春季班高一第五讲：数列综合

第四讲：数列综合

一、 教学设计

(一) 课程内容综述

《数列》一章是高考数学中的重中之重，高考中主要注重等差、等比数列的求和公式；对非等差、非等比数列求和的考察；以递推关系为背景，考察数列的通项及前n 项和；数列与不等式、函数的交汇。数列求和及综合应用是难度比较大的一节，学生对构造新数列比较难理解，因此在授课过程中要注重几种求通项、求和方法的归纳总结

重难点设定

A. 重点：

掌握等差数列、等比数列的通项公式、前n 项和公式，会运用公式解决问题。 B. 难点 (二) 等差数列、等比数列的通项公式、前n 项和公式的推导方法及应用，非等差、

等比数列求和的几种方法的应用。 (三) 课程内容规划

1. 等差、等比数列求值类的计算；

2. 求数列的通项公式；

3. 证明数列是等差或等比数列；

4. 求数列的前n 项和；

5. 数列单调性最值问题；

(四) 教学逻辑安排

1. 等差等比数列→方程思想→整体思想。

2. 求数列通项公式→给出前n 项和求通项→给出递推式求通项→构造新数列

3. 等差等比数列的证明

4. 数列的前n 项和→公式法→裂项求和法→倒序相加法→错位相减法

教学过程 课堂教学

题型一：求值类的计算题（多关于等差等比数列） A ）根据基本量求解（方程的思想）

1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，63,6,994=-==n S a a ，求n ；

2、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数. B ）根据数列的性质求解（整体思想）

1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ；

2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n a 的前n 项和，

327++=

n n T S n n ，则=5

5b a

. 3、在正项等比数列{}n a 中，153537225a a a a a a ++=，则35a a +=_______。 4、在等差数列{}n a 中，若4,184==S S ，则20191817a a a a +++的值为（ ） 5、已知{}n a 为等差数列，20,86015==a a ，则=75a . 题型二：求数列通项公式：

A ）给出前n 项和求通项公式

1、⑴n n S n 322+=； ⑵13+=n

n S .

2、设数列{}n a 满足2*12333()3

n n

a a a a n N +++=∈n-1…+3，求数列{}n a 的通项公式 B ）给出递推公式求通项公式

a 、⑴已知关系式)(1n f a a n n +=+，可利用迭加法或迭代法；

11232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=-----

例：已知数列{}n a 中，)2(12,211≥-+==-n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式； b 、已知关系式)(1n f a a n n ?=+，可利用迭乘法.1

1

22332211a a a

a a a a a a a a a n n n n n n n ??????=-----

例、已知数列{}n a 满足：11+1

(2),2n n a n n a a n

-=≥=，求求数列{}n a 的通项公式； c 、构造新数列

1°递推关系形如“q pa a n n +=+1”，利用待定系数法求解

例、已知数列{}n a 中，32,111+==+n n a a a ，求数列{}n a 的通项公式. 2°递推关系形如“，两边同除1

n p +或待定系数法求解

例、

n n n a a a 32,111+==+，求数列{}n a 的通项公式.

3°递推关系形如"11n n n n a pa qa a ---=≠（p,q 0),两边同除以1n n a a -

例1、已知数列{}n a 中，1122n n n n a a a a ---=≥=1（n 2),a ，求数列{}n a 的通项公式.

例2、数列{}n a 中，)(42,211++∈+==N n a a a a n

n

n ，求数列{}n a 的通项公式.

C 、给出关于n S 和n a 的关系

1、设n S 是数列{}n a 的前n 项和，11=a ，)2(212

≥??

?

?

?-

=n S a S n n n . ⑴求{}n a 的通项； ⑵设1

2+=

n S b n

n ，求数列{}n b 的前n 项和n T . 题型三：证明数列是等差或等比数列 A)证明数列等差

例1、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +2S n ·S n －1=0（n ≥2），a 1=2

1

.求证：{n S 1}是

等差数列；

B ）证明数列等比

例1、已知数列{}n a 满足*

12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈

⑴证明：数列{}1n n a a +-是等比数列；⑵求数列{}n a 的通项公式； ⑶若数列{}n b 满足121

11

*44...4(1)(),n

n b b b b n a n N ---=+∈证明{}n b 是等差数列.

题型四：求数列的前n 项和 基本方法： A ）公式法， B ）拆解求和法.

例1、求数列n

{223}n +-的前n 项和n S .

C ）裂项相消法，数列的常见拆项有：

1111

()()n n k k n n k

=-++；

n n n n -+=++11

1；

例1、求和：S =1+

n

+++++

+++++ 3211

3211211 例2、求和：

n

n +++

++++++11

341231121 . D ）倒序相加法，

例、设2

2

1)(x

x x f +=，求： ⑴)4()3()2()()()(21

3141f f f f f f +++++；

⑵).2010()2009()2()()()()(21

312009120101f f f f f f f ++++++++

E ）错位相减法，

例、若数列{}n a 的通项n

n n a 3)12(?-=，求此数列的前n 项和n S .

F ）对于数列等差和等比混合数列分组求和

例、已知数列{a n }的前n 项和S n =12n －n 2

，求数列{|a n |}的前n 项和T n . 题型五：数列单调性最值问题

例1、数列{}n a 中，492-=n a n ，当数列{}n a 的前n 项和n S 取得最小值时，=n . 例2、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，.16,2541==a a 当n 为何值时，n S 取得最大值

三、课后反思