--

=

62 6 372 23064 65 2 130

8450

∑fi=120

∑fixi=6195 ∑

fixi2=323145

幻灯片39

● 2. 标准差的性质

● 标准差的大小受资料中每个观测值的影响。如果观测值相互之间的差异大，则求得的

标准差也大；反之则小。

● 在计算标准差时，各个观测值同时加上或减去一个常数，其数值不变。

当每个观测值乘以或除以某一个常数a ，则标准差是原来标准差的a 倍或1/a 倍。 幻灯片40

● 3. 利用标准差查找资料的不寻常值

● 如果资料的某个观测值在离平均值两倍标准差外，这个观测值通常称为资料的不寻常

值。

● 例如，调查得到一个NBA 球队的5位球员的身高为67，72，76，76，和84英寸。请问

84英寸的那个球员在这个球队里是不是不寻常的高？

75

5

84

76767267=++++=

=

∑n

x x 解：

2

.61

)

(2

=--=

∑n x x s

)4.87,4.63()2.6275,2.6275()2,2(=?+?-=+-s x s x

因为84英寸的球员在离平均值两倍标准差范围内，他不是不寻常的高。 三、偏斜度和峭度

1. 偏斜度(度量数据围绕众数呈不对称的程度)

正偏：数据频率分布的正方向尾巴特别长

-∞ + ∞ 负偏：数据频率分布的负方向尾巴特别长

-∞ + ∞

幻灯片42

2

/323

1)()

( ???

? ??--=

∑∑n x x n

x x g ：

偏斜度计算公式

2. 峭度

3)()( 2

24

2-???

? ??--=∑∑n x x n x x g ：

峭度计算公式

四、变异系数（CV ）

变异系数是衡量资料变异程度的另一指标。它与标准差的不同之处是，变异系数用于

两个或多个资料的变异程度的比较。变异系数的计算公式为：

x s CV =

例六，有两个小麦品种A 和B ，它们株高的平均数和标准差分别为

A ＝120±5.0

B ＝70±4.0 问哪个小麦品种较为整齐？ 解：

分布较为平坦。态

说明样本数据相对于正分布较为陡峭，

态说明样本数据相对于正（第三章介绍），接近于正态分布程度说明样本数据分布陡峭＝00 0222<>g g g

●单比较标准差是不合理的，因为两个品种的平均数不接近。

●正确的比较方法是比较这两个样本的变异系数：

●品种A的变异系数为5.0/120=0.042

●品种B的变异系数为4.0/70=0.057

所以说，品种A比品种B更为整齐。