《随机信号分析》2011试题

《随机信号分析》试题

1.考试形式：闭卷；

2.考试日期：2011年11月23日；

3.本试卷共8大题，满分100分。

一．填空与简答题（共30分，每小题3分）

1．设()X t 为平稳过程，其自相关函数是以T 为周期的函数，即()()ττ+=X X R T R ，则有2{[()()]}-+=E X t X t T 。

2．已知{} ,2,1,=n X n 为仅取0或1的齐次马氏链，且{}6.0011===-N N X X P ，{}3.0111===-N N X X P ，则{}100N N P X X -=== ，{}=====00,1,11432X X X X P 。

3．设随机过程()X t 的数学期望为2[()]35E X t t =+，则随机过程2()()dX t Y t t t dt =+的数学期望为 。

4．某电话交换台在时间[0,]t 上受理的呼叫次数()X t 是泊松过程，其平均呼叫次数2λ=次/分钟，则在5分钟内电话呼叫次数为3次的概率为 ；泊松增量过程()()()X t t X t Y t t

+?-=?的均值为 。 5．若输入信号()X t 是正态的，具有零均值的随机过程，其自相关函数为)(τX R ，经过某系统后，输出信号为2()()Y t bX t a =+，其中a 、b 为常数，则输出随机过程()Y t 的自相关函数()Y R τ= 。

6．线性系统输入为高斯过程，输出也是高斯过程。若输入为非高斯过程，在什么条件下，系统的输出近似为高斯过程？

7．一个均值具有遍历性的随机过程()X t 通过RC 低通滤波器的输出信号为()Y t ，问()Y t 的均值是否具有遍历性，并说明理由。

8．说明齐次马氏链平稳性的物理意义。试问平稳的马氏链一定是遍历的吗？

9．判断图1中的两条函数曲线是否为平稳过程的正确的自相关函数曲线，并说明理由。

()a ()b

图1

10．简述随机过程的定义。用什么来完整描述随机过程的统计特性？

二．计算题（共70分，第1小题10分，其余五个小题各12分）

1．已知随机过程()2sin X t V t =，其中V 是均值为3，方差为1的随机变量，求随机过程20

1()()Y t X d t πλλ=?的均值、相关函数、协方差函数和方差。 2．输入宽平稳随机信号()X t 的功率谱密度为0()/2X S N ω=，系统传输函数为5()5H j ωω

=+，当系统处于稳定状态时： （1）求输出随机信号()Y t 的功率谱密度)(ωY S 以及输入和输出间的互谱密度)(ωXY S ；

（2）求输出随机信号()Y t 的自相关函数()Y R τ和互相关函数()XY R τ；

（3）计算系统的等效噪声带宽和系统输出的平均功率。

3．随机过程00()cos(2),X t X a t ωφ=++其中0,a ω是实常数，0X 为[0,1]上均匀分布的随机变量，φ为(0,)π上均匀分布的随机变量，并且0X 与φ相互独立。

（1）判断()X t 的平稳性；

（2）求()X t 的时间均值，并判断()X t 的均值是否具有遍历性。

4．设随机过程为0()()j t X t Ae ωθ+=

，其中，0ω为实常数，A 与θ为实随机变量且彼

此独立。假定A 的均方值为5，θ在[,]ππ-上均匀分布。求()X t 的均值和自相关函数，并判断其平稳性。

5．设齐次马氏链的状态空间{0,1,2,3}E =，其一步转移概率矩阵为 00.50.500010000101

00??????=??????P （1）画出该马氏链的状态转移图；

（2）对该链的状态按照常返/非常返、周期/非周期、是否遍历进行分类；

（3）求00(1)f 、11(3)f 以及状态0和1的平均返回时间0u 和1u 。（提示：()1i ii

n u nf n ∞

==∑）

6．设零均值窄带实平稳随机过程00()()cos ()sin X t a t t b t t ωω=-的功率谱密度

()X S ω关于中心频率0ω对称，其中，00?()()cos ()sin a t X t t X t t ωω=+，00

?()()sin ()cos b t X t t X t t ωω=-+。 （1）已知()τX R ，求()a t 和()b t 的自相关函数()τa R 和()τb R ；

（2）证明()X t 的自相关函数0()()cos X a R R ττωτ=。（提示：若()X S ω关于中心频率

0ω对称，则()0ω=ab S 。）