工程力学第六章答案 梁的变形

第五章 梁的变形

测试练习

1. 判断改错题

5-1-1 梁上弯矩最大的截面,挠度也最大,弯矩为零的截面,转角亦为零. （ ） 5-1-2 两根几何尺寸、支承条件完全相同的静定梁，只要所受荷栽相同，则两梁所对应的截面的挠度及转角相同，而与梁的材料是否相同无关。 （ ） 5-1-3 悬臂梁受力如图所示，若A 点上作用的集中力P 在A B 段上作等效平移，则A 截面的转角及挠度都不变。 （ ） 5-1-4 图示均质等直杆（总重量为W ），放置在水平刚性平面上，若A 端有一集中力P 作用，使A C 部分被提起，C B 部分仍与刚性平面贴合，则在截面C 上剪力和弯矩均为零。 （ ）

5-1-5 挠曲线近似微分方程不能用于求截面直梁的位移。 （ ） 5-1-6 等截面直梁在弯曲变形时，挠度曲线的曲率最大值发生在转角等于零的截面处。 （ ） 5-1-7两简支梁的抗刚度E I 及跨长2a 均相同，受力如图所示，则两梁跨中截面的挠度不等而转角是相等的。 （ ） 5-1-8 简支梁在图示任意荷载作用下，截面C 产生挠度和转角，若在跨中截面C 又加上一

个集中力偶M 0作用，则梁的截面C 的挠度要改变，而转角不变。 ( )

5-1-9 一铸铁简支梁，在均布载荷作用下，当其横截面相同且分别按图示两种情况放置时，梁同一截面的应力及变形均相同。 （ ） 5-1-10 图示变截面梁，当用积分法求挠曲线方程时，因弯矩方程有三个，则通常有6个积分常量。 （ ）

题5-1-3图 题5-1-4图

题5-1-8图 题5-1-7图

题5-1-9图

2．填空题

5-2-1 挠曲线近似微分方程EI

x M x y )

()("-

= 的近似性表现在和。 5-2-2 已知图示二梁的抗弯度E I 相同，若使二者自由端的挠度相等，则

=2

1

P P

5-2-3 应用叠加原理求梁的变形时应满足的条件是： 。 5-2-4 在梁的变形中挠度和转角之间的关系是 。

5-2-5 用积分法求图示的外伸梁（B D 为拉杆）的挠曲线方程时，求解积分常量所用到的边界条件是 ，连续条件是 。

5-2-6 用积分法求图示外伸梁的挠曲线方程时，求解积分常量所用到边界条件是，连续条件是 。

5-2-7 图示结构为超静定梁。

5-2-8 纯弯曲梁段变形后的曲率与外力偶矩M 的关系为，其变形曲线为曲线。 5-2-9 两根E I 值相同、跨度之比为1：2的简支梁，当承受相同的均布荷载q 作用时，它们的挠度之比为 。

5-2-10 当梁上作用有均布荷载时，其挠曲线方程是x 的次方程。梁上作用有集中力时，挠曲线方程是x 的 次方程。梁上作用有力偶矩时，挠曲线方程是x 的 次方程。 5-2-11 图示外伸梁，若A B 段作用有均布荷载，B C 段上无荷载，则A B 段挠曲线方程是x 的 次方程；B C 段挠曲线方程是x 的 次方程。

5-2-12 减小梁变形的主要途径有：，， 。

题5-2-2图 题5-2-7图

题5-2-6图

题5-2-11图

5-2-13 已知梁的挠度曲线方程为)3(6)(2

x l EI

Px x y -=，则该梁的弯矩方程为 。

5-2-14 梁的变形中，挠度和截面弯矩M 的关系是挠度和截面剪力Q 的关系是。 5-2-15 为使图示A B 段的挠曲线为一直线，则x = 。

5-2-16 要使图示简支梁的挠曲线的拐点位于距A 端l /3处，则M 1:M 2= 。 5-2-17 图示静定梁，其B D 上无荷载作用，若已知B 截面的挠度y B ,则C 截面的挠度y C = ，D 截面的转角θD =。

3．选择题

5-3-1 简支梁长为l ，跨度中点作用有集中力P ，则梁的最大挠度f =( ) （E I =常量）

A .EI Pl 483

B .EI Pl 484

C .EI Pl 38455

D .EI

Pl 33

5-3-2 悬臂梁长为l ，梁上作用有均布荷载q ，则自由端截面的挠度为。 ( )

A .EI ql 64

B .EI ql 63

C .EI ql 84

D .EI

ql 83

5-3-3 两梁尺寸及材料均相同，而受力如图示，则两梁的

A ． 弯矩相同，挠曲线形状不相同

B ． 弯矩相同，挠曲线形状相同

C ． 弯矩不相同，挠曲线形状不相同

D ． 弯矩不相同，挠曲线形状相同

5-3-4 图示(a )、(b )两梁，长度、截面尺寸及约束均相同，图(a )梁的外力偶矩作用在C 截面，图(b )梁的外力偶矩作用在B 支座的右作侧，则两梁A B 段的内力和弯曲变形的比较是 ( )。

A 。内力相同，变形不相同

B ．内力及变形均相同

C ．内力及变形均不相同

D ．内力不相同，变形相同

题5-2-17图 2 题5-2-16图 题5-2-15图

题5-3-4图

C 0 (a )

(b )

题5-3-3图

5-3-5 当用积分法求图示梁的挠度曲线方程时，在确定积分常量的四个条件中，除x =0, θA =0;x =0,y A =0外，另两个条件是 ( ) 。

A ．（y c ）左= (y c )右，（θC ）左=（θC ）右

B ．（y c ）左= (y c )右，y B =0

C ．y C =0，y B =0

D ．y B =0，θC =0

5-3-6 图示简支梁在分布荷载q （x ）=f （x ）作用下，梁的挠度曲线方程为

??++-=,)()(D Cx dxdx x M x EIy ，其中，积分常量 ( )。

A .0,0==D C

B .0,

0≠=D C

C .0,0≠≠

D C D .0,0=≠D C

5-3-7 挠曲线方程中的积分常梁主要反映了 A ． 对近似微分方程误差的修正 B ． 剪力对变形的影响 C ． 约束条件对变形的影响

D ． 梁的轴向位移对变形的影响 5-3-8 图示悬臂梁在B 、C 两截面上各承受一个力偶矩作用，两力偶矩大小相等，转向相反，使梁产生弯曲变形。B 截面的变形为 ( )。 A ．0,0≠=θy B . 0,0=≠θy

C ．0,0≠≠θy

D 。0,0==θy

5-3-9 图示简支梁受集中力作用，其最大挠度f 发生在（ ）。 A ．集中力作用处 B 。跨中截面 C ．转角为零处 D 。转角最大处

5-3-10 两简支梁E I 及l 均相同，作用荷载如图所示。跨中截面C 分别产生挠度y C 和转角θC ,则两梁C 点的挠度及两梁C 点的转角有 （ ）。 A ．θC 相等，y C 不相等 B 。θC 不相等，y C 相等 C ．θC 和 都不相等 D 。θC 和y C 都相等

题5-3-5图

q (x ) 题5-3-6图 题5-3-8图 题5-3-10图

4．计算题

5-4-1 试画出图示各梁挠曲线的大致形状。

5-4-2 一简支梁承受图示分布荷载q =K x 2（K 为已知），试求此梁的挠曲线方程（设E I =常量）。

5-4-3 已知图示梁的带积分常量的挠曲线方程为

)2

()2

(2412163)

2

1

0(12163)(22

22423222221111312121l x l

D x C l

x q x ql x ql EIy x D x C x ql x ql x EIy ≤≤++-+-=≤≤++-=

试求方程中的积分常量。

5-4-4 试用叠加法求图示梁B 点的挠度和转角。（E I =常量）

5-4-5 外伸梁受图示荷载作用，试求C 截面的挠度和A 截面的转角。（E I =常量。）

5-4-6 矩形截面梁A B 的抗弯刚度为E I ，受力如图示。试问B 端支座向上抬高Δ为多少时，梁的A 截面的弯矩和C 截面的弯矩绝对值相等。（材料的抗拉与抗压性能相同）

5-4-7 图示弯曲的钢板梁A B ，截面为矩形，宽度为b ，高度为h ，钢板放在刚硬地面上时原有曲率半径为ρ，在两端受力P 作用使其平直，则将有均布压力作用于刚硬地面C -C 上。已知刚梁E （弹性模量），试求所需的P 力及其在压平时梁内的最大正应力。

(a ) (c ) (f )

(b ) (d ) (e ) 题5-4-1图 题5-4-4图 B 题5-4-3图 x 题5-4-6图 题5-4-5图 题5-4-7图

C

5-4-8 长度为l 、抗弯刚度为E I 的悬臂梁A B ，受均布荷载q 作用而弯曲时，与半径为r 的刚性圆柱面接触，如图所示。试求当梁上某一段A C 与刚性圆柱面在C 点接触（假设C 点与梁左端A 的距离为x ）时，B 点的挠度。

5-4-9 单位长度重量为q 、抗弯刚度为E I 的矩形截面钢条，放置在水平刚性面上，刚条的一端伸出水平面一小段C D ，如图所示。若伸出长度为a ，试求刚条翘起而不与水平面接触的C D 段的长度b 。

5-4-10 超静定梁如图所示，A B 段内作用有均布荷载q ，当C 支座向下沉陷EI

ql 964

=?时，

试求梁的反力。

5-4-11

矩形截面悬臂梁如图所示，梁长为l ，在沿其截面高度h 承受非均匀加热，设梁顶部温度改变为t

1，底部温度改变为t 2，且t 2>t 1。温度沿截面高度呈线形改变。材料的线膨胀系数为a ，弹性模量为E ,由于不均匀受热而使梁发生弯曲变形，当梁的悬臂端施加偶矩M 0时，能使梁展直。问应施加多大的外力偶矩?

5-4-12 悬臂梁A B 和C D 的自由端处用拉杆B C 相连,受力如图所示,若

A B 梁和C D 梁的抗弯刚度E I 相等，试求在下列两种情况下C 点的挠度. (1) 当B C 杆为刚性杆,即E A = 时； (2) 当B C 杆长为2l ，2l

EI

EI =时。

8

题5-4-10图 题5-4-9图

题5-4-11图

2 题5-4-12图

2

5-4-13 A B 与B C 两梁铰接于B ，如图所示。已知两梁的抗弯度相等，P =40k N /m ,，试求B 点的约束力。

5-4-14 悬臂梁和简支梁材料和截面均相同。已知E 及未受力前A B 梁B 点与C D 梁中点之间的间隙Δ（垂直距离），如图所示，当受P 力后A B 梁在B 点的挠度大于Δ，试求各梁的支座反力。

5-4-15 具有初始挠度的A B 梁如图所示，梁的E I 和l 均为已知。当梁上作用有三角形分布荷载时（q 0已知），梁便呈直线形状。试求梁的初始挠曲线方程。

5-4-16 试根据对称性求图示梁的挠曲线方程。E I =常量

5-4-17 两端固定的等截面梁，梁上作用一外力偶矩M 0 ，如图所示。欲使在固定端A 的反

力偶矩M A 为零，则力偶矩M 0应作用在梁上何位置？（即x =？）

测试练习解答

1． 判断改错题

5-1-1 ×。挠度和转角不仅与弯矩有关，而且与边界位移条件也有关，例如，当悬臂梁自由端作用有集中力P 时，自由端的M =0，但挠度和转角都是最大值。 5-1-2 ×。凡弹性变形均与材料的弹性模量值有关。

5-1-3 √。外力在研究的梁段以外，用等效力系代替不影响研究段的内力及变形。 5-1-4 ×。在C 截面上弯矩为零而剪力不为力零。 5-1-5 ×。可以用于变截面梁，只是分母中的I z 不同。 5-1-6 ×。根据

,)()("1

EI x M x y =

±=ρ

可知曲率ρ

1

最大值应在M 最大的截面处（E I =常量时）。

5-1-7 √。若将2q 分解成正对称和反对称两组，就可明显看出，在正对称的q 作用下C 点有挠度，转角等于零。

5-1-8 ×。在C 截面加上一力偶矩后C 截面的挠度不变，而转角改变。

5-1-9 ×。应力不同，变形相同。因为变形只与I z 有关，而T 形截面无论┬是┴还是，其惯

q 题5-4-15图 题5-4-13图

l /2 题5-4-14图

题5-4-9解图

8

题5-4-17图

题5-4-16图 q a 2/2

性矩I z 是相等的。而应力不仅与I z 有关而且还与y m a x （上下边缘到中性轴的距离）有关，┬这种方法的最大拉应力比┴这种方法的最大拉应力要大。

5-1-10 ×弯矩方程式有三个，但积分时要分成四段，因截面改变处要分段。 2．填空题

5-2-1 忽略剪力Q 的影响；1)(1'

≈+y

5-2-2 8。因3

3

231)2(3a

a P EI a P =，所以8)2(3321==a a P P 5-2-3 小变形及材料为线弹性 5-2-4 )()('

x x y θ= 5-2-5 ;,0,0BD B A l y l x y x ?====

5-2-6

A

A A A

B A y y y y ))(,)()(;

0,

02121====θθ

5-2-7 二次 5-2-8

EI

M

±

=ρ

1

；圆弧线 5-2-9 1：16。因16/1384)2(5/384)(54

4=EI

l q EI l q

5-2-10 4；3；2 5-2-11 4；1

5-2-12 合理安排受力，减小M ；减小l ；加大E I 5-2-13 )()(x l P x M -= 5-2-14 EI

x Q x y EI

x M x y )

()(;)

()('''"

-

=-= 5-2-15 l -a 5-2-16 1/2 5-2-17 a y y B C 2/2

1

=

3．选择题

5-3-1 A 5-3-2 C 5-3-3 A 5-3-4 B 5-3-5 B 5-3-6 D 5-3-7 C 5-3-8 D 5-3-9 C 5-3-10 B 4 计算题

5-4-2 梁的挠曲线方程为

（1） 求分布荷载的合力 ?==t

Kl dx x q P 03

3

)(

求合力作用点到点的距离：l P x dx x q d t

4

3)(0

=?=

? （2） 求反力：443,1243

3Kl P R Kl P R B A =

=== （3） 列4

3)(3x

Kx x R x M A ?-?=

（4） 代入EI

x M y )

("

-=中并积分，由边界条件确定0,905=-=D Kl C

所以 )45(360)(5523l x x l EI

Kx

x y --=

5-4-3 （1）边界条件：

,0,011'1===θy x 解出01=C

,0,011==y x ，解出01=D

（2）连续光滑条件：

,)()(,22'1'21C C y y l x x ==

=解出 02=C ,)()(,

2

2121C C y y l

x x ===，解出02=D

5-4-4 （1）只有q 作用时，EI

ql y EI ql q B q B 8)(,6)(4

3==θ （2）只有P =q l 作用时:

2

2)(3)(2)()()(,

2)())(232

l

EI l P EI l P l y y EI

l

P P C P C P B P C P B ?

+=?+===θθθ

（3）然后两者叠加：

EI ql P B q B B 247)()(3

=

+=θθθ

EI ql y P B q B B 4811)()(4

=

+=θθ

5-4-5 （1）只有2

02

1ql M =

作用时，())(2

)(,

)(3)(00

00↑?=?=l

y EI l M M B M

C M A θθ

（2）只有q 作用时，

q A 1

)(2=θ)

EI

l q l

EI l ql y q C 8)2(23)81()(4

2+??=

（3）叠加：

)

(3845)()(,

487)()(43

00↑=+==+=EI

ql

y y y EI

ql q C M C C q A M A A θθθ 5-4-6 （1）将B 约束解除，用反力R B 代替。 （2）由A 、C 两截面的弯拒绝对值相等可列方程l R l P l R B B -=221，解出)(3

↑=P R B （3）在 P 和3

P

R B =

作用下，求B 点的挠度。 )(1443]22)2(3)2([3

32

3负号表示向上EI

Pl EI l R l EI l P EI l P B -=-

?+=?

5-4-7 这是一个求变形和应力的综合题。

（1） 求压力P ：依题意，当两端加上力P 后使其平直且在C -C 面上产生均布压力q ，因

此可以将其简化为两端铰支的简支梁，其反力均为P ，C -C 面上的均布压力l

P

q 2=

。 （2） 简支梁在均布压力q 作用下中点的挠度等于δ，δ=EI ql 38454，解出3

)(516l

h Eb P δ=

(3) δδ2max max 2max 524,81l

Eh

W M ql M z ===

5-4-8 当q =0 时，A B 梁上没有外力，梁轴线平直，A 端曲率为零。当荷载q 由0增加，到q 0时，梁A 端的弯矩为202

1

l q -

，A 端曲率

r A 11=ρ，即有 202

2,

21)(1rl

EI

q EI

l

q EI x M r =

=-=得

当0q q ≥ 时，梁上某一段A C 与刚性面接触，C 点端曲率为,)(1

1

)(12

EI

x l q r x -==ρ

解得 qr

EI

l x 2-

= (2) B 点的挠度包括三部分，即 321)()()(B B B B y y y y ++=

① (y B )1 为C 点的挠度2

21)2(212)(qr

EI l r r x y B -==

② (y B )2为C 点的转角引起B 点的挠度qr

EI

qr EI l r y B 2)2(1)(2-=

③ (y B )3为C D 段当作悬臂梁在q 作用下B 点的挠度 2

432)(8)(qr

EI

x l EL q y B =-=

④ 以上三种挠度叠加，即为点B 的挠度)(212l qr

EI

r y B -=

5-4-9 由于A B 段平直，所以B 点的弯矩、转角及挠度均等于零。B 点和C 点与刚性平面接触，简化为铰支座，则B C D 端简化为外伸臂梁。在该梁上作用有均布荷载q (自重)但要满足

0=B θ的条件，如图（a ）所示。求θB 时，可取B C 为简支梁，而C D 上的均布力向C 点

平移得一集中力q a 和一力偶矩2

02

1qa M =

，如图（b ）所示。根据θ=0的条件求解b ，即 06)1

(2)()(23

=?-=+=EI

b qa EI qb M B q B B θθθ 解出 a b 2=

q a 2/2

5-4-10 这是一个在外力作用及有支座位移下的一次超静定问题。将C 约束解除，用约束力

R C 代替，成为基本结构。变形协调条件是EI

ql y C 964

-=?=（向上）。

在q 和R C 共同作用下求出EI

l R EI ql y C C 2434834

-

= ，并将其代入变形协调方程，解出)(121↑=

ql R C ，然后根据平衡方程求出R A 、R B 即 ).(8

5

),(2411↓=↓=ql R ql R B A ， 。

5-4-11 梁在不均匀温度的变化下，发生弯曲和伸长变形，由于t 2>t 1，所以轴线以上伸长少，而轴线以下伸长大，使梁发生凸向下的弯曲变形，B 点有向上的挠度，设为(ΔB ) t 。在梁的自由端上作用力偶矩M 0 后，能使变形展直，B 点又回到原水平位置，设M 0作用下B 点的挠度为0)(M B ?。由(Δ

B ) t =

0)(M B ?，变形条件可以解出M 0值。其中

EI l M h l t t a M B t B 2)(,2)()(202120=

?-=?，代入变形条件中解得h

EI

t t a M )(120-=。 5-4-12 （1）当杆B C 的E A = 时，杆不变形，将B C 杆切短，用R B C 代替其约束，取基本结构。变形协调条件为y B =y c (↓) ，解出EI

Pl EI l R y y P

R BC B C BC 9653,32533=

===则 。 （2）当2

l EA

EA =

时，杆B C 有伸长变形，同样将B C 杆切段，用R B C 代替，取基本结构。这时的变形协调条件为 EI l R EA l R l l y y BC BC BC BC B C 2,3=

?

=??+= ，解出 EI

Pl y P R C BC

33625,5653

==。

5-4-13 这是一个二次超静定问题。若不计杆的轴向变形，则结构无水平约束力，将该问题

简化为B 铰只有一个垂直约束力为未知数的结构。在B 铰处切断，用约束力R B 代替，取出基本结构，并根据B 点的变形协调条件建立补充方程(y B )A B =(y B )B C

???

? ????+?+?=?-?=222

3234)(,3484)(2

3444EI P EI P EI R y EI

R EI q y B BC

B B AB

B 代入变形协调方程求出 R =8.75k N

5-4-14 因为A B 梁点的挠度大于Δ，因此在P 作用下A B 梁与C D 梁共同受力，成了一次超静定问题。若将两梁拆开，约束反力R 分别作用在梁上，则成为基本结构。变形协调方程为?+=CD B AB B y y )()( 将 EI

Rl y EI l R P y CD B AB

B 48)(,3)()(33=-= ，

代入变形协调方程解出?-=

3

17481716l EI P R ，并由平衡条件求个梁的约束反力， .)(,,2

l R P M R P R R

R R A A D C -=-==

= 5-4-15 （1）将A 端的约束反力用M A 、R A 表示； （2）列出弯矩方程302061

21)(x q l

x q x R M x M A A +-

+= （3）代入挠曲线近似微分方程并积分；

(4)根据A 端的位移边界条件求出 C =0,D =0 ;

(5)根据B 端的边界条件，即 x =l 时，M =0 （即 y ” =0）；x =l 时，y B =0解出

l q R l q M A A 0205

2

,151=-

= ； (6)最后的出初始挠度曲线方程 )584(12032232

0x lx x l l lEI

x q y +-+--= 。

5-4-16 结构为对称，而外力M 0为反对称。若将结构取出一半（如取左边一半），则成为A 端为固定端、C 端为铰支座的单跨超静定梁。在C 截面上作用有力偶矩

2

M ，A C 段的长度为

2

l

。只要解出A C 梁的挠度方程即可，C B 段的挠度曲线与A C 段组成反对称的挠度曲线， )2(41)(3

020x l

M x M EI x y --

=. 5-4-17 若不计梁A B 的轴向变形，这是一个二超静定问题。将A 固定端解除用约束反力R A 、M A =0,代替，并由A 点的θA =0、y =0的变形条件建立两个补充方程，并令M A =0，求出3

l

x =

。