广东省揭阳一中、潮州金山中学2013-2014学年高三上学期期中联考理科数学试卷(带word解析)
广东省揭阳一中、潮州金山中学2013-2014学年高三上学期期中联考理科数学试卷（带word 解析）
第I 卷（选择题）
1．已知命题p ：对任意x R ∈，有cos 1x ≤，则（ ）
A.:p ?存在x R ∈，使cos 1x ≥
B.:p ?对任意x R ∈，有
cos 1x ≥
C.:p ?存在x R ∈，使cos 1x >
D.:p ?对任意x R ∈，有
cos 1x >
【答案】C 【解析】
试题分析：由全称命题的否定知，命题p 的否定为:p ?存在x R ∈，使cos 1x >，故选C.
考点：全称命题的否定 2．已知a R ∈且0a 1，则“
11
”是 “1a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 试题分析：解不等式 1 1a <，即10a a -<，即10a a ->， 解得0a <或1a >，故“11”的必要不充分条件，故选B. 考点：1.分式不等式的解法；2.充分必要条件 3．设全集U R =，() { } 221x x A x -=<，(){}ln 1B x y x ==-，则下图中阴影部分表 示的集合为（ ） A.{} 1x x ≥ B.{}12x x ≤< C.{} 01x x <≤ D.{} 1x x ≤ 【答案】B 【解析】 试题分析：由图象知，图中阴影部分所表示的集合为{} x x A x A B ∈? 且，由于 ( ) { } 221x x A x -=< (){} {} 2002x x x x x =-<=<<， (){} {}{}ln 1101B x y x x x x x ==-=->=<，故图中阴影部分表示的集合为 {}12x x ≤<，故选B. 考点：1.新定义；2.集合的基本运算 4．若函数()2 f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数()f x '的图象是（ ） 【答案】A 【解析】 试题分析：函数()2 f x x bx c =++图象的顶点坐标为24,24b c b ??-- ? ?? ，则02b ->，()2f x x b '∴=+，令()0f x '=，得02 b x =->，即导函数()f x '的图象与x 轴的交 点位于x 轴的正半轴上，且斜率为正，故选A. 考点：1.二次函数；2.导数 5．若x 、y 满足约束条件2100408x y x y +≥?? ≤≤??≤≤? ，则43z x y =+的最小值为（ ） A.20 B.22 C.24 D.28 【答案】B 【解析】 试题分析：作出不等式组2100408x y x y +≥?? ≤≤??≤≤?所表示的平面区域如下图所示，作直线 :43l z x y =+，则z 为直线l 在x 轴上截距的 1 4，联立4210x x y =??+=?，得42x y =??=? ，即 点()4,2A ，由图象知，当直线l 经过可行域上的点A 时，直线l 在x 轴上截距最小，此时z 取最小值，即min 443222z =?+?=，故选B. 3y 考点：线性规划 6．将函数sin 3y x π?? =- ?? ? 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） ，再将所得的图象向左平移 3 π 个单位，得到的图象对应的解析式是（ ） A.1sin 2y x = B.1 sin 2 2y x π??=- ??? C.1sin 2 6y x π??=- ??? D.sin 26y x π? ?=- ??? 【答案】C 【解析】 试 题分析 ： 231 sin sin 32 3y x y x π ππ????=-???????→=-???????→ ? ?????向左平移个单位长度横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变 11 sin sin 23326y x x πππ??????=+-=- ? ???? ?????，故选C. 考点：三角函数图象变换 7．已知定义在R 上的周期为2的偶函数()f x ，当[]0,1x ∈时，()2 2f x x x =-，则 ()f x 在区间[]0,2014内零点的个数为（ ） A.3019 B.2020 C.3021 D.3022 【答案】D 【解析】 试题分析：考虑函数()f x 在区间(]0,2上的零点个数，当[]0,1x ∈时，()2 2f x x x =-， 解得0x =或1 2 x = ，由于函数()f x 为偶函数，则函数()f x 在区间[)1,0-上的零点 为1 2 x =-，由于函数()f x 是以2为周期的函数，则函数()f x 在区间(]1,2上的零点为3 2 x = 和2x =，故函数()f x 在区间(]0,2上的零点数为3，因此函数()f x 在区间[]0,2014内的零点个数为20143130222 n =?+=，故选D. 考点：1.函数的周期性；2.函数的奇偶性；3.函数的零点 8．在ABC ?中，E 、F 分别为AB 、AC 中点．P 为EF 上任一点，实数x 、y 满足 PA xPB + 0yPC += ．设ABC ?、PBC ?、PCA ?、PAB ?的面积分别为S 、1S 、 2S 、3S ，记 11S S λ=，22S S λ=，33S S λ=， 则当23λλ?取最大值时，2x y +的值为（ ） A.1- B.1 C.3 2 - D.32 【答案】D 【解析】 试题分析：如下图所示，由于点P 在中位线EF 上，设ABC ?底边BC 上的高为h ，则PBC ?底边BC 上 的高为 2h ，因此111 222h S BC S =??=，即 11 2 λ= ，由于 12312 32 3112 S S S S λλλλλ++++==?+=， 2 2 23231112 2216λλλλ+?? ?? ∴≤=?= ? ???? ?，当且仅当23 2312 λλλλ=???+=??时，即当2314λλ==时，23λλ取得最大值， 此时点P 为EF 的中点，PE ∴ 与PF 互为相反向量，且有2PA PB PE += ， 2PA PC PF += ，因此 20PA PB PC ++= ，即11022PA PB PC ++= ，12x y ∴==，3 22 x y ∴+=，故选 D. 考点：1.基本不等式；2.平面向量的基底表示 第II 卷（非选择题） 9．在ABC ?中，若120A ∠= ，5AB =，7BC =，则AC = . 【答案】3 【解析】 试题分析：设AC x =，由余弦定理得222 2cos BC AB AC AB AC A =+-??，即 222175252x x ??=+-???- ??? ，整理得25240x x +-=，由于0x >，解得3x =，即 3AC =. 考点：余弦定理 10．函数46y x x =-+-的最小值为 . 【答案】2 【解析】 试题分析：解法一：由绝对值的几何意义知，函数46y x x =-+-的几何意义是：数轴上表示实数x 的点到表示4的点的距离与到表示6的点的距离之和，显然，当 []4,6x ∈时，y 取最小值，且m i n 64y =-2=；解法二：去绝对值符号得 210,42,46210,6x x y x x x -+≤??=< ，当4x ≤时，24102y ≥-?+=；当46x <<时，2y =；当 6x ≥时，21026102y x =-≥?-=，故min 2y =. 考点：含绝对值的不等式 11．设数列{}n a 、{}n b 都是等差数列，若117a b +=，3321a b +=，则 55a b += . 【答案】35. 【解析】 试题分析：由于数列{}n a 、{}n b 都是等差数列，则数列{}n n a b +也是等差数列，且 33 a b +是 11 a b +和 55 a b +的等差中项，故 ()()()3311552a b a b a b +=+++()()5533112221735a b a b a b +=+-+=?-=. 考点：等差数列的性质 12．若函数()y f x =的图象与函数x y 4=的图象关于直线y x =对称，则函数 ()y f x =的解析式为 . 【答案】()4log f x x = 【解析】 试题分析：由于函数()y f x =的图象与函数x y 4=的图象关于直线y x =对称，由反 函数的定义知，函数()f x 的解析式为()4log f x x =. 考点：反函数的定义 13．定义：如果函数()y f x =在定义域内给定区间[],a b 上存在()00x a x b <<，满足 ()()()0f b f a f x b a -= -，则称函数()y f x =是[],a b 上的“平均值函数”，0x 是它的 一个均值点.例如4 y x =是[]1,1-上的平均值函数，0就是它的均值点.现有函数 ()2f x x mx =-+是[]1,1-上的平均值函数，则实数m 的取值范围是 . 【答案】()0,2 【解析】 试 题 分 析 ： 由 题意知，存在 ()01 , 1x ∈-使 得 ()()()() ()() ()2 2 1 111 11112 m m f f f x ?? -+?-- +?---?? == --1 m =-，即 2 001x mx m -+=-，()()200 01110,2m x x m x ∴-=-?=+∈，故实数m 的取值范围是()0,2. 考点：1.新定义；2.参数分离法 14．以极坐标系中的点1, 6π?? ??? 为圆心，1为半径的圆的方程是 . 【答案】2sin 3πρθ?? =+ ?? ? 或2cos 6πρθ?? =- ?? ? 【解析】 试题分析：极坐标系中的点1,6π?? ??? 所对应的直角坐标为1,22?? ? ??? ，故在以极坐标系中的点1,6π?? ???为圆心，1为半径的圆的方程 是2 2 1122x y ???-+-= ? ? ???，展开 得220x y y +-= ，即22x y y +=+， 化为极坐标方程 得2 cos sin ρθρθ=+，化简得2sin 3πρθ?? =+ ?? ? 或 2cos 6πρθ?? =- ?? ? . 考点：1.极坐标与直角坐标的转化；2.圆的标准方程 15．如图，PC 切⊙O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦C D A B ⊥于点E ，4PC =，8PB =，则CD =_______. P 【答案】245 【解析】 试题分析：由于PC 切⊙O 于点C ，由切割线定理得2PC PA PB =?，所以 22 428 PC PA PB ===，826AB PB PA ∴=-=-=，由于CD AB ⊥，且AB 为圆O 的直径，由垂径定理知CE DE =，设A E x = ，由相交弦定理得()6CE DE AE BE x x ?=?=-，即() 2 6C E x x = -， 由勾股定理得222CE PC PE =-()2 242x =-+，故有()()2 2642x x x -=-+，解得6 5 x = ，26614465525CE ??∴=?-= ???，125CE ∴=，24 25 CD CE ∴==. 考点： 1.切割线定理； 2.相交弦定理； 3.勾股定理； 4.射影定理 16．已知(2 2cos a x = ，()1,sin 2b x = ，函数()1f x a b =?- ，()21g x b =- . （1）求函数()g x 的零点的集合； （2）求函数()f x 的最小正周期及其单调增区间. 【答案】（1）函数()g x 的零点的集合是,2k x x k Z π?? = ∈???? ； （2）函数()f x 的最小正周期为π，单调递增区间为(),36k k k Z π π ππ?? -++∈????. 【解析】 试题分析：（1）先将函数()g x 求出来并化简，然后令()0g x =，解此方程即可得到函数()g x 的零点的集合；（2）利用向量的数量积的定义将函数()f x 的解析式化简为 ()2sin 26f x x π? ?=+ ???，利用公式2T πω=求出函数()f x 的最小正周期，然后将26 x π + 视为一个整体，解不等式2222 6 2 k x k π π π ππ- +≤+ ≤ +()k Z ∈即可得到函 数()f x 的单调递增区间. 试题解析：（1）()1,sin 2b x = ，()()2 22 11sin 21sin 2g x b x x ∴=-=+-= ， 令()0sin 20g x x =?=，()2x k k Z π∴=∈，解得()2 k x k Z π =∈， 故函数()g x 的零点的集合是,2k x x k Z π? ?= ∈???? ； （2 ）(2 2cos a x = ，()1,sin 2b x = ， ( )212cos 212cos 22sin 26f x a b x x x x x π? ?∴=?-=-=+=+ ?? ? ， 22 T π π∴= =，即函数()f x 的最小正周期为π， 由()2222 6 2 k x k k Z π π π ππ- +≤+ ≤ +∈，解得()3 6 k x k k Z π π ππ- +≤≤ +∈， 故函数()f x 的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ?? - ++∈???? . 考点：1.平面向量的数量积；2.函数的零点；3.三角函数的周期性；4.三角函数的单调 性 17．在ABC ?中，已知内角3 A π = ， 边BC =设内角B x =，ABC ?的面积为y . （1）求函数()y f x =的解析式和定义域； （2）求函数()y f x =的值域. 【答案】（1）( )26f x x π? ? =-+ ?? ?定义域为20, 3 π ?? ??? ；（2）函数()y f x = 的值域为( . 【解析】 试题分析：（1）先利用正弦定理将AB 、AC 用含x 的表达式进行表示，然后利用面积公式将函数()f x 求出并进行化简，然后根据对三角形内角的限制求出自变量x 的取值范围作为函数()f x 的定义域；（2）在（1）的基础上，即函数 ( )26f x x π? ?=-+ ?? ?将26x π-视为一个整体，先求出26x π-的 取值范围，然后利用正弦函数的图象确定函数()f x 的取值范围，即为函数()f x 的值域. 试题解析：（1 ）由正弦定理得 4sin sin sin sin 3 AC AB BC B C A π ====， 4sin 4sin AC B x ∴==， ( )4sin 4sin 4sin 2sin 3AB C A B x x x π?? ==+=+=+ ???， ( )( ) 11sin 4sin 2sin 22y f x AB AC A x x x ∴== ??=??+ ( ) 22sin 6sin cos x x x x x x =?+=+ )3sin 21cos 23sin 2226x x x x x π? ?=+-=+=-+ ?? ?， 其中203x π<< ，即函数()f x 的定义域为20,3 π ?? ??? ； （2）203x π<< ，72666x πππ∴-<-<，故1sin 2126x π??-<-≤ ?? ?， ( )0f x ∴<≤()f x 的值域为( . 考点：1.正弦定理；2.三角形的面积公式；3.二倍角公式；4.辅助角公式；5.三角函数 的最值 18．设1a 、d 为实数，首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足 56150S S +=，55S =. （1）求通项n a 及n S ； （2）设{}2n n b a -是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T . 【答案】（1）310n a n =-+，23172n n n S -=-；（2）1 6203n n b n -=-++， 2 31 3172 n n T n n -∴=-++. 【解析】 试题分析：（1）先求出6S 求出来，然后将问题中的量利用1a 和d 构造二元一次方程组， 求出1a 和d 的值，进而确定n a 及n S ；（2）先根据题中的已知条件求出{}2n n b a -的通项公式，然后在（1）的基础上求出数列{}n b 的通项公式，并根据数列{}n b 的通项结构选择分组求和法求出数列{}n b 的前n 项和n T . 试题解析：（1）55S = ，56150S S +=，即6651503S S +=?=-， 于是有 516 151056153S a d S a d =+=?? =+=-?，化简得1121251a d a d +=??+=-?，解得17 3a d =??=-?， ()()()11713310n a a n d n n ∴=+-=+-?-=-+， ()() 2173103172 2 2 n n n a a n n n n S +-+-= = =- ； （2）由题意知111213236203n n n n n n n b a b a n ----=??=+=-++， ()2 11331 231713 2 n n n n T S n n --∴=+ =-++-. 考点：1，等差数列的通项公式与前n 项和；2.分组求和法 19．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当020x ≤≤时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数. （1）当0200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式； （2）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x v x =?可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时） 【答案】（1）()60, 0201200 ,202003 3x v x x x ≤≤?? =?-+<≤??； （2）当车流密度为100辆/千米时，车流量达到最大，且最大值约3333辆/小时. 【解析】 试题分析：（1）先根据题中函数()v x 在区间[]20,200上为一次函数，设()v x kx b =+，利用()20v 和()200v 的值列方程组解出k 和b 的值，从而确定函数()v x 的解析式；（2）利用（1）中函数()v x 的解析式，将函数()f x 的解析式确定下来（分段函数），然后分别求出函数()f x 在区间[]0,20与(]20,200上的最大值，并比较大小，从而确定函数()f x 在定义域[]0,200的最大值，进而确定相应的车流密度与车流量. 试题解析：（1）当20200x ≤≤时，设()v x kx b =+， 则有()()2020602002000v k b v k b =+=???=+=??，解得13 2003k b ? =-????= ??， 所以()60, 0201200 ,202003 3x v x x x ≤≤?? =?-+<≤??； （2）由题意知()()260, 0201200,202003 3x x f x x v x x x x ≤≤?? =?=?-+<≤??， 当020x ≤≤时，()60f x x =，则函数()f x 在区间[]0,20上单调递增，此时()f x 在 20x =处取最大值， 即()()max 2060201200f x f ==?=； 当20200x <≤时，()2120033 f x x x =- +，函数图象开口朝上，对称轴为直线100x =， 此 时 函 数 () f x 在 100 x =处取得最大值，即 ()()2max 120010000 100100100333 f x f ==-?+?= ， 1000012003> ，故当[]0,200x ∈时，()()max 10000 1003 f x f == ， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量达到最大，且最大值约3333辆/小时. 考点：1.函数解析式；2.分段函数的最值 20．已知函数()x f x ae =，()ln ln g x x a =-，其中a 为常数， 2.71828e = ，函 数()y f x =和()y g x =的图像在它们与坐标轴交点处的切线分别为1l 、2l ，且12//l l . （1）求常数a 的值及1l 、2l 的方程； （2）求证：对于函数()f x 和()g x 公共定义域内的任意实数x ，有()() 2f x g x - >； （3）若存在x 使不等式 ( ) x m f x ->m 的取值范围. 【答案】（1）1a =，所以直线1l 的方程为10x y -+=，直线2l 的方程为10x y --=； （2）详见解析；（3）实数m 的取值范围是(),0-∞. 【解析】 试题分析：（1）先确定函数()f x 、()g x 的图象与坐标轴的交点，利用相应的图象在交点处的切线平行列出有关a 的方程求解出a 的值，然后在确定两个函数图象与坐标轴的交点，利用导数求出直线1l 、2l 的方程； （2）利用ln x e x x >>的性质，引入函数()h x x =，从而将()() f x g x -化为 ()()ln x f x g x e x -=-()()ln x e x x x =-+-，构造新函数()1x x e x ?=-， ()2ln x x x ?=-，问题转换为()()f x g x ->()()12min min 2x x ??+≥进行处理；（3） 将等价转化为x m x <，构造新函数()x p x x =，将问题转化为()min a p x <进行处理，结合导数来求函数()p x 的最小值，在判断导数的符号时，可以结合基本不等式来处理. 试题解析：（1）对于函数()g x 而言，0a >，函数()g x 的定义域为()0,+∞， 故函数()y g x =与y 轴无交点，因此函数()y g x =与x 轴有交点， 令()0ln ln 0g x x a =?-=，解得x a =，()1g x x '= ，()1 g a a '∴=， 0a > ，()0x f x ae ∴=>，即函数()y f x =的图象与x 轴无交点，与y 轴有交点， 且()x f x ae '=，()0f a '∴=， 由题意知，()()0f g a ''=，即1 a a = ，解得1a =±，因为0a >，所以1a =， ()x f x e ∴=，()ln g x x =，()01f =，()01f '=，()10g =，()10g '=， 所以直线1l 的方程为1y x -=，即10x y -+=， 直线2l 的方程为1y x =-，即10x y --=； （2）函数()f x 与()g x 的公共定义域为()0,+∞， 在同一坐标系中画出函数()x f x e =，()ln g x x =和函数() h x x =的图象，易知当 0x >时，ln x e x x >>， ()()()()ln x f x g x e x x x ∴-=-+-， 令()1x x e x ?=-，()2ln x x x ?=-，其中0x >， ()110x x e ?'∴=->，故函数()1x x e x ?=-在()0,+∞上单调递增，所以 ()()1101x ??>=， ()211 1x x x x ?-'=- = ，令()20x ?'=，解得1x =， 当01x <<时，()20x ?'<，当1x >时，()20x ?'>， 故函数()2x ?在1x =处取得极小值，亦即最小值，即()()22min 11x ??==， ()()22min 1x x ??∴≥=， ()()()()()()12112f x g x f x g x x x ??∴-=-=+>+=，证毕！ （3）问题等价于“存在x 使得x x m ->成立”?“存在x 使得x m x <成 立”，其中0x >， 令( )x p x x =，则有()max m p x <，则函数()p x 的定义域为()0,+∞， ( )1111x x x x x x x x p x e e e e e e ????'=-- =-≤-=- ?? ???? (0110x x e e e ?<=-< ?，故函数()p x 在()0,+∞上单调递减，所以 ()()00p x p <=， 因此0m <，故实数m 的取值范围是(),0-∞. 考点：1.导数的几何意义；2.含绝对值的不等式；3.命题的理解；4.参数分离法 21．设函数()()2 2ln f x x a x a x =---. （1）求函数()f x 的单调区间 （2）若函数()f x 有两个零点1x 、2x ，且12x x <，求证：1202x x f +?? '> ??? . 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】 试题分析：（1）先求出函数()f x 的定义域与导数()f x '，并对导数进行因式分解，然后对导数方程的根是否在定义域内进行分类讨论，从而确定函数()f x 相应的单调区间；（2）先利用函数()f x 有两个零点1x 、2x 将a 利用1x 和2x 进行表示，于此同时，利用分析法将所要证明的问题进行转化，转化为1222 x x a +>，并结合前面a 的结果，令1 2 x t x = ，构造新函数利用导数来进行证明. 试题解析：（1）()()2 2ln f x x a x a x =--- ，定义域为()0,+∞， ()()()()()2 222122x a x a x a x a f x x a x x x ----+'=---==，由于0x >，1 0x x +∴ >， ①当0a ≤时，对任意0x >，()0f x '>，则函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞； ②当0a >时，令()0f x '=，解得2 a x =， 当02a x << 时，()0f x '<，当2 a x >时，()0f x '>， 此时，函数()f x 的单调递减区间为0, 2a ? ? ?? ?，单调递增区间为,2a ??+∞ ??? ； （2）因为1x 、2x 是函数()f x 的两个零点，有120x x <<，0a > 则()2 1112ln 0x a x a x ---=，()2 2222ln 0x a x a x ---=， 两式相减得()()2 2 1112222ln 2ln 0x a x a x x a x a x ----+-+=， 即221122112222ln ln x x x x ax a x ax a x +--=+--()1122ln ln a x x x x =+-- 所以221122 1122 22ln ln x x x x a x x x x +--=+-- 又因为02a f ??'= ???，当0,2a x ??∈ ???时，()0f x '<；当,2a x ??∈+∞ ??? 时，()0f x '> 故只要证1222 x x a +>即可，即证明22112212112222ln ln x x x x x x x x x x +--+> +--， 即证明()()2 2 2 2 1212121122ln ln 22x x x x x x x x x x -++-<+--， 即证明112 212 22ln x x x x x x -< +， 设12x t x = ()01t <<.令()22 ln 1 t g t t t -=- +， 则()()2141g t t t '=-+()() 2 2 11t t t -=+，因为0t >，所以()0g t '≥，当且仅当1t =时，()0g t '= 所以()g t 在()0,+∞是增函数；又因为()10g =，所以当()0,1t ∈时，()0g t <总成 立. 所以原题得证. 考点：1.分类讨论法；2.函数的单调区间；3.函数不等式