多因素完全随机实验设计

第二节 多因素完全随机实验设计

对于单因素完全随机实验设计来说，实验的处理数就是自变量的水平数，将被试随机分配到各个处理组上就可以了。多因素完全随机实验设计则是多个因素的多种水平相互结合，构成多个处理的结合，如二因素二水平，就是有两个自变量，每个自变量有两个水平，则处理的结合共有四个，这种实验设计称为是2×2实验设计；如果一个自变量两个水平，另一个变量是三个水平，则共有6个实验处理，这种实验设计就是2×3实验设计。如果有三个自变量，其中两个自变量是2个水平，另一个变量有3个水平，则这种实验设计有12个实验处理，叫做2×2×3设计。这里需要重申以下几点：

第一，自变量是研究者操纵的变量，在实验过程中必须是变化了的，也就是说自变量的水平数至少为2。如果自变量的水平数为1，那就等于说该变量在实验过程中始终保持在一个水平上，它就不是“变”量了。比方说，一个2×3×1×2实验设计中，实际上只有三个自变量，它们的水平数分别为2、3、2。

第二，实验处理就是自变量在各种水平上结合而成的各种实验条件，实验处理数等于所有自变量水平数的乘积。如一个2×3×3实验设计，其实验处理数是18，等于说这一实验过程中出现18种实验条件。

第三，对于完全随机实验设计来说，有多少种实验处理就要有多少组实验被试，因为一组被试只参加一种实验条件下的实验。

现在，我们以下面这个假想的实验研究为例来说明多因素完全随机实验设计的模式。 假设某研究者想考察缪勒错觉受箭头方向和箭头张开角度的影响。研究中的自变量有两个，一个是箭头方向（标记为A ），分为向内和向外两个水平；另一个是箭头张开角度（标记为B ），设置为15度和45度两个水平，因此这是一个2×2实验设计，构成了4种实验处理，如表2-1所示。研究者从某大学文学院本科二年级一60人的班级随机抽取了20名男生，再将20名男生随机分成相等的四个组，每组5人，每一个组接受一种实验处理，所以，这是一个二因素完全随机实验设计。假设其实验得到了表2-1的数据，那么如何分析这些数据呢？

表2-1 箭头方向与箭头张开角度对缪勒错觉量的影响

这一数据分析的目的就是要考察自变量的变化是否引起了因变量的变化。具体地说，就是箭头方向的改变是否导致了缪勒错觉量的不同、箭头张开角度的改变是否导致了缪勒错觉量的不同、这两个自变量对因变量的影响是相互独立的还是相互依赖的呢？根据统计学方法，拟采用完全随机实

箭头方向向外（A1） 箭头方向向内（A2）

箭头张开15度（B1） 箭头张开45度（B2） 箭头张开15度（B1） 箭头张开45度（B2）

6 5

7 6 7

4 3

5 4 5 8 7 9 8 9 7

6

7 6

8 Σ 31

21

41

34

验设计的方差分析来确定是否存在上述效应。这一方差分析的过程如下：

第一步：计算数据总变异量并对之进行分解

表2-1中数据变化的原因大致可以划分为四个方面：（1）自变量A的独立作用，叫做A的主效应；（2）自变量B的独立作用，叫做B的主效应；（3）自变量A和自变量B的交互作用，叫做A 和B的交互效应；（4）来自被试间差异及其它随机变量的影响，我们将之称为误差效应，或残差。就本例来说，其各项计算如下：

数据总的变异平方和：SS T＝所有数据的离差平方和＝52.55

则SS A＝[（31＋21）2/10＋（41＋34）2/10]－806.45＝26.45

SS B＝[（31＋41）2/10＋（21＋34）2/10]－806.45＝14.45

SS AB＝(312/5+212/5+412/5+342/5)-SS A-SS B-806.45＝0.45

SS E＝SS T-SS A-SS B-SS AB＝52.55-26.45-14.45-0.45＝11.2

第二步：计算各种效应引起数据变异的自由度（即数据发生变异的机会数）

共进行了20次观测，所以总的数据变异自由度是N＝20－1＝19。然后将自由度分解：

A的主效应引起数据变异的自由度是：df A＝a－1＝1（a是自变量A的水平数）

B的主效应引起数据变异的自由度是：df B＝b－1＝1（b是自变量B的水平数）

A和B交互效应引起数据变异的自由度是：df AB＝（a－1）（b－1）＝1

残差引起数据变异的自由度等于总的自由度减去上述三项：df E＝19－3＝16

第三步：计算各变异源引起数据变异的方差MS

因为方差等于变异平方和除以自由度，于是：

MS A＝SS A/ df A＝26.45

MS B＝SS B/ df B＝14.45

MS AB＝SS AB/ df AB＝0.45

MS E＝SS E/ df E＝11.2/16＝0.7

第四步：计算各效应是否显著的检验统计量F比率

也就是计算各效应方差与残差方差的比值：

F A＝MS A/MS E＝26.45/0.7＝37.786 分子与分母的自由度为（1，16）

F B＝MS B/MS E＝14.45/0.7＝20.643 分子与分母的自由度为（1，16）

F AB＝MS AB/MS E＝0.45/0.7＝0.643 分子与分母的自由度为（1，16）

第五步：给出方差分析表和分析结果，如表2-2所示

查F表确定各效应F比率达到统计学上的显著性水平所需的临界值，得到：

F（1，16）|α=0.05＝6.20 F（1，16）|α=0.01＝10.80

将上述F比率与临界值比较，就可以确定各效应的F比率是否达到显著性水平的要求。从比较的结果知道：F A和F B均大于F（1，16）|α=0.01，但F AB小于临界值F（1，16）|α=0.05和F（1，16）|α=0.01。将上述分析的结果汇总，如表2-2所示。

表2－2 箭头方向与张开角度对缪勒错觉量影响的方差分析表

变异源离差平方和自由度均方 F P

A的主效应

B的主效应AB的交互效应

误差26.45

14.45

0.45

11.20

1

1

1

16

26.45

14.45

0.45

0.70

37.786

20.643

0.543

<0.01

<0.01

>0.05

合计52.55 19

从方差分析表可以看出，自变量A和自变量B的主效应达到了显著性水平（p<0.01），A和B 的交互效应没有达到显著性水平（p>0.05）。因此，可以得到结论：箭头的方向和张开角度对缪勒错觉量有显著性影响，且二者对错觉量的影响是相互独立的。

虽然，我们所举例子是最简单的多因素完全随机实验设计，但它能够说明完全随机实验设计的所有特征，包括如何评估自变量的主效应和交互效应。如果我们遇到自变量或自变量的水平数更多的实验设计时，其实验的原理和数据分析的程序都与这里所展示的相同。比如，对于一个2×3×2×4完全随机实验设计来说，其自变量是4个，实验处理数是48，那么实验就需要48组被试。在数据分析中，需要分析4个自变量的主效应、两两变量间的交互效应、三个变量间的交互效应、四个变量间的交互效应等，这里需要考察的交互效应有11个。显然，随着自变量数和变量的水平数的增加，特别是被试数量的增加，会给方差分析带来非常繁琐的计算，不过，这一点不用担心，因为在实际研究中，研究者都是使用统计软件进行数据分析，一切都变得相当快捷了。

可还是存在另一个问题，随着变量数和变量水平数的增加，实验处理数急剧增加，这就意味着被试组数的大幅增加。对于上面这个例子来说，需要48组被试，如果再考虑每一种实验处理下要有一定量的被试（比如每一组被试是20人，就需要960人），实验操作简直不敢想象。这就是实际研究中，真正使用多因素完全随机实验设计的研究者很少。查阅近几年国内发表的研究报告，你就会发现《心理学报》、《心理科学》等刊物上难得找到几篇完全随机实验设计的研究，大部分使用的是多因素重复实验设计，其次是混合实验设计。

第三节多因素重复实验设计

多因素重复实验设计中，所有实验处理都由一组被试来完成，每个被试都参加所有实验处理或实验处理的结合，比如有三个自变量，其水平数分别是p、q、r，则其结合处理数是三者乘积p×q ×r，乘积得到的数字就是每个被试要接受的实验处理数。很显然，这种实验设计使用的被试数是最少的，因此带进实验的被试间的个体差异也最少。当实验中的自变量都适合于做被试内变量，且实验任务较简单，每次实验不花费很多时间时，就可以使用多因素重复实验设计。这种实验设计在实际研究中使用最多，我们可以很容易地从《心理学报》和《心理科学》上找到这种实验设计的例子。

如陈燕丽等采用4×4的重复实验设计对阅读四字成语时最佳的注视位置进行了实验研究1。其研究是这样进行的：研究者从《成语大辞典》中选择了32个4类成语，其中A型成语是前面两个字一样，后面两个字一样，如“轰轰烈烈”；B型成语是前面两个字不一样，后面两个字一样，如“目光炯炯”；C型成语是前面两个字一样，后面两个字不一样，如“津津有味”；D型成语是第一和第三个字一样，第二和第四个字不一样，如“古色古香”。然后编造了32个假成语，共构成了64

个实验材料。在电脑屏幕上呈现这些真假成语，让被试判断其“是”成语或“否”成语。在每次呈现刺激材料前都要在屏幕上呈现一个注视点“＋”300ms ，“＋”出现的位置对应于成语的四个字中的一个字，每次出现的位置是随机的，而且在每个字位置上出现的次数相等。然后在出现成语或假成语，要求被试通过按键作出“是”或“否”的回答，记录其反应时间和正确性。实验结束后分析成语类型不同、材料呈现前被试注视点位置不同对其判断速度和正确率有无影响。因为每个被试都完成上述所有的实验任务，其属于典型的4×4重复实验设计，自变量为两个（成语类型和刺激呈现前被试注视点的位置）。研究中虽然只使用了33名大学生，但因为每个被试完成了所有实验处理的实验任务，保证了每种实验操作条件下一组数据的样本容量，提高了研究的准确性。

为了说明重复实验设计数据的分析过程，我们现在假定上一节谈到的错觉研究实验采用的是重复实验设计：如表2-3所示，研究者从某大学文学院本科二年级一60人的班级随机抽取了5名男生，每一被试接受全部四种实验处理，那么如何分析这些数据呢？

这一数据分析的目的也是要考察两个自变量及其交互效应对缪勒错觉量的影响。根据统计学方法，拟采用多因素重复实验设计的方差分析来确定自变量的效应。这一方差分析的过程如下：

第一步：计算数据总变异量并对之进行分解

表2-3中数据变化的原因大致可以划分为五个方面：（1）自变量A 的主效应；（2）自变量B 的主效应；（3）A 和B 的交互效应；（4）来自被试间差异；（5）其它随机变量的影响，我们将之称为误差效应，或残差。就本例来说，其各项计算如下：

表2-3 箭头方向与箭头张开角度对缪勒错觉量的影响

数据总的变异平方和：SS T ＝所有数据的离差平方和＝52.55 则SS A ＝[（31＋21）2

/10＋（41＋34）2

/10]－806.45＝26.45 SS B ＝[（31＋41）2

/10＋（21＋34）2

/10]－806.45＝14.45 SS AB ＝(312

/5+212

/5+412

/5+342

/5)-SS A -SS B -806.45＝0.45 SS S ＝(252

/4+212

/4+282

/4+242

/4+292

/4)-806.45＝10.30 SS E ＝SS T -SS A -SS B -SS AB ＝52.55-26.45-14.45-0.45-10.30＝0.90

第二步：计算各种效应引起数据变异的自由度（即数据发生变异的机会数）

共进行了20次观测，所以总的数据变异自由度是N ＝20－1＝19。然后将自由度分解： A 的主效应引起数据变异的自由度是：df A ＝a －1＝1（a 是自变量A 的水平数） B 的主效应引起数据变异的自由度是：df B ＝b －1＝1（b 是自变量B 的水平数） A 和B 交互效应引起数据变异的自由度是：df AB ＝（a －1）（b －1）＝1 被试差异引起数据变异的自由度是：df ＝n-1＝4

被试 箭头方向向外（A1） 箭头方向向内（A2）

箭头张开15度（B1） 箭头张开45度（B2） 箭头张开15度（B1） 箭头张开45度（B2）

Σ

1 2 3 4 5

6 5

7 6 7

4 3

5 4 5 8 7 9 8 9 7

6

7 6

8 25 21 28 24 2

9 Σ

31

21

41

34

127

残差引起数据变异的自由度等于总的自由度减去上述四项：df E＝19－7＝12

第三步：计算各变异源引起数据变异的方差MS

因为方差等于变异平方和除以自由度，于是：

MS A＝SS A/ df A＝26.45

MS B＝SS B/ df B＝14.45

MS AB＝SS AB/ df AB＝0.45

MS S＝SS S/ df S＝2.575

MS E＝SS E/ df E＝0.90/12＝0.075

第四步：计算各效应是否显著的检验统计量F比率

也就是计算各效应方差与残差方差的比值：

F A＝MS A/MS E＝26.45/0.075＝352.667 分子与分母的自由度为（1，12）

F B＝MS B/MS E＝14.45/0.075＝192.667 分子与分母的自由度为（1，12）

F AB＝MS AB/MS E＝0.45/0.075＝6.000 分子与分母的自由度为（1，12）

第五步：给出方差分析表和分析结论，如表2-4所示

查F表确定各效应F比率达到统计学上的显著性水平所需的临界值，得到：

F（1，12）|α=0.05＝6.55 F（1，12）|α=0.01＝11.75

将上述F比率与临界值比较，就可以确定各效应的F比率是否达到显著性水平的要求。从比较的结果知道：F A和F B均大于F（1，12）|α=0.01，但F AB小于临界值F（1，12）|α=0.05和F（1，12）|α=0.01。将上述分析的结果汇总，如表2-4所示。

表2－4 箭头方向与张开角度对缪勒错觉量影响的方差分析表

变异来源平方和自由度均方 F P

A的主效应

B的主效应AB的交互效应被试间效应

误差26.45

14.45

0.45

10.30

0.90

1

1

1

4

12

26.45

14.45

0.45

2.575

0.075

352.667

192.667

6.000

<0.01

<0.01

>0.05

合计52.55 19

从方差分析表可以看出，自变量A和自变量B的主效应达到了显著性水平（p<0.01），A和B 的交互效应没有达到显著性水平（p>0.05）。因此，也可以得到结论：箭头的方向和张开角度对缪勒错觉量有显著性影响，且二者对错觉量的影响是相互独立的。

很明显，重复实验设计的方差分析中，可以将被试差异带来的数据变异从误差项中分离出来，使自变量的效应更容易显示出来，再加上该种实验设计非常节省被试，成为最常用的实验设计方法就不为怪了。但是，当实验的顺序效应比较明显，实验任务较大以致于形成被试的负担时，都会在实验进程中出现新的混淆变量，造成研究内部效度的降低，就不能采用重复实验设计了。

第四节混合实验设计

在多因素研究中，研究者经常会遇到这样的情况：一个或多个因子适合于用被试间设计，另一

但如果有一个因子可能会存在较大的顺序效应，那最好还是采用被试间设计。这样，就需要构成一个混合设计，设计中同时包含被试间因子和被试内因子，用矩阵表示的话，则可以用被试间因子构成行，被试内因子构成列，每一行对应的一组被试必须接受列的所有不同处理。

混合设计（Mixed design），“是一种将两种不同的研究策略结合在一起的因素型研究方法，如将被试间设计和被试内设计结合，或将一个实验因子与一个非实验因子结合。”2在一个二因素实验设计中，如果一个自变量采用组间设计，另一个自变量采用组内设计，就构成了最简单的混合设计。如图2-3所示的就是一个最简单的二因素混合设计3。

图2-3显示的是一个考察情绪与记忆之间关系的混合实验设计。在这一课题领域中，最具代表性的研究结果表明：人们倾向于回忆那些与他们当前的情绪一致的信息。因此，心情愉快时，人们就容易回忆出快乐的事情，心情沮丧时人们就容易回忆出悲伤的事情。在一项如图2-3所示的研究中，蒂斯代尔等（1979）通过两种方式操纵情绪，其中一组被试读一系列越来越悲伤沉闷的陈述（例如“回首我的生命历程，我怀疑是否获得过任何真正有价值的东西”）；另一组被试读一系列越来越轻松、高兴的陈述（例如“生活是如此的充实、有趣，活着真是太棒了”）。这样，研究者就创设了一个被试间因子，包括情绪高兴组和情绪沮丧组，这两个组分别对应于矩阵中的两行。然后向所有被试呈现一些词语，其中包括一些积极的、令人愉快的词汇，也包括一些消极的、令人沮丧的词汇。最后，研究者分别记下每位被试能回忆的正向情绪词数和负向情绪词数。这里，研究者又创设出一个被试内因子，包括正向情绪词和负向情绪词，它对应于矩阵中的两列。

当然，混合实验设计的含义不仅仅是指被试间设计与被试内设计的混合，它也包括实验的与准实验的混合、实验的与非实验的混合、准实验的与非实验的混合。

在行为科学研究中，采用由一个实验因子和一个非实验因子构成的析因设计是非常常见的。混合设计中的一个因子是真正的自变量，它包括一系列可被操纵的实验条件；另一个因子是准自变量，主要有两类4：

1.现成的被试特征，如年龄或性别等。如研究者想考察实验处理条件对男性和女性是否会产生同样的效应，或者想知道实验处理的效应是否会随着年龄的变化而变化。现成被试特征将被试自然

2

3

分成两组，因此它是一个准实验因子。

2.第二个因子是时间。如研究者关注不同实验处理的效应会持续多长时间。比如，两种不同治疗技术在治疗结束后会立即产生相同的作用，但经过一段时间后，其中一种治疗能继续产生效应，而另一种治疗的效应随着时间推移而逐渐消失。实验中，时间不受研究者控制或操纵，因此它是一个准实验因子。

Shrauge(1972)考察了有无观众时人们的行为。在概念形成实验任务中，一半被试独自工作（无观众），另一半被试在有观众的情境中工作，当然观众必须有兴趣观察这个实验。有无观众是由研究者控制的。第二个因子是自尊水平，根据测量将被被划分成高自尊组和低自尊组。自尊是预先存在于被试身上的特征，因此它是一个非实验因子。如图2-4所示，实验产生的结果非常接近Shrauge 的真实数据，两个因子间有明显的交互效应。具体地说，观众在场对低自尊的被试有明显作用，但对于高自尊的被试来说几乎没有什么影响5。

我们在前文已经指出，在国内心理学家的研究中，除重复实验设计之外，就数混合设计的使用频率高了。有兴趣的读者可以在《心理学报》、《心理科学》等刊物上查阅一些混合设计的研究实例。

第五节随机区组设计与拉丁方设计

我们已经学习过完全随机实验设计，也就是将被试随机分成相等的多组，各组被试各自完成一种实验处理，然后比较各组被试因变量观测值的差异。我们可以使用t检验（两个小样本组）、Z检验（两个大样本组）或方差分析对平均数显著性水平进行检验，方差分析是最能体现差异检验的逻辑的。方差分析是将所有观测值的总体变异分解成：自变量的主效应、自变量的交互效应（当自变量不止一个时）、误差效应（包括组内被试的差异和其它因素导致的变异，可以统称为是残差），然后将自变量效应、交互效应的方差与误差效应方差比较求得F比率。F比率越大，表明自变量或自变量的交互效应越明显。但在计算F比率时，误差效应方差是作为分母出现的，也就是说误差项越小，F比率就会越大，对自变量效应的检验就越敏感。

上述分析，启发我们，残差部分越大越是不能显示出自变量的影响效应。如果在实验设计中能减少未知因素带来的误差项即残差，方差分析就更灵敏地将自变量的效应显示出来。由此，我们介绍随机区组实验设计和拉丁方实验设计及其数据的分析过程。

一、单因素随机区组实验设计

在行为科学研究中，接受处理的实验单位一般都是一个人、一只老鼠或一个其它动物。几乎可以肯定地说，对于我们想要测量的任何变量来说，个体之间总会存在差异性，而未经选择的一组被试之间的差异就更大。比如，他们在反应时间、问题解决能力、学习能力、记忆能力等方面都会有所不同，因此，实验中的个体差异必然带来因变量的变异。这里所讨论的随机区组设计（randomized block design）就是要按照某种个体特征将被试划分成若干区组，并将他们因变量的观测值分开记录，这样就可以计算不同区组之间因变量的变异量，从而将由于个体差异带来的数据变异从残差项中分离出来，达到降低残差项的目的。现在，我们先以单因素随机区组实验设计为例来说明。

假如某研究者想考察不同箭头张开角度对缪勒错觉的影响，从大学生中抽取了一些被试参加实验，但这些学生分别来自数学系、化学系、中文系和考古系。考虑到这些学生所接受的不同专业训练可能会造成其缪勒错觉测量有较大的个体差异，于是他决定采用单因素随机区组实验设计方法完成这一研究，将接受的不同专业训练作为一个区组变量。现有36名被试参加缪勒错觉实验，自变量为箭头张开角度，有三个水平，分别为300、450和600。考虑到教育训练的可能影响，36名被试中9人来自数学系、9人来自化学系、9人来自中文系、9人来自考古系，每个专业的学生均分到自变量的三个水平上。

这样的设计不仅考虑了自变量的影响，而且也考虑了被试本身的某一方面特征的影响，将被试间的差异作为一个区组变量，这样就可以至少部分地把被试间差异引起的反应变异从残差中分离出来。不过，需要注意的是，一般作为区组变量的额外变量与自变量之间不存在交互作用。如果存在交互作用，则其就不能作为区组变量来对待了。

我们假设上述实验设计得到的观测数据如表2-5所示。

表2-5 箭头张合角度与缪勒错觉量的关系

区组300450600Σ

数学系 6 5 3 40

考古系5

5

7

7

6

4

5

6

5

4

4

3

4

5

3

47

化学系7 7 4 59

中文系9

8

8

7

6

7

7

6

6

5

4

5

60 8 8 7

Σ83 70 53 206

对于这一实验设计模型，其数据如何处理呢？很显然，如果我们不去关注不同专业学生（区组）之间的差异，这一实验就是一个单因素实验设计，对其进行单因素方差分析来考察自变量（缪勒错觉实验中角度的张开度数），这时不同专业的差异带来的数据变异就与其它随机变量带来的变异混在一起，作为残差项。如果我们把一个专业的学生作为一个区组，我们就可以计算一个区组变量对测

量错觉量所带来的变异平方和，将其从残差项平方和中分离出来，使残差项方差降低。残差项的方差降低，自变量的效应就更容易显示出来了。

完全随机区组实验设计的数据分析与完全随机实验设计的数据分析相比，就是要多计算一个变异平方和——区组变量引起因变量变异的变异平方和。当然，区组变异的自由度也可以计算出来，它等于区组数减1。在将区组变量引起的变异从残差中剔除时，也要将区组变量的自由度从残差项自由度中减除。实际上，这里可以检验区组变量的效应是否显著，方法类似于自变量效应的检验。

有时，区组变量与自变量存在一定的交互效应，但是由于区组变量与自变量的交互效应的讨论会引出其它许多更复杂的问题，我们此处就略而不谈，这里的方差分析中的误差平方和就是总变异平方和减去自变量变异方平和、自变量交互效应变异平方和、区组变量变异平方和6。

有些时候，每个区组中的被试只分配到每种实验处理水平上一个被试，数据分析的过程也和上述讨论的过程一样。实际上，这种情况与我们以前所讨论到的匹配组设计相同。

区组实验设计一般是在被试选取或分组过程中，有些被试变量不拟控制时使用的。而且需要注意的是，在进行区组实验设计的时候，每个区组中的被试数必须是实验处理数的倍数，这样才能将每个区组中的被试匹配地分到各个实验处理当中。

二、多因素随机区组实验设计

当研究的自变量不止一个，同时考虑一个区组变量的时候，就需要采用多因素随机区组实验设计。我们以假想的例子来说明。

如为了试验新教材更适宜的教学方法，研究者同时考虑到学生现有学习成绩水平的影响，选择优中差各12个班进行试验。经过一学年的教学过程然后进行学生学习成绩的比较，即年终各班平均的考试成绩如表2－6所示。

表2-6 教材教法实验研究结果

区组

教材1（A1）教材2A2

Σ教法1(B1) 教法2(B2) 教法1(B1) 教法2(B2)

优等班(C1) 50

40

50

60

50

70

50

40

60

80

70

90

710

中等班(C2) 40

40

30

50

50

40

40

50

50

70

60

60

580

差等班(C3) 20

30

30

50

40

40

30

40

30

50

40

50

450

Σ330 450 390 570 1740 我们现在以表2-6中数据为例说明多因素随机区组实验设计的方差分析过程：

6对于区组变量与自变量的交互效应感兴趣的读者可查阅：[美]Allen L. Edwards 著；毛正中等译. 心理研究中的实验

第一步：计算数据总变异量并对之进行分解

表2-6中数据变化的原因大致可以划分为五个方面：（1）自变量A的主效应；（2）自变量B的主效应；（3）A和B的交互效应；（4）区组变量C的主效应；（5）其它随机变量的影响（其中也包括一定量的区组变量与自变量的交互效应，此处不再对其进行计算），我们将之称为误差效应。

数据总的变异平方和：SS T＝所有数据的离差平方和＝7900

则SS A＝[（330＋450）2/18＋（390＋570）2/18]－84100＝900

SS B ＝[（330＋390）2/18＋（450＋570）2/18]－84100＝2500

SS AB＝(3302/9+4502/9+3902/9+5702/9)-SS A-SS B-84100＝100

SS C＝(7102/12+5802/12+4502/12)-84100＝2816.67

SS E＝SS T-SS A-SS B-SS AB-SS C＝7900-900-2500-100-2817.67＝1583.33

第二步：计算各种效应引起数据变异的自由度（即数据发生变异的机会数）

共进行了20次观测，所以总的数据变异自由度是N＝36－1＝35。然后将自由度分解：

A的主效应引起数据变异的自由度是：df A＝a－1＝1（a是自变量A的水平数）

B的主效应引起数据变异的自由度是：df B＝b－1＝1（b是自变量B的水平数）

A和B交互效应引起数据变异的自由度是：df AB＝（a－1）（b－1）＝1

区组变量C的主效应引起数据变异的自由度是：df C＝c－1＝2（c是区组数）

残差引起数据变异的自由度等于总的自由度减去上述四项：df E＝35－5＝30

第三步：计算各变异源引起数据变异的方差MS

因为方差等于变异平方和除以自由度，于是：

MS A＝SS A/ df A＝900

MS B＝SS B/ df B＝2500

MS AB＝SS AB/ df AB＝100

MS C＝SS C/ df C＝1408.34

MS E＝SS E/ df E＝1583.33/30＝52.78

第四步：计算各效应是否显著的检验统计量F比率

也就是计算各效应方差与残差方差的比值：

F A＝MS A/MS E＝900/52.78＝17.052 分子与分母的自由度为（1，30）

F B＝MS B/MS E＝2500/52.78＝47.366 分子与分母的自由度为（1，30）

F AB＝MS AB/MS E＝100/52.78＝1.895 分子与分母的自由度为（1，30）

F C＝MS C/MS E＝1408.34/52.78＝26.683 分子与分母的自由度为（2，30）

第五步：给出方差分析表和分析结论，如表2-7所示

查F表确定各效应F比率达到统计学上的显著性水平所需的临界值，得到：

F（1，30）|α=0.05＝5.57 F（1，30）|α=0.01＝9.18

F（2，30）|α=0.05＝4.18 F（2，30）|α=0.01＝6.35

将上述F比率与临界值比较，就可以确定各效应的F比率是否达到显著性水平的要求。从比较的结果知道：F A和F B均大于F（1，30）|α=0.01，但F AB小于临界值F（1，30）|α=0.05和F（1，30）|；F大于F（2，30）|。将上述分析的结果汇总，如表2-7所示。

表2-7 教材教法实验研究结果的方差分析表

变异来源平方和自由度均方 F P

A的主效应

B的主效应AB的交互效应区组变量主效应

误差

900

2500

100

2816.67

1583.33

1

1

1

2

30

900

2500

100

1408.34

52.78

17.052

47.366

1.895

26.683

<0.01

<0.01

>0.05

<0.01

合计7900 35

分析的结果显示，两个自变量的主效应都达到显著性水平（p<0.01），但二者的交互效应未达到显著性水平（p>0.05）。区组变量的主效应也达到了非常显著性的水平，表明该实验设计采用随机区组实验设计是非常必要的，它将学生现有学习成绩的差异影响的大部分都从残差项中分离出来，自变量的效应更容易显示出来。

三、拉丁方实验设计

区组实验设计是在考察自变量的影响效应的实验中，考虑到某一个额外变量的影响，将这个额外变量作为区组变量，以便将该区组变量引起的变异从残差中分离出来。如果将区组实验设计进一步进行扩展，即考虑两个额外变量的影响而欲将这两个额外变量引起的变异从残差项中分离出来的时候，就可以采用拉丁方实验设计。拉丁方设计可以对两个额外变量可能对因变量具有的影响进行平衡，并将这种影响从方差分析的误差项中分离出来。与随机区组实验设计相比，拉丁方是其扩展形式。

比如，限于实验室条件，研究者在开展某一项实验研究时每天只能为4名被试进行测试，实验处理也有四个水平：A、B、C、D。如果我们认为在不同的天对被试进行测试会引起测试结果的不同，这种影响是比较重要的。于是我们就可以以不同的天作为区组变量，即同一天接受测试的被试就是一个区组。这样就可以形成一个区组实验设计，如表2-8所示。

表2-8 四种实验处理的随机区组实验设计

假如，在每天的实验中，一次只能测试一人，四名被试只能分别在下午2点钟、3点钟、4点钟和5点钟接受测试，但是测试时间不同也会造成差异。这样一来，每一种实验处理条件安排的时间就也要取得平衡才行，你不能每天都在2点钟安排被试接受A处理条件，或3点钟接受A处理

条件。于是采用测试天和测试钟点两方面的平衡方法安排实验，使得在四天的实验中，每种实验处理在每一天都是只出现一次、在一个钟点也都是只出现一次，这就可以保证各种实验处理在实验安排上取得平衡，如图2-9所示。

表2-9 四种实验处理的拉丁方实验设计

从上述例子可以看出，拉丁方（latin square ）是一个含P 行P 列，把P 个实验处理分配给P ×P 方格的管理方案，它便于在复杂研究程序中有条理地管理各个工作单元，并平衡各种额外变量的影响。在工农业生产试验和心理与教育研究中，拉丁方都得到普遍应用。在这种实验设计中，首先根据自变量处理的水平数确定两个额外变量的水平数，然后利用两个额外变量的各个水平结合在一起构造一个方格，最后再将自变量的不同处理平衡地安排在这个方格中，其结果要使自变量的每一个水平在拉丁方格的每一行和每一列都只出现一次，就构成了一个研究方案。很明显自变量的水平数或水平结合数、额外变量的水平数必须相等。

拉丁方实验设计常被用于平衡实验安排的时空顺序，但也可以被用于平衡机体变量的影响。我们再以下面这个例子对拉丁方做进一步说明。

问题模式：为了研究简单反应时间与光刺激的颜色和强度的关系，研究者同时考虑到被试的气质类型及年龄因素可能对反应时间具有明显影响，为了将这两个因素的影响从变异的残差项中分离出去，研究者采用了拉丁方实验设计。具体设计方案如下：

拉丁方格的组成：

拉丁方格由实验的额外变量气质类型和年龄档次组成：分别从10～13岁、15～18岁、20～23岁、25～28岁四个年龄档的青少年中选出每种典型气质类型者各2人，这样就有共计32名被试准备参加这一实验。根据气质类型和年龄档次组成拉丁方格，拉丁方格中的每一个格子中可以有年龄

档次相同、气质类型相同的两名被试，如表2-10所示。

表2－10 4×4拉丁方格

被试气质类型

被

试 年 龄 档 次

多血质

胆汁质

粘液质

抑郁质

10～13 15～18

20～23 25～28

实验处理的组成：

实验中自变量有两个，即光的颜色和强度。自变量的颜色取两个水平，分别为红光和绿光；光的强度也取两个水平，相对强度分别为：1和1/4。于是两个自变量结合而成的实验处理分别为：A——红光＋1（即光的颜色为红光、光的相对强度为1，以下与此相似）

B——红光＋1/4、C——绿光＋1、D——绿光＋1/4

实验处理的编排：

现在有A、B、C、D四种实验处理，有4×4拉丁方格，可以按照拉丁方实验设计的基本原则，将四种实验处理安排在拉丁方格中，某种实验处理被分配到拉丁方格中的某一个方格中，该方格中对应的两个被试就要完成这一种实验处理。

首先，我们给出一个基本的拉丁方设计形式，如表2－11所示。

表2-11 标准的4×4拉丁方实验方案

被试气质类型

被试年龄档次

多血质胆汁质粘液质抑郁质10～13

15～18

20～23

25～28

表2-11所示的实验设计方案就是一个标准的或基本的4×4拉丁方的实验设计。有了这样的设计方案之后，实验程序的编排就非常清晰了，不仅能将两个额外变量的效应从残差项中分离出来，而且也有利于增进复杂实验过程的条理性。有了表2-11所示的实验方案，每个被试需要完成什么样的实验就很清晰了，比如15～18岁组两个胆汁质的学生只需完成C实验处理，即“绿光＋1”实验处理、25～28岁组两个粘液质的学生只需完成B实验处理，即“红光＋1/4”实验处理。

有了表2-11所示的标准拉丁方实验设计方案之后，还可以将该方案进行随机化处理，即可以对其中的实验安排做随机的两行互换或两列互换，得到各种不同的拉丁方实验设计方案。比如，将表2-11中第1列和第四列对换就可以得到表2-12所示的拉丁方实验设计方案。

表2－12 在标准4×4拉丁方实验方案基础上变换得到的实验方案

被试气质类型

被试年龄档次

多血质胆汁质粘液质抑郁质10～

13

15～18

20～23

25～28

将表2-12中的第2行和第3行对换就可以得到表2-13所示的拉丁方实验设计方案。

表2-13 在表2-12基础上变换得到的拉丁方实验方案

被试气质类型

被试年龄档次

多血质胆汁质粘液质抑郁质10～13

15～18

20～23

25～28

进行拉丁方实验设计中，其选取用来构成拉丁方格的额外变量不能与研究的自变量之间存在交互效应，两个额外变量之间也不能存在交互效应。其数据的方差分析方法与随机区组实验设计相似，可以对数据的变异及其自由度进行分解，计算其中的：首先计算总变异，然后计算自变量及其交互效应引起的变异、两个额外变量主效应引起的变异，由此计算误差项变异，即可计算各种变异方差及其与误差方差的比率F。

拉丁方实验设计既有优点也有缺点。其优点是，在许多研究情境中，这种设计比完全随机和随机区组设计更加有效，它可以使研究者分离出两个额外变量的影响，因而减小实验误差，可获得对实验处理效应的更精确的估价。另外，通过对方格单元内误差与残差的F检验，可以检验额外变量与自变量是否有交互作用，以检验采用拉丁方设计是否合适。拉丁方设计的缺点是，它的关于自变量与额外变量不存在交互作用的假设在很多情况下都难以保证，尤其当实验中含有多个自变量的时候。因此，拉丁方实验设计在多因素实验中不常用。另外，拉丁方实验设计要求每个额外变量的水平数与实验处理数必须相等也在一定程度上限制了拉丁方实验设计的使用7。

建议阅读材料

1.朱滢主编.实验心理学.北京：北京大学出版社.2000，19－36.

2.杨治良主编. 基础实验心理学.兰州：甘肃人民出版社. 1988，20－52.

3.杨治良编著. 实验心理学.杭州：浙江教育出版社. 1998，44－102.

4.孟庆茂，常建华编著.实验心理学.北京：北京师大出版社.30－40.舒华编著. 心理与教育研

究中的多因素实验设计. 北京师范大学出版社. 1994.

复习思考题

1.如何理解：重复实验设计、完全随机实验设计、混合实验设计、区组实验设计、拉丁方实验设

计、方差分析、变异源、残差、2k析因实验设计、交互作用或交互效应？

2.多因素实验设计的类型主要有哪些？

3.如何进行单因素完全随机实验设计的数据分析？

4.如何进行多因素完全随机实验设计的数据分析？

5.如何进行重复实验设计的数据分析？

6.如何进行区组实验设计？

7.如何进行拉丁方实验设计？8．使用多因素实验设计方法编制一个心理实验研究方案。

阅读材料2-1

主效应与交互效应的关联性

在析因实验（多因素实验）中，数据收集、数据分析的主要目标是要考察自变量的主效应和变量间的交互效应是否显著是。一个自变量的主效应显著，意味着该自变量的各个水平在其它自变量的所有水平上的平均数存在差异；否则，就不存在显著性差异。比如，在自变量A和自变量B构成的2×2析因设计中，如果A的主效应显著，那就意味着A1在B1和B2水平下的平均数与A2在B1和B2水平下的平均数存在显著性差异。变量间的交互效应则是指一个因子的效应依赖于另一个因子的不同水平。

在析因设计中，方差分析的结果直接给出的是自变量的主效应和交互效应是否显著，多数研究者也往往就从这一结果出发得出这些自变量的作用是否明显、这些自变量的作用是否相互。但事实上，自变量的主效应与交互效应的评估并非这么简单，它们有时存在关联性，需要具体情况具体分析。我们就以两个自变量的主效应和交互效应来分析。当交互效应不显著的时候，两个自变量相互独立，我们可以直接从其主效应是否显著来评估自变量对因变量的作用大小；当变量间的交互效应显著时，就不能简单地从主效应是否显著直接得出结论了。我们现在以交互效应为前提，来区分自变量A的主效应是否显著的三种情况：

第一，交互效应显著，A的主效应也显著，而且效应方向正确，即主效应方向与简单效应方向一致，如图2-5中的b图就属于这类情况。在这种情况下，在自变量B的两个水平上，自变量A从A1到A2的变化引起的因变量的变化趋势一致，只是变化幅度不一致。当然，这里的交互效应也掩盖了自变量A在自变量B不同水平上的效应量的差异。

第二，交互效应显著，A的主效应也显著，但主效应的方向可能会被交互效应所歪曲。比如图2-5中的a图、d图都属于这类情况。在a图中，A的变化在B1的水平上引起了因变量的显著变化，但在B2水平上却未引起因变量的变化，这就是说A的变化不是在任何情况下都会引起因变量的变

化的，它依赖于自变量B的水平；在d图中，虽然A的变化在B的两个水平上都引起了因变量的明显变化，但是变化的方向正好相反，从其主效应看，A的水平提高可以促进因变量分述的提高，但实际情况是，当A在B1水平上提高时，反而会导致因变量分数的下降。

第三，交互效应显著会掩盖A的主效应，即交互效应显著时A的主效应却不显著，如图2-5中的c、e、f图都属于这种情况。我们从这些图示中可以明显看到A的主效应，但方差分析结果却会显示A的主效应不显著。其实，这一点很简单，我们可以这样来判断A的主效应不显著的真实性：当方差分析结果显示A的主效应及A与其它自变量的交互效应也不显著时，则说明A的效应真的不明显；当方差分析的结果显示A的主效应不显著但A与其它自变量的交互效应显著时，则说明A其实是对因变量有明显作用的，即A的效应其实是存在的，只不过其效应的大小和方向与其它因素有关。

当统计分析已证明存在显著性差异时，你仍要谨慎，而且要特别注意，如果因子间的交互效应达到了显著性水平，那么得到的主效应有可能是错误的，有可能是对实际情况的歪曲，不管它的主效应是否达到了显著性水平。我们应该还记得，一个因子的主效应是对另外一个因子所有不同水平下观测分数的平均而得到的。由于主效应是求平均的结果，因此它可能很难准确地反映每种具体实验处理的效应。为说明这一点，我们用图12-4来描述一个二因素研究设计得出的两种假设性结果。

“总之，交互效应可能会掩盖或歪曲两个因子中任何一个因子的主效应。因此，只要是交互效应达到了统计学上的显著性水平，你在就主效应问题作出结论前都要仔细考察具体的数据变化。”8（参照材料：邓铸等译《行为科学研究方法》）

阅读材料2-2