第八讲函数奇偶性
第九讲函数奇偶性
一、定义
一般地，对于函数f(x)
（1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(-x)那么函数f(x)就叫做偶函数。关于y轴对称，f（-x）=f（x）。
（2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。关于原点对称，-f（x）=f（-x）。
（3）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)和f(-x)=f(x)，(x∈r,且r关于原点对称.)那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。
（4）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。
说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言。
②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性。
（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论）
③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。
④如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0，即f(0)=0。并且关于原点对称。
二、奇偶函数图像的特征
1、奇函数图象关于原点成中心对称图形，偶函数图象关于y轴成轴对称图形。
2、f(x)为奇函数 <=> f(x)的图象关于原点对称
点（x,y）→（-x,-y）
3、f(x)为偶函数 <=> f(x)的图象关于Y轴对称
点（x,y）→（-x,y）
4、奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。
三、证明方法
（1）定义法：函数定义域是否关于原点对称，对应法则是否相同
（2）图像法：f(x)为奇函数 <=> f(x)的图像关于原点对称
点（x,y）→（-x,-y）
f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y轴对称
点（x,y ）→（-x,y ）
（3）特值法：根据函数奇偶性定义，在定义域内取特殊值自变量，计算后根据因变量的关系判断函数奇偶性。
（4）性质法
利用一些已知函数的奇偶性及以下准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和（差）是奇函数；两个偶函数的和（差）是偶函数；奇函数与偶函数的和（差）既非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积（商）为偶函数；两个偶函数的积（商）为偶函数；奇函数与偶函数的积（商）是奇函数。
四、性质
1、偶函数没有反函数（偶函数在定义域内非单调函数），奇函数的反函数仍是奇函数。
2、偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义内关于原点对称的两个区间上单调性相同。
3、奇±奇=奇 偶±偶=偶
奇×奇=偶 偶×偶=偶
奇×偶=奇（两函数定义域要关于原点对称）
4、对于F （x ）=f[g(x)]：若g(x)是偶函数，则F[x]是偶函数
若g(x)奇函数且f(x)是奇函数，则F （x ）是奇函数
若g(x)奇函数且f(x)是偶函数，则F （x ）是偶函数
5、奇函数与偶函数的定义域必须关于原点对称
试题测试
1、如果奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则f (x )在(－∞，0)上( )
A ．减函数
B ．增函数
C ．既可能是减函数也可能是增函数
D ．不一定具有单调性
2、已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx （ ）
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．既奇又偶函数
D ．非奇非偶函数
3、若函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，则a ＝( )
A ．1
B ．－1
C ．0
D ．不存在 4、已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（ ）
A ．3
1 a ，b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝0 5、已知f （x ）＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f （－2）＝10，那么f （2）等于（ ）
A ．－26
B ．－18
C ．－10
D ．10
6、设f (x )在[－2，－1]上为减函数，最小值为3，且f (x )为偶函数，则f (x )在[1,2]上( )
A ．为减函数，最大值为3
B ．为减函数，最小值为－3
C ．为增函数，最大值为－3
D ．为增函数，最小值为3
7、下列四个函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A ．y ＝x 3
B ．y ＝－x 2＋1
C ．y ＝|x |＋1
D ．y ＝2－|x |
8、若f (x )在[－5,5]上是奇函数，且f (3) A ．f (－1) B ．f (0)>f (1) C ．f (2)>f (3) D ．f (－3) 9、已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)单调递增，则满足f (2x －1) ）的x 取值范围是( ) A.? ????13，23 B.??????13，23 C.? ????12，23 D.???? ??12，23 10、奇函数f (x )当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－2x ＋3，则f (1)与f (2)的大小关系为( ) A ．f (1) B ．f (1)＝f (2) C ．f (1)>f (2) D ．不能确定 11、偶函数y ＝f (x )的图象与x 轴有三个交点，则方程f (x )＝0的所有根之和为________． 12．定义在(－1,1)上的奇函数f (x )是减函数，且f (1－a )＋f (1－a 2)<0，求实数a 的取值范围． 13、已知f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2，求f (x )，g (x )的表达式． 14、已知函数f （x ）是奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝x 3＋2x 2—1，求f （x ）在R 上的表达式． 函数奇偶性的判定方法 函数奇偶性的判定方法较多，下面把常见的判定方法分类加以研究分析． 1．定义域判定法 例1 判定()(1)2f x x x =-- 的奇偶性． 解：要使函数有意义，须20x -≥，解得2x ≥， 定义域不关于原点对称， ∴原函数是非奇非偶函数． 评注：用定义域虽不能判定一个函数是奇函数还是偶函数，但可以通过定义域不关于原点对称，来否定一个函数的奇偶性． 2．定义判定法 例2 判断()f x x a x a =++-和奇偶性． 解： 函数()f x x a x a =++-的定义域为R ，且 ()()()()f a x a x a x a x a x a x a f x -=-++--=--+-+=-++=， ∴函数()f x 是偶函数． 评注：在定义域关于原点对称的前提下，可根据定义判定函数的奇偶性． 3．等价形式判定法 例3 判定2211 ()11x x f x x x ++-=+++的奇偶性． 解：()f x 的定义域为R ，关于原点对称，当0x =时，()0f x =， ∴图象过原点． 又0x ≠ 时，22 22 ()(1)(1)1()(1)(1)f x x x f x x x -+-+==-+--， (1)()f f x ∴-=-． 又(0)0f =，∴()f x 为奇函数． 评注：常用等价变形形式有：若()()0f x f x +-=或()1() f x f x -=-，则()f x 为奇函数；若()()0f x f x --=或 ()1() f x f x -=，则()f x 为偶函数（其中()0f x ≠）． 4．性质判定法 例4 若0a >，()([])f x x a a ∈-，是奇函数，()() g x x ∈R 是偶函数，试判定()()()x f x g x ?= 的奇偶性． 1、已知f x ()的定义域为R ，且对任意实数x ，y 满足f xy f x f y ()()()=+，求 证：f x ()是偶函数。 2、已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y). (1)求f(1),f(-1)的值; (2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由. 3、函数f(x)对任意x ?y ∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时, f x ()<0, f(3)=-2. (1)判断并证明f(x)在区间(-∞,+∞)上的单调性; (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 4、已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (2 1)=－1,当且仅当0 6、定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1） 求证：f(0)=1； （2） 求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R 上的增函数； （4）若f(x)·f(2x-x 2)>1，求x 的取值范围。 7、已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1 ()()()2 f m n f m f n +=++, 且1()02f =,当1 2 x >时, ()f x >0. (1)求(1)f ; (2) 判断函数()f x 的单调性,并证明. 8、函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任 意,x y R ∈,有()[()]y f xy f x =;③1 ()13 f >. (1)求(0)f 的值; (2)求证: ()f x 在R 上是单调减函数; 高中数学知识点：函数的奇偶性概念及判断步骤 1．函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数. 奇函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数. 要点诠释： （1）奇偶性是整体性质； （2）x 在定义域中，那么-x 在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； （3）f(-x)=f(x)的等价形式为：()()()0,1(()0)() f x f x f x f x f x ---==≠， f(-x)=-f(x)的等价形式为：()()()01(()0)()f x f x f x f x f x -+-==-≠， ； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0； （5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0. 2.奇偶函数的图象与性质 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y 轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y 轴对称，则这个函数是偶函数. 3.用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）求函数() f x的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； （2）结合函数() f x的解析式； f x的定义域，化简函数() （3）求() f x f x的 -与() f x之间的关系，判断函数() -，可根据() f x 奇偶性. 若() f x，则() f x是奇函数； f x -=-() 若() f x是偶函数； f x，则() -=() f x 若() f x f x既不是奇函数，也不是偶函数； ≠±，则() -() f x 若() -=-() f x既是奇函数，又 f x f x，则() f x f x -() =且() 是偶函数 函数奇偶性的判定方法 山东 刘海 函数奇偶性的判定方法较多，下面举例介绍常见的判定方法． 1．定义域判定法 例1 判定()(1)f x x =- 解：要使函数有意义，须20x -≥，解得2x ≥， 定义域不关于原点对称，∴原函数是非奇非偶函数． 评注：用定义域虽不能判定一个函数是奇函数还是偶函数，但可以通过定义域不关于原点对称，来否定一个函数具有奇偶性． 2．定义判定法 例2 判断()f x x a x a =++-的奇偶性． 解： 函数()f x x a x a =++-的定义域为R ， 且 ()()()()f x x a x a x a x a x a x a f x -=-++--=--+-+=-++=， ∴函数()f x 是偶函数． 评注：在定义域关于原点对称的前提下，可根据定义判定函数奇偶性． 3．等价形式判定法 例3 判定()f x =的奇偶性． 解：()f x 的定义域为R ，关于原点对称，当0x =时，()0f x =，∴图象过原点． 又0x ≠ 时，22 22()(1)(1)1()(1)(1) f x x x f x x x -+-+==-+--，()()f x f x ∴-=-． 又(0)0f =，()f x ∴为奇函数． 评注：常用等价变形形式有：若()()0f x f x +-=或()1() f x f x -=-，则()f x 为奇函数；若()()0f x f x --=或 ()1() f x f x -=，则()f x 为偶函数（其中()0f x ≠）． 4．性质判定法 例4 若0a >，[]()()f x x a a ∈-，是奇函数，()() g x x ∈R 是偶函数， 试判定()()()x f x g x ?= 的奇偶性． 三角函数的图象与性质题型归纳总结 题型归纳及思路提示 题型1 已知函数解析式确定函数性质 【思路提示】一般所给函数为y ＝A sin(ω x ＋φ)或y ＝A cos(ω x ＋φ)，A>0,ω>0,要根据 y ＝sin x ，y ＝cos x 的整体性质求解。 一、函数的奇偶性 例1 f (x )＝sin ()x ?+（0≤?<π）是R 上的偶函数，则?等于（ ） A.0 B ． 4π C ．2 π D ．π 【评注】由sin y x =是奇函数，cos y x =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：sin()(); y A x k k Z ??π=+=∈(1)若是奇函数，则 sin()+ (); 2 y A x k k Z π ??π=+=∈(2)若是偶函数，则 cos()(); 2 y A x k k Z π ??π=+=+ ∈(3)若是奇函数，则 cos()(); y A x k k Z ??π=+=∈(4)若是偶函数，则 tan()().2k y A x k Z π ??=+= ∈(5)若是奇函数，则 .()sin ||a R f x x a a ∈=-变式1已知，函数为奇函数，则等于（ ） A.0 B ．1 C ．1- D ．1 ± 2.0()cos()()R f x x x R ???∈==+∈变式设，则“”是“为偶函数”的（ ） A 充分不必要条件 B ．必要不充分条 C ．充要条件 D ．无关条件 3.()sin()0()f x x f x ω?ω=+>变式设，其中，则是偶函数的充要条件是（ ） A.(0)1f = B ．(0)0f = C ．'(0)1f = D ．'(0)0 f = 2.()sin(2)()()2f x x x R f x π =-∈例设，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．2π 最小正周期为 的奇函数 D ．2π 最小正周期为的偶函数 2()sin 1()()f x x x R f x =-∈变式1.若，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．π最小正周期为2的奇函数 D ．π最小正周期为2的偶函数 函数的奇偶性的归纳总结 考纲要求：了解函数的奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法。 教学目标：1、理解函数奇偶性的概念； 2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法； 3、掌握函数的奇偶性应用的类型和方法； 4、培养学生观察和归纳的能力，培养学生勇于探索创新的精神。 教学重点：1、理解奇偶函数的定义； 2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法，并探索其中简单的规律。 教学难点：1、对奇偶性定义的理解； 2、较复杂函数奇偶性的判断及函数奇偶性的某些应用。 教学过程： 一、知识要点： 1、函数奇偶性的概念 一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。 一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数。 理解： (1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质； (2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。 2、按奇偶性分类，函数可分为四类： 奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数. 3、奇偶函数的图象： 奇函数?图象关于原点成中心对称的函数，偶函数?图象关于y 轴对称的函数。 4、函数奇偶性的性质： ①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。 ②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0。 ③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a 函数的奇偶性 【学习目标】 1.理解函数的奇偶性定义； 2.会利用图象和定义判断函数的奇偶性； 3.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用. 【要点梳理】 要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 1．函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数. 奇函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数. 要点诠释： （1）奇偶性是整体性质； （2）x 在定义域中，那么-x 在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； （3）f(-x)=f(x)的等价形式为：() ()()0, 1(()0)() f x f x f x f x f x ---==≠， f(-x)=-f(x)的等价形式为：() ()()01(()0)() f x f x f x f x f x -+-==-≠， ； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0； （5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0. 2.奇偶函数的图象与性质 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y 轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y 轴对称，则这个函数是偶函数. 3.用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）求函数()f x 的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； （2）结合函数()f x 的定义域，化简函数()f x 的解析式； （3）求()f x -，可根据()f x -与()f x 之间的关系，判断函数()f x 的奇偶性. 若()f x -=-()f x ，则()f x 是奇函数； 若()f x -=()f x ，则()f x 是偶函数； 若()f x -()f x ≠±，则()f x 既不是奇函数，也不是偶函数； 若()f x -()f x =且()f x -=-()f x ，则()f x 既是奇函数，又是偶函数 要点二、判断函数奇偶性的常用方法 抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论 一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力 1、周期函数的定义： 对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。 分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量 )()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像： []b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。 [][]? ??++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数： 设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或 ①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。 分段函数的奇偶性 3、函数的对称性： （1）中心对称即点对称： ①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A -- ②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++-- ③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-= ④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=- ⑤成中心对称。关于点与（函数),(0)2,2(0),b a y b x a F y x F =--= （2）轴对称：对称轴方程为：0=++C By Ax 。 ①))(2,)(2(),(),(2222//B A C By Ax B y B A C By Ax A x B y x B y x A +++-+++-=与点关于 函数的定义域与值域、单调性与奇偶性 一、知识归纳： 1. 求函数的解析式 （1）求函数解析式的常用方法： ①换元法（ 注意新元的取值范围） ②待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等） ③整体代换（配凑法） ④构造方程组（如自变量互为倒数、已知f （x ）为奇函数且g （x ）为偶函数等） （2）求函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义。 （3）理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。 2. 求函数的定义域 求用解析式y ＝f （x ）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况： ①若f （x ）是整式，则函数的定义域是实数集R ； ②若f （x ）是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集； ③若f （x ）是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f （x ）是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合； ⑤若f （x ）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题. 3. 求函数值域（最值）的一般方法： （1）利用基本初等函数的值域； （2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）； （3）不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如)0(>+=k x k x y 型的函数） （4）函数的单调性：特别关注)0(>+ =k x k x y 的图象及性质 （5）部分分式法、判别式法（分式函数） （6）换元法（无理函数） （7）导数法（高次函数） （8）反函数法 （9）数形结合法 4. 求函数的单调性 （1）定义法： （2）导数法： （3）利用复合函数的单调性： （4）关于函数单调性还有以下一些常见结论： ①两个增（减）函数的和为_____；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是______； ②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性； ③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性； （5）求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等 （6）应用：比较大小，证明不等式，解不等式。 5. 函数的奇偶性 奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f （x ） 与f （－x ）的关系。f （x ） － 函数2：函数的奇偶性 【教学目的】 使学生了解奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法； 【重点难点】 重点：函数的奇偶性的有关概念； 难点：奇偶性的应用 一、函数的奇偶性 1.偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做 偶函数． 2.奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)就叫 做奇函数． 3.判断函数奇偶性的方法： （1）图像法：偶函数的图像关于y 轴对称；奇函数的图像关于原点对称． （2）定义法：○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； ②确定f(－x)与f(x)的关系； ○ 3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数． 4.奇偶函数的简单性质： （1）奇函数：奇函数的图像关于原点对称，其单调性在对称区间内相同，如在[a,b ]上为 增函数，则在[-b ，-a ]上也为增函数. （2）偶函数：奇函数的图像关于y 轴对称，其单调性在对称区间内相反，如在[a,b ]上为 增函数，则在[-b ，-a ]上为减函数. 二、函数奇偶性的应用 1、利用定义判断函数奇偶性 例1（1）x x x f 2)(3+= ； （2）2 432)(x x x f +=； （3）1)(2 3--=x x x x f ； （4）2)(x x f = []2,1-∈x ； （5）x x x f -+-=22)( ； （6）2211)(x x x f -+-=； （7）2211(0)2()11(0)2 x x g x x x ?+>??=??--x 时，()()x x x f -=1，求()x f 在R 上解析式； 函数的奇偶性的判定 一。要点解读 1、 理解奇、偶函数的左义要把握好两个问题：英一，左义域关于原点对称是函数f (X ) 为奇函数或偶函数的必须满足的条件：其二，/(-X )= -/(x)或/(—x) = /(x)是左义域上 的恒等式。 2、 具有奇偶性的函数的图像的特征：偶函数的图像关于y 轴对称：奇函数的图像关于 原点对称。所以判断函数的奇偶性，除了定义法还有图像法。 3、 由奇函数的泄义可知，在x=0处有意义的奇函数f (x),有f (0) =0成立。 4、 有时可以应用定义的等价形式来判断函数的奇偶性。 5、偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反：奇函数在关于原点对称的区间上单调 性相同。 二.典例剖析 1、常见函数的奇偶性的判断 例1、判断函数f(x) = 1 是否具有奇偶性。 解：先看左义域，由，一1工0得XH±1,则崔义域D = {xlxe^x^±l］关于原点 对称，即任取xwD,都有—xeD,又/(-x)= i =亠1 =蚀, (-X )- -1 JC _] I Y I 所以fW = 为偶函数。 -1 点评：第一步：判断立义域是否关于原点对称；第二步：若泄义域不关于原点对称，则 该函数既不是奇函数也不是偶函数，若左义域关于原点对称，则进一步寻找f(-X )与f(x) 之间的关系：第三步：根据定义下结论。 2.分段函数的奇偶性 \(l-x)(x<0) 一 x(l + x)(x>0) 解：由题意，得函数f (X)的泄义域关于原点对称，当XV0时.一x>0, 所以 /(-X )= x(l - X )= f(x),当 x>0 时,—x<0,所以 f(-x) = -x(l + x) = f(x), 综上所述，得f (一x) =f (x),则f(x)是偶函数。 点评：对于分段函数要在左义域的不同部分上来分析奇偶性，但是要在整体上给该函数 下结 论。 3、抽象函数的奇偶性 例4、已知函数f (x)对一切x, y 都有f(x + y) = /(x)+ /(y)- (1) 求证：f (x)是奇函数： (2) 若 f (一3) =a,试用 a 表示 f (12) ? 分析：要证f (x)为奇函数,需证f (一x) =-f (x),即/(—x) + /(x)=O. 解：(1)令 x=y=O,得/(0 + 0) = /(0) + /(0),所以 f (0) =0,令 y=-x 得 /(—X )= ±/(x), 即心)即册 例2、判断函数/(%)= 的奇偶性。 函数单调性与奇偶性 教学目标 1.了解函数的单调性和奇偶性的概念,掌握有关证明和判断的基本方法. (1)了解并区分增函数,减函数,单调性,单调区间,奇函数,偶函数等概念. (2)能从数和形两个角度认识单调性和奇偶性. (3)能借助图象判断一些函数的单调性,能利用定义证明某些函数的单调性;能用定义判断某些函数的奇偶性,并能利用奇偶性简化一些函数图象的绘制过程. 2.通过函数单调性的证明,提高学生在代数方面的推理论证能力;通过函数奇偶性概念的形成过程,培养学生的观察,归纳,抽象的能力,同时渗透数形结合,从特殊到一般的数学思想. 3.通过对函数单调性和奇偶性的理论研究,增学生对数学美的体验,培养乐于求索的精神,形成科学,严谨的研究态度. 教学建议 一、知识结构 （1）函数单调性的概念。包括增函数、减函数的定义，单调区间的概念函数的单调性的判定方法，函数单调性与函数图像的关系. （2）函数奇偶性的概念。包括奇函数、偶函数的定义，函数奇偶性的判定方法，奇函数、偶函数的图像. 二、重点难点分析 (1)本节教学的重点是函数的单调性,奇偶性概念的 形成与认识.教学的难点是领悟函数单调性,奇偶性的本质,掌握单调性的证明. (2)函数的单调性这一性质学生在初中所学函数中曾 经了解过,但只是从图象上直观观察图象的上升与下降, 而现在要求把它上升到理论的高度,用准确的数学语言去 刻画它.这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高 一的学生来说是比较困难的,因此要在概念的形成上重点 下功夫.单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的 代数论证内容,学生在代数论证推理方面的能力是比较弱的,许多学生甚至还搞不清什么是代数证明,也没有意识 到它的重要性,所以单调性的证明自然就是教学中的难点. 三、教法建议 （1）函数单调性概念引入时,可以先从学生熟悉的一 次函数,,二次函数.反比例函数图象出发,回忆图象的增 减性,从这点感性认识出发,通过问题逐步向抽象的定义 靠拢.如可以设计这样的问题:图象怎么就升上去了?可以 从点的坐标的角度,也可以从自变量与函数值的关系的角 度来解释,引导学生发现自变量与函数值的的变化规律, 函数的奇偶性的典型例题 函数的奇偶性的判断 判断函数的奇偶性大致有下列两种方法： 第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等，判断步骤如下： ①、定义域是否关于原点对称； ②、数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立； 例1：判断下列各函数是否具有奇偶性 ⑴、x x x f 2)(3+= ⑵、2 432)(x x x f += ⑶、1 )(2 3--=x x x x f ⑷、2)(x x f = []2,1-∈x ⑸、x x x f -+-=22)( ⑹、2211)(x x x f -+-= 解：⑴为奇函数 ⑵为偶函数 ⑶为非奇非偶函数 ⑷为非奇非偶函数 ⑸为非奇非偶函数 ⑹既是奇函数也是偶函数 注：教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。 例2：判断函数???<≥-=)0()0()(22x x x x x f 的奇偶性。 .)(),()() ()()()(,0,0) ()()(,0,0) (0)0(:22222为奇函数故总有有时即当有时即当解x f x f x f x f x x x f x x x f x x x f x x x f f =-∴-=--=-=->-<-=-=--=-<->-== 第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。 四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。 命题 1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分 专题一抽象函数奇偶性的判定及应用 探究一：抽象函数的单调性和奇偶性问题 抽象函数的具体模型 )()()(y f x f y x f +=+ )()()(y f x f xy f += )()()(y f x f y x f =+ )()()(y f x f xy f = 类型一：抽象函数证明函数的奇偶性问题 ① x R ∈，()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，如何证明()f x 为奇函数 ② x R ∈，()f x 满足()()()f xy f x f y =+，如何证明()f x 为偶函数 类型二：抽象函数证明函数的单调性问题 ① 若,R x ∈且()()()f x y f x f y +=+、()()()f xy f x f y =+证明其单调性 ② 若,R x ∈()()()f x y f x f y +=、()()()f xy f x f y =证明其单调性 探究二：函数性质（单调性、奇偶性）定义经典试题 一、判断单调性和奇偶性 1. 判断单调性 根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。 例1．如果奇函数f x ()在区间[]37，上是增函数且有最小值为5，那么f x ()在区间[] --73，上是 A. 增函数且最小值为-5 B. 增函数且最大值为-5 C. 减函数且最小值为-5 D. 减函数且最大值为-5 分析：画出满足题意的示意图，易知选B 。 例2．偶函数f x ()在(0)，+∞上是减函数，问f x ()在()-∞，0上是增函数还是减函数，并证明你的结论。 分析：如图所示，易知f x ()在()-∞，0上是增函数，证明如下： 任取x x x x 121200<-> 因为f x ()在(0)，+∞上是减函数，所以f x f x ()()-<-12。 又f x ()是偶函数，所以f x f x f x f x ()()()()-=-=1122，， 从而f x f x ()()12<，故f x ()在()-∞，0上是增函数。 2. 判断奇偶性 根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求f x ()与f x ()-的关系。 例3．若函数y f x f x =≠()(())0与y f x =-()的图象关于原点对称，判断：函数 y f x =()是什么函数。 解：设y f x =()图象上任意一点为P （x y 00，） y f x =()与y f x =-()的图象关于原点对称， ∴P x y ()00，关于原点的对称点()--x y 00，在y f x =-()的图象上， ∴-=--∴=-y f x y f x 0000()() 又y f x 00=() ∴-=f x f x ()()00 三角函数的奇偶性（人教A版） 一、单选题(共15道，每道6分) 1.下列函数中是偶函数的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三角函数的奇偶性 2.下列函数中是奇函数的是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三角函数的奇偶性 3.下列函数中是偶函数的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三角函数的奇偶性 4.函数，( ) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：余弦函数的奇偶性 5.函数( ) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：余弦函数的奇偶性 6.函数( ) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：正切函数的奇偶性 7.函数( ) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既不是奇函数又不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三角函数的奇偶性 8.已知函数，，则( ) A.与都是奇函数 B.和都是偶函数 C.是奇函数，是偶函数 D.是偶函数，是奇函数 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三角函数的奇偶性 9.已知函数，，则( ) A.与都是奇函数 B.和都是偶函数 C.是奇函数，是偶函数 D.是偶函数，是奇函数 答案：C 解题思路： 函数的奇偶性 一、函数奇偶性的基本概念 1．偶函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-， 0)()(=--x f x f ，那么函数()x f 就叫做偶函数。 2.奇函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任一个x ，都有()()x f x f -=-， 0)()(=+-x f x f ，那么函数()x f 就叫做奇函数。 注意：（1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 ()()x f x f ±=- 之一是否成立。 （2）在判断()x f 与()x f -的关系时，只需验证()()0=±-x f x f 及) () (x f x f -=1±是否成立即可来确定函数的奇偶性。 题型一 判断下列函数的奇偶性。 ⑴x x x f +=2 )(，（2）x x x f -=3 )( （3）()()()R x x f x f x G ∈--=,(4) (5)x x x f cos )(= (6)x x x f sin )(= (7) x x x f --=22)(，(8) 提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断 （1）判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。 （2）常见的奇函数有：x x f =)(，3 )(x x f =，x x f sin )(=， （3）常见的奇函数有：2 )(x x f =，x x f =)(，x x f cos )(= （4）若()x f 、()x g 都是偶函数,那么在(x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 为 偶函数，()-x f ()x g 为偶函数。当()x g ≠0时， ) () (x g x f 为偶函数。 （5）若()x f ，()x g 都是奇函数，那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 是奇函数，()-x f ()x g 是奇函数，()()x g x f ?是偶函数，当()x g ≠0时， ) () (x g x f 是偶函数。 （6）常函数()()为常数c c x f =是偶函数，()f x =0既是偶函数又是奇函数。 （7）在公共定义域内偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.（8）对于复合函数()()[]x g f x F =；若()x g 为偶函数, ()f x 为奇（偶）函数，则()x F 都为 常见函数的抽象函数单调性与奇偶性 特殊模型抽象函数 正比例函数: 幂函数:或 指数函数: 对数函数: 正、余弦函数: 正切函数: 余切函数: 1.已知,对一切实数、都成立，且,求证为偶函数. 2.奇函数在定义域内递减，求满足的实数的取值范围. 3.如果=(a>0)对任意的有,比较的大小. 4.已知函数对任意实数均有且当时求在区间上的值域. 5.已知函数对任意满足条件，且当时，求不等式的解. 6.设函数的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在，使得，对任何和成立,求： （1）； （2）对任意值,判断值的正负. 7.是否存在函数，使下列三个条件：同时成立？若存在，求出的解析式，如不存在，说明理由. 8.是定义在上的单调增函数，满足 求：（1） （2）若求的取值范围. 9.设函数的反函数是如果那么是否正确，试说明理由. 10. 己知函数的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：①当 是定义域中的数时，有是定义域中的一个数）；③当时，f试问： （1）的奇偶性如何？说明理由. （2）在上,的单调性如何？说明理由. 11. 已知函数对任意实数都有且当时， .（1）判断的奇偶性；（2）判断在上的单调性，并给出证明；（3）若 ，求的取值范围. 12. 设f(x)定义于实数集上，当 时， ，且对于任意实数x、y，有 ， 求证： 在R上为增函数. 13.已知函数 对任意不等于零的实数 都有 ，试判断函数f(x)的奇偶性. 14.定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n，总有 ，且当x>0时，0 x x x f 1)(+=1 )(2+= x x x f x x f 1)(=函数的奇偶性 一、函数奇偶性的基本概念 1．偶函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，0)()(=--x f x f ，那么函数()x f 就叫做偶函数。 2.奇函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任一个x ，都有()()x f x f -=-，0)()(=+-x f x f ，那么函数()x f 就叫做奇函数。 注意：（1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 ()()x f x f ±=- 之一是否成立。 （2）在判断()x f 与()x f -的关系时，只需验证()()0=±-x f x f 及 ) ()(x f x f -=1±是否成立即可来确定函数的奇偶性。 题型一 判断下列函数的奇偶性。 ⑴x x x f +=2)(，（2）x x x f -=3)( （3）()()()R x x f x f x G ∈--=,(4) (5)x x x f cos )(= (6)x x x f sin )(= (7) x x x f --=22)(，(8) 提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断 （1）判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。 （2）常见的奇函数有：x x f =)(，3)(x x f =，x x f sin )(=， （3）常见的奇函数有：2)(x x f =，x x f =)(，x x f cos )(= （4）若()x f 、()x g 都是偶函数,那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 为 偶函数，()-x f ()x g 为偶函数。当()x g ≠0时，) ()(x g x f 为偶函数。 （5）若()x f ，()x g 都是奇函数，那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 是奇函数，()-x f ()x g 是奇函数，()()x g x f ?是偶函数，当()x g ≠0时，) ()(x g x f 是偶函数。 函数奇偶性的判断方法 （周口卫生学校 马爱华 466000） 摘要：本文由两个高考题来验证判断函数奇偶性的三种常见方法：1、利用奇偶函数的定义来判断（这是最基本，最常用的方法）；2、用求和（差）法判断；3、用求商法判断。 关键词：奇函数 偶函数 定义域 求和（差）法 求商法 函数的奇偶性是函数的一个重要的性质，其重要性质体现在它与函数的各种性质的联系之中，那么，怎样来判断函数的奇偶性呢？ 函数的奇偶性的判断应从两方面来进行，一是看函数的定义域是否关于原点对称（这是判断奇偶性的必要性）二是看)(x f 与)(x f -的关系。判断方法有以下三种： 1、利用奇偶函数的定义来判断（这是最基本，最常用的方法） 定义：如果对于函数y=f （x ）的定义域A 内的任意一个值x ， 都有f （-x ）=-f （x ）则这个涵数叫做奇函数 f （-x ）=f （x ） 则这个函数叫做偶函数 2、用求和（差）法判断 若0)()(=-+x f x f (()()2())f x f x f x --=则)(x f 为奇函数 若())(2)()(0)()(x f x f x f x f x f =-+=-- 则)(x f 为偶函数 3、用求商法判断 若 ()0)(1)()(≠-=-x f x f x f 则)(x f 为奇函数 若()0)(1) ()(≠=-x f x f x f 则)(x f 为偶函数 例1、判断函数()x x x f ++=21lg )(的奇偶性（对口升学07年高考题） 解法一（定义法） 函数的定义域为R ，关于原点对称 () x x x f -+=-21lg )( =222(1)(1) lg 1x x x x x x +-++++=()1221lg 11lg -++=++x x x x = 2lg(1)x x -++ ()f x =- )(x f ∴为奇函数 解法二（求和（差）法） ()()x x x x x f x f -++++=-+221lg 1lg )()( ()() x x x x -+++=2211lg =01lg = )(x f ∴为奇函数 解法三（求商法） ()()()() ()x x x x x x x x x x x x x f x f ++++-=+++=++-+=-2222221lg 1lg 1lg 11 lg 1lg 1lg )()( )0(1≠-=x )(x f ∴为奇函数 例2判断函数?? ? ??+-=21121)(x x x f 的奇偶性（对口升学08年高考题） 解法一（定义法） 函数的定义域为0≠x 的全体实数，关于原点对称高中数学解题方法谈：函数奇偶性的判定方法
自己整理抽象函数单调性及奇偶性练习及答案
高中数学知识点：函数的奇偶性概念及判断步骤
函数奇偶性的判定方法
高中数学三角函数的图象与性质题型归纳总结
函数奇偶性的归纳总结
函数的奇偶性
最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性和周期性常用结论
函数的定义域与值域单调性与奇偶性三角函数典型例题
函数奇偶性的定义与应用
(文章)函数的奇偶性的判定
函数单调性与奇偶性教案
函数的奇偶性的典型例题
抽象函数奇偶性的判定
三角函数的奇偶性测试题(人教A版)(含答案)
函数的奇偶性的经典总结
常见抽象函数的单调性与奇偶性
函数的奇偶性的经典总结
函数奇偶性的判断方法