2016湖南高尔夫旅游职业学院单招数学模拟试题(附答案解析)

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一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合{}

2|560A x x x =--<，{}|2B x x =<，则()R A C B ?=（ ） A ．()1,2- B ．[)1,2- C ．()2,6 D ．[)2,6

2. 已知回归直线的斜率的估计值是1.2，样本点的中心为()4,5，则回归直线方程是（ ）

A ． 1.24y x ∧

=+ B ． 1.25y x ∧

=+ C ． 1.20.2y x ∧

=+ D ．0.95 1.2y x ∧

=+

3．已知向量()1,2a = ，(),2b x =-

，且()

a a

b ⊥- ，则实数x 等于（ ）

A ．4-

B ．4

C ．0

D ．9

4．已知数列{}n a 的前n 项和()221n S n n t =-+-，则“1t =”是“数列{}n a 为等差数列”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

5．某空间组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为（ ） A ．48 B ．56 C ．64 D ．72

6．在如图所示的程序框图中，若输出4

9

S

=，则判断框

内实数p 的取值范围是（ ）

第5题图

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A ．(]17,18

B ．()17,18

C ．(]16,17

D ．()16,17

7．已知函数()sin()32

m

f x x π

=+-在[]0,π上有两个零点，则实数m 的取值范围为

（ ）

A

．2???? B

．) C

．

?? D

．??

8．过双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线

的两条渐近线的交点分别为,B C ，若,,A B C 三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离

心率为（ ）

A

9．已知(2,1)A ，(1,2)B -，31,55C ??

- ???

，动点(,)P a b 满足02OP OA ≤?≤ 且

02OP OB ≤?≤ ，则点P 到点C 的距离大于1

4

的概率为（ ）

A ．5164π-

B ．564π

C ．116π-

D ．16

π 10．设函数2()21ln f x x x a x =-++有两个极值点12,x x ，且12x x <，则（ ） A ．212ln 2()4f x +< B ．212ln 2

()4

f x -< C ．212ln 2()4f x +>

D ．212ln 2

()4

f x -> 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上

.

第6题图

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11．在复平面内，复数

103i

i

-对应的点的坐标为___________． 12．统计某学校高三年级某班40名学生的数学期末考试成绩，分数均在40至100之间，得到的频率分布直方图如图所示．则图中a 的值为___________．

13．若存在x R ∈，使13x a x -+-≤成立，则实数a 的取值范围是___________． 14．已知()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，

12

()log (1)f x x =-，则2011

()4

f -

=___________． 15.已知圆的方程为22680x y x y +--=，设该圆过点()3,5的最长弦和最短弦分别为

AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为___________．

16.钝角三角形的三边长分别为,1,2a a a ++，其最大角不超过120 ，则a 的取值范围是___________．

17．如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点（算．第．1．层．），第2层每边有两个点，第3层每边有三个点，依次类推．

（1） 试问第n 层()

2n N n *∈≥且的点数为___________个；

（2） 如果一个六边形点阵共有169个点，那么它一共有___________层．

三、解答解：本大题共5个小题，共65分．解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤.

18．设函数()f x m n =?

，其中向量()2cos ,1m x =

，()

cos 2n x x = ，x R ∈．

（1）求()f x 的单调递增区间；

（2）在ABC ?中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知()2,1f A b ==，ABC ?的面

积为2

，求c 的值．

第12题

第17题

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19.设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且34a =，23S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若22222

2

log log n n n b a a +=

?，令数列{}n b 的前n 项和为n T ．证明：1n T <．

20．已知在梯形ABCD 中，//AB CD ，6,3AB CD ==，E 为AB 的中点，F 为CD 上靠近点D 的三等分点，且EF AB ⊥，2EF =，现将梯形沿着EF 翻折，使得平面BCFE ⊥

平面AEFD ，连接BD 、BA 和CD ，如图所示

（1） 求三棱锥E ABD -的体积；

（2） 在BD 上是否存在一点P ，使得//CP 平面AEFD ？如果存在，求DP 的长；

如果不存在，请说明理由．

第20题

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21．已知函数()1

a

x x ?=

+，a 为常数． （1）若()ln ()f x x x ?=+，且9

2

a =，求函数()f x 的单调区间；

（2）若()ln ()g x x x ?=+，且对任意12,x x (]0,2∈，12x x ≠，都有

2121

()()

1g x g x x x -<--，

求a 的取值范围．

22．如图，椭圆22

122:1(0)

x y C a b a b

+=>>的离心率为

3

，x 轴被曲线22:C y x b =-截得的线段长等于1C 的长半轴长. （1）求，的方程；

1C 2C

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（2）设与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与相交于点A,B,直线MA,MB 分别与相交与D,E ． （i ）证明：MA MB ⊥；

(ii)记△MAB,△MDE 的面积分别是12,S S .问：是否存在直线l ,使得=?请说明理由．

参考答案

一、选择题 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案

D

C

D

C

C

C

B

C

A

D

二、填空题

11．()1,3- 12．0.03 13．[]2,4- 14．2 15

．．3,32

?????

?

17．(1)()61n - (2)8

1．()1,6A =-，()2,2B =-，(][),22,R C B =-∞-?+∞，则()[)2,6R A C B ?= 2．样本点的中心一定在回归直线上

3．()1,4a b x -=-

，由()

a a

b ⊥- 得180x -+=，解得：9x =

4．两个条件互为充要条件 5．14624564V =??+??= 6．()()()111111233411222

n S n n n n n =

++???++=-??++++，令49n S =得16n =

所以实数p 的取值范围是(]16,17

2C 2C 1C 21S S 32

17第22题

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7．令()0f x =得2sin()3

m x π

=+

，即2sin()3

y x π

=+

与直线y m =的图像在[]0,π上

有两个交点，数形结合可知m

的取值范围是)

8．直线方程为y x a =-+，由y x a b y x a =-+???=??解得2C

a x a

b =+，由y x a

b y x a =-+???=-??

解得2

B a x a b =-

由题意可知：2

22a a a a b a b ??=? ?

-+??

即()2

()a a b a b +=-得3b a =

，所以c e a ===9．动点(,)P a b 满足的不等式组为022

022

a b a b ≤+≤??

≤-≤?，画出可行域可知P 的运动区域为以

31,55C ??

- ???

为中心且边长为

5的正方形，而点P 到点C 的距离小于或等于14的区域是以31,55C ??

- ???

为圆心且半径为14

的圆以及圆的内部，所以

2

2

2

145164P ππ??- ?????==-??

10．()f x 的定义域为()0,+∞，求导得2'

22()x x a

f x x

-+=，因为()f x 有两个极值点12,x x ，

所以12,x x 是方程2220x x a -+=的两根，又12x x <，且121x x +=，所以21

12

x <<

又2

2222a x x =-，所以()()()2

222222122ln f x x x x x =-+-，

令()()2

2()122ln g t t t t t =-+-112t ??

<< ???

，()()'212ln 0g t t t =->

所以()g t 在1,12

??

???上为增函数，所以()112ln 2

24g t g -??>=

???

，所以2122()4ln f x ->

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11．()1031010301331010

i i i i

i i +-+===-+-，所以该复数对应点的坐标为()1,3- 12．由()0.0050.0120.020.025101a +?+++?=解得0.03a = 13．只需()min 13x a x -+-≤成立即可，而11x a x a -+-≥- 所以13a -≤即313a -≤-≤解得24a -≤≤ 14．1220112011201131502log 244444

f f f f ????

????

-

==-=== ? ? ? ?????

???? 15．圆的标准方程为()()2

2

3425x y -+-=，过点()3,5的最长弦为过圆心的直径

10AC =，最短弦为与圆心()3,4和点()3,5

连线垂直的弦，

BD ===AC BD ⊥

，所以1

=

2

S AC BD ?=16．由题意可得()()()22

2121210221a a a a a a a a ++>+??++-+?-≤

解得332a ≤<

17．观察图形，可以看出，第一层是1个点，其余各层的点数都是6的倍数且倍数比

层数少1，所以：（1）第n 层的点数为()61(2)n n -≥；

（2）n 层六边形点阵的总点数为()16121n +?++???+-=()131n n +-

令()131169n n +-=解得7n =-（舍去）或8n = 所以8n = 三、解答题 18．解：

（1

）2()2cos 2f x x x =

=cos221x x +=2sin 26x π?

?

+

??

?

+12?????????分

令-

222,2

6

2

k x k k Z π

π

π

ππ+≤+

≤

+∈4??????????????????分

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解得-

2,3

6

6

k x k k Z π

π

π

ππ+≤+

≤

+∈

故()f x 的单调递增区间为()-,36k k k Z ππππ??

++∈????

6??????????????????分

注：若没写k Z ∈，扣一分

（2）由()2sin 2126f A A π?

?

=++= ??

?得1sin 262A π?

?+= ??

?7?????????分

而()0,A π∈，所以132,666

A π

ππ??

+

∈ ???

，所以5266A ππ+=得3A π=10?????????分

又1

sin 2ABC S bc A ?=

，所以22sin ABC S c b A

?===12??????????????????分

19．解：

（1）由题意可得211143

a q a a q ?=?+=?解得11

2a q =??

=?4??????????????????分 所以12n n a -=6??????????????????分 （2）()()

2121

22222222228log log log 2log 22121n n n n n b a a n n -++=

==????????-+分 =

11

2121

n n --+10?????????分 所以1111113352121n T n n =-+-+???+--+=1

121

n -+11?????????分 因为1

021

n >+，所以1n T <12??????????????????分

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20.

21．解：（1） 222

1(2)1

'()(1)(1)a x a x f x x x x x +-+=-=++， -------------------------------------2分

∵92a =

，令'()0f x >，得2x >，或1

2

x <，------------------------------------3分

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∴函数()f x 的单调增区间为1(0,)2

， (2,)+∞． -----------------------------4分

单调减区间为1,22?? ???

-----------------------------5分 注：两个单调增区间，错一个扣1分，错两个扣2分

（2）∵

2121()()1g x g x x x -<--，∴2121

()()

10g x g x x x -+<-，

∴

221121

()[()]

0g x x g x x x x +-+<-，--------------------------------------------------7分

设()()h x g x x =+，依题意，()h x 在(]0,2上是减函数．--------------------------8

分

当12x ≤≤时， ()ln 1a

h x x x x =+

++，2

1'()1(1)a h x x x =-++， 令'()0h x ≤，得：222(1)1

(1)33x a x x x x x

+≥++=+++对[1,2]x ∈恒成立， 设21()33m x x x x =++

+，则21'()23m x x x

=+-， ∵12x ≤≤，∴21

'()230m x x x

=+-

>， ∴()m x 在[1,2]上是增函数，则当2x =时，()m x 有最大值为272

， ∴27

2

a ≥

．------------------------------------------------------------------------------------11分

当01x <<时， ()ln 1a

h x x x x =-+

++，2

1'()1(1)

a h x x x =--++， 令'()0h x ≤，得： 222(1)1

(1)1x a x x x x x

+≥-++=+--，

设21()1t x x x x =+-

-，则21

'()210t x x x

=++>，

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∴()t x 在(0,1)上是增函数，∴()(1)0t x t <=，

∴0a ≥------------------------------------------------------------------------------------13分 综上所述，27

2

a ≥

------------------------------------------------------------14分 22．解：（1

）由题意知c e a =

=，从而2a b =

，又a =，解得2,1a b ==。 故1C ，2C 的方程分别为2

221,14

x y y x +==--------------------------4分 （2）（i ）由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y kx =.

由2

1

y kx

y x =??

=-?得210x kx --=，

设1122(,),(,)A x y B x y ，则12,x x 是上述方程的两个实根， 于是1212,1x x k x x +==--------------------------5分 又点M 的坐标为(0,1)-，所以

12121212

11(1)(1)

MA MB y y kx kx k k x x x x ++++?=

?= 222121212()11

11

k x x k x x k k x x +++-++===---------------------------8分

故MA MB ⊥，得证

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（ii ）设直线的斜率为1k ，则直线的方程为11y k x =-，由12

11

y k x y x =-??=-?解得0

1x y =??=-?或1

2

11

x k y k =??=-?，则点A 的坐标为2

11(,1)k k - 又直线MB 的斜率为11k -

，同理可得点B 的坐标为211

11

(,1)k k --.

于是211111111||||||||.22||

k S MA MB k k k +=?=-=----------------------9

分

由122

1440

y k x x y =-??+-=?得22

11(14)80k x k x +-=， 解得01x y =??=-?或12

1

2

12181441

14k x k k y k ?=?+??-?=?+?，则点D 的坐标为2112211841(,)1414k k k k -++； 又直线的斜率为11

k -，同理可得点E 的坐标21122

11

84(,)44k k k k --++ 于是211222

1132(1)||1

||||2(14)(4)

k k S MD ME k k +?=?=++----------------------11分 因此

211221

11

(417)64S k S k =++---------------------12分 由题意知，

21211117

(417)6432

k k ++=

解得214k = 或2114k =。----------------------13分

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又由点,A B 的坐标可知，212111

11

111k k k k k k k -

=

=-+

，所以3

.2k =± 故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为32y x =和3

2

y x =-。-------------14分