浙江省2018年中考数学复习题型研究题型五几何探究题类型二平移变换问题针对演练

第二部分题型研究

题型五几何探究题

类型二平移变换问题

针对演练

1. 如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC＝

2.边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP.

(1)请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？

(2)请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；

(3)在平移变换过程中，设y＝S△OPB，BP＝x(0≤x≤2)，求y与x之间的函数解析式，并求出y的最大值．

第1题图

2. (2017攀枝花)如图①，在平面直角坐标系中，直线MN分别与x轴、y轴交于点M(6，0)、N(0，23)，等边△ABC的顶点B与原点O重合，BC边落在x轴正半轴上，点A恰好落在线段MN上．将等边△ABC从图①的位置沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，边AB、AC分别与线段MN交于点E、F(如图②所示)，设△ABC平移的时间为t(s)．

(1)等边△ABC的边长为________；

(2)在运动过程中，当t＝________时，MN垂直平分AB；

(3)若在△ABC开始平移的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线BA—AC运动，当点P运动到C时即停止运动，△ABC也随之停止平移．

①当点P在线段BA上运动时，若△PEF与△MNO相似，求t的值；

②当点P在线段AC上运动时，设S△PEF＝S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大

值及此时点P 的坐标．

第2题图 答案

1. 解：(1)四边形APQD 为平行四边形； (2)OA ＝OP ，OA ⊥OP ，理由如下： ∵四边形ABCD 是正方形，

∴AB ＝BC ＝PQ ，∠ABO ＝∠OBQ ＝45°， ∵OQ ⊥BD ， ∴∠PQO ＝45°，

∴∠ABO ＝∠OBQ ＝∠PQO ＝45°， ∴OB ＝OQ ，

在△AOB 和△OPQ 中， ????

?AB ＝PQ ∠ABO ＝∠PQO BO ＝QO

， ∴△AOB ≌△POQ (SAS )， ∴OA ＝OP ，∠AOB ＝∠POQ ， ∴∠AOP ＝∠BOQ ＝90°， ∴OA ⊥OP ；

(3)过O 作OE ⊥BC 于E .

①如解图①，当P 点在B 点右侧时，

第1题解图①

则BQ ＝x ＋2，OE ＝x ＋2

2

，

∴y ＝12×x ＋22

·x ，

即y ＝14(x ＋1)2

－14，

又∵0≤x ≤2，

∴当x ＝2时，y 有最大值2; ②如解图②，当P 点在B 点左侧时， 则BQ ＝2－x ，OE ＝2－x 2

，

∴y ＝12×2－x 2

·x ，

即y ＝－14(x －1)2

＋14，

又∵0≤x ≤2，

∴当x ＝1时，y 有最大值为1

4；

综上所述，当x ＝2时，y 有最大值为2.

第1题解图②

2. 解：(1)3，

【解法提示】∵点M (6，0)，N (0，23)，∴OM ＝6，ON ＝23，∴MN ＝62

＋（23）2

＝43，∴sin ∠NMO ＝1

2

，∠NMO ＝30°，∵∠ABC ＝60°，

∴∠BAM ＝90°，即AB ⊥MN ，∴AB ＝1

2OM ＝3，即等边三角形边长为3.

(2)3，

【解法提示】由等边三角形的性质易知当MN 垂直平分AB 时，C 点与M 点重合，∵等边三角形ABC 的边长为3，∴BC ＝3，∵OM ＝6，∴MB ＝3，∴OB ＝OM －MB ＝3，即t ＝3.

(3)①当P 点在线段AB 上运动时， 则OB ＝t ，BP ＝2t ， 则BM ＝6－t ，PA ＝3－2t ， △PEF 与△MNO 相似分为

△PEF ∽△NOM 或△PEF ∽△MON 两种对应情况， 当△PEF ∽△MON 时，如解图①，

第2题解图①

则∠EPF ＝∠EFA ＝∠EMB ＝30°，

∴AE ＝12AF ＝14AP ＝3－2t

4

，

BE ＝12BM ＝

6－t

2

， 又BE ＝AB －AE ＝3－3－2t

4

，

∴3－3－2t 4＝6－t 2，解得t ＝34

；

当△PEF ∽△NOM 时，若点P 在线段BE 上，如解图②，

第2题解图②

则∠PFE ＝∠NMO ＝30°，则PF ∥OM , ∴△PAF 是等边三角形， ∴EF 垂直平分PA ， ∴BE ＝BP ＋12PA ＝t ＋3

2

，

又BE ＝12MB ＝6－t

2

，

∴32＋t ＝6－t

2

，解得t ＝1； 当△PEF ∽△NOM 时，若点P 在线段AE 上，则P 点与A 点重合，即t ＝32

；

综上所述：t ＝34或1或3

2

；

②当点P 在线段AC 上运动时，则BM ＝6－t ，PC ＝6－2t ，3

2

≤t ≤3.

∴BE ＝12BM ＝3－t 2，即AE ＝t 2

，

∴EF ＝3AE ＝

3

2

t ，AF ＝2AE ＝t ， ∴CF ＝AC －AF ＝3－t ，∴PF ＝PC －CF ＝3－t . 如解图③，作PH ⊥EF 于H 点，由∠AFE ＝30°，

第2题解图③

可知PH ＝12PF ＝3－t

2

，

S △PEF ＝12EF ·PH ＝12×

32t ×3－t 2

＝－

38t 2＋33

8

t ＝－

38(t －32)2＋9332

∴当t ＝32时，S 最大＝9332

，

33 2)．

此时点P坐标为(3，