北京市石景山区2019届高三第一学期期末数学(理科)试题及答案
石景山区2018—2019学年第一学期高三期末试卷
数 学（理）
本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合{|0}P x x =∈R ≥，{1,0,1,2}Q =-，则P Q ＝
A. {1,2}
B. {0,2}
C. {0,1}
D. {0,1,2}
2. 设i 是虚数单位，复数2i
1i
z =-，则z 的共轭复数为 A. 1+i -
B. 1i +
C. 1i --
D. 1i -
3. 阅读右边的程序框图，运行相应的程
序，则输出n 的值为 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4. 下列函数中为偶函数的是 A. ln(1)ln(1)y x x =+-- B. ln(1)ln(1)y x x =++- C. cos y x x =
D. cos y x x =+ 5. 某四面体的三视图如图所示，该四面
体的体积为
A. B.
C.
1
n n =+
D.
6.
已知平面向量131
(,,(,)22
a b =-=-，则下列关系正确的是
A. ()a b b +⊥
B. ()a b a +⊥
C. ()()a b a b +⊥-
D. ()()a b a b +-∥
7. 在ABC △中，7,
3,60a c A ==∠=?
，则ABC △的面积为
A.
B.
C. D. 8.
已知函数()21,0,
log ,0,
ax x f x x x +?=?>?≤则下列关于函数()()1y f f x =+的零点个数
的判断正确的是
A. 当0a >时，有4个零点；当0a <时，有1个零点
B. 当0a >时，有3个零点；当0a <时，有2个零点
C. 无论a 为何值，均有2个零点
D. 无论a 为何值，均有4个零点
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9. 在5(12)x +的展开式中，3x 的系数为____________．
（用数字作答） 10. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，133,18a S ==，则其通项公式n a =______ ． 11. 若变量,x y 满足约束条件12x y x +≤≤，则2z x y =+的最小值等于
______． 12. 写出“1
2x x
+
-≤”的一个充分不必要条件__________________． 13. 已知双曲线中心在原点，一个焦点为1(F ，点P 在双曲线上，且线段 1PF 的中点坐标为(0,2)，则双曲线的离心率为__________．
14. 2018年个税改革方案中专项附加扣除等内容将于2019年全面施行．不过，为了
让老百姓尽早享受到减税红利，自2018年10月至2018年12月，先将工资所得税起征额由3500元/月提高至5000元/月，并按新的税率表（见附录）计算纳税．
按照税法规定，小王2018年9月和10月税款计算情况分别如下:
（相关计算公式为：应纳税额=纳税所得额–起征额，
税款=应纳税额?适用税率–速算扣除数，
税后工资=纳税所得额–税款 ）
（1）某职工甲2018年9月应纳税额为2000元，那么他9月份的税款为___元； （2）某职工乙2018年10月税后工资为14660元，则他享受减税红利为____元．
附录：
原税率表（执行至2018年9月） 新税率表（2018年10月起执行）
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15. （本小题13分）
函数()sin()(0,0,||)2
f x A x A π
=+>><ω?ω?的部分图象如图所示. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及解析式；
（Ⅱ）设()()cos g x f x x =-，求函数()g x 在区间[0,]2
π上的最小值.
16. （本小题13分）
2018年9月，某校高一年级新入学有360名学生，其中200名男生，160名女生．学校计划为家远的
高一新生提供5间男生宿舍和4间女生宿舍，每间宿舍可住2名同学．
该校“数学与统计”社团的同学为了解全体高一学生家庭居住地与学校的距离情况，按照性别进行分层抽样，其中共抽取40名男生家庭居住地与学校的距离数据（单位：km ）如下：
5 6 7 7.5 8 8.4 4 3.5 4.5 4.3 5 4 3 2.5 4 1.6 6 6.5 5.5 5.7 3.1 5.2 4.4 5 6.4 3.5 7 4 3 3.4 6.9
4.8
5.6
5
5.6
6.5
3
6
7
6.6
（Ⅰ）根据以上样本数据推断，若男生甲家庭居住地与学校距离为8.3km ，他是否能住宿？说明理由； （Ⅱ）通过计算得到男生样本数据平均值为5.1km ，女生样本数据平均值为4.875km ，求所有样本数据
的平均值；
（Ⅲ）已知能够住宿的女生中有一对双胞胎，如果随机分配宿舍，求双胞胎姐妹被分到
同一宿舍的概率． 17. （本小题14分）
如图，在AOB △中，90,2,1AOB AO OB ∠=?==．AOC △可以通过AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且OB OC ⊥，动点D 在斜边AB 上． （Ⅰ）求证：平面COD ⊥平面AOB ；
（Ⅱ）当D 为AB 的中点时，求二面角B CD O --的余弦值；
（Ⅲ）求CD 与平面AOB 所成的角中最大角的正弦值．
18. （本小题14分）
已知抛物线2
:2C y px =经过点(1,2)P ，其焦点为F ．M 为抛物线上除了原点外的任一点，过M 的直线l 与x 轴，y 轴分别交于,A B ． （Ⅰ）求抛物线C 的方程以及焦点坐标；
（Ⅱ）若BMF △与ABF △的面积相等，求证：直线l 是抛物线C 的切线．
19. （本小题13分）
已知函数()()ln f x x a x =+．
（Ⅰ）当0a =时，求()f x 在1x =处的切线方程；
（Ⅱ）当0a >时，若()f x 有极小值，求实数a 的取值范围．
20.（本小题13分）
将1至2n 这2n 个自然数随机填入n n ?方格的2n 个方格中，每个方格恰填一个数（*2,n n ∈N ≥）．对于同行或同列的每一对数，都计算较大数与较小数的比值，在这2(1)n n -个比值中的最小值，称为这一填数法的“特征值”．
（Ⅰ）若2n =，请写出一种填数法，并计算此填数法的“特征值”； （Ⅱ）当3n =时，请写出一种填数法，使得此填数法的“特征值”为1
n n
+； （Ⅲ）求证：对任意一个填数法，其“特征值”不大于1
n n
+．
石景山区2018-2019学年第一学期高三期末
数学（理）试卷答案及评分参考
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 9．80； 10．3n ； 11． 4；
12．2x =-；（答案不唯一） 13.
14. 95，1155．
三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分）
解：（Ⅰ）由图可得1,A =
4233
T ππ
=-=π，所以2,1T =πω=. 当3x π=
时，1)(=x f ，可得sin()13π
+?=， ||,.26
ππ
?<∴?=
()sin()6
f x x π
∴=+.
（Ⅱ）()()cos sin()cos sin cos cos sin cos 666g x f x x x x x x x πππ
=-=+-=+-
1cos sin()26
x x x π
=
-=-. 0,
2663
x x ππππ
∴--≤≤≤≤. 当66x ππ
-
=-，即0=x 时，)(x g 有最小值为2
1-.
16.（本小题13分） 解：（Ⅰ）能住宿.
因为200名男生中有10名男生能住宿，
所以40名男生样本中有2名男生能住宿。
样本数据中距离为8.4km 和8km 的男生可以住宿，距离为7.5km 以下的男生不可以住宿，
由于8.3 >8，所以男生甲能住宿。 （Ⅱ）根据分层抽样的原则，抽取女生样本数为32人.
所有样本数据平均值为
40 5.132 4.875
54032
?+?=+.
（Ⅲ）解法一：记住宿的双胞胎为12,A A ，其他住宿女生为123456,,,,,B B B B B B . 考虑1A 的室友，共有2123456,,,,,,A B B B B B B 七种情况， 所以双胞胎姐妹被分到同一宿舍的概率为
17
. 解法二：设“双胞胎姐妹被分到同一宿舍”为事件A ，
则2226422222864241
()7
C C C P A C C C C ==.
所以双胞胎姐妹被分到同一宿舍的概率为1
7
.
17.（本小题14分）
（Ⅰ）证明：在AOC △中，⊥AO OC ，
∵⊥OB OC ，且AO OB =O I ，
∴ ⊥OC 平面AOB ， 又?OC 平面COD ，
∴平面COD ⊥平面AOB ． （Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系-xyz O ， ∵D 为AB 的中点，
∴(000)O ，
，，(002)A ，，，(010)B ，，，(100)C ，，，1
(01)2
D ，，， ∴(100)OC =u u u r ，，，1(01)2OD =uuu r ，，，(110)
-BC =u u u r ，，，1
(01)2
-BD =uu u r ，， 设1111()=n x y z u r
，，为平面OCD 的法向量，
∴1100???????n OC =n OD =u r uuu r u r uuu r
，，即1110102
?????x =y +z =，， 令1=1z ，则1=2-y ，
∴1(021)=-n u r
，，是平面BCD 的一个法向量，
设2222()=n x y z u u r
，，为平面OCD 的法向量， ∴2200???????n BC =n BD =u u r uu u r u u r uu u r
，，即22220102
-=???-??x y y +z =， 令2=1z ，则2=2x ，2=2y ，
∴2(221)=n u u r
，，是平面OCD 的一个法向量，
∴121212cos ||||?<>===?n n n n n n u r u u r
u r u u r u r u u r ， ∴二面角--B CD O
的余弦值为
5
（Ⅲ）解法一:∵⊥OC 平面AOB ，
∴∠CDO 为CD 与平面AOB 所成的角， ∵1=OC ，
∴点O 到直线AB 的距离最小时，∠CDO
的正弦值最大，
即当
⊥
OD
AB 时，
∠CDO
的正弦值最大，
此时=OD ，∴=CD
∴sin 3
∠CDO =．
解法二：设AD=AB λu u u r u u u r
，所以(0,,22)D λλ-．
(1,,22)CD=λλ--u u u r
．
平面AOB 的法向量(1,0,0)n =r
，
所以||sin ||||n CD n CD θ?===r uu u r r uu u r 所以当45λ=
时，CD 与平面AOB 所成的角最大，sin 3
θ=．
18.（本小题14分）
解：（Ⅰ）因为抛物线2:2C y px =经过点(1,2)P ，
所以222p =，2p =．
所以抛物线C 的方程为24y x =，焦点F 点坐标为(1,0)．
（Ⅱ）因为BMF △与ABF △的面积相等，
所以BM AB =，所以B 为AM 的中点． 设0000(,)(0)M x y x y ≠，则0(,0)B x -． 所以直线l 的方程为0
00
()2y y x x x =
+， 与抛物线24y x =联立得： 2
00
840x y x x y -
+=， 2200
00200
6464161604x x x x y x ?=-=-= 所以直线l 是抛物线C 的切线．
19.（本小题13分）
解：（Ⅰ）当0a =时，()ln f x x x =，()ln 1f x x '=+. (1)1,(1)0f f '==， 所以()f x 在1x =处的切线方程为1y x =-. （Ⅱ）()f x 有极小值?函数()f x '有左负右正的变号零点.
()1()ln ln 1a
f x x x a x x x
'=++=++
令()()g x f x '=，则221()a x a
g x x x x
-'=-=
令()0g x '=，解得x a =.
,(),()x g x g x '的变化情况如下表：
① 若ln 20a +≥，即2a e -≥，则()0g x ≥，所以()f x '不存在变号零点，不合题意. ② 若ln 20a +<，即2a e -<时，()ln 20g a a =+<，(1)10g a =+>.
所以0(,1)x a ?∈，使得0()0g x =；
且当0(,)x a x ∈时，()0g x <，当0(,1)x x ∈时，()0g x >. 所以当(,1)x a ∈时，,(),()x f x f x '的变化情况如下表：
所以20a e -<<.
20.（本题13分）
解：（Ⅰ）
（Ⅲ）不妨设A 为任意一个填数法，记此填数法的“特征值”为()C A ,
考虑含n +1个元素的集合2222{1,2}B n n n n n =---，，， ，
易知其中必有至少两个数处于同一行，设为2
12x x n <≤ 也必有至少两个数处于同一列，设为2
12y y n <≤.
①若2
11max(,)1x y n n -+≥
则有222111
()max(,)1n n n C A x y n n n
+<-+≤≤（因为33+1n n >）.
②若2
11max(,)1x y n n <-+，即2
11x y n n ==-，
则22x y ≠， 2
22min(,)1x y n -≤．
所以22222min(,)1(1)(1)1
()(1)x y n n n n C A n n n n n n n
-+-+==---≤
≤. 即不论何种情况，总有1
()n C A n
+≤
. …13分