随机模型

随机模型

在现实世界中, 不确定现象是普遍存在的. 例如, 漂浮在液面上的微小粒子不断地进行着杂乱无章运动, 粒子在任一时刻的位置是不确定的; 又如公共汽车站等车的人数在任一时刻也是不确定的, 因为随时都可能有乘客的到来和离去. 这类不确定现象, 表面看来无法把握, 其实, 在其不确定的背后, 往往隐藏着某种确定的概率规律, 因此, 以概率和数理统计为基础的随机模型就成为解决此类问题最有效的工具之一.

依随机规律是否随时间的变化而变化, 随机时模型可分为静态和动态两类, 前者只涉及到随机变量(向量)的概率分布及其数字特征, 后者则要处理随机过程和随机微分方程, 本讲章主要讨论前者.

§1 电梯问题

有r 个人在一楼进入电梯, 楼上有n 层, 设每个乘客在任何一层出电梯的概率相同, 试建立一个概率模型, 求直到电梯中的乘客下完时, 电梯需停次数的数学期望.

分析: 对于此问题, 容易想到该问题为离散随机变量求数学期望的问题, 既然求电梯需停次数的数学期望, 那么电梯需停次数便为要定义的随机变量, 用X 表示, 显然X 的取值范围为}},min{,,2,1{n r ", 然后需计算}{i X P =, 那么所

求的答案即为}{}

,min{1

i X p i n r i =?∑=, 用上述思路求解电梯问题理

论上完全正确, 然而我们却很难得到问题的一个简洁的表达式结果, 原因是古典概率}{i X P =的计算相当复杂, 而且要依据r , n 的不同情况具体来求. 下面我们看一些具体的例子,

例1: 取2=r , 3=n 时, 此时X 的取值范围为}2,1{

13211{1}33

C P X ?=== 23222{2}33

C P X ?=== 从而所求的解为

3

5322311=?+? 例2: 取3=r , 2=n 时, 此时X 的取值范围为}2,1{

12311{1}24

C P X ?=== 4

3222}2{33=?==X P 从而所求的解为

4

7432411=?+? 例3: 取3=r , 4=n 时, 此时X 的取值范围为}3,2,1{

14311{1}416

C P X ?=== 3433!6{3}416

C P X ?=== 313443413!9{2}416

C C P X ????=== 从而所求的解为

16

37166316921611=?+?+? 上述三例是在r , n 给出具体数据的情况下的计算, 可以看出, 随着r , n 数据的增大, 计算变的愈加复杂, 且没有明显的规律可言. 而当r , n 未给出具体数据时, 用上述思路求

解问题, 想要得到具体的表达式就更为困难.

下面我们换个角度考虑该问题, 我们将电梯在第i 层是否停下来这一事件作为随机变量i Y , 1=i Y 表示停下来, 0=i Y 表示电梯未停, 其中i 取值为},,2,1{n ", 这样问题便转化为求i Y 的期望之和, 由题意容易得知电梯在任何楼层上是否停留这一概率完全相同即

???

???????=r r i n n n n Y )1(0)1(11 从而i Y 的期望即为

r i n

n Y E )1(1)(??= 那么原问题的解即为

]1(1[)(1

r n

i i n n n Y E ???=∑= 显然要比刚才的方法来得简单, 而且得到了统一的表达式结果, 避免了用第一种方法在计算古典概率时对r , n 大小的具体讨论.

我们用前面的三个例子验证上面的结论:

例1中, 取2=r , 3=n 时, 得到的结果为3

5, 而 3

5])313(1[32=??? 例2中, 取3=r , 2=n 时, 得到的结果为4

7, 而 47])212(1[23=???

例3中, 取3=r , 4=n 时, 得到的结果为

1637, 而 16

37])414(1[43=??? 通过电梯问题求解的讨论, 可以看出在解决带随机性现象的问题中, 方法的选取是非常重要的, 只有采取合适的方法才会事半功倍.

§2钓鱼问题

为了估计湖中鱼的数量, 先从湖中钓出r 条鱼做上记号后又放回湖中, 然后再从湖中钓出S 条鱼, 结果发现S 条鱼中有x 条鱼标有记号. 问应该如何估计湖中鱼的数量N ?

分析与求解

该问题就是要从第二次钓出的标有记号的鱼所占的比例估计出湖中鱼的数量. 首先我们假设放回湖中的鱼在湖中的分布是均匀的. 则第二次钓出的标有记号的鱼数X 是一个随机变量, X 服从超几何分布

{}x s x r N r s N

C C P X x C ???== (*) 其中x 为整数, 且],min[)](,0max[s r x r N s ≤≤??. 用),(N x L 表示(*)式的右端, 则取使),(N x L 达到极大值的N 作为N 的估计量. 直接对N 求导考察极值比较困难, 我们用比

值法来研究),(N x L 的变化

(,)(,)(,1)()()

L x N N r N s A x N L x N N N r s x ??==????? 22()()N r s N rs N r s N Nx

?++=?++ (**) 从(**)式看出, 当且仅当x

rs N <时, )1,(),(?>N x L N x L , 而当且仅当x

rs N >时, )1,(),(?

rs +1, 取使得),(N x L 的值更大的一个即可.

上面的求解方法实际上是运用了概率统计中的极大似然原理, 即现在这个事件发生了, 那么客观情况使得它最有

可能发生.

下面我们换个角度考虑上述问题, 既然假设放回湖中的鱼在湖中的分布是均匀的, 我们可以认为湖中整个鱼群中含带有记号的鱼群比例与湖中任意一部分鱼群中含带有记号的鱼群比例完全相同, 即

s

x N r = 从而s

rx N =, 取整即与上述分析所得的结果完全相同. 从这一问题, 我们可以学到估计类似问题的一种实际操作方法.

§3 广告中的数学

在我们的现实生活中, 广告无所不在.广告给商家带来了丰厚的利润, 广告中蕴藏着诸多学问.以房产销售广告为例, 房产开发商为了扩大销售, 提高销售量, 通常会印制精美的广告分发给大家.虽然买房人的买房行为是随机的, 他可能买房, 也可能暂时不买, 可能买这家开发商的房子, 也可能买另一家开发商的房子, 但与各开发商的广告投入有一定的关联.一般地, 随着广告费用的增加, 潜在的购买量会增加, 但市场的购买力是有一定限度的.表3.1给出了某开发商以往9次广告投入及预测的潜在购买力.

表3.1 广告投入与潜在购买力统计( 单位: 百万元)

广告投入0.2 0.4 0.5 0.52 0.56 0.65 0.67 0.69 1

购买力10340 10580 10670 10690 10720 10780 10800 10810 10950

下面从数学角度, 通过合理的假设为开发商制定合理的广告策略, 并给出单位面积成本700元, 售价为4000元条件下的广告方案.

模型假设

(1) 假设单位面积成本为1p 元, 售价为2p 元, 忽略其他费用, 需求量r 是随机变量, 其概率密度为()p r .

(2) 假设广告投入为p 百万元, 潜在购买力是p 的函数记作()s p ,实际供应量为y .

模型建立

开发商制定策略的好坏主要由利润来确定, 好的策略应该获得好的利润(平均意义下), 为此, 必须计算平均销售量()E x .

0()()()y y E x rp r dr yp r dr +∞=+∫∫

上面右边第二项表示当需求量大于等于供应量时, 取需

求量等于供应量.

因此, 利润函数为

21()()R y p E x p y p =??

利用0()1p r dr +∞

=∫得到

2120()()()()y

R y p p y p p y r p r dr =????∫ ( 3.1)

上式中, 第一项表示已售房毛利润, 第二项为广告成本, 第三项为未售出房的损失.

模型求解

为了获得最大利润, 只需对(3.1)式求导并令其为零, 设()R y 获得最大值时y 的最优值为*y , 则

2120()()()0y dR y p p p p r dr dy

=??=∫

因此, *y 满足关系式

*2102

()y p p p r dr p ?=

∫ ( 3.2) 通过(3.2)式知道, 在广告投入一定的情况下, 可以求出最优的供应量, 但依赖于需求量的概率分布.为使问题更加明确, 增加如下假设:

(3) 假设需求量r 服从[0,()]U s p 分布, 即

10()()

()0r s p s p p r ?≤≤?=???其他 (3.3) 将(3.3)代人(3.2)得到

212

*()p p y s p p ?= ( 3.4) 即最优的供应量等于毛利率与由广告费确定的潜在购买力

的乘积.将( 3.4)式代入( 3.1)式, 得到最大利润为

2

212

()(*)()2p p R y s p p p ?=? ( 3.5) 对(3.5)式关于p 求导, 得驻点*p 满足的方程为

22

212'(*)()p s p p p =? ( 3.6) 因此, 只要知道了潜在购买力函数, 就可以给出最优的广告投入.

下面根据开发商获得的相关数据, 来确定潜在购买力函数. 通过对表3.1数据分析, 得知其符合log istic 型曲线增长率, 经拟合得到

52()10/(9)p s p e ?=+ ( 3.7)

记

52221210()

p l p p ?=×? 将(3.7)式代入(3.6)式, 当1180l ?>时, 求得

*11ln(19ln 22

p l l =???+ (3.8) 将120.0007,0.004p p ==代入(3.8)式得到*0.49p =(百万元).

§4 报童的策略

背景简介

报童问题即单周期库存问题(Single-Period Problem), 是供应链管理中最重要的模型之一, 其历史可以追溯到1888年著名经济学家Edgeworth 应用它解决银行的现金流(cash-flow)问题, 1955年, Whitin 首次建立了受价格影响的报童问题模型. 目前, 报童问题在生产、服务、管理和金融等领域成功地取得了广泛的应用. 现在报童问题衍生出许多扩展问题.

与众多扩展模型相比, 经典报童问题模型是最简单最基本的问题, 它可以描述为: 报童每天早晨以单位批发价b 从报社买进报纸, 然后以单位零售价a 出售, 晚上将没有卖掉的报纸当作废品以价格c (c b a >>)处理掉. 同时假设:

(1) 报童拥有购买足够多报纸的资金;

(2) 报纸过剩只能以低于零售价的价格v 处理;

(3) 报纸供应不足, 会遭受缺货惩罚;

(4) 不计其他费用(如交通费、摊位费等).

报童应该如何确定订购量而获得最高的利润呢? 显然, 报童应该根据市场需求量来确定订购量, 而市场需求量是随机的. 假设报童通过经验已经掌握了市场需求量的随机规律, 我们就可以建立随机优化模型来求解报童问题了.

报童每天清晨从报社购进报纸零售, 晚上将没有买掉的报纸退回. 每份报纸的购进价为元b, 零售价为a元, 退回价

a?元, 退回一份报纸赔为c元,. 报童售出一份报纸赚b

c

b?元. 报童每天如果购进的报纸太少, 不够卖时会少赚钱, 如果购进的报纸太多, 卖不完时会赔钱. 试为报童筹划每天应如何确定购进的报纸数使得收益最大?

模型一

问题分析

报童应该根据需求量确定购进量, 而需求量是随机的,

所以这是一个风险决策问题. 假定报童已经通过自己每天的卖报经验或其它渠道掌握了需求量的分布规律, 需求量r 为一连续型随机变量, 密度函数为)(r f ,假设每天的购进量为n , 由于需求量r 是随机的, 可以小于n 、等于n 或大于n , 这就导致报童每天的收入也是随机的, 所以作为优化模型的目标函数, 不能是报童每天的收入函数, 而应该是他长期卖报的日平均收入. 从概率论大数定律的观点看这相当于报童每天收入的期望值, 以下简称它为平均利润.

模型建立

显然, 若n r >, 则以a 价售出r 份报纸, 以c 价售出n r ?份报纸, 若n r ≤, 则全部n 以a 价售出, 故平均利润为 0()[()()()]()n F n a b r b c n r f r dr =????∫()()n a b nf r dr +∞

+?∫ 0()()()()n

a b n a c n r f r dr =????∫

0()()()()n dF n a b a c f r dr dn

=???∫ 由一元函数极值存在的必要条件可知()0dF n dn

=, 得 0()n a b f r dr a c

?=?∫ 而22()()()0d F n a c f n dn

=??<. 从而知满足上式的n 可以使平均利润达到最大. 易知上式等价于

()()n n

f r dr a b b c

f r dr +∞?=?∫

∫ 上式左边是报童订购n 份报纸时, 不能将它卖完的概率

与能将它卖完的概率之比, 右边则表示卖出一份报纸的盈利

与退回一份报纸亏损之比, 该式表明最优购进量是使这两个