2005年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷及答案

2005年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷

（2005年5月15日9：00—11：00）

一．选择题（本大题满分36分，每小题6分）

1．设()

n n n

x a x a a x

x 22102

1+++=++ ，求n a a a 242+++ 的值为

（A ）n

3 （B ）23-n

（C ）213-n （D ）2

1

3+n 答：【 】

2．若1sin sin =+y x ，则y x cos cos +的取值范围是

(A) ]2 ,2[- (B) ]1 ,1[- (C) ]3,0[ (D) ]3,3[- 答：【 】 3．设2)(1=

x f ，x x x f 2cos sin )(2+=，x x

x f 2cos 2

sin

)(3+=，24sin )(x x f =，上述函数中，周期函数的个数是

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 答：【 】 4．正方体的截平面不可能是

(1) 钝角三角形 (2) 直角三角形 (3) 菱 形 (4) 正五边形 (5) 正六边形 下述选项正确的是：

(A) (1)(2)(5) (B) (1)(2)(4) (C) (2)(3)(4) (D) (3)(4)(5) 答：【 】

5．已知a ，b 是两个相互垂直的单位向量，而13||=c ，3=?a c ，4=?b c 。则对于任意实数21,t t ，

||21b t a t c --的最小值是

(A) 5 (B) 7 (C) 12 (D) 13 答：【 】 6．设函数y ＝f(x)满足f(x ＋1)＝f(x)＋1，则方程f(x)＝x 根的个数可能是

(A) 无穷多 (B) 没有或者有限个

(C) 有限个 (D) 没有或者无穷多 答：【 】 二．填空题（本大题满分54分，每小题6分） 7. 设??????-+-=-+-=32232332x x x x x

M ，???

???-+-=-+-=5665655

6x x x x x N ，求

N M = 。

8. 已知数列n x ，满足n x x n n n +=++1)1(, 且21=x ， 则2005x = 。

9. 设函数1

3

43)1()(2232

+++-=+x x x x x f x x f ，则 f(x)＝ 。

10. 设命题 P: c c <2和命题Q: 对任何R x ∈，0142

>++cx x 有且仅有一个成立，则实数c 的

取值范围是 。

11. 在x 轴的正方向上，从左向右依次取点列 {}

,2,1,=j A j ，以及在第一象限内的抛物线

x y 2

3

2=

上从左向右依次取点列{} ,2,1,=k B k ，使k k k A B A 1-?（ ,2,1=k ）都是等边三角形，其中0A 是坐标原点，则第2005个等边三角形的边长是 。 12. 根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O 沿正东偏北α（2

0π

α≤

≤）方向

行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不定。假定机器人行走速度为10米/分钟，则行走2分钟时，机器人所在位置的可能范围的面积是 。 三. 解答题（本大题满分60分，每小题20分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 13.（20分）设双曲线12

2

=-y x 的左、右焦点分别为1F ，2F ，若21F PF ?的顶点P 在第一象限

的双曲线上移动, 求21F PF ?的内切圆的圆心轨迹以及该内切圆在边2PF 上的切点轨迹。

14.（20分）设+

∈R x x x n ,,21，定义 ∑=???

? ??-+=n

i i i n x n n x S 12

2

11， 1）求n S 的最小值；

2）在12

2

22

1=+++n x x x 条件下，求n S 的最小值； 3）在121=+++n x x x 条件下，求n S 的最小值， 并加以证明。

15.（20分）在一次实战军事演习中，红方的一条直线防线上设有20个岗位。为了试验5种不同

新式武器，打算安排5个岗位配备这些新式武器，要求第一个和最后一个岗位不配备新式武器，且每相邻5个岗位至少有一个岗位配备新式武器，相邻两个岗位不同时配备新式武器，问共有多少种配备新式武器的方案？

2005年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷答案

一． 选择题

1．设()

n n n

x a x a a x

x 22102

1+++=++ ，求n a a a 242+++ 的值为

（A ）n

3 （B ）23-n

（C ）213-n （D ）2

1

3+n 答： 【 C 】

【解】： 令0=x 得 10=a ； （1） 令1-=x 得 123210=++-+-n a a a a a ； （2）

令1=x 得 n n a a a a a 323210=+++++ ； （3） （2）＋（3）得 13)(22420+=++++n n a a a a ， 故 2

132420+=++++n n

a a a a ，

再由（1）得 2

13242-=+++n n

a a a 。 ∴选 【 C 】

2．若1sin sin =+y x ，则y x cos cos +的取值范围是

(A) ]2 ,2[- (B) ]1 ,1[- (C) ]3,0[ (D) ]3,3[- 答： 【 D 】

【解】：设 t y x =+cos cos ， ∴ 2

22cos cos cos 2cos t y y x x =++。 又由 1sin sin =+y x ，故 1sin sin sin 2sin 2

2=++y y x x 。

因此有 1)sin sin cos (cos 22

+=+t y x y x ，即 1)cos(22

+=-t y x

由于1)cos(1≤-≤-y x ，所以有 32

≤t ，即33≤≤-t 。 ∴选 【 D 】

3．设2)(1=x f ，x x x f 2cos sin )(2+=，x x

x f 2cos 2

sin

)(3+=，24sin )(x x f =，上述函数中，周期函数的个数是

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 答： 【 B 】 【解】： 2)(1=

x f 是以任何正实数为周期的周期函数；

)(2x f 不是周期函数。 因为x sin 是以π21=T 为周期的周期函数, x 2cos 是以2

22π=

T 为周

期的周期函数, 而1T 与2T 之比不是有理数，故)(2x f 不是周期函数。

)(3x f 不是周期函数。因为2

sin

x 是以π221=T 为周期的周期函数, x 2cos 是以2

22π=

T 为周期的周期函数, 而

22

1

=T T ，故)(3x f 是周期函数。 24sin )(x x f =不是周期函数。

因此共有2个周期函数。 ∴选 【 B 】 4．正方体的截平面不可能是

(1) 钝角三角形 (2) 直角三角形 (3) 菱 形 (4) 正五边形 (5) 正六边形 下述选项正确的是：

(A) (1)(2)(5) (B) (1)(2)(4) (C) (2)(3)(4) (D) (3)(4)(5) 答：【 B 】

【 解 】 正方体的截平面可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形，直角三角形（证明略）；对四边形来讲，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形，矩形、但不可能是直角梯形（证明略）；对五边形来讲，可以是任意五边形，不可能是正五边形（证明略）；对六边形来讲，可以是六边形（正六边形）。 ∴选 【 B 】

5．已知a ，b 是两个相互垂直的单位向量，

而13||=，3=?a c ，4=?b c 。则对于任意实数21,t t ，||21b t a t c --的最小值是

(A) 5 (B) 7 (C) 12 (D) 13 答： 【 C 】 【解】：由条件可得

2

22121186t t t t t t ++--=--

25)4()3(1692

22

1--+-+=t t 2

22

1)4()3(144-+-+=t t 144≥

当4,321==t t 1441=--t t 。 ∴选 【 C 】 6．设函数)(x f y =满足1)()1(+=+x f x f ，则方程x x f =)(根的个数可能是

(A) 无穷多 (B) 没有或者有限个

(C) 有限个 (D) 没有或者无穷多 答： 【 D 】

【解】：1)()1(+=+x f x f 显然有解 C x x f +=)(，其中C 为任意实数。

当0≠C 时，x x f =)(没有解。

当0=C 时，x x f =)(有无穷多个解。 ∴选 【 D 】 二．填空题 7. 设??????-+-=-+-=32232332x x x x x

M ，???

???-+-=-+-=5665655

6x x x x x N ，求

N M = {} 0 。

【解】：由已知可以解出 ??????

=513

,5 ,0M ， ????

??

=1161 ,11 ,0N 。故 {}0=?N M . 12. 已知数列n x ，满足n x x n n n +=++1)1(, 且21=x ， 则2005x =

!

20051

!2005+。

【解】：由 n x x n n n +=++1)1(，推出 1

1

11+-=-+n x x n n 。 因此有

)!

1(1

2)1()1(1)1()1(1)1(11111211+=

-+-==-+-=+-=+-=

---+n n n n x n n n x n n x n x x n n n n . 即有 1)!

1(1

1++=

+n x n 。 从而可得 !20051!20052005+=x 。

13. 设函数1

343)1()(2232

+++-=+x x x x x f x x f ，则 1563)(2

+-+-=x x x x f 。

【解】： 令y x 1=，得 1

343)1(2)(232

++-+=+y y y y y f y y f 。把y 改为 x 得

1

343)1(2)(232

++-+=+x x x x x f x x f ――――――――― （1）

1

3

43)1()(2232

+++-=+x x x x x f x x f ――――――――― （2）

联合（1）（2）消去 )1

(x

f ，可得1

5

63)(2

+-

+-=x x x x f 。 14. 设命题 P: c c <2和命题Q: 对任何R x ∈，0142

>++cx x 有且仅有一个成立，则实数c 的

取值范围是 ??

?

??????? ??-

1 ,210 ,21。 【解】： 命题 P 成立 可得 10<

1

21<<-

c 。 因此，要使命题P 和命题Q 有且仅有一个成立，实数c 的取值范围是 ??

?

??????? ??-

1 ,210 ,21。 15. 在x 轴的正方向上，从左向右依次取点列 {}

,2,1,=j A j ，以及在第一象限内的抛物线

x y 2

3

2=

上从左向右依次取点列{} ,2,1,=k B k ，使k k k A B A 1-?（ ,2,1=k ）都是等边三角形，其中0A 是坐标原点，则第2005个等边三角形的边长是 2005。

【解】：设第n 个等边三角形的边长为n a 。则第n 个等边三角形的在抛物线上的顶点n B 的坐标为（2

121n

n a a a a +

+++- ， ??

? ??

++++-223121n n a a a a ）

。 再从第n 个等边三角形上，我们可得n B 的纵坐标为

n n n a a a 23212

2

=??

? ??-。从而有

??

? ??

++++=-2232

3

121n n n a a a a a ， 即有

2

211212

n n n a a a a a ++++=- 。 由此可得

2

212

12n n n a a a a a +=

+++ （1） 以及

2

111212

12---+=

+++n n n a a a a a （2） （1）－（2）即得

))((2

1

)(21111---+-+-=

n n n n n n n a a a a a a a . 变形可得

0))(1(11=+----n n n n a a a a .

由于01≠+-n n a a ，所以 11=--n n a a 。 在（1）式中取n ＝ 1，可得

2112

1

21a a =，而01≠a ，故11=a 。 因此第2005个等边三角形的边长为 20052005=a 。 12. 根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O 沿正东偏北α（2

0π

α≤

≤）方向行走一段时间

后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不定。

假定机器人行走速度为10米/分钟，则机器人行走2分钟时的可能落点区域的面积是 。

【解】：如图，设机器人行走2分钟时的位置为P ) ,(y x 。设机器人改变方向的点为A ，a OA =，b AP =。 则由已知条件有 20102=?=+b a ，以及

??

?+==b

a y a x αα

sin cos . 所以有

?

?

?=+≥++=+=+≤++=+20)cos (sin 400

)(sin 222222b a b a y x b a b ab a y x ααα 即所求平面图形为弓形，其面积为200100-π 平方米。 三. 解答题

13.（20分）设双曲线12

2

=-y x 的左、右焦点分别

为1F ，2F ，若21F PF ?的顶点P 在第一象限的双曲线上移动, 求21F PF ?的内切圆的圆心轨迹以及该内

y

O

P

y

x

A B G H

K

F 1

F 2

切圆在边2PF 上的切点轨迹。

【解】 如图，记双曲线在x 轴上的两顶点为A(1, 0)， B(-1, 0)，G 为21F PF ?的内切圆在边21F F 上的切点，H 为21F PF ?的内切圆在边2PF 上的切点，K 为21F PF ?的内切圆在边1PF 上的切点。则有

2121HF KF GF GF -=-

)()(21HP HF KP KF +-+=

21PF PF -= --------------------------------- 5分

由双曲线的定义知，G 必在双曲线上，于是G 与A(1, 0)重合，是定点。 而1222-=

=A F G F 。根据圆外一点到该圆的两切点的距离相等，所以21F PF ?的内切圆在

边2PF 上的切点的轨迹是以)0 ,2(2F 为圆心，12-为半径的圆弧。------- 10分

因为) ,(y x P 是在12

2

=-y x 第一象限的曲线上移动，当2PF 沿双曲线趋于无穷时，与x 轴正向的交角θ的正切的极限是

12

1lim

tan lim 2=--=+∞

→+∞

→x x x x θ

即 4

π

θ→

。 故点H 的轨迹方程为 (极坐标形式)

?

?

?-=-=-θθsin )12(cos )12(2y x ， （πθπ

<<4） --------------------------------- 15分 也可以用直角坐标形式。

由于G 与A(1, 0)重合，是定点，故该内切圆圆心的轨迹是直线段，方程为

1=x （10<

14.（20分）设+

∈R x x x n ,,21，定义 ∑=???? ?

?-+=n

i i i n x n n x S 12

211， 1）求n S 的最小值；

2）在12

2

22

1=+++n x x x 条件下，求n S 的最小值；

3）在121=+++n x x x 条件下，求n S 的最小值， 并加以证明。 【 解 】

1） n n n n n n S n i n

i n 1414121212

2-=-=???

? ??-≥∑∑== ----------------------------------- 5分 （当n

n x i 1

-=

时，取到最小值） 2） ∑=????

??-+-+=n

i i i n x n n n n x S 1242221)1(12 ∑=-+

-+=n

i i

x n n n n 12

4

2

1

)1(121 2

2

2)11()1(121n n n

n n n -+=-+-+≥ ---------------------------10分 （当n

x x x n 121==== 时，取到最小值2

)11(n

n -+

） 3） 因为

∑∑∑===???

?

?

?-+???? ??≤?????????? ?

?-+?n i i i

n i n i i

i

x n n x x n n x 12

2122

121111

11 所以

∑=???? ??-+=n

i i i n x n n x S 12

2112

12111?????????? ?

?-+≥∑=n i i i x n n x n 2

22111???

????-+≥n n n n n =. ---------15分

（当n

x x x n 1

21==== 时，取到最小值n ）

每小题指出什么时候取到。 （5分） 满分20分 15.（20分）在一次实战军事演习中，红方的一条直线防线上设有20个岗位。为了试验5种不同新式武器，打算安排5个岗位配备这些新式武器，要求第一个和最后一个岗位不配备新式武器，且每相邻5个岗位至少有一个岗位配备新式武器，相邻两个岗位不同时配备新式武器，问共有多少种配备新式武器的方案？

【解】： 设20个岗位按先后排序为1，2，，… ，20，且设第k 种新式武器设置的序号为k a

)5,4,3,2,1(=k 。令11a x =，122a a x -=，233a a x -=，344a a x -=，455a a x -=，

5620a x -=，则有

20654321=+++++x x x x x x （*） 其中52≤≤k x )5,4,3,2,1(=k ，416≤≤x 。 -------------------------------------- 5分

作代换 1-=k k x y )5,4,3,2,1(=k ，66x y =，从而有

15654321=+++++y y y y y y （**） 其中41≤≤k y )6,5,4,3,2,1(=k 。 ---------------------------------------------------------- 10分

现求解问题（**）: 方法一： 设

I 为15654321=+++++y y y y y y 的正整数解的全体，k A 为I 中k y 满足

4>k y 的解的全体。则

∑∑<===+-=-=k

j k j k k k k k k

A A A I A I A

6

1

61

6

1

上式成立的原因是φ=k j i A A A ，因为没有同时满足4>i y ，4>j y ，4>k y 的156

1

=∑=k k

y

的

正整数组。所以

5809015122002656265105146

1

=+-=+-==C C C C A

k k

. -------------- 15分

方法二 ： 问题（**）的解数等于6432)(x x x x +++展开式中15x 的系数。

而6

26663266432)1()1()1()(x x x x x x x x x x x ++=+++=+++， 故只须求6

26

)1()1(x x ++展开式中9

x 的系数。

)

615201561( )615201561()1()1(12

10864265432626x x x x x x x x x x x x x x ++++++?++++++=++

因此9

x 的系数为 6×15＋20×20＋6×15 ＝ 580。 ----------------------------------------- 15分

因为5种新式武器各不相同，互换位置得到不同的排列数，所以配备新式武器的方案数等于

69600!5580=?。 ------------------------------------------ 20分