2018年中考数学最值问题总结(含答案分析)

中考数学最值问题总结

考查知识点：1、“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。

（2、代数计算最值问题3、二次函数中最值问题）

问题原型：饮马问题造桥选址问题（完全平方公式配方求多项式取值二次函数顶点）出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”

几何基本模型：

条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点．

问题：在直线l上确定一点P，使PA PB

+的值最小．

方法：作点A关于直线l的对称点A'，连结A B'交l于

点P，则PA PB A B'

+=的值最小

例1、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三

角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．

（1）求证：△AMB≌△ENB；

（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；

②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；

（3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长。

A

B

A'′P

l

例2、如图13，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0）

（1）求抛物线的解析式

（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线M N∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.

例3、如图1，四边形AEFG与ABCD都是正方形，它们的边长分别为a,b(b≥2a),且点F在AD上（以下问题的结果可用a,b表示）

（1）求S△DBF;

(2) 把正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转450得图2,求图2中的S△DBF;

(3) 把正方形AEFG绕点A旋转任意角度,在旋转过程中,S△DBF是否存在最大值,最小值?

如果存在,试求出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由。

例4、如图，在平面直角坐标系中，直线

1

y=x+1

2

与抛物线2

y=ax+bx3

-交于A，B两点，

点A在x轴上，点B的纵坐标为3。点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A，B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB与点C，作PD⊥AB于点D

（1）求a，b及sin ACP

∠的值

（2）设点P的横坐标为m

①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；

②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m值，使这两个三角形的面积之比为9：10？若存在，直接写出m值；若不存在，说明理由.

例5、如图，⊙C 的内接△AOB 中，AB=AO=4，tan∠AOB=

,抛物线经过点A(4,0)与点（-2,6）.

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）直线m 与⊙C 相切于点A ，交y 于点D.动点P 在线段OB 上，从点O 出发向点B 运

动；同时动点Q 在线段DA 上，从点D 出发向点A 运动；点P 的速度为每秒1个单位长，点Q 的速度为每秒2个单位长，当PQ⊥AD 时，求运动时间t 的值； （3）点R 在抛物线位于x 轴下方部分的图象上，当△ROB 面积最大时，求点R 的坐标.

3

4

2y ax bx =

+

例1、证明：（1）∵△ABE是等边三角形，

∴BA=BE，∠ABE=60°．

∵∠MBN=60°，∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN．即∠MBA=∠NBE．

又∵MB=NB，∴△AMB≌△ENB（SAS）．（5分）

解：

（2）①当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM的值最小．（7分）②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，

AM+BM+CM的值最小．（9分）

理由如下：连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，∴AM=EN，

∵∠MBN=60°，MB=NB，∴△BMN是等边三角形．∴BM=MN．

∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．（10分）

根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短

∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长．（11分）

例2、 解：（1）设所求抛物线的解析式为：2(1)4y a x =-+，依题意，将点B （3，0）代入，得： 2(31)40a -+= 解得：a ＝－1∴所求抛物线的解析式为：2(1)4y x =--+ （2）如图6，在y 轴的负半轴上取一点I ，使得点F 与点I 关于x 轴对称，

在x 轴上取一点H ，连接HF 、HI 、HG 、GD 、GE ，则HF ＝HI …………………① 设过A 、E 两点的一次函数解析式为：y ＝kx ＋b （k ≠0）， ∵点E 在抛物线上且点E 的横坐标为2，将x ＝2代入抛物线2(1)4y x =--+，得

2(21)43y =--+=

∴点E 坐标为（2，3）

又∵抛物线2(1)4y x =--+图像分别与x 轴、y 轴交于点A 、B 、D ∴当y ＝0时，2(1)40x --+=，∴x ＝－1或x ＝3

当x ＝0时，y ＝－1＋4＝3, ∴点A （－1，0），点B （3，0），点D （0，3） 又∵抛物线的对称轴为：直线x ＝1，

∴点D 与点E 关于PQ 对称，GD ＝GE …………………② 分别将点A （－1，0）、点E （2，3）代入y ＝kx ＋b ，得：

023k b k b -+=??+=? 解得：1

1

k b =??

=? 过A 、E 两点的一次函数解析式为：y ＝x ＋1

∴当x ＝0时，y ＝1 ∴点F 坐标为（0，1） ∴DF =2………………………………………③ 又∵点F 与点I 关于x 轴对称， ∴点I 坐标为（0，－1）

∴EI =

==

又∵要使四边形DFHG 的周长最小，由于DF 是一个定值， ∴只要使DG ＋GH ＋HI 最小即可

由图形的对称性和①、②、③，可知， DG ＋GH ＋HF ＝EG ＋GH ＋HI

只有当EI 为一条直线时，EG ＋GH ＋HI 最小

设过E （2，3）、I （0，－1）两点的函数解析式为：111(0)y k x b k =+≠，

分别将点E （2，3）、点I （0，－1）代入11y k x b =+，得：

11123

1k b b +=??

=-? 解得：11

21k b =??=-?

过A 、E 两点的一次函数解析式为：y ＝2x －1

∴当x ＝1时，y ＝1；当y ＝0时，x ＝

1

2； ∴点G 坐标为（1，1），点H 坐标为（1

2

，0）

∴四边形DFHG 的周长最小为：DF ＋DG ＋GH ＋HF ＝DF ＋EI 由③和④，可知： DF ＋EI

＝2+∴四边形DFHG

的周长最小为2+ （3）如图7，由题意可知，∠NMD ＝∠MDB ， 要使，△DNM ∽△BMD ，只要使

NM MD

MD BD

=即可， 即：2

MD NM BD =?………………………………⑤

设点M 的坐标为（a ，0），由MN ∥BD ，可得 △AMN ∽△ABD ， ∴NM AM

BD AB

=

再由（1）、（2）可知，AM ＝1＋a ，BD

＝AB ＝4

∴

)AM BD MN a AB ?=

==+

∵2

2

2

2

9MD OD OM a =+=+， ∴⑤式可写成：

2

9)a a +=+?解得：3

2

a =

或3a =（不合题意，舍去） ∴点M 的坐标为（3

2

，0）

又∵点T 在抛物线2

(1)4y x =--+图像上，

∴当x ＝32时，y ＝152

∴点T 的坐标为（32，15

2

）.

例3、

解：（1）∵点F 在AD 上，∴AF 2=a 2＋a 2，即。

∴DF b =。

∴2DBF 111S DF AB b b b 222?=

?=??=（）。 （2）连接DF ，AF ，由题意易知AF ∥BD ，

∴四边形AFDB 是梯形。

∴△DBF 与△ABD 等高同底，即BD 为两三角形的底。 由AF ∥BD ，得到平行线间的距离相等，即高相等， ∴2DBF ABD 1

S S b 2

??==。

（3）正方形AEFG 在绕A 点旋转的过程中，F 点的轨迹是以点A 为圆心，AF 为半径的圆。 第一种情况：当b ＞2a 时，存在最大值及最小值，

∵△BFD 的边，

∴当F 点到BD 的距离取得最大、最小值时，S △BFD 取得最大、最小值。

如图，当DF ⊥BD 时，S △BFD 的最大值=21b 2ab

(222

+?+=，

S △BFD 的最小值=21b 2ab

22

-?=。

第二种情况：当b=2a 时，存在最大值，不存在最小值，

S △BFD 的最大值=2b 2ab

2

+=。

例4、解：（1）由1

x+1=02

，得到x=－2，∴A （－2，0）。 由1x+1=32

，得到x=4，∴B （4，3）。 ∵2y=ax +bx 3-经过A 、B 两点，

∴4a 2b 3=016a+4b 3=3--??-?，解得1a=2

1b=2?????-??

。

设直线AB 与y 轴交于点E ，则E （0，1）。 ∴根据勾股定理，得

∵PC ∥y 轴，∴∠ACP=∠AEO 。

∴OA sin ACP=sin AEO=

AE ∠∠==。 （2）①由（1）可知抛物线的解析式为21

1

y=x x 322

-

-。 由点P 的横坐标为m ，得P 211m m m 322

?

?-- ??

?

，

，C 1m m+12

?? ??

?

，。 ∴PC=

221111m+1m m 3m +m+42222??

---=- ???

。 在Rt △PCD

中，

)221PD PC sin ACP=m +m+4m 12??=?∠-- ???，

∵0，∴当m=1时，PD

②存在满足条件的m 值，532

m=29

或。

例5、解：（1）将点A （4，0）和点（-2，6）的坐标代入中，得方程组，

解之，得.∴抛物线的解析式为.

（2）连接AC 交OB 于E.

∵直线m 切⊙C 于A ∴AC⊥m，∵ 弦 AB=AO ， ∴.∴AC⊥OB，∴m∥OB .

∴∠ OAD=∠AOB，∵OA=4 tan∠AOB=

，∴OD=OA·tan∠OAD=4×=3. 作OF⊥AD 于F.则OF=OA·sin∠OAD=4×

=2.4. t 秒时，OP=t,DQ=2t ，若PQ⊥AD，则FQ=OP= t.DF=DQ －FQ= t. ⊿ODF 中，t=DF==1.8秒. （3）令R(x, x 2

－2x) (0＜x ＜4).

作RG⊥y 轴于G 作RH⊥OB 于H 交y 轴于I.则RG= x ，OG= x 2

+2x.

Rt⊿RIG 中，∵∠GIR=∠AOB ，∴tan∠GIR=

.∴IG=x IR= x,

Rt⊿OIH 中，OI=IG －OG=

x －（x 2+2x ）=x 2－x.HI=（x 2－x ）. 于是RH=IR －IH=

x －（x 2－ x ）=－ x 2+x=－ x 2+x=－( x －)2

+

2

=+y ax bx 16+4=0

4-2=6a b a b ???

1

=

2=-2

a b ?????21=-22y x x AB AO =4343

5

3

22OF OD -2

12

14

33435

34212132542

132

3554213252153352511524

1140

121

当x=

时，RH 最大.S ⊿ROB 最大.这时x 2－2x=×()2－2×=－.∴点R(,－)

411212141141132554

1132

55