本科高数下复习题

《高等数学(下)》期末复习题 第八章 向量空间与解析几何

1.方程22y x z +=，12222=+y x ，222z x y =+，10x y z +-+=在空间内分别表示什么面？

2．在yoz 面上的曲线()0,:=z y f C 绕y 轴旋转一周所得的旋转曲面的方程为？ 3. 设,αβ为两个三维向量，则下列等式中正确的是( ). A ． 2||ααα= B ．2()αββαβ??=-

C ．αββα

?=? D ． =αββα??

5.已知向量k j i a

++=22，求||a =_____；a 的方向余弦 6．与向量α=(1,2,3)同向的单位向量是 7．设向量{},1,5αλ=，{}2,10,50β=且//αβ，

则=λ ；若αβ⊥，则=λ____ 8.求曲线222

222

2+6

x y z x y z ?+=??-+=?? 在xoy 平面上的投影曲线方程，并画出投影曲线图形.

第九章 多元函数微分学

1. 叙述二元函数在一点处连续，偏导数存在与可微分之间的关系.

2. 二重极限

(,)(20)sin()

lim

x y xy y →=， ；(,)(0,0)lim

x y →= 22

(,)(0,1)1lim x y xy

x y →-=+ ； 22(,)(0,1)1lim

x y xy

x y →-+=

3．已知函数22(,)tan ,(,)x

f x y x y xy f tx ty y

=+-=则

4．函数(,)f x y =的定义域为 .

5．函数xy z e =在点(2,1)处的全微分dz = . 6．设二元函数22,z x y y =+则它的全微分dz = .

7．曲线22:44x y z y ?+=

?Γ??=?

在点(2,4,5)x α=处的切线对于轴的倾角

8．函数221

(,)()2

f x y x y =+在点0(1,1)P 增加最快的方向l = ( )

A ． (1,1)

B ．(1,1)-

C ． (1,1)--

D ． (1,1)-

9. 设与l

同方向的单位向量为，那么函数2y z xe =在点(1,0)P 处沿l 方向的方向导数

(1,0)

z

l ?=? 10．设空间曲线Γ的向量方程为22()(1,43,26)r f t t t t t ==+--,t R ∈,则Γ在与

02t =相应的点处的单位切向量为 11．设(,)z f x y =在点00(,)x y 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数， 又00(,)0,x f x y =，00(,)0y f x y =， 令 00(,),xx f x y A = 00(,),xy f x y B =

00(,)yy f x y C =，则 ( ) .

A ．()20000,AC

B A f x y ->>且时是极大值 B ．()20000,A

C B A f x y -><且时是极大值 C ．()20000,AC B A f x y -<<且时是极大值

D ．()20000,AC B A f x y -<>且时是极大值

12.(,)z f x y =的两个二阶混合偏导数22z z

x y y x ??????及

在区域D 内连续是这两个二阶混合偏导数在D 内相等的 ( ) .

A ．充分条件

B ．必要条件

C ．充要条件

D ．既不充分又不必要条件 13. 设cos sin()x z e y x y =++，计算 z z x y ??-??． 14. 设arctan z xy =，其中x y e =，求

dz dx

．

15.设23,sin ,x y z e x t y t -===，求dz dt .

16.设22,,z u v u x y v x y =+=+=-而，求dz .

17.设(,),z f x y xy =+其中f 具有二阶连续偏导数，求2.z

x y ???

18.设()2

,2z f xy x y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求222,z z

x x y

?????

19．设y

xe u y x u f z ==),,,(，其中f 具有连续的二阶偏导数，求y

x z

???2.

20. 设),(y x z z =是由方程ln x z z y =确定的隐函数，求z x ??及z

y

?? .

21.(1)求曲线 21,,1t t

x y z t t t

+=

==+在1t =对应的点处的切线及法平面方程． (2)求曲线 23,,x t y t z t ===在点(1,1,1)处的切线及法平面方程． （3）求球面 22214x y z ++=在点（1,2,3）处的切平面及法线方程．

22. 设方程组 222323540

x y z x x y z ?++=?-+-=?确定隐函数组(),()y y x z z x ==，求,dy dz

dx dx ．

23．设222

01

x y z x y z ++=??++=?，求dx dy

dz dz 、. 24. 要建造一个容积为定数A 的长方体无盖水池，已知底面的单位面积造价是侧面单位面积造价的两倍，问应如何设计水池的尺寸，方可使它的造价最小． 25.求内接于半径为R 的球且有最大体积的长方体的边长设计方案．(利用拉格朗日乘数法)

26.某厂要用铁板造一个体积为 2 3m 的无盖长方体水池，应如何设计水池的尺寸，方可使用料最省？

27.某工厂要用铁板造一个体积为8 3m 的有盖长方体水箱，应如何设计水箱的 尺寸，方可使用料最省？

第十章 重积分 1．设=(1)D

I x y d

σ++??，

其中(){},01,12D x y x y =≤≤≤≤，则I 的取值范围为 ( ) A ． 26I ≤≤

B ． 12I ≤≤

C ．28I ≤≤

D ．24I ≤≤

2．比较二重积分的大小：212ln(),(ln())D

D

I x y d I x y d σσ=+=+????，其中

{(,)|35,01}D x y x y =≤≤≤≤，下列说法正确的是( )

12A. I I ≥ B. 12I I ≤ C. 12I I = D. 无法确定 3.设()f x 为连续函数，1

()()t

t

y

F t dy f x dx =??，则(2)F '= ( )

A ．2(2)f

B ．(2)f

C ．(2)f -

D ． 0 4．

将二次积分10

1

10

(,)(,)y I dy f x y dx dy f x y dx +-=+??

??

交换次序得( )

. A

．1

11(,)x I dx f x y dy -+=??

B

．1

1

1(,)x I dx f x y dy --=??

C

．1

01

(,)x I dx f x y dy +=?? D

．1

1

(,)x I dx f x y dy -=??

5

．二次积分2220

)a I dx x y dy =+?

?

化为极坐标的形式是( ) .

A ．2cos 3

20

a d d π

θθρρ??

B ．

2cos 320

2

a d d π

θπ

θρρ-

??

C ．2cos 20

a d d π

θθρρ??

D ．

2cos 220

2

a d d π

θπ

θρρ-

?

?

6

．把积分220

)a

I dy x y dx =+?化为极坐标形式，正确的是( ) .

A ．2

20

0a

I d d π

θρρ=?? B ．320

a

I d d π

θρρ=??

C ．20

a

I d d πθρρ=?? D ．30

a

I d d πθρρ=??

7．求____,2=??D

dxdy 其中积分区域D 是由x 轴，y 轴与直线1=+y x 所围成.

8．设区域{}

(,)1,1D x y x y =≤≤，则二重积分22D

x y dxdy =?? .

9．在直角坐标系下改换二重积分的积分次序：2220

(,)y

y

dy f x y dx =?? .

10.

计算二重积分D

σ??，其中D

是由两条抛物线y =2y x = 所围成的

平面闭区域。 11. 利用极坐标求arctan

,D

y

d x

σ??其中D 是由圆周224x y +=, 221x y +=及直线0,y y x ==所围成的在第一象限内的闭区域.

12.计算二重积分()

2sin D

xy x y d σ+??，其中D 是顶点为()()()

1,1,1,1,1,1A B C ---的三角形有解闭区域 .

13.利用二重积分计算由四个平面0,0,1,1x y x y ====所围成的柱体被平面

0z =和236x y z ++=截得的立体的体积.

14.求曲面片()22,03z x y z =+≤≤的面积.

15.设一平面薄片占区域(){}22,|2D x y x y x =+≤，其上点(),x y 处的密

度

ρ=.

16．设{(,,)01,01,01},x y z x y z xyzdxdydz Ω

Ω=≤≤≤≤≤≤=???则

17. 计算三重积分???Ω

xyzdxdydz ，其中Ω为球面1222=++z y x 及三个坐标面所

围成的在第一卦限内的闭区域．

18.计算三重积分xdxdydz Ω

???，其中Ω为三个坐标面及平面21x y z ++=

所围成的有界闭区域 .

19.计算三重积分,zdxdydz Ω

???其中Ω：

（1）是由曲面22z x y =+4z =与平面所围成的有界闭区域； （2）是由曲面222z x y =+4,4z z =-=与平面所围成的有界闭区域. （3）是由曲面224x y +=0,4z z ==与平面所围成的有界闭区域. 20.计算三重积分,xzdxdydz Ω

??? 其中Ω：

（1）是由平面0,,1z z y y === 以及抛物柱面2y x =所 围成的闭区域； （2）是由平面0,,1z z y y === 以及抛物柱面2z x =所 围成的闭区域．

20.计算三重积分()

222x y z dv Ω

++??? 其中Ω：

（1）是由曲面z = 与平面2z = 围成的有界闭区域；

（2）是由平面0z = 与上半球面z =

（3）是由曲面z = 与曲面z =围成的有界闭区域 .

第十一章 曲线积分与曲面积分

1.计算曲线积分?，其中Γ是抛物线2y x =上点O(0,0)到点 B(1,1)之间的

一段弧．

2. 计算曲线积分()L x y ds +?，其中L 为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段。

3. 计算曲线积分?L

xds ，其中L 为由直线y x =及抛物线2y x =所围成的区域的

整个边界．

4.计算曲线积分zds Γ

?，其中Γ为曲线 0cos ,sin ,,(0)x t t y t t z t t t ===≤≤.

5．（1）设L 为xoy 面内直线y b =上的一段，则(,)L

Q x y dy =? .

（2）设L 为从点A(a,0)沿x 轴到点B(-a,0)的直线段，则2L

y dx =? ；

则2L

x dy =? ；()sin cos L

xydx x y dx ++=?

6．(1)利用格林公式计算曲线积分22(24)(56)L

x y dx y x dy -+++-?,其中L 是

由直线y x =及抛物线2y x =围成的有界闭区域D 的正向边界.

(2)利用格林公式计算曲线积分22(2)(2)L

xy x dx x y dy -++?，其中L 是由直线

0x =，1y =和抛物线2y x =所围成的有界闭区域D 的正向边界曲线.

7.计算曲线积分22(2)(2)L

xy x dx x y dy -++?，其中L 是抛物线22y x =上从点

()1,2A 到点()0,0O 的一段有向弧 .

8．设L 是闭区域D 的正向边界，已知D 的面积为

1

2

，则L xdy ydx -?= .

9．下面的曲线积分与路径无关的是( )

A ．22(1)L

y dx x dy +-? B ．22(2)(2)L

x xy dx y xy dy -+-?

C ．22L

xydx x dy +? D ．L

ydx xdy -?

10. 证明：(2)(2)x y dx x y dy +++在整个xOy 平面上是某个二元函数(,)u x y 的全微分，并求出(,)u x y ．

11. 证明：22(2cos cos )(2sin sin )x y y x dx y x x y dy ++-在整个xOy 平面上是某一二元函数(,)u x y 的全微分，并求出(,)u x y ．

12. 证明：22

xdx ydy

x y

++在整个xOy 平面上除去y 轴的负半轴及原点的区域G 内是某个二元函数的全微分，并求出一个这样的二元函数． 13．计算曲面积分zdS ∑

??,其中∑为：

（1）平面221x y z ++=被三个坐标平面截下的有限部分； （2）球面2221x y z ++=在第一卦限中的部分.

14．计算曲面积分xdydz ydzdx zdxdy ∑

++??,其中∑为平面221x y z ++=被三个

坐标平面截下的有限部分的上侧.

15．计算曲面积分xdydz zdxdy ∑

+??,其中∑为曲面22z x y =+界于平面0z =与1z =

部分的下侧.

16．用高斯公式计算曲面积分333x dydz y dzdx z dxdy ∑

++??，其中∑为：

（1）曲面z = 与平面2z = 围成的有界闭区域Ω的整个边界 曲面的外侧；

（2）由曲面z = 与曲面z =围成的有界闭区域Ω的 整个边界曲面的外侧. .

第十二章 无穷级数

1．极限1lim 0n n n n u u ∞

→∞

==∑是级数收敛的（ ）.

A ．充分条件

B ．充分必要条件

C ．必要条件

D ．既不充分又不必要条件

2. 下列级数中收敛的是（ ）

A ．112n n n ∞

=??+ ???∑ B ．11sin n n ∞=∑ C ．11n n n n ∞=+?? ???∑ D ．134n

n ∞

=??

???

∑

3. 判定下列级数的敛散性

134n

n n ∞

=?? ???

∑； 1

!

10n n n ∞

=∑； 2

1

3n n n ∞

=∑； 11

t a n 2n n n π

∞

+=∑

4. 判定下列级数收敛还是发散，收敛时是绝对收敛还是条件收敛 （1）()

1

1

113n n n n ∞

--=-∑ ； （2）()2

11ln n n n ∞

=-∑ 5．幂级数1

1

(1)

n

n n x n

∞

-=-∑的收敛半径是 ；收敛域是 ； 和函数是 .