数学试卷201917年高考天津解析(正式版)(解析版)

绝密★启用前

2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数 学（理工类）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷

注意事项：

1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。 参考公式：

·如果事件A ，B 互斥，那么

·如果事件A ，B 相互独立，那么 P (A ∪B )=P (A )+P (B )．

P (AB )=P (A )P (B )．

·棱柱的体积公式V=Sh ．

·球的体积公式343

V R =

π． 其中S 表示棱柱的底面面积，

其中R 表示球的半径．

h 表示棱柱的高．

一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ，则()A

B C =

（A ）{2}

（B ）{1,2,4}

（C ）{1,2,4,6}

（D ）{|15}x x ∈-≤≤R

【答案】B 【解析】(){1,2,4,6}[1,5]{1,2,4}A

B C =-=，故选B ．

（2）设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,

x y x y x y +≥??+-≥?

?≤??≤?则目标函数z x y =+的最大值为

（A ）

2

3

（B ）1 （C ）

32

（D ）3

【答案】D

（3）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为

（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3

【答案】C

【解析】初始：24N =，进入循环后N 的值依次为8,7,6,2N N N N ====，输出2N =，故选C ． （4）设θ∈R ，则“ππ||1212θ-

<”是“1

sin 2

θ<”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件

（D ）既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】πππ||012126θθ-

<”是“1

sin 2θ<”的充分而不必要条件，故选A ．

（5）已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左焦点为F ．若经过F 和(0,4)P 两点的直线

平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为

（A ）22

144

x y -=

（B ）22

188

x y -=

（C ）22

148

x y -=

（D ）22

184

x y -=

【答案】B

【解析】由题意得22

40,

14,10()88

x y a b c a b c -==?===?-=--，故选B ． （6）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，

b ，

c 的大小关系为 （A ）a b c <<

（B ）c b a <<

（C ）b a c <<

（D ）b c a <<

【答案】

C

（7）设函数()2sin()f x x ω?=+，x ∈R ，其中0ω>，||?<π．若5(

)28f π=，()08

f 11π

=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 （A ）23ω=

，12

?π= （B ）23ω=，12?11π

=-

（C ）13ω=，24?11π

=- （D ）13

ω=，24?7π

= 【答案】A

【解析】由题意得125282

118

k k ω?ω?π

π?+=π+???π?+=π??，其中12,k k ∈Z ，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ωπ=

>π，所以01ω<<，所以2

3ω=

，11212k ?=π+

π，由?<π得12

?π=，故选A ． （8）已知函数23,1,

()2

, 1.

x x x f x x x x ?-+≤?=?+>??

设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x

f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 （A ）47

[,2]16

-

（B ）4739[,]1616

-

（C

）[- （D

）39[]16

- 【答案】A

当1x >时，(*)式为222x x a x x x --

≤+≤+，32222x x a x x

--≤≤+．

又3232()22x x x x -

-=-+≤-3

x =，

2

22x x +≥=（当2x =时取等号）

，所以2a -≤≤． 综上，47

216

a -

≤≤．故选A ． 第Ⅱ卷

注意事项：

1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2．本卷共12小题，共110分。

二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． （9）已知a ∈R ，i 为虚数单位，若

i

2i

a -+为实数，则a 的值为___________． 【答案】2- 【解析】

i (i)(2i)(21)(2)i 212i 2i (2i)(2i)555a a a a a a -----+-+===-++-为实数，则2

0,25

a a +==-． （10）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为

___________． 【答案】

92

π

【解析】设正方体的边长为a ，则2618a a =?=23R ==，故这个球的

体积34π3V R =

=4279ππ382

?=． （11）在极坐标系中，直线4cos()106

ρθπ

-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为___________．

【答案】2

【解析】直线为210y ++=，圆为22

(1)1x y +-=，因为3

14

d =

<，所以有两个交点． （12）若,a b ∈R ，0ab >，则4441

a b ab

++的最小值为___________．

【答案】4

（13）在ABC △中，60A =?∠，3AB =，2AC =．若2BD DC =，()AE AC AB λλ∈=-R ，且

4AD AE ?=-，则λ的值为___________．

【答案】

311

【解析】由题可得12

32cos603,33

AB AC AD AB AC ?=???==

+，则 12()33AD AE AB AC ?=+2123

()34934333311

AC AB λλλλ-=?+?-?-?=-?=．

（14）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样

的四位数一共有___________个．（用数字作答） 【答案】1080

【解析】4134

5454A C C A 1080+=．

三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）（本小题满分13分）

在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知a b >，5,6a c ==，3

sin 5

B =． （Ⅰ）求b 和sin A 的值； （Ⅱ）求πsin(2)4

A +的值．

【解析】（Ⅰ）在ABC △中，因为a b >，故由3sin 5B =

，可得4cos 5

B =．

由已知及余弦定理，有2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b =．

由正弦定理

sin sin a b A B =，得sin sin a B A b ==．

所以，b sin A

（16）（本小题满分13分）

从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为

111

,,234

． （Ⅰ）设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； （Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 【解析】（Ⅰ）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．

1111(0)(1)(1)(1)2344P X ==-?-?-=，

11111111111

(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)23423423424

P X ==?-?-+-??-+-?-?=，

1111111111

(2)(1)(1)(1)2342342344P X ==-??+?-?+??-=，

1111

(3)23424

P X ==??=．

所以，随机变量X 的分布列为

随机变量X 的数学期望()012342442412

E X =?+?

+?+?=． （Ⅱ）设Y 表示第1辆车遇到红灯的个数，Z 表示第2辆车遇到红灯的个数， 则所求事件的概率为

(1)(0,1)(1,0)(0)(1)P Y Z P Y Z P Y Z P Y P Z +====+=====+

11111111

(1)(0)42424448

P Y P Z ===?+?=．

所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为

1148

．

（17）（本小题满分13分）

如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，90BAC ∠=?．点D ，E ，N 分别为棱P A ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，P A =AC =4，AB =2． （Ⅰ）求证：MN ∥平面BDE ； （Ⅱ）求二面角C -EM -N 的正弦值；

（Ⅲ）已知点H 在棱P A 上，且直线NH 与直线BE ，求线段AH 的长．

【解析】如图，以A 为原点，分别以AB ，AC ，AP 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系．依题意可得A （0，0，0），B （2，0，0），C （0，4，0），P （0，0，4），D （0，0，2），E （0，2，2），M （0，0，1），N （1，2，0）．

（Ⅱ）易知1(1,0,0)=n 为平面CEM 的一个法向量．

设2(,,)x y z =n 为平面EMN 的法向量，则220

0EM MN ??=???=??n n ，

因为(0,2,1)EM =--，(1,2,1)MN =-，所以20

20y z x y z --=??+-=?

．

不妨设1y =，可得2(4,1,2)=--n ．

因此有121212cos ,|||?<>=

=n n n n |n n

12sin ,<>=n n ．

所以，二面角C -EM -N

（18）（本小题满分13分）

已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *

∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，

2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =．

（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；

（Ⅱ）求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *

∈N ．

【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．

由已知2312b b +=，得21()12b q q +=，而12b =，所以2

60q q +-=． 又因为0q >，解得2q =．所以，2n

n b =．

由3412b a a =-，可得138d a -= ①． 由114=11S b ，可得1516a d += ②，

联立①②，解得11a =，3d =，由此可得32n a n =-．

所以，数列{}n a 的通项公式为32n a n =-，数列{}n b 的通项公式为2n

n b =．

（19）（本小题满分14分）

设椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12．已知A 是抛物线

22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为

1

2

． （Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程；

（Ⅱ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴

相交于点D ．若APD △AP 的方程． 【解析】（Ⅰ）设F 的坐标为(,0)c -． 依题意，

12c a =，2

p

a =，12a c -=，解得1a =，12c =，2p =，于是22234

b a

c =-=．

所以，椭圆的方程为2

2

413

y x +=，抛物线的方程为24y x =．

（Ⅱ）设直线AP 的方程为1(0)x my m =+≠， 与直线l 的方程1x =-联立，可得点2(1,)P m --

，故2(1,)Q m

-． 将1x my =+与2

2

413

y x +=联立，消去x ，整理得22(34)60m y my ++=，

解得0y =或2

634

m

y m -=

+． 由点B 异于点A ，可得点222346(,)3434

m m

B m m -+-++．

由2(1,)Q m -，可得直线BQ 的方程为22262342

()(1)(1)()03434m m x y m m m m

--+-+-+-=++，

（20）（本小题满分14分）

设a ∈Z ，已知定义在R 上的函数432

()2336f x x x x x a =+--+在区间(1,2)内有一个零点0x ，

()g x 为()f x 的导函数． （Ⅰ）求()g x 的单调区间； （Ⅱ）设00[1,)

(,2]m x x ∈，函数0()()()()h x g x m x f m =--，求证：0()()0h m h x <；

（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A ，使得对于任意的正整数,p q ，且

00[1,)(,2],p

x x q

∈满足041|

|p x q Aq

-≥． 【解析】（Ⅰ）由4

3

2

()2336f x x x x x a =+--+，可得3

2

()()8966g x f x x x x '==+--， 进而可得2

()24186g x x x '=+-．令()0g x '=，解得1x =-或1

4

x =

． 当x 变化时，(),()g x g x '的变化情况如下表：

所以，()g x 的单调递增区间是(,1)-∞-，(,)4+∞，单调递减区间是1(1,)4

-．

令函数200()()()()H x g x x x f x =--，则20()()()H x g x g x '=-．

由（Ⅰ）知，()g x 在[1,2]上单调递增，故当0[1,)x x ∈时，2()0H x '>，2()H x 单调递增； 当0(,2]x x ∈时，2()0H x '<，2()H x 单调递减．学科&网 因此，当00[1,)

(,2]x x x ∈时，220()()0H x H x <=，可得2()0H m <，即0()0h x <．

所以，0()()0h m h x <．

（III ）对于任意的正整数p ，q ，且

00[1)(,],2p

x x q

∈， 令p

m q

=

，函数0()()()()h g m x x x m f =--． 由（Ⅱ）知，当0[1),m x ∈时，()h x 在区间0(,)m x 内有零点；

当0(,2]m x ∈时，()h x 在区间0(),x m 内有零点，所以()h x 在(1,2)内至少有一个零点， 不妨设为1x ，则110()()(

)()0p p

h g x f q x q

x =--=． 由（Ⅰ）知()g x 在[1,2]上单调递增，故10()()12()g x g g <<<，

于是43223404

1()|()|

|2336|||||()()(2)2p p

f f p p p q p q pq aq q q

x q g x g g q

+--+-=≥=． 因为当[12],x ∈时，()0g x >，故()f x 在[1,2]上单调递增， 所以()f x 在区间[1,2]上除0x 外没有其他的零点，而

0p x q

≠，故()0p

f q ≠．

又因为p ，q ，a 均为整数，所以432234

|2336|p p q p q pq aq +--+是正整数，

从而4

3

2

2

3

4

|2336|1p p q p q pq aq +--+≥，所以041|

2|()p x q g q

-≥． 所以，只要取()2A g =，就有04

1

|

|p x q Aq -≥．